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2018年高中数学课时跟踪检测十一等比数列的性质新人教A版必修5

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               课时跟踪检测(十一)  等比数列的性质
                               层级一 学业水平达标
    1.等比数列     x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(  )
    A.-24                              B.0
    C.12                                D.24
    解析:选    A 由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即          x2+4x+3=0,解得     x=-3   或 x=-
1(舍去),所以等比数列的前           3 项是-3,-6,-12,则第四项为-24.

    2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(  )

    A.a1,a3,a9  成等比数列                   B.a2,a3,a6 成等比数列

    C.a2,a4,a8  成等比数列                   D.a3,a6,a9 成等比数列
                                        a6  a9
    解析:选    D 设等比数列的公比为          q,因为a3=a6=q3,

    即 a62=a3a9,所以   a3,a6,a9 成等比数列.故选        D.
                                                          a5

    3.在正项等比数列{an}中,an+11 的等比数列,若      a4,a5 是方程   4x -8x+3=0   的两根,则

a6+a7=________.
                      1     3       a5

    解析:由题意得       a4=2,a5=2,∴q=a4=3.
                        1  3
                         +
                     2  (   )   2
    ∴a6+a7=(a4+a5)q   = 2  2 ×3 =18.
    答案:18
    8.画一个边长为       2 厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第                     2 个正方形,以
第  2 个正方形的对角线为边画第           3 个正方形,这样一共画了          10 个正方形,则第       10 个正方
形的面积等于________平方厘米.

    解析:这    10 个正方形的边长构成以          2 为首项,    2为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,
n∈N*),
    则第  10 个正方形的面积       S=a120=22·29=211=2 048.
    答案:2 048

    9.在由实数组成的等比数列{an}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求                   q.
    解:法一:由条件得
    Error!

    由②得   a73=512,即   a7=8.
    将其代入①得      2q8-5q4+2=0.

            1                 1
    解得  q4=2或  q4=2,即   q=±4  2或 q=±4  2.

    法二:∵a3a11=a2a12=a72,

    ∴a73=512,即   a7=8.
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    于是有Error!

                     2
    即 a3 和 a11 是方程  x -20x+64=0   的两根,解此方程得         x=4 或 x=16.

    因此Error!或Error!

                 8
    又∵a11=a3·q   ,
           a11 1     1             1 1    1
    ∴q=±(   a3 )8=±48=±4  2或  q=±(4)8=±4   2 .

    10.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列

{an}的通项公式.

    解:∵a1a5=a32,a3a7=a52,

    ∴由题意,得      a32-2a3a5+a52=36,

    同理得   a32+2a3a5+a52=100,

    ∴Error!即Error!
    解得Error!或Error!

    分别解得Error!或Error!

           n-2      6-n
    ∴an=2    或  an=2   .
                               层级二 应试能力达标

    1.在等比数列{an}中,Tn       表示前   n 项的积,若     T5=1,则(  )

    A.a1=1                             B.a3=1

    C.a4=1                              D.a5=1

    解析:选    B 由题意,可得       a1·a2·a3·a4·a5=1,即(a1·a5)·(a2·a4)·a3=1,又

a1·a5=a2·a4=a32,所以     a35=1,得  a3=1.

    2.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且                 b7=a7,则   b5+b9 等于
(  )
    A.2                                 B.4
    C.8                                 D.16

    解析:选    C 等比数列{an}中,a3a11=a72=4a7,解得         a7=4,等差数列{bn}中,b5+

b9=2b7=2a7=8.

    3.在各项均为正数的等比数列{bn}中,若               b7·b8=3,则    log3b1+log3b2+…+

log3b14 等于(  )

    A.5                                 B.6
    C.7                                 D.8

                                                                   7
    解析:选    C log3b1+log3b2+…+log3b14=log3 (b1b2…b14)=log3 (b7b8)   =7log33=
7.
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                                                                    30
    4.设各项为正数的等比数列{an}中,公比               q=2,且   a1·a2·a3·…·a30=2      ,则

a3·a6·a9·…·a30=(  )
    A.230                               B.210
    C.220                               D.215

                                     30
    解析:选    C ∵a1·a2·a3·…·a30=2       ,
                             29 × 30
    ∴a310·q1+2+3+…+29=a310·q    2  =230,
            27

    ∴a1=2-   2 ,
                                 9 × 10
                                3
    ∴a3·a6·a9·…·a30=a130·(q     )  2
          27
    =(2-  2 ×22)10×(23)45=220.

                                                           2
    5.已知{an}为公比      q>1 的等比数列,若       a2 015 和 a2 016 是方程 4x -8x+3=0 的两根,

则  a2 017+a2 018 的值是______.
    解析:设等比数列的公比为            q.

                            2
    因为  a2 015 和 a2 016 是方程 4x -8x+3=0 的两个根,
                                    3

    所以  a2 015+a2 016=2,a2 015·a2 016=4,

    所以  a2 015(1+q)=2 ,①
                 3

    a2 015·a2 015q=4,②
        ①
    故由②2   得,
              22
    1+q2    3  16
       q    = 4 = 3 .
    又因为   q>1,解得    q=3,

                            2         3
    所以  a2 017+a2 018=a2 015·q +a2 015·q .

                   2     2
    =a2 015(1+q)·q  =2×3  =18.
    答案:18

    6.已知-7,a1,a2,-1       四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1               五个实数成等
          a2-a1
比数列,则       b2 =________.
                           -1--7

    解析:由题意,知        a2-a1=      3     =2,b2=(-4)×(-1)=4.又因为         b2 是等比
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                                                  a2-a1    2

数列中的第三项,所以          b2 与第一项同号,即       b2=-2,所以      b2  =-2=-1.
    答案:-1

    7.已知数列{an}为等差数列,公差            d≠0,由{an}中的部分项组成的数列             ab1,

ab2,…,abn,…为等比数列,其中            b1=1,b2=5,b3=17.求数列{bn}的通项公式.

                                 2                         2
    解:依题意     a52=a1a17,即(a1+4d)  =a1(a1+16d),所以    a1d=2d ,因为    d≠0,所以
                         a5  a1+4d

a1=2d,数列{abn}的公比      q=a1=    a1 =3,

                n-1
    所以  abn=a13   ,①
                        bn+1

    又 abn=a1+(bn-1)d=     2  a1,②
                     bn+1
                 n-1
    由①②得    a1·3   =   2  ·a1.

                               n-1
    因为  a1=2d≠0,所以     bn=2×3    -1.


                                                               *
    8.已知数列{an}满足       a1=1,a2=2,且    an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N    ).

                          *
     (1)设 bn=an+1+an(n∈N   ),求证{bn}是等比数列;

    (2)求数列{an}的通项公式.

                                                       *
    解:(1)证明:由已知得         an+1+an=3(an+an-1)(n≥2,n∈N    ),则   bn+1=3bn,

    又 b1=3,则{bn}是以     3 为首项,3    为公比的等比数列.
                        an+1   1 an  1
                   n
    (2)由 an+1+an=3  ,得3n+1+3·3n=3.
          an          1   1

    设 cn=3n,则   cn+1+3cn=3,
              1    1    1
                    (cn- )
    可得  cn+1-4=-3       4 ,
          1        1  1     1
                          -
                          (  )n-1
    又 c1=3,故   cn-4=12×     3   ,
          3n--1n

    则 an=      4    .
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