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2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业:第十章 算法初步、统计、统计案例 58 Word版含答案

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课时作业 58 变量间的相关关系与统计案例

    一、选择题
    1.(2018·石家庄模拟(一))下列说法错误的是(  )
    A.回归直线过样本点的中心(-,-)
                              x   y
    B.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于                             1
    C.对分类变量      X 与 Y,随机变量     K2 的观测值   k 越大,则判断“X       与 Y 有关系”的把握
程度越小
    D.在回归直线方程^=0.2x+0.8          中,当解释变量       x 每增加   1 个单位时,预报变量^平
                     x                                                    y
均增加   0.2 个单位
    解析:本题考查命题真假的判断.根据相关定义分析知                       A,B,D   正确;C   中对分类变
量  X 与 Y 的随机变量    K2 的观测值   k 来说,k   越大,判断“X      与  Y 有关系”的把握程度越大,
故  C 错误,故选    C.
    答案:C
    2.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区                              5 户家庭,得
到如下统计数据表:

                收入   x(万元)      8.2   8.6   10.0   11.3   11.9
                支出   y(万元)      6.2   7.5    8.0    8.5    9.8
    根据上表可得回归直线方程^=^x+^,其中^=0.76,^=--^-.据此估计,该社区
                           y  b   a      b        a  y  b x
一户年收入为      15 万元家庭的年支出为(  )
    A.11.4 万元  B.11.8   万元
    C.12.0 万元  D.12.2   万元
    解析:∵-=10.0,-=8.0,^=0.76,∴^=8-0.76×10=0.4,∴回归方程为^=
            x         y       b          a                               y
0.76x+0.4,把   x=15  代入上式得,^=0.76×15+0.4=11.8(万元).
                               y
    答案:B
    3.通过随机询问       110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
                                    男    女     合计

                           爱好       40   20     60
                          不爱好       20   30     50
                           合计       60   50     110
                  nad-bc2
    由 K2=a+bc+da+cb+d,
            110 × 40 × 30-20 × 202
    算得  K2=     60 × 50 × 60 × 50 ≈7.8.
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    附表


                         2
                      P(K ≥k0)     0.050   0.010   0.001

                         k0        3.841   6.635   10.828
    参照附表,得到的正确结论是(  )
    A.在犯错误的概率不超过           0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
    B.在犯错误的概率不超过           0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
    C.有  99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
    D.有  99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
    解析:根据独立性检验的定义,由               K2≈7.8>6.635,可知我们在犯错误的概率不超过
0.01 的前提下,即有       99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选                      C.
    答案:C
    4.(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长               x(单位:厘米)和身高        y(单位:厘米)的
关系,从该班随机抽取          10 名学生,根据测量数据的散点图可以看出                 y 与 x 之间有线性相关

                                     10         10
                                    ∑x         ∑y
关系.设其回归直线方程为^=^x+^.已知i=1                =225,i=1   =1   600,^=4.该班某学生的
                       y  b   a         i          i         b
脚长为   24,据此估计其身高为(  )
    A.160  B.163
    C.166  D.170

             10                 10
             ∑x               1 ∑x
    解析:∵ i=1    i=225,∴ x=10i=1    i=22.5.
        10                  10
       ∑y                 1 ∑y
    ∵ i=1  i=1 600,∴ y=10i=1   i=160.
    又^=4,∴ ^=y-^x=160-4×22.5=70.
      b        a    b
    ∴ 回归直线方程为^=4x+70.
                     y
    将 x=24  代入上式得^=4×24+70=166.
                      y
    故选  C.
    答案:C
    5.(2018·河南安阳二模)已知变量            x 与 y 的取值如下表所示,且         2.50,^>0  B.^>0,^<0
      a    b      a   b
    C.^<0,^>0  D.^<0,^<0
      a    b      a   b
    解析:由题意知-=0.2,-=-1.7,
                  x        y
         28-5 × 0.2 × -1.7 29.7
    ∴^=      41-5 × 0.22   =40.8≈0.73>0,
      b
    ∴^=-1.7-0.73×0.2≈-1.85<0,故选         C.
      a
    答案:C
    二、填空题
    7.某炼钢厂废品率        x(%)与成本   y(元/t)的线性回归方程为^=105.492+42.569x.当成
                                                      y
本控制在    176.5 元/t 时,可以预计生产的         1 000t 钢中,约有________t    钢是废品.
    解析:因为     176.5=105.492+42.569x,所以     x≈1.668,即成本控制在        176.5 元/t 时,
废品率为    1.668%.
    所以生产的     1 000 t 钢中,约有     1 000×1.668%=16.68 t  钢是废品.
    答案:16.68
    8.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把                       500 名使用血清的人与另外

500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设                       H0:“这种血清不能起到预防
感冒的作用”,利用         2×2  列联表计算得      K2≈3.918,经查临界值表知        P(K2≥3.841)≈0.05.则
下列结论中,正确结论的序号是________.
    ①有  95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”;
    ②若某人未使用该血清,那么他在一年中有                  95%的可能性得感冒;
    ③这种血清预防感冒的有效率为              95%;
    ④这种血清预防感冒的有效率为              5%.
    解析:K2≈3.918≥3.841,而      P(K2≥3.814)≈0.05,所以有      95%的把握认为“这种血
清能起到预防感冒的作用”.要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效
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率是没有关系的,不是同一个问题,不要混淆.
    答案:①
    9.(2018·青岛检测)已知变量          x,y 具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表
所示,若    y 关于  x 的线性回归方程为^=1.3x-1,则           m=________.
                               y
                           x    1      2    3    4
                           y    0.1   1.8   m    4
                                           1
    解析:本题考查线性回归方程.由题意得-=4(1+2+3+4)=2.5,代入线性回归方
                                        x
                                     1
程得-=1.3×2.5-1=2.25,所以          2.25=4(0.1+1.8+m+4),解得      m=3.1.
     y
    答案:3.1
    三、解答题
    10.(2018·合肥检测(二))某校计划面向高一年级                1  200 名学生开设校本选修课程,
为确保工作的顺利实施,先按性别进行分层抽样,抽取了                        180 名学生对社会科学类、自然
科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查,其中男生有                          105 人.在这    180 名学生中
选择社会科学类的男生、女生均为               45 人.
    (1)分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会科学类的频率,并以统计的频率作为概
率,估计实际选课中选择社会科学类的学生人数;
    (2)依据抽取的     180 名学生的调查结果,完成以下            2×2  列联表.并判断能否在犯错误
的概率不超过      0.025 的前提下认为科类的选择与性别有关?
                       选择自然科学类          选择社会科学类           合计
                男生
                女生
                合计
                   nad-bc2
    附:K2=a+bc+da+cb+d,其中            n=a+b+c+d.
 P(K2
       0.500  0.400   0.250  0.150  0.100  0.050   0.025  0.010  0.005  0.001
≥k0)
                                                                        10.82
  k0   0.455  0.708   1.323  2.072  2.706  3.841   5.024  6.635  7.879
                                                                          8
    解析:(1)由条件知,抽取的男生有              105 人,女生有    180-105=75(人).男生选择社
                45  3                            45 3
会科学类的频率为105=7,女生选择社会科学类的频率为75=5.
                             105
    由题意,男生总数为         1 200×180=700(人),
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                      75
    女生总数为     1 200×180=500(人),
    所以估计选择社会科学类的人数为
         3       3
    700×7+500×5=600(人).
    (2)根据统计数据,可得列联表如下:
                       选择自然科学类          选择社会科学类           合计

                男生           60               45          105
                女生           30               45           75
                合计           90               90          180
          180 × 60 × 45-30 × 452 36
    则 K2=     105 × 75 × 90 × 90 = 7 ≈5.142 9>5.024,
    所以在犯错误的概率不超过            0.025 的前提下能认为科类的选择与性别有关.
    11.(2018·四川四市一模)张三同学从             7 岁起到  13 岁每年生日时对自己的身高测量后
记录如下表:

           年龄  x(岁)       7      8     9     10     11    12     13
           身高  y(cm)     121    128   135    141   148    154    160
    (1)求身高   y 关于年龄    x 的线性回归方程;
    (2)利用(1)中的线性回归方程,分析张三同学                7 岁至  13 岁身高的变化情况,如          17 岁
之前都符合这一变化,请预测张三同学                 15 岁时的身高.
    附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

       i=n 1 xi-xyi-y
        ∑
    ^=    i=n 1 xi-x2  ,^=y-^x.
    b      ∑               a     b
                        1
    解析:(1)由题意得-=7(7+8+9+10+11+12+13)=10.
                     x
        1
    -=7(121+128+135+141+148+154+160)=141,
     y
    i=7 1
     ∑
         (x --)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
           i  x
    i=7 1
     ∑
            (x --)(y  --)=(-3)×(-20)+(-2)×(-13)+(-1)×(-6)+0×0+
              i  x   i  y
1×7+2×13+3×19=182,

           i=7 1 xi-xyi-y  182 13                 13
            ∑
    所以^=      i=7 1 xi-x2  = 28 = 2 ,^=y-^x=141-    2 ×10=76,所求回归方程
        b      ∑                       a     b
     13
为^=  2 x+76..
  y
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                   13
    (2)由(1)知,^=    2 >0,故张三同学      7 岁至 13 岁的身高每年都在增高,平均每年增高
                b
6.5 cm.
                                     13
    将 x=15  代入(1)中的回归方程,得^=           2 ×15+76=173.5,故预测张三同学          15 岁的
                                  y
身高为   173.5 cm.
                                    [能力挑战]
    12.(2017·新课标全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量
对比,收获时各随机抽取了            100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布
直方图如下:


                                     旧养殖法


                                     新养殖法
    (1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于               50 kg”,估计    A 的概率;
    (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有                  99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;

                               箱产量<50 kg      箱产量≥50 kg
                   旧养殖法
                   新养殖法
    (3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.

    附:
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                nad-bc2
    K2=a+bc+da+cb+d.
    解析:(1)旧养殖法的箱产量低于             50 kg 的频率为
    (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.
    因此,事件     A 的概率估计值为       0.62.
    (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
                               箱产量<50 kg      箱产量≥50 kg

                   旧养殖法            62              38
                   新养殖法            34              66
                200 × 62 × 66-34 × 382
    K2 的观测值=       100 × 100 × 96 × 104 ≈15.705.
    由于  15.705>6.635,故有   99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
    (3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在                             50  kg 到
55  kg 之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在                 45  kg 到 50 kg 之间,且新养殖法的
箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱
产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.
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