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高中数学人教A版必修5自主学习导学案:2.3等差数列的前n项和(学生版+教师版) Word版含解析(数理化网)

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                   2.3  等差数列的前          n 项和(学生版)

1.新课引入
    高斯的故事:200      多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:
    (1)计算:1      2  3... 99 100

    (2)计算:1      2  3... (n 1)  n

    据说,当其他同学正忙于把这             100 个数逐项相加时,10       岁的高斯却用下面的方法迅速的
算出了正确答案:

    (1100)  (2  99)  (50  51) 10150  5050 ,

                            100(1100)
    即1  2  3  99 100               5050
                                  2

    高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2               ,3 ,,n,..... 前 100 项和的问题,受此启发,用
                                                              n(n 1)
下面的方法计算1,2       ,3 ,,n,..... 的前 n 项和:1 2  3 (n 1)  n 
                                                                  2
    此方法可以推广到一般方法吗?
2.数列的前     n 项和的概念

    (1)一般地,我们把         a1+a2+a3+…+an    叫做数列{an}的前      n 项和,记作     Sn ,即


 Sn  an  an ... an .

    (2)数列的项      an 与前  n 项和 Sn 的关系:an=Error!
3.等差数列的前       n 项和的推导

    设等差数列{an}的前项和为          Sn ,即  Sn  an  an ... an


    Sn  a1  (a1  d) ...[a1  (n 1)d]


    Sn  an  (an  d) ...[an  (n 1)d]


    两式相加得:      2Sn  (a1  an )  (a1  an ) ... (a1  an )  n(a1  an ) ,即
     n(a  a )
 S     1   n .
  n      2
                                       n(n 1)
    又由  a   a  (n 1)d ,所以 S   na         d .
         n   1                 n    1     2
    上述推导等差数列前         n 项和的方法称为“倒序相加法” .
                                n(a  a )            n(n 1)
    等差数列的前      n 项和公式:     S     1   n 或  S  na         d
                             n      2        n    1     2

    公式解读:(1)由        5 个元素构成:      a1,d,n,an , sn . 可知三求二.


              (2)共同点:须知        a1 和;不同点:前者需知道         an ,后者需要知道       d .
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                                                 n(n 1)    d  2      d
              (3)若   a1、d 是确定的,那么       S  na         d   n   (a   )n ,
                                         n    1     2       2      1  2
          d          d
    设  A   , B  a  ,上式可写成      S   An2  Bn ,若  A  0 (即 d≠0)时,   S 是关于
          2       1  2              n                                  n
n 的二次式且缺常数项.

4.等差数列的前       n 项和的性质
                                                                2
   (1)等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n      也构成等差数列,且公差是            n d.如下所示:


                                                         an  S2n1
   (2)若{an}与{bn}均为等差数列,且前         n 项和分别为     Sn 与Tn ,则          .
                                                         bn  T2n1
                                        {Sn}                             d
   (3)若等差数列{an}的前      n 项和为   Sn,则数列     n 是等差数列,且首项为          a1,公差为2.
   (4)若等差数列的项数为        2n(n∈N*),则
                                          S奇    an
                                           偶    +
       ①S2n=n(an+an+1);②S   偶-S  奇=nd;③S     =an  1.
       若等差数列的项数为         2n-1(n∈N*),则
                                                     S奇    n
                                                      偶   -
       ①S2n-1=(2n-1)an(an 为中间项);②S     奇-S  偶=an;③S     =n  1.
                           q   q2
                       n+
               2       (    )2
   (5)由于  Sn=pn +qn=p     2p -4p,结合二次函数的性质可知:
                       q

     ①如果顶点横坐标-2p是正整数,Sn             在顶点处取得最大值(p<0)或最小值(p>0).
                       q

     ②如果顶点横坐标-2p不是正整数,Sn              在最接近顶点横坐标的正整数处取得最大值
(p<0)或最小值(p>0).
※  典型例题
                                    n(a  a )            n(n 1)
考点   1.等差数列的前       n 项和公式:    S      1   n 或 S   na        d
                                 n      2       n     1    2
【例   1】计算下列各数列的和
    (1)1   2  3   n ;              (2)1   3 5    (2n 1) ;

    (3)  2  4  6  2n ;                                              (4)
1 2  3 4  5  6  (2n 1)  2n .


【例   2】  已知等差数列{an}的前       3 项和为   6,前  8 项和为-4.
                                      {Sn}
    (1)求数列{an}的前    n 项和  Sn;(2)求数列    n 的前   n 项和  Tn.
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                                              *
练习   1.已知{an}是等差数列,Sn        为其前   n 项和,n∈N    ,若  a3=16,S20=20,则    S10 的值为
________.

练习   2.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的                     sn 
    (1)a1=5,an=95,n=10                                       (2)a1=100,d=-2,n=50             
(3)a1=14.5,d=0.7,an=32


练习   3.在等差数列{an}中:(1)已知        a6=10,S5=5,求     a8 和 S10;(2)已知 a3+a15=40,求
S17.


考点   2.  已知  Sn 求 an :an=Error!


【例   3】已知下面各数列{an}的前项和为             Sn 的公式,求{an}的通项公式.

            2                          n
    (1)Sn=2n -3n;               (2)Sn=3 -2.


点评:(1) an=Error!这是一个非常重要的结论,望牢记!
    (2)由 Sn 求 an 时,要分  n=1  和 n≥2  两种情况分别计算,然后验证两种情形可否有统一
表达式表示,若不能统一,则用分段函数的形式表示.

练习   1.已知下面各数列{an}的前         n 项和  Sn 的公式,求数列{an}的通项公式.
                                      1   1

           n           2                2
    (1)Sn=2 +1;(2)Sn=n  +n;   (3)若 Sn=2n +2n+1.求{an}的通项公式.


考点   3.  等差数列的前      n 项和的最值

【例   4】在等差数列{an}中,若        a1=25,且   S9=S17,求  Sn 的最大值.
    分析:解答本题可先根据条件求出公差                 d.然后利用    Sn 或 an 求 Sn 的最大值.或利用等
差数列的前     n 项和  Sn 是关于   n 的二次函数,利用抛物线的图象性质求解.
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练习   1.在等差数列{an}中,已知         a1=20,前   n 项和为   Sn,且  S10=S15,求当  n 取何值时,
Sn 有最大值,并求它的最大值.


※  当堂检测
1.在等差数列{an}中,已知          a1=2,d=2,则    S20=(  )
    A.230       B.420       C.450       D.540

2.已知数列{an}为等差数列,Sn          是它的前    n 项和,若    a1=2,S3=12,则    S4=(  )
    A.10       B.16       C.20        D.24
                           2
3.设数列{an}的前      n 项和  Sn=n ,则  a8 的值为(  )
    A.15         B.16        C.49        D.64

4.数列{an}中,an=2n-49,当数列{an}的前           n 项和  Sn 取得最小值时,n=________.
5.已知等差数列{an}中:
         3       1

   (1)a1=2,d=-2,Sn=-15,求       n 及 an;(2)a1=20,an=54,Sn=666,求      d 及 n;
(3)S7=14,求  a3+a5.


6.已知等差数列{an}中,a3+a4=15,a2·a5=54,公差             d<0.
    (1)求数列{an}的通项公式       an;(2)求数列{an}的前    n 项和  Sn 的最大值及相应的       n 的值.


考点   4.等差数列前      n 项和性质及应用
【例   5】一个等差数列的前         10 项之和为   100,前   100 项之和为   10,求其前    110 项之和.
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    分析:解答本题可利用前           n 项和公式求出      a1 和 d,即可求出    S110,或利用等差数列前
n 项和的性质求解.


点评:(1)利用已知求出         a1,d,然后再求所求,是基本解法,有时运算量大些.(2)我们也可
以利用等差数列前        n 项和的性质,或利用等差数列通项公式的性质,这两种解法可简化运算,
为最优解法.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.
变式   1 .(1)一个等差数列共       2 011 项,求它的奇数项和与偶数项和之比;
        (2)一个等差数列前      20 项和为   75,其中的奇数项和与偶数项和之比为                1∶2,求公差
d.
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考点   5.前  n 项和比的问题
                                  a1+a2+a3+…+an      7n+2    a5
                                    +   +  +   +      +
【例   6】有两个等差数列{an},{bn}满足b1           b2 b3  …   bn= n  3 ,求b5.


                                                         An  7n+1            an
                                                               +       *
变式   1.若两个等差数列{an}和{bn}的前         n 项和  An 和 Bn 满足关系式Bn=4n       27(n∈N ),求bn.


考点   6.含有绝对值的等差数列的求和问题

                                        2
【例   7】已知数列{an}的前项和是          Sn  32n  n ,求数列{   an }的前  n 项和Tn .


※  当堂检测
1.已知某等差数列共         20 项,其所有项和为        75,偶数项和为      25,则公差为(  )
    A.5       B.-5       C.-2.5    D.2.5

2.设   Sn 为等差数列{an}的前     n 项和,若    a1=1,公差    d=2,Sk+2-Sk=24,则     k 等于(  )
    A.8   B.7      C.6    D.5

3.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以             Sn 表示{an}的前   n 项和,则使
   得  Sn 达到最大值的     n 是(  )
    A.21       B.20       C.19        D.18
                                             S9

4.设等差数列{an}的前        n 项和为   Sn,若  a5=5a3,则S5=________.
5.在等差数列{an}中,若         a6+a9+a12+a15=34,则    S20=________;
6.在等差数列{an}中,S10=310,第          11 项到第   20 项的和为   910,则第   21 项到第   30 项的和
为____________.
                                                                   Sn  5n+3
                                                                         +
7.已知等差数列{an}和{bn}的前         n 项和分别为     Sn 和 Tn,且对一切正整数       n 都有Tn=2n    7,
  a9
则b9=________


1.在等差数列{an}中,S10=120,则          a2+a9=(  )
    A.12       B.24      C.36       D.48

2.设数列{an}是等差数列,且           a2=-6,a8=6,Sn   是数列{an}的前     n 项和,则(  )
    A.S60,a2 005+a2 006>0,a2 005·a2 006<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的
最大自然数     n 是(    )
    A.4 009         B.4 010        C.4 011        D.4 012
                                                   S14 S12

5.在等差数列{an}中,a1=-2          014,其前   n 项和为   Sn,若  14 - 12 =2,则   S2 014 的值等于(  
)
    A.-2 011    B.-2 012         C.-2 013    D.-2 014
                                         Sn-1        Sn    Sn·Sn-1
6.正项数列{an},a1=1,前        n 项和  Sn 满足 Sn·     -Sn-1·    =2         (n≥2),则
a10=(  )
    A.72       B.80        C.90       D.82
7.在项数为     2n+1  的等差数列中,所有奇数项的和为              165,所有偶数项的和为         150,则   n 等
于(  )
    A.9        B.10        C.11   D.12

8.已知    Sn 是等差数列{an}的前     n 项和,且    S11=35+S6,则   S17 等于(  )
    A.117   B.118        C.119   D.120

9.在等差数列{an}中,a1>0,公差          d<0,a5=3a7,前    n 项和为   Sn,若  Sn 取得最大值,则      n=
________.
                              2
10.若数列{an}的前      n 项和是   Sn=n -4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=________.
              1
11.设   f(x)=2x+ 2,利用课本中推导等差数列前             n 项和的方法,求      f(-5)+f(-4)+…+
    f(0)+…+f(5)+f(6)的值为________.

12.设等差数列{an}的前        n 项和为   Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则        m=_________
13.设等差数列{an}满足        a3=5,a10=-9.
    (1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前        n 项和 Sn 及使得   Sn 最大的序号    n 的值.


                              2
14.已知数列{an}的前       n 项和  Sn=n -12n.
    (1)求证:{an}是等差数列;(2)求数列{|an|}的前          n 项和  Tn.


                                                                 Sn
15.(难)已知正数数列{an}的前            n 项和为  Sn,且对任意的自然数         n 满足  2   =an+1.
                             1
                              +
    (1)求通项公式;(2)设      bn=anan  1,求数列{bn}的前     n 项和  Bn.
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                                                   1

                                                    n
16.(难)是否存在数列{an}使得            a1+2a2+3a3+…+nan=43    (2n-1)+1]对任意正整数       n 都
成立?若存在这样的{an},写出它的通项公式;若不存在,请说明理由.
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                   2.3  等差数列的前          n 项和(教师版)

1.新课引入
    高斯的故事:200      多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:
    (1)计算:1      2  3... 99 100

    (2)计算:1      2  3... (n 1)  n

    据说,当其他同学正忙于把这             100 个数逐项相加时,10       岁的高斯却用下面的方法迅速的
算出了正确答案:

    (1100)  (2  99)  (50  51) 10150  5050 ,

                            100(1100)
    即1  2  3  99 100               5050
                                  2

    高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2               ,3 ,,n,..... 前 100 项和的问题,受此启发,用
                                                              n(n 1)
下面的方法计算1,2       ,3 ,,n,..... 的前 n 项和:1 2  3 (n 1)  n 
                                                                  2
    此方法可以推广到一般方法吗?

2.数列的前     n 项和的概念

    (1)一般地,我们把         a1+a2+a3+…+an    叫做数列{an}的前      n 项和,记作     Sn ,即


 Sn  an  an ... an .

    (2)数列的项      an 与前  n 项和 Sn 的关系:an=Error!
3.等差数列的前       n 项和的推导

    设等差数列{an}的前项和为          Sn ,即  Sn  an  an ... an


    Sn  a1  (a1  d) ...[a1  (n 1)d]


    Sn  an  (an  d) ...[an  (n 1)d]


    两式相加得:      2Sn  (a1  an )  (a1  an ) ... (a1  an )  n(a1  an ) ,即
     n(a  a )
 S     1   n .
  n      2
                                       n(n 1)
    又由  a   a  (n 1)d ,所以 S   na         d .
         n   1                 n    1     2
    上述推导等差数列前         n 项和的方法称为“倒序相加法” .
                                n(a  a )            n(n 1)
    等差数列的前      n 项和公式:     S     1   n 或  S  na         d
                             n      2        n    1     2

    公式解读:(1)由        5 个元素构成:      a1,d,n,an , sn . 可知三求二.
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              (2)共同点:须知        a1 和;不同点:前者需知道         an ,后者需要知道       d .

                                                 n(n 1)    d  2      d
              (3)若   a1、d 是确定的,那么       S  na         d   n   (a   )n ,
                                         n    1     2       2      1  2
          d          d
    设  A   , B  a  ,上式可写成      S   An2  Bn ,若  A  0 (即 d≠0)时,   S 是关于
          2       1  2              n                                  n
n 的二次式且缺常数项.
4.等差数列的前       n 项和的性质
                                                                2
   (1)等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n      也构成等差数列,且公差是            n d.如下所示:


                                                         an  S2n1
   (2)若{an}与{bn}均为等差数列,且前         n 项和分别为     Sn 与Tn ,则          .
                                                         bn  T2n1
                                        {Sn}                             d
   (3)若等差数列{an}的前      n 项和为   Sn,则数列     n 是等差数列,且首项为          a1,公差为2.
   (4)若等差数列的项数为        2n(n∈N*),则
                                          S奇    an
                                           偶    +
       ①S2n=n(an+an+1);②S   偶-S  奇=nd;③S     =an  1.
       若等差数列的项数为         2n-1(n∈N*),则
                                                     S奇    n
                                                      偶   -
       ①S2n-1=(2n-1)an(an 为中间项);②S     奇-S  偶=an;③S     =n  1.
                           q   q2
                       n+
               2       (    )2
   (5)由于  Sn=pn +qn=p     2p -4p,结合二次函数的性质可知:
                       q

     ①如果顶点横坐标-2p是正整数,Sn             在顶点处取得最大值(p<0)或最小值(p>0).
                       q

     ②如果顶点横坐标-2p不是正整数,Sn              在最接近顶点横坐标的正整数处取得最大值
(p<0)或最小值(p>0).

※  典型例题
                                   n(a  a )            n(n 1)
考点   1.等差数列的前       n 项和公式    S      1   n 或 S   na         d
                                n      2       n     1    2
【例   1】计算下列各数列的和
    (1)1   2  3   n ;      (2)1   3 5    (2n 1) ;
    (3)  2  4  6  2n ;    (4)1    2  3 4  5  6  (2n 1)  2n .
               n(n 1)
    解析:(1)            ;(2)    n2 ;(3)  n(n 1) ;(4)  n
                  2
【例   2】  已知等差数列{an}的前       3 项和为   6,前  8 项和为-4.
                                      {Sn}
    (1)求数列{an}的前    n 项和  Sn;(2)求数列    n 的前   n 项和  Tn.
    解析:(1)方法一:设{an}的公差为           d,由题意得Error!
                          nn-1            1   7

                                              2
    即Error!解Error!∴Sn=3n+     2   ×(-1)=-2n   +2n.
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                                                          1     7         1

                    2                                                       2
    方法二:设     Sn=An  +Bn,由   S3=6,S8=-4,得Error!∴A=-2,B=2,∴Sn=-2n            +
7
2n.
               Sn   1   7    Sn+1   Sn    1       7    1   7    1         Sn
                                                     -  n+
    (2)由(1),得  n =-2n+2,∴     n+1 - n =-2(n+1)+2-(     2   2)=-2,∴数列{     n }是
      S1
首项为    1 =3,
            1                      nn-1     1     1   13
                                             -
                                            (  )      2
    公差为-2的等差数列,故           Tn=3n+     2   ×   2 =-4n  +  4 n.
                                    2
    点评:(1)中的方法二,采用设           Sn=An  +Bn,用待定系数法求         A,B  较简单.
                                                 {Sn}
    (2)中使用了结论:如果数列{an}为等差数列,则数列                   n  为等差数列.此结论可作为前
n 项和的性质应用.

                                              *
练习   1.已知{an}是等差数列,Sn        为其前   n 项和,n∈N    ,若  a3=16,S20=20,则    S10 的值为
________.


    解析:设等差数列{an}的公差为           d,则有Error!解得Error!
                     10 × 9 × -2

    所以   S10=10×20+       2      =200-90=110.

练习   2.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的                     sn 
    (1)a1=5,an=95,n=10                                       (2)a1=100,d=-2,n=50             
(3)a1=14.5,d=0.7,an=32

解析:(1)500;(2)2550;(3)604.5


练习   3.在等差数列{an}中:(1)已知        a6=10,S5=5,求     a8 和 S10;(2)已知 a3+a15=40,求
S17.


    解:(1)由Error!,解得:a1=-5,d=3. ∴a8=a6+2d=10+2×3=16.
              10 × 9

    S10=10a1+   2  d=10×(-5)+5×9×3=85.
           17 × a1+a17  17 × a3+a15 17 × 40

    (2)S17=      2      =       2      =   2  =340.


考点   2.  已知  Sn 求 an


【例   2】已知下面各数列{an}的前项和为             Sn 的公式,求{an}的通项公式.

            2              n
    (1)Sn=2n -3n;   (2)Sn=3 -2.
                                                           2            2
    解:(1)当   n=1 时,a1=S1=-1;当      n≥2  时,an=Sn-Sn-1=(2n    -3n)-2(n-1)  -
3(n-1)]=4n-5,

    ∵a1 也满足此式,∴an=4n-5.
                                                   n       n-1       n-1
    (2)当 n=1 时,a1=S1=1;当      n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3    -2-(3    -2)=2·3    ,

∵a1 不满足此等式,

    ∴an=Error!
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    点评:(1) an=Error!这是一个非常重要的结论,望牢记!
    (2)由 Sn 求 an 时,要分  n=1  和 n≥2  两种情况分别计算,然后验证两种情形可否有统一
表达式表示,若不能统一,则用分段函数的形式表示.

练习   1.已知下面各数列{an}的前         n 项和  Sn 的公式,求数列{an}的通项公式.
                                  1    1

           n           2            2
    (1)Sn=2 +1;(2)Sn=n  +n. (3) Sn=2n +2n+1.

                                 n       n-1      n   n-1  n-1
解析:(1)当    n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2    +1)-(2    +1)=2  -2   =2    ;当  n=1  时,a1=
     1
S1=2 +1=3.

    ∴an=Error!
                               2           2
    (2)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n    +n)-(n-1)  +(n-1)]=2n.
                       2
    当  n=1 时,a1=S1=1    +1=2=2×1,即      a1 能合并到   an=2n 中去.

    ∴an=2n(n≥1).
                     1  1                               1    1     1

                                                          2               2
 (3)当 n=1 时,a1=S1=2+2+1=2,当        n≥2  时,an=Sn-Sn-1=2n    +2n+1-2(n-1)   -
1
2(n-1)-1=n.
    当  n=1 时不符合上式.

    ∴an=Error!

考点   3.  等差数列的前      n 项和的最值

【例   3】在等差数列{an}中,若        a1=25,且   S9=S17,求  Sn 的最大值.
    分析:解答本题可先根据条件求出公差                 d.然后利用    Sn 或 an 求 Sn 的最大值.或利用等
差数列的前     n 项和  Sn 是关于   n 的二次函数,利用抛物线的图象性质求解.
                                          99-1            1717-1

    解析:法一:∵S9=S17,a1=25,∴9×25+               2   d=17×25+       2    d,解得
d=-2.
               nn-1

                                 2               2
    ∴Sn=25n+      2   ×(-2)=-n    +26n=-(n-13)   +169,∴当    n=13  时,Sn  有最大
值  169.
    法二:同法一,求出公差           d=-2.

    ∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.   

    ∵a1=25>0,由Error!得Error!∴当    n=13 时,Sn  有最大值    169.
    法三:∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.           由等差数列的性质得         a13+a14=0.

    ∵a1>0,∴d<0.∴a13>0,a14<0.
    ∴当   n=13 时,Sn  有最大值    169.
                                                         9+17

                  2
    法四:设    Sn=An  +Bn.   ∵S9=S17,∴二次函数对称轴为           x=   2 =13,且开口方向向
下,∴当     n=13 时,Sn  取得最大值     169.

练习   1.在等差数列{an}中,已知         a1=20,前   n 项和为   Sn,且  S10=S15,求当  n 取何值时,
Sn 有最大值,并求它的最大值.
                                                 5

    【正解】 由      a1=20,S10=S15,∴可求得公差        d=-3.

    ∵S10=S15,∴S15-S10=0,即     a11+a12+a13+a14+a15=0.
    又∵a11+a15=a12+a14=2a13,∴a13=0.故当      n=12 或  n=13 时,Sn  有最大值为     S12=
S13=130.

练习   2.已知等差数列{an}中,a3+a4=15,a2·a5=54,公差             d<0.
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    (1)求数列{an}的通项公式       an;(2)求数列{an}的前    n 项和  Sn 的最大值及相应的       n 的值.
    解:(1)∵{an}为等差数列,∴a2+a5=a3+a4,
    ∴Error!,解得Error!(因  d<0,舍去)         或Error!⇒Error!

    ∴an=11-n.
                                na1+an     1   21

                                               2
    (2)∵a1=10,an=11-n,∴Sn=          2    =-2n  +  2 n.
        1            21

    又-2<0,对称轴为       2 ,当  n=10 或  11 时,Sn 取得最大值,其最大值为           55.

※  当堂检测
1.在等差数列{an}中,已知          a1=2,d=2,则    S20=(  )
    A.230       B.420       C.450       D.540
                     20 × 19

    解析:S20=20×2+       2   ×2=420.     答案:B
2.已知数列{an}为等差数列,Sn          是它的前    n 项和,若    a1=2,S3=12,则    S4=(  )
    A.10       B.16       C.20        D.24
                                3 × 2

    解析:设公差为       d,由   S3=3a1+  2  d=6+3d=12,解得     d=2.
               4 × 3

    故  S4=4a1+  2 d=4×2+6×2=20.         答案:C
                           2
3.设数列{an}的前      n 项和  Sn=n ,则  a8 的值为(  )
    A.15         B.16        C.49        D.64
                        2          2
    解析:方法一:∵S8=8         =64,S7=7   =49,∴a8=S8-S7=64-49=15.
                  2
    方法二:∵Sn=n      ,∴a1=S1=1.
                            2       2
    当  n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n    -(n-1)  =2n-1.

    ∵a1=1  也适合   an=2n-1,∴an=2n-1,∴a8=2×8-1=15.
    答案:A

4.数列{an}中,an=2n-49,当数列{an}的前           n 项和  Sn 取得最小值时,n=________.
                                               49

    解析:由    an=2n-49  知{an}是等差数列,an>0⇒n>        2 ,∴n=24.
    答案:24

5.已知等差数列{an}中:
          3       1

    (1)a1=2,d=-2,Sn=-15,求       n 及 an;
    (2)a1=20,an=54,Sn=666,求     d 及 n;
    (3)S7=14,求  a3+a5.
                3   nn-1    1
                            -
                            (  )               2
    解:(1)∵Sn=2n+       2   ·  2 =-15,整理得      n -7n-60=0,解得      n=12 或 n=-
5(舍去).
              3            1
                         (- )
    ∴an=a12=2+(12-1)×      2 =-4.     即  n=12,an=-4.
            na1+an    n20+54

    (2)由 Sn=     2    =     2    =666,解得    n=18.
    由  an=a1+(n-1)d,即   54=20+(18-1)d,解得     d=2,即    d=2,n=18.
                                                        7 × 6

    (3)方法一:设等差数列的首项为            a1,公差为    d,则  S7=7a1+   2 d=7(a1+3d)=14,

∴a1+3d=2,∴a3+a5=(a1+2d)+(a1+4d)=2(a1+3d)=4.
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                 7a1+a7

    方法二:∵S7=          2    =14,∴a1+a7=4.
    由等差数列的性质,得          a3+a5=a1+a7=4.

考点   4.等差数列前      n 项和性质及应用
    例  1 一个等差数列的前       10 项之和为    100,前  100 项之和为    10,求其前    110 项之和.

    分析:解答本题可利用前           n 项和公式求出      a1 和 d,即可求出    S110,或利用等差数列前
n 项和的性质求解.
                                               2
    解析:解法一:设此等差数列的前               n 项和为   Sn=an +bn.

    ∵S10=100,S100=10,
    ∴Error!解得Error!
            11    111

               2
    ∴Sn=-100n   + 10 n.
             11        111

                     2
    ∴S110=-100×110   +  10 ×110=-110.
    解法二:数列      S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100  成等差数列.
    设其公差为     D,则前    10 项的和为
          10 × 9

    10S10+  2  ·D=S100=10,解得    D=-22,

    ∴S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.

    ∴S110=-120+S100=-110.
                                        90a11+a100   90a1+a110

    解法三:∵S100-S10=a11+a12+…+a100=             2      =      2      ,    又 S100-
S10=10-100=-90,∴a1+a110=-2.
           110a1+a110

    ∴S110=       2      =-110.
    点评:(1)利用已知求出        a1,d,然后再求所求,是基本解法,有时运算量大些.
    (2)我们也可以利用等差数列前           n 项和的性质,或利用等差数列通项公式的性质,这两种
解法可简化运算,为最优解法.
    (3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.
   变式探究    1 (1)一个等差数列共       2 011 项,求它的奇数项和与偶数项和之比;
    (2)一个等差数列前       20 项和为  75,其中的奇数项和与偶数项和之比为                1∶2,求公差     d.

    解:(1)等差数列{an}共有       1 006 个奇数项,1 005   个偶数项,
           1 006a1+a2 011      1 005a2+a2 010

    ∴S  奇=        2       ,S  偶=        2        .
                           S奇   1 006
                            偶
    ∵a1+a2 011=a2+a2 010,∴S   =1 005.
                              1                       2

    (2)前 20 项中,奇数项和      S 奇=3×75=25,偶数项和        S 偶=3×75=50,又     S 偶-S 奇=
10d,
         50-25
    ∴d=    10  =2.5

考点   5.前  n 项和比的问题

     (1)设等差数列{an}的首项为        a1,公差为    d1,等差数列{bn}的首项为        b1,公差为    d2,它
                                           Sn

们的前    n 项和分别为    Sn,Tn,则它们前      n 项和的比Tn具有下列性质:
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                                                         Sn

    等差数列{an}的前      n 项和  Sn 与等差数列{bn}的前     n 项和  Tn 的比Tn是关于    n 的函数,即
Sn  an+b
Tn=cn+d;
    (2)设等差数列{an}的前      n 项和为   Sn,则  Sm,Sn 与 am,an 有如下性质:
      S2m-1   2m-1am         Sm   am2+bm
    ① S2n-1 =  2n-1an ;    ②  Sn = an2+bn .
                                  a1+a2+a3+…+an      7n+2    a5
                                    +   +  +   +      +
【例   6】有两个等差数列{an},{bn}满足b1           b2 b3  …   bn= n  3 ,求b5.
                                       na1+an       a1+a2n-1

    分析:可利用等差数列前           n 项和公式    Sn=    2    及  an=     2    ,把项的比值转
化为和的比值.可应用其他有关知识求解.
                                                      a1+a2+…+an
                                                        +  +   +
    解析:法一:设等差数列{an}、{bn}公差分别为                d1、d2,则b1   b2  …   bn=
     nn-1         n-1
na1+        d1  a1+     d1
        2            2
     nn-1         n-1
nb1+        d2  b1+     d2
        2     =      2   ,
            n-1
        a1+    d1
             2
            n-1    7n+2              a5  a1+4d1
        b1+    d2
    则有       2   =  n+3 . ①    又由于b5=b1+4d2, ②
                                  a1+4d1  7 × 9+2  65  a5  65
    观察①、②,可在①中取           n=9,得b1+4d2=      9+3  =12.故b5=12.
    法二:设{an}、{bn}前     n 项和分别为     An、Bn,
        An  7n+2           a1+ann
              +
    则有Bn=    n 3 ,其中   An=     2    .由于  a1+a9=2a5,
      a1+a9             a1+a9·9

    即   2  =a5,   故 A9=      2    =a5×9.
                   A9   a5 × 9   a5 A9   7 × 9+2 65
                                           +
    同理   B9=b5×9.故B9=b5   × 9.  故b5=B9=   9  3 =12.
                                                b
                                             n+
                                   2        (    )
    法三:因为等差数列前          n 项和  Sn=an +bn=a·n     a ,根据已知,可令       An=(7n+
2)kn,Bn=(n+3)kn.

    ∴a5=A5-A4
    =(7×5+2)k×5-(7×4+2)k×4=65k,

    b5=B5-B4=(5+3)k×5-(4+3)k×4=12k.
      a5  65k  65
    ∴b5=12k=12.
            A2n-1   an    a5 A9   7 × 9+2 65
    法四:由B2n-1=bn,有b5=B9=           9+3  =12.

                                                                   a1+a2n-1

    点评:(1)本题反映了等差数列和的比值与项的比值之间的转化,公式                           an=     2    ,
    ∴an∶bn=S2n-1∶T2n-1.
    (2)等差数列的项随项数而均匀变化,这是等差数列的最本质特征.而等差数列的性质则
是这一特征的具体反映.利用等差数列的性质解题,就是要从等差数列的本质特征入手去思
考,分析题目,这样做必定会获得事半功倍的效果.
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                                                             An  7n+1
                                                                   +       *
变式探究     3 若两个等差数列{an}和{bn}的前         n 项和  An 和 Bn 满足关系式Bn=4n       27(n∈N ),
  an
求bn.
                                            nn-1    dn2      d
                                                           (a1- )
    解析:法一:∵等差数列的前             n 项和  Sn=na1+    2   d=  2 +     2 n,
      An   7n+1
            +                2             2
    又Bn=4n    27,∴设   An=k(7n +n),Bn=k(4n  +27n).
                               2            2
    当  n≥2 时,an=An-An-1=7kn    +kn-7k(n-1)   -k(n-1)=k(14n-6),bn=Bn-Bn-1=
k(4n2+27n)-k4(n-1)2+27(n-1)]=k(8n+23).
      an  14n-6
    ∴bn=8n+23,当     n=1 时,亦成立.
考点   6.含有绝对值的等差数列的求和问题

                                        2
【例   7】已知数列{an}的前项和是          Sn  32n  n ,求数列{   an }的前  n 项和Tn .

                    2
 解:∵a1=S1=32×1-1     =31,

当  n≥2 时,an=Sn-Sn-1=33-2n,又由     an>0,得  n<16.5,即{an}前      16 项为正,以后皆

负.

                                                         2
∴当   n≤16 时,Tn  =|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=33n-n        .


当  n>16 时,Tn  =a1+a2+…+a16-a17-a18-…-an=S16-(Sn-S16)=2S16-Sn=512-32n+

n2.

           32n  n2    (n 16)
    ∴T   
       n              2
           512  32n  n (n 16)
※  当堂检测
1.已知某等差数列共         20 项,其所有项和为        75,偶数项和为      25,则公差为(  )
    A.5       B.-5       C.-2.5    D.2.5

    解析:S   奇=S20-S  偶=75-25=50,        ∴S  偶-S 奇=10d=25-50=-25,∴d=-2.5.
    答案:C

2.设   Sn 为等差数列{an}的前     n 项和,若    a1=1,公差    d=2,Sk+2-Sk=24,则     k 等于(  )
    A.8   B.7      C.6    D.5

    解析:∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+
1)×2=4k+4=24,∴k=5.       答案:D
3.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以             Sn 表示{an}的前   n 项和,则使
得  Sn 达到最大值的     n 是(  )
    A.21       B.20       C.19        D.18

    解析:∵(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d,∴99-105=3d.∴d=-2.
                                                     nn-1     d        d
                                                                     a1-
                                                                  2 (     )
    又  a1+a3+a5=3a1+6d=105,∴a1=39.         ∴Sn=na1+      2   d=2n +      2 n=-
 2               2
n +40n=-(n-20)   +400.∴当   n=20 时,Sn  达到最大值.
    答案:B
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                                             S9

4.设等差数列{an}的前        n 项和为   Sn,若  a5=5a3,则S5=________.
              9          9
               a1+a9    × 2a5
              2          2
          S9  5          5
               a1+a5    × 2a3
    解析:S5=2            =2      =9.    答案:9
5.(1)在等差数列{an}中,若        a6+a9+a12+a15=34,求    S20;
    (2)在等差数列{an}中,S10=310,第        11 项到第   20 项的和为   910,求第    21 项到第  30 项的
和.
                                                            a1+a20

    解:(1)由等差数列的性质知          a6+a15=a9+a12=a1+a20=17,S20=      2   ×20=170.
    (2)方法一:设等差数列的首项为            a1,公差为    d,由题意,得Error!即Error!解得

Error!∴a21=4+20×6=124,
                               10 × 9

    ∴a21+a22+…+a30=10×124+       2  ×6=1 510.
    方法二:∵S10,S20-S10,S30-S20     成等差数列,2(S20-S10)=S10+(S30-S20)

    ∴S30-S20=2×910-310=1 510.
                                                                       Sn

6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前           n 项和分别为     Sn 和 Tn,且对一切正整数       n 都有Tn=
5n+3       a9
2n+7,试求b9的值.

    【正解】 因为{an}和{bn}是公差不为            0 的等差数列,
    故设   Sn=n(5n+3)k,Tn=n(2n+7)k,k≠0,则      a9=S9-S8=9×(5×9+3)k-8×(5×8+
3)k=88k,
                                                   a9  88

    b9=T9-T8=9×(2×9+7)k-8×(2×8+7)k=41k,所以b9=41.


1.在等差数列{an}中,S10=120,则          a2+a9=(  )
    A.12       B.24      C.36       D.48
              10a1+a10

    解析:S10=        2     =5(a2+a9)=120.    ∴a2+a9=24.    答案:B
2.设数列{an}是等差数列,且           a2=-6,a8=6,Sn   是数列{an}的前     n 项和,则(  )
    A.S60,a2 005+a2 006>0,a2 005·a2 006<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的
最大自然数     n 是(  )
    A.4 009   B.4 010
    C.4 011   D.4 012

    解析:∵a1+a4 010=a2 005+a2 006>0,∴S4 010>0.
    又∵a1>0>a2 005+a2 006>0,且 a2 005·a2 006<0,

    ∴a2 006<0,∴S4 011=4 011·a2 006<0.
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    答案:B
                                                   S14 S12

5.在等差数列{an}中,a1=-2          014,其前   n 项和为   Sn,若  14 - 12 =2,则   S2 014 的值等于(  
)
    A.-2 011    B.-2 012         C.-2 013    D.-2 014
                          14a1+a14   12a1+a12
            S14  S12           2            2

    解析:∵    14 - 12 =2,∴       14    -      12    =2,故    a14-a12=4,∴2d=4,
d=2.
                    2 014 × 2 014-1

    ∴S2 014=2 014a1+       2        ×2=-2 014.
    答案:D
                                         Sn-1        Sn    Sn·Sn-1
6.正项数列{an},a1=1,前        n 项和  Sn 满足 Sn·     -Sn-1·    =2         (n≥2),则
a10=(  )
    A.72       B.80        C.90       D.82
                Sn-1        Sn   Sn·Sn-1                   Sn·Sn-1   Sn
    解析:由    Sn·     -Sn-1·    =2         (n≥2),两边同除以              得    -
 Sn-1                     Sn                           2
      =2;而   S1=a1=1,∴      =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn=4n       -4n+1;再根据      an=Sn-
Sn-1,得  an=8n-8,
    所以   a10=8×10-8=72.答案:A
7.在项数为     2n+1  的等差数列中,所有奇数项的和为              165,所有偶数项的和为         150,则   n 等
于(  )
    A.9        B.10        C.11   D.12

    解析:∵等差数列共有          2n+1 项,∴S    奇-S 偶=an+1, ①               S 奇+S 偶=(2n+
1)an+1. ②
    由①②,得Error!∴2n+1=21,∴n=10.
    答案:B

8.已知    Sn 是等差数列{an}的前     n 项和,且    S11=35+S6,则   S17 等于(  )
    A.117   B.118        C.119   D.120

    解析:S11-S6=a7+a8+a9+a10+a11=5a9=35,
                   a1+a17

    ∴a9=7,∴S17=      2   ×17=17a9=17×7=119.
    答案:C

9.在等差数列{an}中,a1>0,公差          d<0,a5=3a7,前    n 项和为   Sn,若  Sn 取得最大值,则      n=
________.
    解析:在等差数列{an}中,a1>0,公差            d<0.

    ∵a5=3a7,∴a1+4d=3(a1+6d),∴a1=-7d,
                  nn-1    d

                               2
    ∴Sn=n(-7d)+      2   d=2(n -15n),

    ∴n=7  或  8 时,Sn 取得最大值.
    答案:7   或  8
                              2
10.若数列{an}的前      n 项和是   Sn=n -4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=________.
                                                                  2
    解析:当    n=1  时,a1=S1=1-4+2=-1;当         n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n    -4n+2-(n-
  2
1) -4(n-1)+2]=2n-5,所以前两项有负数,且              a2=-1.故|a1|+|a2|+…+|a10|=S10+
             2
2(|a1|+|a2|)=10 -4×10+2+2×(1+1)=66.
    答案:66
              1
11.设   f(x)=2x+ 2,利用课本中推导等差数列前             n 项和的方法,求      f(-5)+f(-4)+…+
f(0)+…+f(5)+f(6)的值为________.
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                    2               2
    解析:f(0)+f(1)=   2 ,f(-5)+f(6)= 2 ,∴原式=3     2.
    答案:3    2

12.设等差数列{an}的前        n 项和为   Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则        m=_________
    解析:∵{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0,

    ∴am=Sm-Sm-1=2.

    ∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3,∴d=am+1-am=1.
          ma1+am     ma1+2

    又  Sm=     2     =     2   =0,∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2,∴m=5.

13.已知等差数列{an},且满足           an=40-4n,前多少项的和最大,最大值为多少?
    解:方法一:(二次函数法)∵an=40-4n,∴a1=40-4=36,
          a1+ann   36+40-4n                            19    192
                                                n2-19n+     2
                                     2          [        ( ) ]
    ∴Sn=      2    =     2    ·n=-2n  +38n=-2             2  +  2 =-
     19   192
  n-
2(   2 )2+ 2 .
         19           19
    令  n- 2 =0,则   n= 2 =9.5,且  n∈N*,
                                                             19    192
                                                          10-
                                                         (     )2
    ∴当   n=9 或 n=10  时,Sn  最大,∴Sn   的最大值为     S9=S10=-2       2  + 2 =180.
    方法二:(图象法)∵an=40-4n,∴a1=40-4=36,a2=40-4×2=32,∴d=32-36=
-4,
            nn-1          nn-1

                                              2
    Sn=na1+     2   d=36n+     2   ·(-4)=-2n  +38n,点(n,Sn)在二次函数        y=-
                                                    38     19
  2                                                  -
2x +38x 的图象上,Sn     有最大值,其对称轴方程为           x=-2   ×  2=  2 =9.5,∴当   n=
10 或 n=9 时,Sn  最大.
                                 2
    ∴Sn 的最大值为     S9=S10=-2×10   +38×10=180.
    方法三:(通项法)∵an=40-4n,∴a1=40-4=36,a2=40-4×2=32,∴d=32-36=
-4<0,数列{an}为递减数列.
    令Error!有Error!∴Error!即 9≤n≤10.

    ∴当   n=9 或 n=10  时,Sn  最大.
                          a1+a10      36+0

    ∴Sn 的最大值为     S9=S10=    2  ×10=    2  ×10=180.
13.设等差数列{an}满足        a3=5,a10=-9.
    (1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前        n 项和 Sn 及使得   Sn 最大的序号    n 的值.
    分析:可利用{an}的单调性或二次函数求最值的方法求                     Sn 的最大值.


    解析:(1)由    an=a1+(n-1)d 及  a3=5,a10=-9   得
    Error!解得Error!

    所以数列{an}的通项公式为          an=a1+(n-1)d=11-2n.
                                 11

    (2)方法一:由     an=11-2n>0  知 n< 2 ;
                       11

    由  an=11-2n<0  知 n> 2 .
           *
    又  n∈N  ,所以数列{an}的前      5 项为正,从第      6 项开始均为负.故       n=5  时,Sn 有最大
值.
                            nn-1

                                            2
    方法二:由(1)知,Sn=na1+          2    d=10n-n  .
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                   2
    因为   Sn=-(n-5)  +25,
    所以当   n=5  时,Sn  取得最大值.
    点评:探求数列前        n 项和的最大值问题.

    方法一:根据数列项的正负.对于等差数列,若                    a1>0,d<0,则数列所有正数项和最大;
若  a1<0,d>0,则数列所有负数项和最小.
方法二:从函数角度,如配方、数形结合、利用单调性等,求其最值.
                              2
14.已知数列{an}的前       n 项和  Sn=n -12n.
    (1)求证:{an}是等差数列;(2)求数列{|an|}的前          n 项和  Tn.
    解:(1)证明:①n=1      时,a1=S1=-11;
                             2            2
    ②n≥2  时,an=Sn-Sn-1=(n    -12n)-(n-1)   -12(n-1)]=2n-13,
    而  n=1 时 a1 适合该式.
                      *
    ∴an=2n-13,n∈N     .

    ∵an+1-an=2,

    ∴{an}为等差数列.
                                13

    (2)∵an=2n-13,若    an>0,则  n> 2 ,
                                                   2
    ∴当   1≤n≤6  时,Tn=-a1-a2-…-an=-Sn=12n-n          ,
    当  n≥7 时,Tn=-a1-a2-…-a6+(a7+a8+…+an)
    =-2(a1+a2+…+a6)+(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+an)
                             2        2
    =-2S6+Sn=-2×(-36)+n       -12n=n  -12n+72,
                           *
    综上所知    Tn=Error!,n∈N  .

                                                                 Sn
15.(难)已知正数数列{an}的前            n 项和为  Sn,且对任意的自然数         n 满足  2   =an+1.
    (1)求通项公式;
               1
                +
    (2)设 bn=anan  1,求数列{bn}的前     n 项和  Bn.
              Sn
    解:(1)∵2     =an+1,①
                                             a1           a1    2
    对任意的自然数       n 均成立,∴当      n=1 时,有    2  =a1+1,得(      -1) =0,∴a1=1.
                   Sn-1
    当  n≥2 时,有   2      =an-1+1,②
        2    2         2    -2
    由①   -②  ,得   4an=an-an   1+2an-2an-1,
    即(an+an-1)·(an-an-1-2)=0.

    ∵an>0,∴an+an-1>0,
                     *
    ∴an-an-1=2(n∈N    且 n≥2),
    ∴数列{an}为首项是       1,公差是    2 的等差数列,

    ∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.

    (2)∵an=2n-1,∴an+1=2n+1,
             1            1        1   1     1
                                          -
              +       -      +      (  -     +  )
    ∴bn=an·an   1=2n   12n  1=2  2n  1 2n  1 ,
                        1    1   1  1         1     1     1     1       n
                           1-  +  -   +…+        -          1-
                         [(   )  (   )     (  -     +  )]  (    +  )    +
    ∴Bn=b1+b2+…+bn=2         3   3  5       2n  1 2n  1 =2    2n  1 =2n  1.
                                                   1

                                                    n
16.(难)是否存在数列{an}使得            a1+2a2+3a3+…+nan=43    (2n-1)+1]对任意正整数       n 都
成立?若存在这样的{an},写出它的通项公式;若不存在,请说明理由.
                                                         1

                                                           n-1
    解:假设存在这样的{an},则           a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=43      (2n-3)+1],
                                                             1             1

                                                               n             n-
    ∴nan=(a1+2a2+3a3+…+nan)-a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1]=43         (2n-1)+1]-43
1(2n-3)+1]=n3n-1.
                                      n-1
    故存在这样的{an},其通项公式为            an=3    .
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