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湖北省荆州市2018届高三质量检查数学(文)试题(III)含答案

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高中数学审核员

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                       荆州市   2018 届高三年级质量检查(Ⅲ)

                                 数学(文史类)

                             第Ⅰ卷  选择题(60       分)

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题       5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的,请将正确的答案填涂在答题卡上.


1.设全集U      R ,集合  A  {x |1 x  3}, B  {x | 2x  3  0},则 A (CU B)  (   )
        3                                3            3
A. (,  )          B. (1,)        C. (1, )        D.[ ,3)
        2                                2            2
                                                    2
2.若复数   z  m2 1 (m 1)i 是纯虚数,其中      m 是实数,则        (   )
                                                    z
A. i                B. i            C. 2i           D. 2i

3.下列命题正确的是(   )

A.命题“     p  q ”为假命题,则命题        p 与命题  q 都是假命题;

B.命题“若     x  y ,则  sin x  sin y ”的逆否命题为真命题;

C.“  am2   bm2 ”是“  a  b ”成立的必要不充分条件;

                           2
D.命题“存在      x0  R ,使得  x0  x0 1 0 ”的否定是:“对任意         x  R ,均有

 x2  x 1 0 ”.

4.已知数列an满足       an1  an  2 ,且 a2  a4  a6  9 ,则 log1 a5  a7  a9  (   )
                                                       3
                                             1              1
A.-3                 B.3               C.               D.
                                             3              3
5.《世界数学史简编》的封面有一图案(如图),该图案的正方形内有一内切圆,圆内有一

内接正三角形,在此图案内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为(   )


      3  3                  3  3                 3  3                3  3
A.                     B.                  C.                  D.   
    4   16                 2   16                4   8                2   8
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                                             
6.把函数    f (x)  sin 2x  3 cos 2x 的图象向右平移     个单位后得到函数        g(x) 的图象,则
                                             6
 g(x) (   )

                                              
A.图象关于直线       x    对称               B.在   (0,  ) 上单调递减
                   6                           4
                                              
C.图象关于点      (   ,0) 对称               D.在   (0, ) 上单调递增
               12                               4
                        y  0
                        
7.实数   x , y 满足约束条件     x  y  2  0 ,则 z  2x  y 的最大值是(   )
                        
                        x  y  2  0

A.0                 B.-2               C.2          D.4
             x cos x
8.函数   f (x)      的图象大致是(   )
                 1
              x 
                 x


         A.              B.                    C.                 D.

9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是(   )


A.14                    B.15             C.16            D.17

10.如图,网格纸上小正方形的边长为               1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表

面积为(   )
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A.8   4 2           B.12  4 2  2 3        C. 6  4 2  2 3        D.12

                  x2  y2
11.已知双曲线     C :        1(a  0,b  0) 的左、右焦点分别为       F 、 F ,  O 为坐标原点,
                  a2  b2                                  1   2


以  F1F2 为直径的圆    O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为                   P 、 Q ,点  B 为圆  O 与


 y 轴正半轴的交点,若        POF2   QOB   ,则双曲线     C 的离心率为(   )

                        3   5                                          1  5
A. 3   5             B.                       C.1   5               D.
                           2                                              2
                         t
12.若函数    f (x)  x3  4x  x  2 有且只有两个零点,则实数         t 的取值范围为(   )
                         2
A. (,2)  (2,)                            B. (2,2)

      2  3 2  3                                         2 3     2 3
C. (     ,    )                                D. (,    )  (   ,)
       3     3                                           3       3

                            第Ⅱ卷  非选择题(90        分)

二、填空题:本大题共          4 小题,每小题      5 分,共   20 分.把答案填在答题卷的横线上.
                                                  
13.平面向量    a  (2,) , b  (3,1) ,若向量 a 与 b 共线,则    a b            .

14.某医院随机抽取       20 位急症病人家属了解病人等待急症的时间,记录如下表:

  等待急症时间
                    0,4        4,8       8,12      12,16      16,20
    (分钟)

      频数              4            8           5            2            1

根据以上记录,病人等待急症平均时间的估计值                     x            分钟.


15.已知底面是直角三角形的直三棱柱               ABC   A1B1C1 的所有顶点都在球      O 的球面上,且

 AB  AC 1,若球    O 的表面积为     3 ,则这个直三棱柱的体积是          .
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                                                                         *
16.高斯函数    y  x又称为取整函数,符号x表示不超过               x 的最大整数.设     xn (n N ) 是关

于   的方程     3           的实数根,                    ,           .则:(1)                  
   x      nx   2x  n  0        an  n 1xn  n  2,3      a2 
        a  a   a
;(2)     2   3      2019            .
             2018
三、解答题:本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第

17~21  题为必考题,每个试题考生都必须作答.第                 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.

17.在 ABC  中,角    A 、 B 、 C 的对边分别为      a 、 b 、 c ,且 2bcosC   2a  c .
(Ⅰ)求    B  的大小;

(Ⅱ)若    b  2 3 , ABC  的面积为      3 ,求 a 的值.

18.在四棱锥    P  ABCD  中,  ADC    BCD   90 , AD  CD 1,  BC   2 , PAC 是

以  AC 为斜边的等腰直角三角形,平面              PAC   平面  ABCD  .


(Ⅰ)证明:      PC   PB ;

(Ⅱ)若点     E 在线段   PC  上,且   PC   3PE ,求三棱锥     A  EBC 的体积.

19.《中华人民共和国道路交通安全法》第                 47 条规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢

行;遇到行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口

监控设备所抓拍的        6 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据:

         月份                1         2         3         4        5        6

 不“礼让斑马线”驾驶
                          120       105       100       85        90       80
        员人数

(Ⅰ)请根据表中所给前           5 个月的数据,求不“礼让斑马线”的驾驶员人数                    y 与月份   x 之间

的回归直线方程       y  bx  a ;

(Ⅱ)若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于                                     5,

则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据(Ⅰ)中的回归直线方程,
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判断   6 月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”?

(Ⅲ)若从表中       3、4  月份分别选取      4 人和  2 人,再从所选取的       6 人中任意抽取      2 人进行交

规调查,求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.

               n             n
                xi yi  nx y (xi  x)(yi  y)
参考公式:        i1           i1             ,         .
          b   n               n             a  y  bx
                   2    2               2
                xi  nx       (xi  x)
               i1             i1

20.已知倾斜角为      45 的直线经过抛物线        : y2  2 px( p  0) 的焦点 F ,与抛物线     相交于

 A 、 B 两点,且    AB   8 .

(Ⅰ)求抛物线        的方程;


(Ⅱ)过点     P(12,8) 的两条直线    l1 、 l2 分别交抛物线    于点  C 、  D 和 E 、 F ,线段   CD  和


 EF 的中点分别为      M  、 N .如果直线    l1 与 l2 的斜率之积等于    1,求证:直线      MN  经过一定点.
                        a     a
21.已知函数     f (x)  x(ex  x2  x) ,其中  e 为自然对数的底数.
                        3     2
(Ⅰ)当    a  0 , x  0 时,证明:    f x ex2 ;

(Ⅱ)当    a  0 时,讨论函数      f x的极值点的个数.

请考生在     22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.[选修   4-4:坐标系与参数方程]

                                    
在极坐标系中,已知圆          C 的圆心为     2 2,   ,半径为   2  2 .以极点为原点,极轴方向为
                                   4 

 x 轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线                         l 的参数方程为

    1
 x   t  3
    a     ( t 为参数,   a  R 且 a  0 ).
 y 1 t

(Ⅰ)写出圆      C 的极坐标方程和直线         l 的普通方程;

(Ⅱ)若直线      l 与圆 C 交于   A 、 B 两点,求    AB  的最小值.

23.[选修   4-5:不等式选讲]

设不等式     x 1  x 1  2 的解集为   A .

(Ⅰ)求集合      A ;
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(Ⅱ)若    m   A ,不等式    mx2  2x 1 m  0 恒成立,求实数     x 的取值范围.

                       荆州市   2018 届高三年级质量检查(Ⅲ)

                              数学(文科)参考答案

一、选择题

1-5: CBBAA      6-10: DDACC     11、12:DA

二、填空题
      20                               1                          2021
13.              14. 7.6          15.            16.(1)2;(2)
       3                               2                            2
三、解答题

                                     a2  b2  c2
17.解:(Ⅰ)方法一:由余弦定理可得                2b            2a  c ,
                                         2ab

                                  a2  c2  b2 1
整理得:    a2  c2  b2  ac ,即 cos B             ,
                                      2ac      2
                          
又  B 为三角形的内角,∴        B    .
                          3
方法二:由正弦定理可得:            2sin B cosC  2sin A  sin C ,

 2sin B cosC  2sin(B  C)  sin C ,

 2sin B cosC  2sin B cosC  2cos Bsin C  sin C ,
        1                          
 cos B  ,又   B 为三角形的内角,       B    .
        2                          3
                     1                1      
(Ⅱ)由题意:       S       acsin B   3    acsin    ac  4 ,
               ABC  2                2      3
                                                       
在三角形中:      b2  a2  c2  2ac cos A 12  a2  c2  2ac cos ,
                                                       3
   ac  4
即            ,
   a  c  2 6

联立①②解得      a   6   2 .

18.(Ⅰ)证明:取       BC  , AC 的中点分别为      M  , N  ,连接   AM  , PN  .

∵  PAC 是以   AC 为斜边的等腰直角三角形,

∴  PN  AC  .

∵平面   PAC   平面   ABCD  ,平面   PAC   平面  ABCD   AC ,

∴  PN  平面  ABCD  ,而   AB  ABCD   ,
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∴ PN  AB ①

又∵ ADC    BCD  90 , AD  CD 1, BC  2 ,

∴四边形   AMCD  为正方形,且     AC  AB   2 ,

∴ BAC   90 ,即 AB  AC ②

由①②及   PN  AC  N 得:  AB  面 PAC ,

又∵  PC  面 PAC ,∴  AB  PC ,

又∵  PA  PC , PA AB  A ,

∴ PC  面 PAB ,而  PB  面 PAB ,

∴ PC  PB .


 

                                                2      2
(Ⅱ)过   E 点作  EF  AC 于 F ,则 EF  面 ABCD  且 EF   PN     ,
                                                3      3

                2
V     V        (或由(Ⅰ)得      AB  面 PAC ,
 AEBC  E ABC 9

              1            2
V     V      S     AB    )
 AEBC  BEAC 3  AEC     9

19.解:(Ⅰ)依题意      x  3 , y 100 ,

    5
     xi yi  5x y
  i1            ,       ,
b  5          8  a 124
       2    2
     xi  5x
    i1

∴ y 关于 x 的线性回归方程为:       y  8x 124 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得      y  8x 124 ,当 x  6 时, y  76 .
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80  76  4  5 ,故 6 月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.


(Ⅲ)设     3 月份选取的    4 位驾驶的编号分别为:         a1 , a2 , a3 , a4 ,从 4 月份选取的   2 位驾


驶员的编号分别为        b1 , b2 ,从这 6 人中任抽两人包含以下基本事件:              (a1,a2 ) , (a1,a3 ) ,


 (a1,a4 ) , (a1,b1) , (a1,b2 ) , (a2 ,a3 ) , (a2 ,a4 ) , (a2 ,b1) , (a2 ,b2 ) , (a3 ,a4 ) , (a3 ,b1) ,


 (a3 ,b2 ) , (a4 ,b1) , (a4 ,b2 ) , (b1,b2 ) 共 15 个基本事件,其中两个恰好来自同一月份的包含

7 个基本事件,
               7
∴所求概率     P     .
              15
                                             p
20.解:(Ⅰ)由题意可设直线            AB 的方程为     y  x  ,令  A(x , y ) , B(x , y ) .
                                             2         1 1       2  2

            p              2
    y  x       2       p
联立          2 得 x  3px     0 ,∴  x1  x2  3p ,
      2                   4
    y   2 px


根据抛物线的定义得,又            AB  x1  x2  p  4 p ,又 AB  8 ,∴ 4 p  8 ,∴ p  2 .

则此抛物线的方程为         y2  4x .
                                         1
(Ⅱ)设直线      l 的斜率为    k ,则直线   l 的斜率为      .
             1                  2        k
于是直线    CD  的方程为    y 8  k(x 12) ,即 y  k(x 12)  8 ,

    y  k(x 12)  8                                    4
联立                  得    2                 ,∴             ,
      2               ky  4y  32  48k  0   yC  yD 
    y   4x                                             k
                4   16             2  8  2
则  x  x   24       ,∴  M (12      , ) ,
    C   D       k 2  k            k 2 k  k
            1
同理将   k 换成    得:  N(12  2k 2 8k,2k) ,
            k
                1
              2(   k)
                                 1
∴  k           k                    .
    MN     1         1        1
        2(    k 2 ) 8(  k)   k  4
          k 2        k        k
                              1
则直线   MN  的方程为     y  2k        [x  (12  2k 2 8k)] ,
                           1
                             k  4
                           k
   1       
即    k  4 y  x 10 ,显然当  x 10 , y  0 .
   k       
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所以直线   MN 经过定点   (10,0) .

21.解:(Ⅰ)依题意     f (x)  xex ,因为 x  0 ,只要证 ex  ex  0 ,

记 g(x)  ex  ex , (x  0) ,则 g '(x)  ex  e(x  0) .

当 0  x 1时, g '(x)  0 , g(x) 单调递减;

当 x 1时, g '(x)  0 , g(x) 单调递增.

所以  g(x)  g(1)  0 ,即 f (x)  ex2 ,原不等式成立.


            x 1  2  1      x 2    1        x
(Ⅱ)   f '(x)  e  ax  ax xe  ax  a   (x 1)e  ax(x 1)
              3     2        3    2 

  (x 1)(ex  ax) ,

记 h(x)  ex  ax , h'(x)  ex  a .

(1)当  a  0 时, h'(x)  ex  a  0 , h(x) 在 R 上单调递增, h(0) 1  0 ,

   1  1
 h   e a 1 0 ,
   a 

              1  
所以存在唯一             ,       ,且当       时,       ;当      ,       ,
          x0  ,0 h(x0 )  0  x  x0  h(x)  0  x  x0 h(x)  0
              a  
                 1
①若  x  1,即 a   时,对任意  x  1, f '(x)  0 ,此时 f x在 R 上单调递增,无
     0           e
极值点.
              1
②若  x  1,即    a  0 时,此时当 x  x 或 x  1 时, f '(x)  0 .即 f x在
     0        e                  0

 (, x0 ) , (1,) 上单调递增;当 x0  x  1时, f '(x)  0 ,即 f x在 (x0 ,1) 上单调

递减.


此时  f x有一个极大值点   x0 和一个极小值点-1.
                   1
③若  1 x  0 ,即 a   时,此时当 x  1或 x  x 时, f '(x)  0 .即 f x在
        0          e                   0

 (,1) , (x0 ,) 上单调递增;当 1 x  x0 时, f '(x)  0 ,即 f x在 (1, x0 ) 上单调

递减.
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此时   f x有一个极大值点-1       和一个极小值点       x0 .

(2)当   a  0 时,  f (x)  xex ,所以 f '(x)  (x 1)ex ,显然 f x在 (,1) 单调递减;

在 (1,) 上单调递增.
                   1     1
综上可得:①当       a    或    a  0 时, f x有两个极值点;
                   e     e
         1
②当  a    时,   f x无极值点;
          e
③当  a  0 时,  f x有一个极值点.
                                                        
22.解:(Ⅰ)法一:在极坐标系中,令                BOX    , AOX      ,
                                                        4
                                            
在  ABC 中,   AC 为直径,    OB     4 2 cos(  ) ,
                                             4
      1
   x   t  3
∵     a     消去参数    t 得直线  l 的普通方程为:      ax  y  3a 1  0 .
   y 1 t

法二:在直角坐标系中,圆            C 的圆心为    (2,2) ,则方程为    (x  2)2  (y  2)2  8.

即  x2  y2  4x  4y  0 ,∴  2  4 cos  4 sin  0 ,
                                 
即    4cos  4sin  4 2 sin(  ) .
                                 4
(Ⅱ)法一:直线过圆          C 内一定点    P(3,1) ,当 CP   AB 时,  AB  有最小值,

                   2
∴  AB   2 R2  CP    2 8  2  2 6 .

                                 1 a
法二:点    C(2,2) 到直线   l 的距离  d         ,
                                 a2 1

                                  2
                   2        (1 a)          2a
∴  AB   2 R2  CP    2 8         2  7       .
                             a2 1         a2 1

当  a 1时,   AB 有最小值    2  6 .

                                           2(x 1)
                                           
23.解:(Ⅰ)由已知,令          f (x)  x 1  x 1  2x(1 x 1) ,
                                           
                                           2(x  1)

由  f (x)  2 得 A  {x | 1 x 1}.
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(Ⅱ)将不等式     mx2  2x 1 m  0 整理成 (x2 1)m  2x 1 0 ,

令 g(m)  (x2 1)m  2x 1 ,要使 g(m)  0 ,

  g(1)  (x2 1)(1)  2x 1 0
则                            ,
         2
  g(1)  (x 1)1 2x 1 0

  x2  2x  2  0 x  1 3或x  3 1
∴             ,∴                      ,∴   3 1 x  2 .
   2             
  x  2x  0    0  x  2
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