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人教A版 必修5 第二章 数列2.3等差数列的前n项和(第一课时)

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2.3等差数列的前n项和
一、情境导入
 泰姬陵坐落于印度古都阿格
,是十七世纪莫卧儿帝国皇
帝沙杰罕为纪念其爱妃所建
,她宏伟壮观,纯白大理石
砌建而成的主体建筑叫人心
醉神迷,成为世界七大奇迹
之一。陵寝以宝石镶饰,图
案之细致令人叫绝。
  传说陵寝中有一个三角形
图案,以相同大小的圆宝石
镶饰而成,共有100层,奢靡
之程度,可见一斑。
你知道这个图案一共花了多
少宝石吗?
一、情境导入


  宝石数量:     1+2+3+4+…+98+99+100=?
一、情境导入

                                 5050


                           德国数学家      高斯
                           被誉为“世界数学王子”
 一、情境导入
老师问:1+2+3+4+…+97+98+99+100=?
高斯答:                        5050
1+2+3+4+…+97+98+99+100=


 思考:问1+2+3+4+…+n=?
一、情境导入
     思考:问1+2+3+4+…+100=?

   s100 = 1  + 2  + 3   +…+100


   s100 = 100 + 99 + 98  +…+ 1

  2 s100 =(1+ 100)+ (2+ 99) +…+(100+  1)
        =100(1+100)=10100

  s100  =10100/2=5050
一、情境导入
  思考:问1+2+3+4+…+n=?

 sn = 1 +   2   + … +(n-1)+ n

 sn = n +(n-1)+ … +  2  + 1

   2 sn =(n+ 1)+ (n+ 1) +…+(n+ 
               1)
               =n(n+1)

       (n 1) n
  S                   Sn  =?
   n      2

  Sn=a1+a2+a3…+an-1+an
二、学导结合             若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),
                      则 am +an =ap+aq

  设等差数列{an}的前n项和为Sn,
  Sn=a1+a2+a3…+an-1+an .求Sn

  Sn = a1 +a2    +a3   +…+an-2  + an-1 + an

  Sn = an +an-1 +an-2  +… +a3   + a2   + a1

  2Sn = (a1+an )×n
   S = (a +a ) n/2
   n    1 n            倒序相加法
  等差数列的求和公式:
                                n() a  a
              公式 1       S         1    n
                           n         2
              n() a a
   公式 1   S     1   n
           n      2


               an  a1  (n 1)d
已知   a1,an 和n ,可求Sn.

   已知a1,d,n,能否求Sn.

  公式2:S  =na + n(n  - 1) d
        n   1  2
                      等差数列前n项和公式
公式1                                                                   公式2


                        n(a                  a       )                                                            n(n            1)
       S                           1              n                    S                  na                                                   d
           n                           2                                     n                       1                         2
    比较两个公式的异同:


     已知a,a                                                                                       ,n,求S                                                        时,优先考虑公式1
                                                      1                             知三求一n                                                                n


      已知a1,d,                                                                               n,              求Sn时,优先考虑公式2
  三、探究深化
例.1
           求S                                   2                4                6       8                                                        2000
  解:                                                 知三求一
            方法一:


                                  n(a                                 a            )                     (2                      2000)1000
     S                                              1                        n                                                                                                                               1001000
             n                                            2                                                                                            2
           方法二:


                                                           n(n                    1)d
                S                  na                                                                    1001000
                     n                        1                                2
三、探究深化

 例2.已知等差数列{an}满足a2+                            a5=14, a10=20,
 求相应等差数列{an}的Sn.
   解:


         a2    a5  14            2a1     5d   14
                                   
         a10    20                a1    9d     20


                                                        n(n       1)d                   2
         a1  2              S          na                                       n          n
                                n              1                 2
         d  2
三、探究深化

例3.在等差数列{an}中,满足a4=7,求S7.
  解:

        7(a  a )
    S     1   7 
     7      2


   a1  a7  2a4


    7 2a
         4  7a  49
      2       4
四、总结反思

   1.本节课学到了哪些知识?

   2.你觉得本节课的难点是什么?

   3.高斯的故事对你有什么启发?
思考:已知等差数列{an}的前n项和为Sn. 且
S1=2,S4=20, 求数列{an}的通项an.(用多种方法解决
这个问题
  解: )

               a1   2
     S1  2
              
      S  20          4(4   1)d
      4         4a                  20
                  1        2


      a1  2
                a  2n
                n
      d  2
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