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2018秋新版高中数学北师大版必修4习题:第一章三角函数 1.6

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               §6 余弦函数的图像与性质
                                         课时过关·能力提升
1.要得到函数    f(x)=sin x 的图像,可以将   g(x)=cos x 的图像(  )
A.向左平移    π 个单位长度          B.向右平移    π 个单位长度
         𝜋                  𝜋
       移   个单位长度𝐷.向右平移       个单位长度
C.向左平    2                   2
答案:D
2.函数  y=-xcos x 的部分图像是下图中的(  )


                                                                    𝜋
                                                                   0, 时
解析:因为函数      y=-xcos x 是奇函数,图像关于原点对称,所以排除选项              A,C;当 x∈(  2)  ,y=-xcos 
x<0,所以排除选项      B.故选  D.
答案:D
                    𝜋
                  +   (𝑥
3.已知函数    f(x)=cos|x| 2 ∈R),则下列叙述错误的是(  )
A.f(x)的最大值与最小值之和等于          π
B.f(x)是偶函数
C.f(x)在[4,7]上是增函数
                 𝜋 𝜋
              点   ,  成中心对称
D.f(x)的图像关于     (2 2)
                        𝜋           𝜋           𝜋
                      +  的最大值为      +  ,最小值为     +  ,最大值与最小值之和为
解析:由题意,得     f(x)=cos|x| 2        1   2        -1 2                    π,A 项正确;
B 项中,f(x)是偶函数,正确;对于       C 项,f(x)在[π,2π]上是增加的,在[2π,3π]上是减少的,而
                                   𝜋         𝜋 𝜋               𝜋 𝜋
                                 =  时       +  =  ,𝑓(𝑥)的图像关于点     , 成中心对称
π<4<2π,2π<7<3π,故 C 项说法错误;当      x  2  ,f(x)=0 2  2                (2 2)        ,正
确.故选   C.
答案:C
4.cos 110°,sin 10°,-cos 50°的大小关系为(  )
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A.cos 110°>sin 10°>-cos 50°
B.cos 110°>-cos 50°>sin 10°
C.sin 10°>-cos 50°>cos 110°
D.sin 10°>cos 110°>-cos 50°
解析:sin 10°=cos 80°,-cos 50°=cos(180°-50°)=cos 130°.因为函数 y=cos x 在[0°,180°]上是减少的,所以
cos 80°>cos 110°>cos 130°,即 sin 10°>cos 110°>-cos 50°.
答案:D
5.给出下列函数:①y=x-x3;②y=xsin x+cos x;③y=sin xcos x;④y=2x+2-x.
其中偶函数的个数为(  )
A.1            B.2         C.3       D.4
解析:由定义易判断②④为偶函数,①③为奇函数.
答案:B
6.在[0,2π]范围内,使   sin x≥|cos x|成立的 x 的取值范围为(  )
  𝜋 3𝜋 𝜋 5𝜋  5𝜋 7𝜋 𝜋 𝜋
 .  ,  𝐵. ,  𝐶.  ,   𝐷. ,
A [4 4 ] [4 4 ] [ 4 4 ] [4 2]
解析:在同一平面直角坐标系中,画出函数               y=sin x,x∈[0,2π]与函数  y=|cos x|,x∈[0,2π]的图像,如图所
                   𝜋  3𝜋
                时,       .
示,则当   sin x≥|cos x| 4≤x≤ 4


答案:A
7.若函数   y=cos x 在区间[-π,a]上是增加的,则     a 的取值范围为     . 
解析:∵y=cos x  在[-π,0]上是增加的,

    ∴-π 2的解集是               . 
              {4𝑐𝑜𝑠𝑥,0 ≤ 𝑥 < ,
8.已知函数    f(x)             2
                                          𝜋                             1
                                        <  时                            >  ,解得
解析:当   x<0 时,f(x)=x2,由 x2>2,得 x< ‒ 2;当0≤x 2  ,f(x)=4cos x,由 4cos x>2,得 cos x 2 0≤x
  𝜋
<  .
  3
                                        𝜋
                               ‒  2) ∪ 0, .
    综上,不等式    f(x)>2 的解集是(-∞,         [ 3)
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                𝜋
        ‒ 2) ∪ 0,
答案:(-∞,       [  3)

9.已知函数    y=-cos x 的图像 C1 与函数   y=sin x 的图像 C2,则下列说法中不正确的是     . 

①C1 与 C2 关于  x 轴对称;
                     𝜋
                    ‒ 对称;
②C1 与 C2 关于直线    x=  4
                    3𝜋
                  =    对称.
③C1 与 C2 关于直线    x   4
解析:在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像(图略),通过观察图像可知①不正确,②③正确.
答案:①
                               3          1
                             是  ,最小值是    ‒ ,求函数𝑔(𝑥) =‒ 4𝑎𝑠𝑖𝑛 3𝑏𝑥的最大值.
10.已知函数    f(x)=a-bcos x 的最大值  2          2
                    3          1
                   是  ,最小值是   ‒ ,
解∵函数    f(x)的最大值    2          2
                     3
               𝑎 + 𝑏 = ,     1
                            𝑎 = ,
           时         2 解得
             ,        1        2
              {𝑎 - 𝑏 = - , {𝑏 = 1;
    ∴当  b>0           2
                   3
             𝑎 - 𝑏 = ,      1
                           𝑎 = ,
         时         2  解得
           ,        1         2
            {𝑎 + 𝑏 = - , {𝑏 = - 1.
    当 b<0           2

    故 g(x)=-2sin 3x 或 g(x)=2sin 3x.
    上述两种情况下,g(x)的最大值均为           2.
                                  𝜋
                              间  -  ,0 上有实数解,求实数𝑎的取值范围.
11.已知方程    cos x-cos2x+1+a=0 在区 [  3 ]
         𝜋   1
        - ,0 , ∴
解∵x∈[    3  ] 2≤cos x≤1.
    由 cos x-cos2x+1+a=0,得 cos2x-cos x=a+1,
           1        5
    ∴ 𝑐𝑜𝑠𝑥 - 2 = 𝑎 + .
     (     2)       4
               1
       =  𝑐𝑜𝑠𝑥 - 2,
    令 y  (     2)
          1        5  1     5
           , ∴ 0 +   ≤  , ∴ ‒
    则 0≤y≤4    ≤a  4  4     4≤a≤-1,
                         5
                     是  - , - 1 .
    ∴实数   a 的取值范围      [ 4    ]
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★12.求下列函数的定义域.
(1)y = 𝑠𝑖𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥);
(2)y=lg(2sin x-1) + 1 - 2𝑐𝑜𝑠𝑥.
解(1)要使函数有意义,只需           sin(cos x)≥0.

    ∵cos x∈[-1,1],且  sin(cos x)≥0,
                                                   𝜋            𝜋
                     =  𝑠𝑖𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)的定义域为 𝑥 2𝑘𝜋 - ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘𝜋 + ,𝑘 ∈ 𝑍 .
    ∴cos x∈[0,1].∴y                        { |     2             2       }
                 2𝑠𝑖𝑛𝑥 - 1 > 0,
              得
    (2)依题意,     {1 - 2𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0,

             1
       𝑠𝑖𝑛𝑥 > ,
    即        2
             1
      {𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ ,
             2

          𝜋            5𝜋
    2𝑘𝜋 + < 𝑥 < 2𝑘𝜋 + (𝑘 ∈ 𝑍),
           6             6
          𝜋            5𝜋
    {2𝑘𝜋 + ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘𝜋 + (𝑘 ∈ 𝑍).
           3             3
              𝜋         5𝜋
            +          +    (𝑘
    解得   2kπ  3≤x<2kπ     6   ∈Z).
                                𝜋      5𝜋
                        为 2𝑘𝜋 + ,2𝑘𝜋 +  (𝑘
    故所给函数的定义域             [     3        6 )  ∈Z).
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