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2018年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义学案苏教版选修1_2

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高中数学审核员

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                           3.3 复数的几何意义


    问题  1:平面向量可以用坐标表示,试想复数能用坐标表示吗?

    提示:可以.

    问题  2:试说明理由.

    提示:因复数      z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)惟一确定,由(a,b)与平面直

角坐标系点一一对应,从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应.


    建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.

    x 轴叫做实轴,y      轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示

纯虚数.


    已知复数    z=a+bi(a,b∈R).

    问题  1:在复平面内作出复数          z 所对应的点     Z.

    提示:如图所示.


                
    问题  2:向量    OZ 和点  Z 有何关系?
    提示:有一一对应关系.
                          
    问题  3:复数    z=a+bi  与 OZ 有何关系?
    提示:也是一一对应.
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    1.复数与点,向量间的对应关系


    2.复数的模
                                        
    复数  z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为          OZ ,则  OZ 的模叫做复数      z 的模(或绝对值),

记作|z|,且|z|=|a+bi|=       a2+b2.


          
    如图  OZ1 、 OZ2 分别与复数     a+bi,
    c+di 对应.
                         
    问题  1:试写出    OZ1 、 OZ2 及 OZ1 + OZ2 、 OZ1 - OZ2 的坐标.
                    
    提示:   OZ1 =(a,b),   OZ2 =(c,d),
                       
    OZ1 + OZ2 =(a+c,b+d),     OZ1 - OZ2 =(a-c,b-d).
                    
    问题  2:向量    OZ1 + OZ2 及 OZ1 - OZ2 所对应的复数分别是什么?
    提示:(a+c)+(b+d)i      及(a-c)+(b-d)i.


    1.复数加法的几何意义
                                                
    设向量   OZ1 , OZ2 分别与复数     z1=a+bi,z2=c+di    对应,且    OZ1 和
                 
OZ2 不共线.如图,以        OZ1 , OZ2 为邻边画平行四边形         OZ1ZZ2,则其对角线
                
OZ 所表示的向量      OZ OZ 就是复数(a+c)+(b+d)i       对应的向量.
    2.复数减法的几何意义
                                 
    复数的减法是加法的逆运算,设              OZ1 , OZ2 分别与复数    a+bi,c+di    相对应,且
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  
OZ1 , OZ2 不共线,如图.


                                        
    则这两个复数的差        z1-z2 与向量   OZ1 - OZ2  (等于   Z2 Z1 )对应,这就是复数减法的几
何意义.
                                                           -    +   -
    3.设  z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则|z1-z2|=            a  c2  b  d2,
即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.


    1.复平面上点的横坐标表示复数的实部,点的纵坐标表示复数的虚部.

    2.表示实数的点都在实轴上,实轴上的点都表示实数,它们是一一对应的;表示纯虚

数的点都在虚轴上,但虚轴上的点不都表示纯虚数,如原点表示实数                             0.

    3.在平面向量中,向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同

的.


      [例   1] 实数    x 分别取什么值时,复数         z=x2+x-6+(x2-2x-15)i     对应的点

Z 在下列位置?

    (1)第三象限;(2)第四象限;(3)直线            x-y-3=0   上?

    [思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解.若已知复数                             z=a+bi(a,

b∈R),则当    a<0 且 b<0 时,复数    z 对应的点在第三象限;当          a>0 且 b<0 时,复数    z 对应的

点在第四象限;当        a-b-3=0   时,复数     z 对应的点在直线      x-y-3=0   上.

    [精解详析] 因为       x 是实数,所以      x2+x-6,x2-2x-15    也是实数.

    若已知复数     z=a+bi,则当     a<0,且    b<0 时,复数    z 对应的点在第三象限;

    当 a>0,且    b<0 时,复数    z 对应的点在第四象限;

    当 a-b-3=0    时,复数    z 对应的点在直线       x-y-3=0   上.
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                    x2+x-6<0,
    (1)当实数   x 满足{x2-2x-15<0,)即-3<x<2        时,点   Z 在第三象限.
                    x2+x-6>0,
    (2)当实数   x 满足{x2-2x-15<0,)
    即 2<x<5   时,点   Z 在第四象限.

    (3)当实数   x 满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,

    即 x=-2   时,点   Z 在直线   x-y-3=0   上.

    [一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系,每一个

复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根

据点的位置判断复数的实部、虚部的取值.


                                          2i
    1.(湖北高考改编)在复平面内,复数                z=1+i(i  为虚数单位)的共轭复数对应点位于
第________象限.
              2i    2i(1-i)   2i(1-i)
    解析:z=1+i=(1+i)(1-i)=         2   =i+1  的共轭复数为      1-i,对应的点为(1,-
1)在第四象限.

    答案:四

    2.求当实数     m 为何值时,复数       z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i       在复平面内的对应

点分别满足下列条件:

    (1)位于第四象限;

    (2)位于  x 轴的负半轴上.

                     m2-8m+15   > 0,
    解:(1)由题意,知{m2+3m-28         < 0,)
         m < 3或m > 5,
    解得{   -7 < m < 4. )
    即-70,

    ∴复数   z 在复平面内对应的点在第二象限内.

    7.在复平面内,点        A、B、C  分别对应复数       z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i.以       AB、

AC 为邻边作一个平行四边形          ABDC,求   D 点对应的复数     z4 及 AD 的长.


    解:如图,由复数加减法的几何意义,
       
     AD = AB + AC ,

    即 z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1).

    所以  z4=z2+z3-z1=7+3i.

    |AD|=|z4-z1|

    =|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2       10.


    1.复数模的几何意义

    复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法

解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.

    (1)复数  z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi);

    (2)复数  z=a+bi(a,b∈R)的对应向量         OZ―→是以原点      O 为起点的,否则就谈不上一

一对应,因为复平面上与           OZ―→相等的向量有无数个.

    2.复数的模

    (1)复数  z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=        a2+b2;

    (2)从几何意义上理解,表示点            Z 和原点间的距离,类比向量的模可进一步引申:

|z1-z2|表示点    Z1 和点 Z2 之间的距离.
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    一、填空题
                                         
    1.若  OA 、 OB 对应的复数分别是        7+i,3-2i,则|    AB |=________.
                     
    解析:∵    OA =(7,1),  OB =(3,-2),
         
    ∴ AB =  OB - OA =(-4,-3),
       
    ∴| AB |=5.

    答案:5

    2.(重庆高考改编)复平面内表示复数               i(1-2i)的点位于第________象限.

    解析:i(1-2i)=2+i      对应的点为(2,1),位于第一象限.

    答案:一

    3.若  z+|z|=2+8i,则     z=________.

    解析:法一:设       z=a+bi(a,b∈R),

    则|z|=   a2+b2,

    代入方程得     a+bi+   a2+b2=2+8i.

         a+  a2+b2=2,      a=-15,
    所以{      b=8,     )解得{   b=8,  )
    所以  z=-15+8i.

    法二:原式可化为        z=2-|z|+8i,

    ∵|z|∈R,∴2-|z|是      z 的实部.

    于是|z|=    (2-|z|)2+82,即|z|2=68-4|z|+|z|2,

    ∴|z|=17.

    代入  z=2-|z|+8i,得     z=-15+8i.

    答案:-15+8i

    4.已知   z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),若       z1+z2 所对应的点在实轴上,则           a=

________.

    解析:z1+z2=2+i+3+ai=5+(a+1)i,

    由 z1+z2 所对应的点在实轴上可知           a+1=0,即    a=-1.
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    答案:-1
                                 1
    5.(新课标全国卷Ⅰ改编)设           z=1+i+i,则|z|=________.
           1          1-i         1-i     1  1
    解析:1+i+i=(1+i)·(1-i)+i=        2 +i=2+2i,

             1    1     2
               2+   2
    则|z|=    (2)  (2) = 2 .

           2
    答案:   2
    二、解答题

    6.若复数    z=(m2+m-2)+(4m2-8m+3)i(m∈R)的共轭复数           z 对应的点在第一象限,

求实数   m 的集合.

    解:由题意得      z=(m2+m-2)-(4m2-8m+3)i,z      对应的点位于第一象限,

              m2+m-2  > 0,         m2+m-2   > 0,
    所以有{-(4m2-8m+3)      > 0,)所以{4m2-8m+3    < 0,)
         m < -2或m  > 1,
           1      3
             < m < ,
    所以{    2      2   )
          3                           3
                              m 1 < m <
    即 1
	
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