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2018秋新版高中数学北师大版必修4习题:模块综合检测

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                            模块综合检测
                           (时间:120   分钟 满分:150       分)
一、选择题(本大题共           12 小题,每小题      5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.下列各数中,与     sin(-331°)的值最接近的是(  )
                
     3   1  1   3
  ‒   𝐵. ‒ 𝐶. 𝐷.
A.  2    2  2   2
                            1
                          =  .
解析:sin(-331°)=sin 29°≈sin 30° 2
答案:C
                                      1
                                    𝑃 ,𝑦0 ,则𝑐𝑜𝑠 2𝛼的值为(  )
2.已知角   α 的终边与单位圆      x2+y2=1 交于点   (2   )
    1 1     3
  ‒  𝐵. 𝐶. ‒ 𝐷.1
A.  2 2     2
                   3         1         3
                ±   , ∴ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ,𝑠𝑖𝑛 ± ,
解析:由题意知      y0=  2          2   α=   2
                        1
                       ‒ .
    ∴cos 2α=cos2α-sin2α= 2
答案:A
3.设向量   a=(2,4)与向量  b=(x,6)共线,则实数    x=                                       (  )
A.2            B.3         C.4       D.6
解析:由   a=(2,4),b=(x,6)共线,可得 4x=12,即 x=3.
答案:B
             1       3𝜋
           =  ,𝜋 < 𝛼 < ,则𝑠𝑖𝑛(5𝜋 ‒ 𝛼) = (  )
4.若 cos(π+α) 2        2
    1     3
  ‒  𝐵. ±
A.  2    2
   3     3
 .  𝐷. ‒
C 2     2
                1         1
              =  , ∴ 𝑐𝑜𝑠 ‒ .
解析:∵cos(π+α)    2     α=  2
           3𝜋          3
         <    , ∴ 𝑠𝑖𝑛 ‒ .
    ∵π<α    2      α=   2
                              3
                            ‒   .
    故 sin(5π-α)=sin(π-α)=sin α= 2
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答案:D
                                     𝜋
                              𝑛 𝜔𝑡 + (𝑡 > 0),且电功率𝑃 = 𝐼𝑈,则电功率𝑃的最大值是(  )
5.已知电流    I=3sin ωt,电压  U=4si  (     2)
A.12            B.6           C.3        D.4
                            𝜋
                     𝑛(𝜔𝑡 + ) = 12𝑠𝑖𝑛 
解析:P=IU=3sin ωt·4si         2         ωtcos ωt=6sin 2ωt,∴Pmax=6.
答案:B
6.设 D 为△ABC    所在平面内一点,𝐵𝐶⃗      = 3𝐶𝐷⃗ ,则(  )
        1     4          1      4
 .𝐴𝐷⃗ =‒ 𝐴𝐵⃗ + 𝐴𝐶⃗ 𝐵.𝐴𝐷⃗ = 𝐴𝐵⃗ ‒ 𝐴𝐶⃗
A       3     3          3      3
       4     1          4     1
 .𝐴𝐷⃗ = 𝐴𝐵⃗ + 𝐴𝐶⃗ 𝐷.𝐴𝐷⃗ = 𝐴𝐵⃗ ‒ 𝐴𝐶⃗
C      3     3          3     3
解析:如图:


    ∵ 𝐴𝐷⃗ = 𝐴𝐵⃗ + 𝐵𝐷⃗ ,𝐵𝐶⃗ = 3𝐶𝐷⃗ ,
                4           4             1     4
    ∴ 𝐴𝐷⃗ = 𝐴𝐵⃗ + 𝐵𝐶⃗ = 𝐴𝐵⃗ + (𝐴𝐶⃗ ‒ 𝐴𝐵⃗ ) =‒ 𝐴𝐵⃗ + 𝐴𝐶⃗ .
                3           3             3     3
答案:A
           3      𝜋 𝜋          5𝜋
         =  ,𝛼 ∈ - ,  ,则𝑐𝑜𝑠 𝛼 + = (  )
7.若 sin α  5    (  2 2)     (     4 )
     2    2
  ‒   𝐵.
A.  10  10
    7 2   7 2
  ‒     𝐷.
C.  10    10
             𝜋 𝜋      3
           -  ,  ,𝑠𝑖𝑛 𝛼 = ,
解析:∵α∈(      2 2)       5
             4
           =   .
    ∴cos α   5
              5𝜋     2                 2
        𝑠 𝛼 +   =‒    (𝑐𝑜𝑠      ‒   .
    ∴co  (    4  )    2     α-sin α)=  10
答案:A
8.设 D,E,F 分别为△ABC      的三边    BC,CA,AB  的中点,则𝐸𝐵⃗   + 𝐹𝐶⃗ = (  )
      1         1
 .𝐴𝐷⃗ 𝐵. 𝐴𝐷⃗ 𝐶.𝐵𝐶⃗ 𝐷. 𝐵𝐶⃗
A     2         2
解析:由于    D,E,F 分别是    BC,CA,AB  的中点,
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                   1            1              1            1            1
      以𝐸𝐵⃗ + 𝐹𝐶⃗ =‒ (𝐵𝐴⃗ + 𝐵𝐶⃗ ) ‒ (𝐶𝐴⃗ + 𝐶𝐵⃗ ) =‒ (𝐵𝐴⃗ + 𝐶𝐴⃗ ) = (𝐴𝐵⃗ + 𝐴𝐶⃗ ) = × 2𝐴𝐷⃗ = 𝐴𝐷⃗ ,故选
    所              2            2              2            2            2                 A.
答案:A
9.在平面直角坐标系         xOy 中,已知四边形       ABCD   是平行四边形

,𝐴𝐵⃗ = (1, ‒ 2),𝐴𝐷⃗ = (2,1),则𝐴𝐷⃗ ·𝐴𝐶⃗ = (  )
A.5             B.4
C.3             D.2
解析:𝐴𝐶⃗ = 𝐴𝐵⃗ + 𝐴𝐷⃗ = (1, ‒ 2) + (2,1) = (3, ‒ 1),
    所以𝐴𝐷⃗ ·𝐴𝐶⃗ = (2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.
答案:A
                               2𝑎 + 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥
                             =                      (𝑎
10.已知定义域为       R 的函数    f(x)        2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥     ∈R)有最大值和最小值,且最大值与最小
值的和为     6,则 a 等于(  )
A.1             B.2           C.3        D.4
              3𝑠𝑖𝑛𝑥         3𝑠𝑖𝑛𝑥
           +          ,令    =           ,则
解析:f(x)=a    2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 g(x) 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 g(x)为奇函数,所以

g(x)max+g(x)min=0,f(x)max+f(x)min=a+g(x)max+a+g(x)min=2a=6.∴a=3.
答案:C
                  𝜋  𝜋
                𝑛 𝑥 ‒  的部分图像如图,则(𝑂𝐴⃗      + 𝑂𝐵⃗ )·𝐴𝐵⃗ = (  )
11.已知函数     y=ta (4  2)


A.6             B.4           C.-4       D.-6
           𝜋  𝜋       𝜋  𝜋
         𝑛 𝑥 -  = 0,得  𝑥 ‒ = 𝑘𝜋(𝑘
解析:由   ta (4   2)       4   2        ∈Z),
                                                          𝜋  𝜋       𝜋  𝜋  𝜋
                                                        𝑛 𝑥 -  = 1,得  𝑥 ‒ =   + 𝑘𝜋(𝑘
    即  x=4k+2(k∈Z),结合图形可知点          A 的坐标为(2,0).由     ta (4   2)       4   2   4        ∈Z),
    即  x=3+4k(k∈Z),结合图形可知点          B 的坐标为(3,1),故(𝑂𝐴⃗   + 𝑂𝐵⃗ )·𝐴𝐵⃗ = (5,1)·(1,1)=6.
答案:A
12.已知函数     y=Acos(ωx+φ
                 𝜋
) 𝐴 > 0,𝜔 > 0,|𝜑| < 的图像如图,则函数𝑦    = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑥 + 𝜑)的递减区间是(  )
(                2)
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        𝜋     5𝜋
 . 2𝑘𝜋 + ,2𝑘𝜋 + (𝑘
A [     4      4 ]  ∈Z)
       𝜋     3𝜋
 . 2𝑘𝜋 - ,2𝑘𝜋 + (𝑘
B [    4       4 ] ∈Z)
      𝜋     5𝜋
 . 𝑘𝜋 + ,𝑘𝜋 + (𝑘
C [    8     8 ]  ∈Z)
      𝜋    3𝜋
 . 𝑘𝜋 - ,𝑘𝜋 + (𝑘
D [   4      4 ] ∈Z)
                           7𝜋 3𝜋
                        =     -    × 2 = 𝜋,
解析:由图像可知      A=1,周期   T  ( 8   8 )
     2𝜋
    ∴   = 𝜋, ∴ 𝜔 = 2,
      𝜔
    即 y=cos(2x+φ).
        3𝜋            3𝜋     𝜋
      点    ,0 代入     ×    + 𝜑 = ,
    将   ( 8 )    ,得 2  8       2
          𝜋            𝜋
        ‒  . ∴ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 - .
    ∴φ=   4        (    4)
              𝜋
            ‒
    令 2kπ≤2x  4≤2kπ+π(k∈Z),
            𝜋      5𝜋
          +        +   (𝑘
    解得  kπ  8≤x≤kπ   8   ∈Z).
答案:C
二、填空题(本大题共           4 小题,每小题      5 分,共  20 分.把答案填在题中的横线上)
13.已知向量    a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2).若(a-c)⊥b,则 k=    . 
解析:a-c=(3-k,-1).

    ∵(a-c)⊥b,∴(a-c)·b=0.
    ∴(3-k)-3=0,解得 k=0.
答案:0
14.已知函数    f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数 f(x)在区间(-ω,ω)内是增加的,且函数        y=f(x)的图
像关于直线     x=ω 对称,则   ω 的值为     . 
                                𝜋
                    =  2𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑥 + ,
解析:f(x)=sin ωx+cos ωx      (    4)
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           𝜋     𝜋     𝜋
         ‒      +      +  ,𝑘
    由 2kπ  2≤ωx   4≤2kπ  2  ∈Z,
        2𝑘𝜋 3𝜋  2𝑘𝜋  𝜋
      得     ‒          +    ,𝑘
    解    𝜔  4𝜔≤x≤ 𝜔   4𝜔 ∈Z,
                     2𝑘𝜋 3𝜋 2𝑘𝜋 𝜋
                   是     -   ,    +    (𝑘
    即 f(x)的递增区间     [ 𝜔  4𝜔  𝜔   4𝜔] ∈Z),
                                   2𝑘𝜋 3𝜋                           3𝜋
                                       -   ≤ - 𝜔(𝑘 ∈ 𝑍), 𝜔2 ≤ - 2𝑘𝜋 + (𝑘 ∈ 𝑍),
                                以   𝜔  4𝜔            解得               4
                                   2𝑘𝜋  𝜋                           𝜋
                                  {    +    ≥ 𝜔(𝑘 ∈ 𝑍),  { 𝜔2 ≤ 2𝑘𝜋 + (𝑘 ∈ 𝑍). 
    而 f(x)在区间(-ω,ω)内是增加的,所          𝜔   4𝜔                           4
                                      𝜋
                                        .①
    因为  ω2>0,所以只能取     k=0,这时有   0<ω2≤4
    又因为函数     f(x)的图像关于直线      x=ω 对称,
            𝜋      𝜋
           +  = 𝑘𝜋 + (𝑘
    所以  ω2  4       2  ∈Z),
              𝜋
            +  (𝑘
    即 ω2=kπ   4  ∈Z).                                                            ②
                𝜋       𝜋
              =   .故𝜔 =  .
    由①②知    ω2  4       2
     𝜋
答案:  2
                                 1
                               =  .若平面向量
15.已知  e1,e2 是平面单位向量,且     e1·e2 2          b 满足  b·e1=b·e2=1,则|b|=     . 

解析:因为    b·e1=b·e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知     b 在 e1,e2 方向上的投影相等,且都为        1,所
                               1
                             =  知
以 b 与 e1,e2 所成的角相等.由     e1·e2 2  e1 与 e2 的夹角为  60°,所以  b 与 e1,e2 所成的角均为    30°,即
                     1      2 3
                 =        =    .
|b|cos 30°=1,所以|b| 𝑐𝑜𝑠30° 3
    2  3
答案:  3
16.已知平面向量     a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若 e 为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是     . 
解析:由已知得=60°,
    不妨取   a=(1,0),b=(1, 3).
    设 e=(cos α,sin α),
    则|a·e|+|b·e|=|cos α|+|cos α + 3𝑠𝑖𝑛 α|

    ≤|cos α|+|cos α| + 3|𝑠𝑖𝑛 α|=2|cos α| + 3|𝑠𝑖𝑛 α|,
    取等号时    cos α 与 sin α 同号.
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    所以  2|cos α| + 3|𝑠𝑖𝑛 α|=|2cos α + 3𝑠𝑖𝑛 α|
         2        3                             2         3
    =  7   𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 7|𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝜃)| 其中𝑠𝑖𝑛𝜃 = ,𝑐𝑜𝑠𝜃 = ,取𝜃为锐角 .
        | 7       7    |              (          7      7         )
    显然   7|𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝜃)| ≤ 7.
                𝜋
              =  时
    易知当   α+θ   2  ,|sin(α+θ)|取最大值 1,此时  α 为锐角,sin α,cos α 同为正,因此上述不等式中等
号能同时取到.故所求最大值为             7.
答案:  7
三、解答题(本大题共           6 小题,共    70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10 分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求 a 与 b 的夹角  θ;
(2)求|a+b|.
解(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,
    得 4|a|2-4a·b-3|b|2=61.

    ∵|a|=4,|b|=3,
    代入上式,求得     a·b=-6,
            𝑎·𝑏   - 6    1
          =      =      =‒  .
    ∴cos θ  |𝑎||𝑏| 4 × 3 2
    又 0≤θ≤π,
         2𝜋
       =   .
    ∴θ   3
    (2)∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,
    ∴|a+b| = 13.
                               𝑥
                        2  3𝑠𝑖𝑛2 .
18.(12 分)已知函数   f(x)=sin x-    2
(1)求 f(x)的最小正周期;
               2𝜋
           间  0,  上的最小值.
(2)求 f(x)在区  [  3 ]
解(1)因为  f(x)=sin x + 3𝑐𝑜𝑠 x ‒ 3
             𝜋
         𝑥 +  ‒  3,
    =2sin (  3)
    所以  f(x)的最小正周期为      2π.
              2𝜋
                 ,
    (2)因为 0≤x≤ 3
        𝜋   𝜋
      以    +
    所   3≤x  3≤π.
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         𝜋        2𝜋
       +   = 𝜋,即 =   时
    当 x  3      x   3   ,f(x)取得最小值.
                   2𝜋             2𝜋
               间 0,   上的最小值为𝑓        =‒   3.
    所以  f(x)在区   [ 3 ]            ( 3 )
                       𝜋
                      𝑛 - 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ‒ 3𝑐𝑜𝑠2𝑥.
19.(12 分)已知函数   f(x)=si (2 )
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;
            𝜋 2𝜋
         在   ,   上的单调性.
(2)讨论 f(x) [6 3 ]
           𝜋
         𝑛  - 𝑥 𝑠𝑖𝑛 
解(1)f(x)=si (2 )   x ‒ 3𝑐𝑜𝑠2𝑥
                3
             ‒   (1 + 𝑐𝑜𝑠 
    =cos xsin x 2       2x)
      1        3        3         𝜋   3
    =  𝑠𝑖𝑛 ‒ 𝑐𝑜𝑠 ‒  = 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 - ‒ ,
      2   2x  2    2x  2      (   3)   2
                                  2 - 3
                                为       .
    因此  f(x)的最小正周期为      π,最大值      2
            𝜋 2𝜋       𝜋
             ,   时     ‒
    (2)当 x∈[6 3 ]  ,0≤2x 3≤π,从而
            𝜋 𝜋  𝜋  5𝜋
          ‒   ≤  ,即       时
    当 0≤2x  3  2   6≤x≤12   ,f(x)是增加的,
     𝜋    𝜋    5𝜋   2𝜋
    当     ‒    即         时
     2≤2x  3≤π,  12≤x≤ 3   ,f(x)是减少的.
                 𝜋 5𝜋           5𝜋 2𝜋
               在   ,  上是增加的     在    ,   上是减少的
    综上可知,f(x)    [6 12]        ,  [12 3 ]         .
                                                     𝜋
                                        𝜔 > 0,0 < |𝜑| <
20.(12 分)若 m=(1, 3),n=(sin(ωx+φ),cos(ωx+φ))(         2),f(x)=m·n,已知点
                                                                𝜋
                                                                2
P(x1,y1),Q(x2,y2)是函数 f(x)图像上的任意两点,若|y1-y2|=4   时,|x1-x2|的最小值为    ,且函数   f(x)为奇函数.
      𝜋

(1)求 f(6)的值;
                         𝜋

(2)将函数  f(x)的图像向右平移6个单位长度后,得到函数               y=g(x)的图像,求函数     g(x)的递增区间.
解(1)因为  m=(1,  3),n=(sin(ωx+φ),cos(ωx+φ)),
                                   1             3                        𝜋
                                     𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥 + 𝜑) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑥 + 𝜑) 𝜔𝑥 + 𝜑 +
    所以  f(x)=sin(ωx+φ)+ 3cos(ωx+φ)=2[2           2          ]=2sin(       3).
    因为  f(x)为奇函数,
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                    𝜋
                𝜑 +
    所以  f(0)=2sin(  3)=0,
            𝜋       𝜋
    又 0<|φ|<2,可得  φ=-3,
    所以  f(x)=2sin ωx.
                                  𝜋
                                为
    因为当|y1-y2|=4 时,|x1-x2|的最小值    2,
        𝑇 𝜋
      以
    所   2=2,
    故 T=π,
         2𝜋
    又 T= 𝜔 ,所以 ω=2.故  f(x)=2sin 2x.
         𝜋     𝜋
    因此  f(6)=2sin3= 3.
                         𝜋                   𝜋
                       移  个单位长度后           𝑥 - 的图像
    (2)将 f(x)的图像向右平      6           ,得到  f(  6)     ,
                𝜋          𝜋          𝜋
              𝑥 -      2 𝑥 -      2𝑥 -
    所以  g(x)=f( 6)=2sin[ (  6)]=2sin(   3).
          𝜋  𝜋     𝜋
    当 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2(k∈Z),
         𝜋      5𝜋
    即 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z)时,g(x)是增加的,
                                𝜋    5𝜋
                         为 𝑘𝜋 - ,𝑘𝜋 +
    因此函数    g(x)的递增区间      [   12     12]
(k∈Z).
                   2        𝜋
                        2𝑥 +
21.(12 分)设函数  f(x)= 2 cos(  4)+sin2x.

(1)求 f(x)的最小正周期;

                              𝜋              𝜋       1
                           𝑥 +              0,
(2)设函数  g(x)对任意   x∈R,有  g(   2)=g(x),且当 x∈[  2]时,g(x)=2-f(x),求 g(x)在区间[-π,0]上的解

析式.

         2        𝜋
              2𝑥 +
解(1)f(x)= 2 cos(  4)+sin2x
      2         𝜋        𝜋 1 - 𝑐𝑜𝑠2𝑥
        𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠 - 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛
    = 2 (       4         4)+    2
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     1 1
    =2-2sin 2x,
    故 f(x)的最小正周期为      π.
             𝜋       1     1
            0, 时
    (2)当 x∈[ 2]  ,g(x)=2-f(x)=2sin 2x.故
             𝜋      𝜋   𝜋
            - ,0 时     ∈ 0,
    ①当  x∈[  2  ] ,x+2  [  2].
                        𝜋
                    𝑥 +
    由于对任意     x∈R,g(    2)=g(x),
                 𝜋  1        𝜋  1          1
              𝑥 +       2 𝑥 +
    从而  g(x)=g(   2)=2sin[ (  2)]=2sin(π+2x)=-2sin 2x.
                𝜋          𝜋
            - 𝜋, - 时     0,
    ②当  x∈[     2)  ,x+π∈[  2).
                 𝜋         1          1
              𝑥 +
    从而  g(x)=g(   2)=g(x+π)=2sin[2(x+π)]=2sin 2x.
    综合①②,得    g(x)在[-π,0]上的解析式为
         1               𝜋
          𝑠𝑖𝑛2𝑥,𝑥 ∈ - 𝜋, - ,
         2          [    2)
           1            𝜋
        { - 𝑠𝑖𝑛2𝑥,𝑥 ∈ - ,0 .
    g(x)=  2         [  2 ]

22.(12 分)已知函数   f(x)=a·(b+c),其中向量  a=(sin x,-cos x),b=(sin x,-3cos x),c=(-cos x,sin x),x∈R.

(1)求函数  f(x)的递减区间.

(2)函数 f(x)的图像可由函数      y=sin x 的图像经过怎样的变化得到?

                        𝜋 𝜋
                          ,
(3)若不等式|f(x)-m|<2 在  x∈[8 2]上恒成立,求实数       m 的取值范围.
解(1)由题意,得
    f(x)=a·(b+c)
    =(sin x,-cos x)·(sin x-cos x,sin x-3cos x)
    =sin2x-2sin xcos x+3cos2x
    =2+cos 2x-sin 2x
                 3𝜋
             2𝑥 +
    =2+  2sin(   4 ).
          𝜋    3𝜋     3𝜋
    由 2kπ+2≤2x+ 4 ≤2kπ+ 2 (k∈Z),
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         𝜋     3𝜋
    得 kπ-8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z).
                         𝜋    3𝜋
                   为 𝑘𝜋 - 𝑘𝜋 +
    故 f(x)的递减区间     [    8,   8 ](k∈Z).
                                        3𝜋
                                      移   个单位长度
    (2)先将 y=sin x 的图像上所有的点向左平            4          ,再将所得的图像上所有点的横坐标缩
         1
        的
短到原来     2(纵坐标不变),然后将所得的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的                          2倍(横坐标不变),最
后将所得图像上所有的点向上平移              2 个单位长度即可得        f(x)的图像.
                      𝜋 𝜋
                        , 上恒成立
    (3)∵|f(x)-m|<2 在 x∈[8 2]      ,
    ∴f(x)-2[f(x)]max-2,且 m<[f(x)]min+2.
               𝜋 𝜋
                , 上的最大值和最小值分别为
    又 f(x)在 x∈[8 2]                      2 和 2- 2,
    ∴m>0,且  m<4-  2,∴0
	
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