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3.2.1直线的点斜式方程

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高中数学审核员

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    给定一个点P0(x0,y0)和斜率k,或给

定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),就能确定一
条直线.能否将直线上所有点的坐标(x, y)满
足的关系表示出来?
3.2.1 直线的点斜式方程
            教学目标

  知识与能力
 理解直线方程的点斜式,斜截式的形式特点和适
用范围。
 能正确利用直线的点斜式,斜截式公式求直线方
程。
 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。
     过程与方法
 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要
素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上,
通过师生探讨,得出直线的点斜式方程;学生通过
对比理解“截距”与“距离”的区别。

     情感态度与价值观
 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数
的关系,进一步培养学生数形结合的思想,渗透数
学中普遍存在相互联系,相互转化等观点,使学生
能用联系的观点看问题。
          教学重难点

    重点

 直线的点斜式方程和斜截式方程。

    难点
 直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
     已知直线l经过已知点P0(x0,y0),并且它
  的斜率是k,求直线l的方程。
                y
                     .l
                  .  P  
                   P1
                O       x

     设点P(x,y)是直线l上不同于P0的任意
一点.根据经过两点的直线斜率公式,得

     y  y      可化为y                               y              kx               x       
 k       0                                              0                                  0
     x  x0
由以上推导可知:

   过点P(x0,y0),斜率为k的直线l上的每一点

的坐标都满足方程       y-y0=k(x-x0)。
视频:点斜式直线方程的图型描绘
          思考
    坐标满足上面方程的每一点是否都在过点P
(x0,y0),斜率为k的直线上?

           y          l


                 P0
           O           x


    (1)若x1=x0,则y1=y0,说明点P1与点P0重合,
可得点P1在直线l上.
           y


                      P0


                 P1

          O
                      x0
                 x1           x


    (2)若x1≠x0,则                ,这说明过
                  y  y0  kx  x0 
点P1和点   P0 的直线的斜率为k,可得点         P1在过点
P0(x0,y0),斜率为k的直线l上.
    以上分析说明:方程恰为过点P0(x0,y0),斜率
为k的直线l上的任一点的坐标所满足的关系式,我们

称方程                为过点P0(x0,y0),斜率为k
      y  y  kx  x 
的直线l的方程0    .       0

    这个方程由直线上一点及其斜率决定,我们叫
 做直线的点斜式方程,简称点斜式.


          y         y0            kx             x0      
        思考
   直角坐标系中所有直线都能用点斜式表示吗?
              y
                     l


             O             x

                  所以,斜率不存在,即倾
   y       y0        kx         x0    
斜角为90°的直线不能用点斜式表示.
    x轴所在直线的方程是什么?y轴所在直线的方
程是什么?           y


               O             x

        x轴所在直线的方程为y=0,
        y轴所在直线的方程为x=0。
   倾斜角为0°的直线的方程是什么?
               y

                         l
                   P0

              O             x


   此时,tan 0°=0   即k=0,这时直线与      x轴平
行或重合,直线的方程就是y-y0=0或y=y0。
    倾斜角为90°的直线的方程是什么?
              y
                     l


                      P0

             O             x

    此时,直线没有斜率,直线与y轴平行或重
合,它的方程不能用点斜式表示。直线的方程为

y-y0=0或y=y0。
        例一

     直线l经过点P(1,2),且倾斜角α=135°,求
 直线l的点斜式方程,并画出直线l。
                             y
解:直线经过点P(1,2),斜率

k=tan 120°=-1,代入点斜式方          4
程得                          Q 3
                              2 P
      y-2=-1×(x-1)            1
    画图时,只需取直线上的另            O   1 2 3  x
一点Q(x1,y1),例如取x1=0,y1=3,
得Q的坐标为(0,3)过点P,Q
的直线即为所求。
    已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是P
(0,b),求直线方程。
 代入点斜式方程,得l的直线方程:y-b=k(x-0)
 即      y  =  k x   +  b 。

                y
                  P(0,b)

                O       x
   我们把直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫
做直线l在y轴上的截距,方程          y=kx+b,由直线k与
它在y轴上的截距b确定,所以,该方程叫做直线的
斜截式方程,简称斜截式。

                y
                  (0,b)

                O        x
         思考

    截距是距离吗?

      y                   y
        (0,b)

      O       x           O       x
                           (0,b)

   截距等于b,可能为正值,也可能为负值。
所以,截距不是距离。
    直线  l 在 x 轴上的截距是什么?

               y

                    (a,0)
               O       x


    直线l与x轴交点(a ,0)的横坐标a叫做
直线l在x轴上的截距。
    观察方程y=kx+b,它的形式有什么特点?

            斜率           y轴上的截距


             y  kx  b.

    左端y的系数恒为1,右端x的系数k和常数项
b均有明显的几何意义.k是直线的斜率,b是直线
在y轴上的截距。
    例二

   斜率是5,在y轴上的截距是4的直线的点斜
式和斜截式。

 解:由已知得k=5,b=4,代入斜截式方程
     y = k x + b 。
     得到y=5x+4——斜截式
     变形得到y+1=5(x+1)——点斜式
           课堂小结

1.直线方程的两种形式:
  点斜式:
         y  y1  k(x  x1)
  斜截式:
         y  kx  b.

2.两种特殊情况:过点P(x0,y0)且与坐标轴平行的

直线的方程分别是:y=y0和x=x0。
              随堂练习

 1.填空
(1)直线m的方程为                  则直线m所过
               yx2   3(   1)
定点P的坐标是______,(-1,-2) 倾斜角是______60° 。如果直
线n也过P点,且倾斜角为直线m 的倾斜角的一半,

则直线    的方程为          3     。
      n       _______________yx2  (  1)
                     3
(2) 直线n的倾斜角为直线m的倾斜角的一半, 则
直线n的斜率也是直线m的斜率的一半。对吗?                错
 (3)直线m的方程为     y=ax+2a+1, 则直线m必过定点
(_________-2,1) 。

(4)已知直线的点斜式方程是           y-2=x-1,那么此直线
的斜率是_______1 ,倾斜角是__________45° 。
 2.一条直线经过点A(0,5),倾斜角为0°,求
 这直线方程。
                     y
                   5


                   O       x

解:这条直线经过点A(0,5),斜率是k=tan0°=0

    代入点斜式,得y  -     5  =  0
3.写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点A(3,-1),斜率是
                  2
(2)经过点B(     ,2),倾斜角是30°
           2
(3)经过点C(0,3),倾斜角是0°
((1)y4)经过点 1D( -4, 2(x-2),倾斜角是  3) 120°
            3
  (2)y 2   (x  2)
           3
  (3)y 3
  (4)y 2   3(x  4)
(5)斜率为 ,在y轴上的截距是-2。
     3
     2
(6)倾斜角是135°,在y轴上的截距是3。
(7)斜率为3,与y轴交点的纵坐标为-1。
(8)过点(3,1),①垂直于3 x轴;②垂直于y轴。
     (5)y2 x 2
     (6)y  x  3
     (7)y = 3x -1
     (8)x - 3 = 0
        y -1 = 0
4.已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5),求直
线l的方程。

解:∵直线l过点A(3,-5)和B(-2,5)


              55      
   k2                     
         L      23
    将A(3,-5),k=-2代入点斜式,得
     y-(-5) =-2(x-3),即 2x+y-1=0
5. 求与两坐标轴围成的三角形周长为9,且斜率

为 3  的直线方程。
  
  4


解:设直线的方程为          3x
                yb  
                   4
   则它与两坐标轴的交点分别为(3b/4,0)和(0,b).

   由题意知
             3b               9b2     2
           |4  |  |b|       16   b     9
    整理得    |b|=3
    ∴b=±3.


    所以直线得方程为              或    3x    . 
                     3x     y3  
                  y3        4
                     4
    6. 已知直线l过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象
    限围成的三角形面积为8,求直线l的方程。

解:设直线的方程为y-4=k(x-1)。
    则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k)
    由题意知k<0且有1/2(1-4/k)(4-k)=8。
    整理得
           (k  4)2  0


    k  4
    所以直线得方程为y-4=-4(x-1)     即y=-4x+8。
      习题答案
1.(1)y 1  2(x  3);
          3
(2)y 2    (x  2);
          3
(3)y 3 0;
(4)y 2   3(x  4)。
 2.(1)1,45 ;
 (2) 3,60 。

              3
 3.(1)y        x   2;
             2
 (2)y    2x   4。


4.(1)l12 / / l ;

(2)l12 l 。
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