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2017_2018学年高中数学课时跟踪检测二十一几类不同增长的函数模型新人教A版必修1

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高中数学审核员

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         课时跟踪检测(二十一) 几类不同增长的函数模型

                               层级一 学业水平达标
    1.在一次数学试验中,采集到如下一组数据:

                 x    -2.0    -1.0    0   1.00   2.00   3.00
                 y    0.24    0.51    1   2.02   3.98   8.02
    则 x,y  的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中                 a,b  为待定系数)(  )
    A.y=a+bx                       B.y=a+bx
                                            b
    C.y=ax2+b                      D.y=a+x
    解析:选    B 在坐标系中描出各点,知模拟函数为                 y=a+bx.
    2.下列函数中,随着         x 的增大,增长速度最快的是(  )
    A.y=50                         B.y=1 000x
                                           1
    C.y=0.4·2x-1                   D.y=1 000ex
    解析:选    D 指数函数     y=ax,在   a>1  时呈爆炸式增长,而且          a 越大,增长速度越快,
选  D.
    3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后
来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润                             y 与时间   x 的关系,
可选用(  )
    A.一次函数                         B.二次函数
    C.指数型函数                        D.对数型函数
    解析:选    D 由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢,只
有对数函数的增长符合.
    4.有一组实验数据如下表所示:

                      x    1      2     3      4      5
                      y   1.5    5.9   13.4   24.1   37
    下列所给函数模型较适合的是(  )

    A.y=logax(a>1)                 B.y=ax+b(a>1)

            2
    C.y=ax  +b(a>0)                D.y=logax+b(a>1)
    解析:选    C 通过所给数据可知         y 随 x 增大,其增长速度越来越快,而             A、D  中的函数
增长速度越来越慢,而          B 中的函数增长速度保持不变,故选              C.

            x      2
    5.y1=2  ,y2=x  ,y3=log2x,当    2<x<4  时,有(  )

    A.y1>y2>y3                     B.y2>y1>y3

    C.y1>y3>y2                     D.y2>y3>y1
    解析:选    B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,

                                2       x
从上到下图象依次对应的函数为              y2=x ,y1=2  ,y3=log2x,故    y2>y1>y3.
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    6.小明   2015 年用  7  200 元买一台笔记本.电子技术的飞速发展,笔记本成本不断降
低,每过一年笔记本的价格降低三分之一.三年后小明这台笔记本还值________元.
                               2  2  2 6 400
    解析:三年后的价格为          7 200×3×3×3=     3  元.
          6 400
    答案:     3
    7.函数   y=x2 与函数    y=xln x 在区间(1,+∞)上增长较快的一个是________.
    解析:当    x 变大时,x    比 ln x 增长要快,
    ∴x2 要比  xln x 增长的要快.
    答案:y=x2
    8.已知某工厂生产某种产品的月产量                y 与月份  x 满足关系    y=a·(0.5)x+b,现已知
该厂今年    1 月、2  月生产该产品分别为         1 万件、1.5   万件.则此厂      3 月份该产品的产量为
________万件.

    解析:∵y=a·(0.5)x+b,且当         x=1  时,y=1,当     x=2 时,y=1.5,则有Error!解

得Error!
    ∴y=-2×(0.5)x+2.
    当 x=3  时,y=-2×0.125+2=1.75(万件).
    答案:1.75
                                   1
    9.画出函数     f(x)=  x与函数   g(x)=4x2-2  的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大
小关系.
    解:函数    f(x)与  g(x)的图象如图所示.
    根据图象易得:
    当 0≤x<4   时,f(x)>g(x);
    当 x=4  时,f(x)=g(x);
    当 x>4  时,f(x)<g(x).
    10.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞
                            Q

行速度可以表示为函数          v=5log210,单位是     m/s,其中   Q 表示燕子的耗氧量.
    (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位;
    (2)当一只燕子的耗氧量是          80 个单位时,它的飞行速度是多少?
    解:(1)由题知,当燕子静止时,它的速度                 v=0,
                                 Q

    代入题中所给公式可得:0=5log210,解得              Q=10.
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    即燕子静止时的耗氧量是           10 个单位.
    (2)将耗氧量    Q=80  代入题给公式得:
            80

    v=5log210=5log28=15(m/s).
    即当一只燕子的耗氧量是           80 个单位时,它的飞行速度为           15 m/s.
                               层级二 应试能力达标
    1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长                   10.4%,要增长到原来的        x 倍,需经过
y 年,则函数     y=f(x)的图象大致为(  )


    解析:选    D 设该林区的森林原有蓄积量为              a,由题意可得      ax=a(1+0.104)y,故    y=

log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数            y=f(x)的图象大致为       D 中图象,故选     D.

    2.三个变量     y1,y2,y3,随着变量      x 的变化情况如下表:

               x    1     3      5      7        9        11

               y1   5    135    625    1 715   3 645     6 655

               y2   5    29     245    2 189   19 685   177 149

               y3   5   6.10   6.61    6.985    7.2       7.4
    则关于   x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(  )

    A.y1,y2,y3                     B.y2,y1,y3

    C.y3,y2,y1                     D.y1,y3,y2
    解析:选    C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知,

对数函数的增长速度越来越慢,变量                y3 随 x 的变化符合此规律;指数函数的增长速度成倍

增长,y2   随 x 的变化符合此规律;幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间,y1                             随
x 的变化符合此规律,故选          C.

    3.四人赛跑,假设他们跑过的路程               fi(x)(其中  i∈{1,2,3,4})和时间    x(x>1)的函数

                  2                                x
关系分别是     f1(x)=x ,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2     ,如果他们一直跑下去,最
终跑在最前面的人具有的函数关系是(  )

              2
    A.f1(x)=x                      B.f2(x)=4x

                                              x
    C.f3(x)=log2x                  D.f4(x)=2
    解析:选    D 显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在最前面的人具有

                    x
的函数关系是      f4(x)=2 ,故选    D.
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    4.以下四种说法中,正确的是(  )
    A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快  

                      n
    B.对任意的     x>0,x   >logax

                      x
    C.对任意的     x>0,a   >logax

                                     x   n
    D.不一定存在      x0,当  x>x0 时,总有    a >x >logax
    解析:选    D 对于    A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂
指数与一次项系数不确定,增长幅度不能比较;对于                      B、C,当    0<a<1  时,显然不成

                                                     x  n
立.当   a>1,n>0    时,一定存在      x0,使得当    x>x0 时,总有    a >x >logax,但若去掉限
制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.

    5.以下是三个变量        y1,y2,y3 随变量   x 变化的函数值表:

        x    1    2     3      4      5       6       7      8     …

        y1   2    4     8      16     32      64     128    256    …

        y2   1    4     9      16     25      36      49     64    …

        y3   0    1   1.585    2    2.322   2.585   2.807    3     …
    其中,关于     x 呈指数函数变化的函数是________.

    解析:从表格可以看出,三个变量               y1,y2,y3 都是越来越大,但是增长速度不同,其

中变量   y1 的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量                     y1 呈指数函数变化,故填

y1.

    答案:y1
    6.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时
间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A                        对应______;B   对应_____;
C 对应______;D   对应______.


    解析:A   容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B                      容器为球形,水高
度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D                容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直
线型,但    C 容器细,D    容器粗,故水高度的变化为:C             容器快,与(3)对应,D        容器慢,与
(2)对应.
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    答案:(4) (1) (3) (2)

                                              1
    7.函数   f(x)=1.1x,g(x)=ln     x+1,h(x)=x   2 的图象
如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的
增长差异(以     1,a,b,c,d,e     为分界点).
    解:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线
                       x
C1 对应的函数是     f(x)=1.1  ,曲线   C2 对应的函数是     h(x)=
  1
  2
x  ,曲线   C3 对应的函数是     g(x)=ln x+1.
    由题图知,当      x<1 时,f(x)>h(x)>g(x);
    当 1g(x)>h(x);
    当 ef(x)>h(x);
    当 ah(x)>f(x);
    当 bg(x)>f(x);
    当 cf(x)>g(x);
    当 x>d 时,f(x)>h(x)>g(x).


    8.某地区今年      1 月,2  月,3  月患某种传染病的人数分别为             52,54,58.为了预测以后
各月的患病人数,甲选择了模型              y=ax2+bx+c,乙选择了模型         y=p·qx+r,其中      y 为患
病人数,x    为月份数,a,b,c,p,q,r          都是常数.结果       4 月,5  月,6  月份的患病人数分
别为   66,82,115,你认为谁选择的模型较好?
    解:依题意,得Error!
    即Error!解得Error!
                2
    所以甲:y1=x     -x+52,
    又Error!
    ②-①,得     p·q2-p·q1=2, ④
    ③-②,得     p·q3-p·q2=4, ⑤
    ⑤÷④,得     q=2.
    将 q=2  代入④式,得      p=1.
    将 q=2,p=1    代入①式,得      r=50,
                x
    所以乙:y2=2     +50.

    计算当   x=4  时,y1=64,y2=66;

    当 x=5  时,y1=72,y2=82;

    当 x=6  时,y1=82,y2=114.
    可见,乙选择的模型较好.
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