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广东省阳春市2016_2017学年高二数学下学期第一次月考试题理

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     广东省阳春市          2016-2017   学年高二数学下学期第一次月考试题 理

一、选择题(共       12 小题,每小题     5 分,每小题,只有一项是符合题目要求)

                      2
1. 在复数范围内,方程        x   3 的解是(     )                                       

   A.  3          B.-3            C.  3i         D.  3i

2. 人都会犯错误,老王是人,所以老王也会犯错误.这个推理属于(   )

   A.合情推理     B.演绎推理     C.类比推理     D.归纳推理

3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的                            是(  )

   A.假设至少有一个钝角    B.假设至少有两个钝角  

   C .假设没有一个钝角    D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角

               2
4.函数  f (x)  x  2x 1 的单调递增区间是(    )

       1,           1,            ,1            ,1
   A.           B.            C.              D.     

           3    2
5. f (x)  ax  3x  2 ,若 f (1)  4 ,则 a 的值等于(    )

       19             16             13              10
    A. 3           B.  3          C.  3            D. 3

              3    2       2,4
6.函数   f (x)  x  3x 在区间      上的最大值为(      )

    A. 4          B. 0           C.16           D. 20

             x2                   1
          y 
7.已知曲线        4 的一条切线的斜率为         2 ,则切点的横坐标为(    )

    A.1             B.2               C.3          D.4

                                                              y
8. 函数  f (x) 的导函数   f (x) 的图像如图所示,则(    )
      1                                                           4
   A. 2 为 f (x) 的极大值点                             2              5
                                                            O 1       2  x
       2   f (x)
  B.     为      的极大值点                                         2
   C. 2 为 f (x) 的极大值
                                                        (第  8 题图)
      4
  D.  5 为 f (x) 的极小值点
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                     3π 
      y  cos x0  x  
9.曲线                 2  与 x 轴所围图形的面积为(  )

                          5
  A. 4        B. 2     C. 2            D. 3


                           1   1       1     n      
                        1          n1  (n  N )
10.用数学归纳法证明不等式             2   3      2      2        ,第二步由      k 到 k 1时不等式左

 边需要增加(   )

    1          1      1          1       1      1           1       1          1
    k        k 1    k         k 1   k 1    k         k 1   k 1      k
A. 2      B. 2  1   2     C.  2  1   2    2  2     D.  2  1   2    2     2

                                                      a  a   a
                                                 b     1  2       n
                              a                   n                         b
11.等差数列有如下性质:          若数列    n为等差数列,则当                   n       时,数列     n也

                                        c
是等差数列;类比上述性质,相应地,若数列                    n是正项等比数列,当         dn  ____________时,数

   d
列  n也是等比数列,则        dn 的表达式为(   )

          c1  c2  cn                 c1Ac2 A  Acn
      dn                            dn 
   A.           n                 B.          n

                                          c n Ac n A  Ac n
                                    d   n 1  2       n
      d  n c Ac A  Ac              n
   C.  n    1  2      n           D.            n

12.对大于    1 的自然数   m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“裂”:(     )   

                    13
             7     
      3 3  3      3 15
     2   ,3 9  ,4     ,
        5            17
            11    
                                3
                    19       若 m  的“分裂数”中有一个是           345,则  m 为(  )

   A.16        B.17            C.18          D.19 

二、填空题(共       4 小题,每小题    5 分,共   20 分)

13. 设复数   z 满足 (1 i)z  2i ,其中 i 为虚数单位,则       z 的共轭复数    z           .

          2
           3x 2 dx 
14.计算    1                (结果用数字作答).
                       1             1                   1
               a           a               a    
                 2   1  a     3    1  a         n1   1  a            a    
15.已知   a1  1,          1 ,         2 ,…,              n ,….那么     2017          

.
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              1  2
      f (x)   x  bln 2x  4  2,
16.若          2               在        上是减函数,则       b 的范围是          .   


三、解答题(解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分     10 分)

已知△ABC    的内角    A,B,C  的对边分别为      a,b,c ,且满足条件

 a(sin A  sin B)  (c  b)(sin C  sin B)

 (1)求角   C ;

                              3  3
(2)若   c  7 ,△ABC    的面积为     2  ,求△ABC     的周长.


18.(本小题满分       12 分)

如图所示,在底面为平行四边形的四棱锥                 P  ABCD  中,   AB  AC  , PA  平面  ABCD   ,且 

    PA  AB  2 , AC 1 ,点  E 是  PD 的中点.

  (1)求证:     PB // 平面 AEC  ;

  (2)求二面角      E  AC   B 的大小.


                                             2a
                                      a       n  (n  1,2,)
                                       n1  1  a
19.(本小题满分      12 分)若 a1  0 , a1  1,         n           .
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(1)求证:   an1 a n ;
         1
     a1   ,
(2)令     2  写出  a2 ,a3 ,a4 ,a5 的值,观察并归纳出这个数列的通项公式             an ,
  并用数学归纳法证明.


20.(本小题满分      12 分)

                  3      2
    设函数   f (x)  2x  3ax  3bx  8c 在 x 1及 x  2 时取得极值.

    (1)求   a,b 的值;

                                          2
    (2)若对于任意的       x [0,3],都有   f (x)  c 成立,求   c 的取值范围.


                              {a }                               -    =
21.(本小题满分       12 分)已知数列       n 的前   n 项和为  Sn ,    且  Sn = 2an  2(n  1,2,3) ,(

              {b }      =
an  0 ),数列     n 中,  b1  1,点   P(bn , bn+1) 在直线 x- y + 2 = 0 上.
           {a } , {b }
(1)求数列       n    n 的通项   an 和 bn ;

                        c
 (2) 设 cn  an Abn ,求数列 n的前   n 项和Tn  .
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                                             1 a
                              f (x)  ln x  ax  1
22.(本小题满分      12 分)已知函数                       x    ( a  R ).
                                      2, f 2
    (1)当 a  1时,求曲线     y  f (x) 在点     处的切线方程;
            1
         a 
    (2)当    2 时,讨论    f (x) 的单调性.
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                    2016-2017 学年度第二学期高二年级月考(一)参考答案

                                     理科数学(A    卷)

一.选择题:CBBADC AABDCD

二.填空题:13. 1      i       14.   7     15.   1          16.   b  1

                                     a a  b  c  b c  b
三 .17.解:(1)由已知以及正弦定理,得                              ,……… (1      分)

                                              a2  b2  c2 1
     2   2   2                         cosC             
  即 a  b  c  ab .  ………(2    分)所以               2ab      2 , ………………(4       分)
                               π
                  ,         C 
          又  C 0 π,所以       3 .……………………………………………(5                 分)

                                           2
                  2   2   2                        2
  (2)由(Ⅰ)知       a  b  c  ab ,所以   a  b  3ab  c  7 ,       (6 分)

       1           3    3  3
    S   ab sin C  ab 
  又    2          4      2  ,所以   ab  6 ,                       (7 分)

            2
  所以  (a  b)  7  3ab  25 ,即 a  b  5 .                          (9 分)

  所以△ABC    周长为   a  b  c  5  7 .                               (10 分)

  18.解:∵   PA  平面  ABCD  ,  AB, AC  平面  ABCD
                                                                         z
                                                                       P
       ∴ PA  AC  , PA  AB ,且   AC  AB  .
       以 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系; 2                  分
                                                                 E
                                           1     
                                        E    , 1,1                      A
              D 1,  2 , 0  P 0 , 0 , 2                                          B  y
       (1)∵            ,         ∴     2      ,
                                                          D
                                                                     C
           1                                                 x   (071223-02)
         AE     , 1,1   
                        AC   1, 0 , 0
       ∴       2       ,           ,
                                            1
                                              x  y  z  0
                                            2
                            n   x , y , z                            n   0 ,1,1
       设平面   AEC 的法向量为       1        ,则  x  0        ,取   y 1,得   1        .
                                                         
         B 0 , 2 , 0        PB   0 , 2 ,  2
      又          ,所以                   ∵ PB  n1  2  2  0 ,∴ PB  n ,又 PB  平面

     AEC  ,因此:    PB // 平面 AEC  .  ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6                   分
                                 
                                  AP  0 , 0 , 2
    (2)∵平面     BAC 的一个法向量为                   ,
                                 n   0 ,1,1
    由(1)知:平面       AEC 的法向量为      1        ,

      设二面角    E  AC   B 的平面角为     (  为钝角),则
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                            n1 n2    1       2
            cos n1 , n2              
                            n  n       2     2              0
    cos                    1  2               ,得:    135
                                    o
     所以二面角     E  AC   B 的大小为135     .  ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12               分

(注:(1)问的证明用几何法亦可,但在第(2)问中要体现平面                           AEC 法向量的求解过程)
                                 a
                                  n   a
                   a    a              n
19.解:(1)证明:假设        n1  n ,即 1 an     , 
         或
解得  an  0  an 1                ………2   分
                        或
从而  an  an-1 ==a2 =a1 =0 an  an-1 ==a2 =a1 =1, 
             或
这与题设    a1  0 a1  1相矛盾,     ………………4      分

所以  an1  an 不成立.故   an1  an 成立.              ………………5      分
              1     2     4     8     16
           a1 = ,a2 = ,a3 = ,a4 = ,a5 =  ,
(2)由题意得       2     3     5     9     17  ,………………6       分
                2n1
          an   n1
由此猜想:         2   1 .                   ………………8      分
                  20   1
证明:1.当n时=1,,猜a1想= 成立  
                 20 1 2          ………………9      分

                                   2k 1
2.假设当n时=,k   猜想成立,即成立a.         =. . . . . . . . 10分
                               k  2k 1 1
                            2k 1
                         2             k      (k 1)1
                  2a        k 1      2      2
当n时=,k 1   a  =    k     2  1         
             k 1 1 a       2k 1  2k 1   2(k 1)1 1
                     k  1
                           2k 1 1
当n时=,k 猜1想也成立。.      . . . . . . . 11分

                                     2n1
由1和2知,对一切正整数n,都有a                 =       成立.   . . . . . . 12分
                                 n  2n1 1

                      2
20.解:(Ⅰ)     f (x)  6x  6ax  3b ,………..2 分

因为函数    f (x) 在 x 1及 x  2 取得极值,则有      f (1)  0 , f (2)  0 ………..4 分

  6  6a  3b  0,
                 .
即 24 12a  3b  0 ………5  分 解得   a  3, b  4 .………6   分

                            3    2
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,          f (x)  2x  9x 12x  8c ,……….7  分
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            x  0,3        2
因为对于任意的         ,有  f (x)  c 恒成立,

               2                      2
所以只需   f (x)max  c ………..8 分      f (x)  6x 18x 12  6(x 1)(x  2) .

 x (0,1) 时, f (x)  0 ; x (1,2) 时, f (x)  0 ; x (2,3) 时, f (x)  0 .…..9 分

所以,当   x 1时, f (x) 取得极大值 f (1)  5  8c ,又 f (0)  8c , f (3)  9  8c .

    x  0,3
则当      时,  f (x) 的最大值为 f (3)  9  8c .………10 分

            2
所以   9  8c  c ,解得  c  1 或 c  9 ,

因此  c 的取值范围为   (,,1)  (9  ) .………..12 分

                               又-=,(                  *
21.解(1)    Sn  2an  2, Sn1  2an1  2,  Sn Sn1 an n  2,n N ) ………… 2 分

              
an  2an  2an1, an  0, .                    

   an            *
     2,(n  2,n N ),即数列是an等比数列。
  an1                                 …………3  分

                                        n
a1  S1,a1  2a1  2,   即a=1 ,2    ……an … 2… … … … … … … … … 分 4


点P(在bn ,直bn线1)x- y+2=0上,+= bn  bn1 2 0


bn1  bn  2,即数列是bn等差数列,又=,b分1 1 bn  2n 16

        =       n
(II)cn   (2n 1)2 ……7 分

Tn =c1  c2  cn1  cn
             2     3          n1       n
Tn 1 2  3 2  5 2  (2n  3)2  (2n 1)2 ......8分

         2     3           n       n1
2Tn 1 2  3 2  (2n  3)2  (2n 1)2 ......9分

            +(    2+++3          n        n1
因此:  Tn 1 2 2 2  2 2    2 2 )  (2n 1)2      ……10 分

            8 1 2n1
                          n1           n1
   Tn  2         2n 12  6  2n  32 ......11分
即:            1 2

            n1
Tn  (2n  3)2  6… … … … … … … … 12分

                             2
                 f (x)  ln x  x  1
22.解:(1) a  1时,            x   , x (0,) .
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                       2
     '     1      2   x  x  2
    f (x)   1  2      2
           x     x       x     , x (0,) ,…………………………1           分

     '
因此  f (2) 1, 即曲线   y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为           1. …………2    分
又 f(2)=ln2+2,所以切点为(2,ln2+2)………3              分
所以切线方程应为        y-(ln2+2)=x-2,即      x-y+ln2=0. ………4     分

                                                  2
                   1 a       '    1     a 1   ax  x 1 a
      f (x)  ln x  ax  1 f (x)   a  2        2
(2) ∵               x    ,∴        x      x          x     , x (0,) …5 分

              2
    令 g(x)  ax  x 1 a ,

                                                           '
①当  a=0 时,g(x)=1-x,     x (0,) ,当  x (0,1) 时,g(x)>0,  f (x)  0 , f (x) 单调递减;

                             '
当 x (1,) 时,g(x)<0,此时     f (x)  0 , f (x) 单调递增;……………………6         分
                              1
             g(x)  a(x 1)[x  ( 1)]
②当  a≠0 时,                    a     , x (0,)
         1
      a                        '
(ⅰ)当     2 时,g(x)≥0   恒成立,     f (x)  0 , f (x) 在(0,+∞)上单调递减;………7         分
             1     1
      0  a        1 1  0                              '
(ⅱ)当         2 时,  a         ,  x (0,1) 时, g(x)  0 ,此时  f (x)  0 , f (x) 单调递减; 
      1
x (1, 1)                    '
      a    时,  g(x)  0 ,此时  f (x)  0 , f (x) 单调递增;
        1
    x (  1,)                     '
        a        时,  g(x)  0 ,此时   f (x)  0 , f (x) 单调递减;…………………9        分
                   1
                     1 0                            '
(ⅱⅰ)当   a  0 时,由  a       , x (0,1) 时, g(x)  0 ,有 f (x)  0 , f (x) 单调递减

                               '
    x (1,) 时, g(x)  0 ,有  f (x)  0 , f (x) 单调递增.……………………11         分

    综上所述:当      a  0 时,函数   f (x) 在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增;
         1                                         1
      a                                     0  a 
    当    2 时,   f (x) 在(0,+∞)上单调递减;当               2 时,   f (x) 在(0,1)上单调递减,在
  1                   1
(1, 1)              (  1,)
  a     上单调递增,在       a        上单调递减.………………………………12                 分
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