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2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修1_1

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   第三章   导数及其应用

3.3 导数在研究函数中的应用
 3.3.1 函数的单调性与导数
                   学习目标:1.理解函数的单调性与导数的关系.(重点)2.能利用导数研
究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单

调区间.(重点)3.能根据函数的单调性求参数.(难点) 
                                                                1.函数的单调性与其导数正负的关系 
                                                                定义在区间(a,b)内的函数y=f(x) 
                                                                                                                              f′(x)的正负                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              f(x)的单调性 
                                                                                                                                                             f′(x)>0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               单调递___ 
                                                                                                                                                             f′(x)<0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               单调递___ 
                                                                思考:若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f′(x)>0这个说法正确

吗?                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         [自 主 预 习·探 新 知] 


                                                               增

                                                               减


                                                        [提示]                                                                                                               不正确,应该是f′(x)≥0. 
                                  2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 
                                  一般地,设函数                                                                                                                                         y=f(x),在区间(a,b)上 
导数的绝对值                                                                                                                                       函数值变化                                                                                                                                                                                                                                                                  函数的图象 

                                        越大                                                                                                                                           __                                                                                                                                              比较__________ (向上或向下) 
                                        越小                                                                                                                                           __                                                                                                                                              比较__________ (向上或向下) 
       快                 “陡峭”

       慢                 “平缓”
          
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  [基础自测] 
  1.思考辨析 
  (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          (  ) 
  (2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.(  ) 
(3)函数值在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          (  ) 
  (4)在区间(a,b)内,f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          (  ) 


  [答案]                                                                                                               (1)×                                                                                                (2)×                                                                                                (3)√                                                                                               (4)× 
2.函数y=x3+x的单调递增区间为(  ) 
A.(0,+∞)                                                                                           B.(-∞,1) 
C.(1,+∞)                                                                                           D.(-∞,+∞) 


D           [y′=3x2+1>0,故选D.] 
                                                        3.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有(  )                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               【导学号:97792146】 
                                                        A.f(x)>0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         B.f(x)<0 
                                                        C.f(x)=0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         D.不能确定 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        


A                                                                                            [由f′(x)>0知函数f(x)在区间(a,b)内是增函数,且f(a)≥0,故f(x)>0.] 
                                                                                                           (1)函数f(x)=3x2-2ln x的单调递减区间为__________. 
                                                                                                                                                                                          1
                                 (2)设函数f(x)=x-                                                                                                                                                      -aln x(a∈R),讨论f(x)的单调性. 
                                                                                                                                                                                           x            [合 作 探 究·攻 重 难] 
函数的单调性与单调区间
                                 [思路探究]                                                                                                       (1)求f′(x)⇒解不等式f′(x)<0 
                                 (2)求f′(x)⇒根据a的取值判断f′(x)的正负号. 
[解析]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞). 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           2                                                                                                                                                                     23x2-1
                               ′                                                                                                                                                                                                                                        =                                                                                                                                                                                                                    -                                                                                                                                                                    =
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                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       23x2-1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  3                                                                                                                                                                                                                                                                                                              3
令                                                                                                                                            ′                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ,即                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  ,解得-
                                                                                                              f                                                                                                                                            (x)<0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       x                                                                                                                                                                                                                                                <0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  3                                                                                           0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                00,g(x)=0的两根都小于0.在(0,+∞)上,f′(x)>0.故
f(x)在(0,+∞)上单调递增. 
                                                                                                                                                                                                                            ③当a>2时,Δ>0,g(x)=0的两根为 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               a-                                                                                                                                                                                                                                                       a2-4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             a+                                                                                                                                                                                                                                                       a2-4
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 =                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      ,                                                                                                                                                                                                  =
                                                                                                                                                                                                                            x1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      x2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  2                                                                                                                                                                                                                                                                                       . 

                                                                                                                                                                                                                            当00;当x1x2时,f′(x)>0. 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
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                                                                                                                                                                                                                            故f(x)分别在                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        0,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        ,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   ,+∞                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     上单调递增,在
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      2                                                                                                                                                                                                         
a-                                                                                                                                                                                                                                                                                     a                                                                                          -4                                                                                                                                                                                                                                                                                 a+                                                                                                                                                                                                                                                       a                                                                                          -4
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       ,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       上单调递减. 
                                                                                                                                                                                                                                                              2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       2                                                                                                                                                                                                                                                                                        
[规律方法]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                求函数y=f(x)的单调区间的步骤: 
(1)确定函数y=f(x)的定义域; 
(2)求导数y′=f′(x); 
(3)解不等式f′(x)>0,函数在定义域内的解集上为增函数; 
(4)解不等式f′(x)<0,函数在定义域内的解集上为减函数. 
[跟踪训练] 
1.(1)函数y=x3-x2-x的单调递增区间为(  ) 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  1
A.-∞,-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    和(1,+∞) 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  3
                                                                                                                                                                                                                                                 1                                                                                                                                                                                                                            
B.-                                                                                                                                                                                                                                                                                                      ,1 
                                                                                                                                                                                                                                                 3                                                                                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            1
C.-∞,-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              ∪(1,+∞) 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            3
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             1
D.-1,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             3
                                                                                                                                                                                              1
                                           ′=                          2-                    -             ,令                      ′                  ,得                           -                 或                       ,所以函数的单调递增
                   A               [y                         3x                    2x                1                       y             >0                           x<                   3               x>1
                                                                    1
区间为-∞,-                                                                  和(1,+∞),故选A. ] 
                                                                    3
                                                                                                                                                   a
                 解               函数定义域为                                           ,+∞                     ,        ′              =         +
              [         ]                                                   (0                         )         f        (x)            x         x. 


                                                                    1
                       讨论函数                                  =             2+                   a       ∈           ,          ≠            的单调性.
              ①(2)当             >          时,f(x)′                  2x=             a+ln x(a>R恒成立,这时函数只有单调递增区间为a                      0)                                        
                            a          0                 f        (x)            x              x              0
(0,+∞); 
                                                                                                                                              a                                                                                                                                                     a
                    ②当                        <              时,由                               ′                    =              +               >               ,得                       >                 -               ;由                     ′                     =              +               <              ,得
                                         a              0                                   f            (x)                   x              x               0                        x                                a                         f            (x)                   x               x              0                         0

                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
<x<                               -a                ,所以当a<0时,函数的单调递增区间是                                                                                                                                                                                -a,+∞                                            ,单调递

减区间是(0,                                                            -a). 
                    综上,当a>0时,单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a<

0时,单调递增区间为(                                                                                                 -a,+∞),单调递减区间为(0,                                                                                                                                             -a). 
                                                                                                                                     (1)f′(x)是函数y=f(x)的导函数,若y=f′(x)的图象如图3•3•1
所示,则函数y=f(x)的图象可能是(  ) 


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               图3•3•1 


      导数与函数图象的关系
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                            (2)已知函数y=f(x)的图象如图3•3•2所示,则函数y=f′(x)的图象可能是
图中的   (  ) 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   【导学号:97792147】 


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             图3•3•2 

                                                                                                                                                                                                                                [解析]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     (1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的
图象的上升和下降趋势.由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负,f(x)的
增减变化情况如下表所示: 
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                                                                                                                                                                                                                                                 f′(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       +                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 -                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                + 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                         f(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        ↗                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         ↘                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ↗ 
                                                                                                                                                                                                                                由表可知f(x)在(-∞,0)内递增,在(0,2)内递减,在(2,+∞)内递增,
满足条件的只有D,故选D. 
                                                                (2)由函数y=f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y=f′(x)的正、负情况
如下表: 
                                                                                                             x                                                                                                                                                                                                                               (-1,b)                                                                                                                                                                                                                                                                                                    (b,a)                                                                                                                                                                                                                                                                          (a,1) 
                                                                                              f(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                      ↘                                                                                                                                                                                                                                                                                        ↗                                                                                                                                                                                                                                                                   ↘ 
                                                                              f′(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                     -                                                                                                                                                                                                                                                                                        +                                                                                                                                                                                                                                                                   - 
                                                                由表可知函数y=f′(x)的图象,当x∈(-1,b)时,函数图象在x轴下
方;当x∈(b,a)时,函数图象在x轴上方;当x∈(a,1)时,函数图象在x轴下
方.故选C. 


                                                        [答案]                                                                                                                (1)D                                                                                       (2)C 
                                                                                                                                                                                                                            [规律方法]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          (1)研究函数与导数图象间对应关系的注意点 
                                                                                                                                                                                                                            研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关
键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内
单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个

区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 
(2)导数与函数图象的关系 


                                                                                                                                                                                                                                                                         
            函数值增加得越来越快                                                                                                                                                                  函数值增加得越来越慢 
                       f′(x)>0                       且越来越大                                                                                                                                         f′(x)>0                       且越来越小 

      
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
                                                                                                                                                                                                                                                                                函数值减少得越来越快                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                函数值减少得越来越慢 
f′(x)<0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             且越来越小绝对值越来越大                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          f′(x)<0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             且越来越大绝对值越来越小 
                                                                                                                                                  提醒:函数图象变化得越快,f′(x)的绝对值越大,不是                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   f′(x)的值越大. 
                                                                                                                                                                                                                            [跟踪训练] 
                                                                                                                                                                                                                            2.(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图3•3•3所示,则导
函数y=f′(x)可能为(  ) 


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           图3•3•3 

                   D                [由函数的图象知:当x<0时,函数单调递增,导数应始终为正;当
x>0时,函数先增后减再增,导数应先正后负再正,对照选项,只有D正
确.] 
                                                                                                                                                                     3                       
                         (2)函数y=f(x)在定义域                                                                                                              -                    ,3                      内可导,其图象如图3•3•4,记y=f(x)的
                                                                                                                                                                     2                       
导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)<0的解集为__________. 


                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                                   图3•3•4 


                                       1                                                                                                                                                                                                                                                                                                         1                       
                         -                    ,1∪(2,3)                                                              [根据导数和图象单调性的关系知当x∈-                                                                                                                                                                                                                ,1∪(2,3)
                                       3                                                                                                                                                                                                                                                                                                         3                       
时f′(x)<0.] 
                             [探究问题] 
                             1.在区间(a,b)内,若f′(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也
成立吗? 

    已知函数的单调性求参数的取值范围


                             提示:不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等
于零.也就是说f′(x)>0是y=f(x)在某个区间上递增的充分条件. 
2.一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有什么关系? 
  提示: 
    
       函数的单调性                                                                                                                                                                                                  导数 
                  单调递增                                                                                                                                      f′(x)≥0                                     且            f′(x)不恒为                                                    0 
                  单调递减                                                                                                                                      f′(x)≤0                                     且            f′(x)不恒为                                                    0 
                       常函数                                                                                                                                                                           f′(x)=0 

      
                                   已知函数f(x)=x3-ax-1, 
(1)若f(x)在区间(1,+∞)内为增函数,求a的取值范围; 
(2)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值. 
[思路探究]                                             (1)转化为f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,求a的范围; 
(2)由f′(x)<0,求单调减区间,对比已知,求a的值. 
                   [解]                       (1)因为f′(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数, 
                   所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成
立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,即a≤3. 
(2)f′(x)=3x2-a. 
①当a≤0时,f′(x)≥0,无减区间,不满足条件. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            3a
②当                                                                                                                                                                                                                                                                                  >                                                                                                                                                                    时,令                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               2-                                                                                                                                                                                                       =                                                                                                                                                                    ,得                                                                                                                                                                                                                                                                            =                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  ;
                                                                                                                                                                                                                            a                                                                                                                                                                     0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                3x                                                                                                                                                                                                                                                        a                                                                                                                                                                    0                                                                                                                                                                                                                                                                                   x                                                                                                                                                              ±                                                                                                                            3                                                                                                                                                                                                                                      
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当-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    <                                                                                                                                                              <                                                                                                                                                                                                                                                                                                      时,                                                                                                                                                                                                                                                         ′                                                                                                                                                                                                                                        <
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                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           3a                                                                                                                                                                                                                                                                                                     3a
因此f(x)在-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 ,                                                                                                                                                                                                                                                                                                       上为减函数. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 3                                                                                                                                                                                                                                                                                                       3                                                                                                                       
                                                                                                                                                                                                                                                                                                       3a
所以                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    =                                                                                                                                                                    ,即                                                                                                                                                                                                                                                                                 =
                                                                                                                                                                                                                                                                                              3                                                                                                                                                                                                                                     1                                                                                                                                                                                                                                                                                  a                                                                                                                                                                    3. 
                                                                                                                                                                                                                                [规律方法]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 
                                                                                                                                                                                                                                (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒
成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否
满足题意. 
                                                                                                                                                                                                                                (2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时
f(x)是否满足题意. 
                                                                                                                                                                                                                                2.恒成立问题的重要思路 

                                                                                                                                                                                                                                (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max. 

                                                                                                                                                                                                                                (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. 
                                                                                                                                                                                                                            [跟踪训练] 
                                                                                                                                                                                                                            3.(1)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围
是__________.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           【导学号:97792148】 


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       ,+∞                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               由于                                                                                                                                                                                                                                                         ′                                                                                                                                                                                                                                        =                                                                                                                                                              -                                                                                                                                                                       ,                                                                                                                                                                                                                                                                      =                                                                                                                                                                                                               -                                                                                                                                                                                                                                                                                                            在区间                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   ,+∞                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            上单调递
                                                                                                                                                                                                                            [1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    )                                                                                                                                                  [                                                                                                                                                                                                                                                               f                                                                                                                                            (x)                                                                                                                                                                                                                                      k                                                                                                                                                                  x                                                                                                                                                                   f(x)                                                                                                                                                                                                                                                                   kx                                                                                                                                                                                                              ln                                                                                                                                            x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           (1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   )
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                1
增⇔                                                                                                                                                                                                                                                         ′                                                                                                                                                                                                                                       =                                                                                                                                                              -                                                                                                                                                                    ≥                                                                                                                                                                     在                                                                                                                                                                                                        ,+∞                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            上恒成立.
                                                                                                                                                                                                                            f                                                                                                                                            (x)                                                                                                                                                                                                                                     k                                                                                                                                                                 x                                                                                                                                                                 0                                                                                                                                                                     (1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    )                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        1
                                                                                                                                                                                                                            由于                                                                                                                                                                                                                                                                           ≥                                                                                                                                                                    ,而                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ,所以                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        ≥
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        k                                                                                                                                                                 x                                                                                                                                                                                                                                                                               00, 
f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 
Ⅱ.当a<0时, 

                        2x+                  -ax-                          -a
  ′              =                                                                         ,
f        (x)                                            x                                          
                                                                              当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 

                                                                                                             x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 (0,                                                                                                                                                                                                                                                                                               -a)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              -a                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    -a,+∞ 
f′(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          -                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 + 
                                                        f(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           递减                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                递增 

                                                                              由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  -a); 

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                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            2
②由                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            =                                                                                                                                                                    +                                                                                                                                                              2+                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ,
                                                                                                                                                                                                                            g(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                               x                                                                                                                                                                 x                                                                                                                                                                                                  2aln x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         2a
得                                                                                                                                                                    ′                                                                                                                                                                                                                                        =-                                                                                                                                                                                                                                                                                                              +                                                                                                                                                                                                                      +                                                                                                                                                                                                                           ,
                                                                                                              g                                                                                                                                                                     (x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   x2                                                                                                                                                                                                 2x                                                                                                                                                                                                                                                  x                                                                                                                                                                                              
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数, 
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立, 
                                                                                                                                                                                                                                           2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         2a
即-                                                                                                                                                                                                                                                                                                               +                                                                                                                                                                                                                     +                                                                                                                                                                                                                           ≤                                                                                                                                                                     在                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                上恒成立,
                                                                                                                                                                                                                            x2                                                                                                                                                                                                 2x                                                                                                                                                                                                                                                  x                                                                                                                                                                                             0                                                                                                                                                                     [1,2]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                                                                                    1
即                                                                                                                                                                    ≤                                                                                                                                                                     -                                                                                                                                                              2在                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  上恒成立,
                                                                                                              a                                                                                                                                                                       x                                                                                                                                                                  x                                                                                                                                                                                                 [1,2]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              1
令                                                                                                                                                                                                                                                                                               =                                                                                                                                                                    -                                                                                                                                                              2,
                                                                                                              h(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                               x                                                                                                                                                                 x                                                                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    1                                                                                                                                                                                                                                                                                            
则h′(x)=-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   2-2x=-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               2+2x<0, 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
x∈[1,2], 
所以h(x)在[1,2]上为减函数, 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   7
                                                                                                                                                                                                                                                                                                =                                                                                                                                                                                                                                                                                                     =-                                                                                                                                                                                                                                                                                  ,
h(x)min                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       h(2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 2                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                7
所以                                                                                                                                                                                                                                                                                  ≤-
                                                                                                                                                                                                                            a                                                                                                                                                                                                                                                                                   2. 
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故实数a的取值范围为a︱a≤-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               . 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       2
1.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是(  ) 
A.y=sin x                                                                                                                                                                                                 B.y=xex 
C.y=x3-x                                                                                                                                                                                                  D.y=-x+ln x 

                                                                                                                                [当 堂 达 标·固 双 基] 


B                        [对于y=xex,y′=ex+xex=ex(1+x)>0, 
∴y=xex在(0,+∞)内为增函数.] 
                   2.在R上可导的函数f(x)的图象如图3•3•5所示,则关于x的不等式
x·f′(x)<0的解集为(  ) 
                   A.(-∞,-1)∪(0,1) 
                   B.(-1,0)∪(1,+∞) 
                   C.(-2,-1)∪(1,2) 
                   D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 
                                                                                         
                   A                [当x>0图3•3•5时,                                   f′(x)<0,此时00,此时x<-1, 
                   因此xf′(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).] 
3.函数f(x)=(x-1)ex的单调递增区间是________. 


(0,+∞)                                                                      [f′(x)=(x-1)′ex+(x-1)(ex)′=xex, 
令f′(x)>0,解得x>0,故f(x)的增区间为(0,+∞).] 
                   4.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数,则m的取值范围是
________. 


                   1                                  
                         ,+∞                                     [∵f′(x)=3x2+2x+m,由题意知f(x)在R上单调递增, 
                   3                                  
                                                                                                                            1
                   ∴              =             -                         ≤              ,∴                        ≥
                            Δ               4             12m                       0                       m               3.] 
                                                      ex
             5.设f(x)=                                             ,其中a为正实数.若f(x)为R上的单调函数,求a的取
                                               1+ax2
值范围.                      
                                                                                                                                                          【导学号:97792149】 


                                                                                               1+ax2-2ax
             [解]               对f(x)求导得f′(x)=ex                                                                                  , 
                                                                                                   1+ax22
             若f(x)为R上的单调函数, 
             则f′(x)在R上不变号,结合a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立, 
             因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0, 
             由此并结合a>0,知0<a≤1. 
             即a的取值范围为(0,1]. 
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