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上海市杨浦区2018届高考二模数学试题含答案

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              上海市杨浦区            2018   届高三二模数学试卷

                                                                         2018.04

一.  填空题(本大题共        12 题,1-6 每题  4 分,7-12  每题  5 分,共   54 分)

1. 函数  y  lg x 1 的零点是        
             2n
2. 计算:   lim               
         n 4n 1
3. 若 (1 3x)n 的二项展开式中     x2 项的系数是    54 ,则  n          

4. 掷一颗均匀的骰子,出现奇数点的概率为        
               x  y  0
               
5. 若 x 、 y 满足  x  y  2 ,则目标函数    f  x  2y 的最大值为        
                                                          
               y  0
6. 若复数   z 满足  z 1,则   z  i 的最大值是        
                                                              3       3
7. 若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为                  3、3、2  的三角形,
则该圆锥的体积是        
                                                                  2
           x2  16y2
8. 若双曲线             1 ( p  0) 的左焦点在抛物线     y2  2 px 的准线上,则    p          
           3    p2
                                  3
9. 若 sin(x  y)cos x  cos(x  y)sin x  ,则 tan 2y 的值为         
                                  5
                                       2       1     2
10. 若{an}为等比数列,       an  0 ,且 a2018   ,则            的最小值为        
                                       2     a2017 a2019
11. 在△ABC   中,角    A、B、C   所对的边分别为       a、b、c,   a  2 , 2sin A  sinC . 
                      1
若  B 为钝角,   cos2C    ,则   ABC  的面积为        
                      4
                uuur uuur          uuur   1  uuur  m   uuur
12. 已知非零向量      OP 、 OQ 不共线,设     OM        OP      OQ  ,定义点集
                                        m 1      m 1
        uur uuur  uuur uuur
        FP  FM   FQ  FM
 A  {F | uur      uuur }. 若对于任意的      m  3 ,当 F1 , F2  A 且不在直线    PQ 上时,
         | FP |    | FQ |
       uuuur     uuur
不等式|   F1F2 |  k | PQ | 恒成立,则实数  k 的最小值为        

二.  选择题(本大题共        4 题,每题   5 分,共   20 分)

13. 已知函数    f (x)  sin(x ) (  0 , | |  ) 的图象如图所示,则  的值为(    )  

                                                        y
   A.                      B.                              1
      4                      2

                                                               
   C.                     D.                            O                x
        2                       3                                4    2

                                                          1
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14. 设 A、B  是非空集合,定义:          A B  {x | x  A U B 且 x  A I B} .

已知   A  {x | y  2x  x2 }, B  {x | x  1},则 A B 等于(    )

   A. [0,1]U(2,)       B.  [0,1) U(2,)       C. [0,1]      D.  [0,2]

         2    2       2    2          a1  b1
15. 已知  a1  b1  0 , a2  b2  0 ,则“        0 ”是“直线    l1 : a1x  b1 y  c1  0 与
                                      a2 b2

 l2 : a2 x  b2 y  c2  0 平行”的(    )条件             

   A. 充分非必要           B. 必要非充分          C. 充要       D. 既非充分也非必要

                        45
16. 已知长方体的表面积为            ,棱长的总和为       24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大
                        2
值为(       )
            1                2                3                 6
   A. arccos       B. arccos         C. arccos        D. arccos
            3                3                9                9

三.  解答题(本大题共        5 题,共  14+14+14+16+18=76 分)
17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用,

据市场分析,每辆单车的营运累计利润                 y(单位:元)与营运天数           x (x  N* ) 满足函数关系
        1
式  y   x2  60x  800 .
        2
(1)要使营运累计利润高于            800 元,求营运天数的取值范围;
                                                   y
(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润                          的值最大?
                                                   x


18. 如图,在棱长为       1 的正方体   ABCD   A1B1C1D1 中,点  E 是棱  AB 上的动点.

(1)求证:     DA1  ED1 ;

                                      
(2)若直线     DA1 与平面   CED1 所成的角是     45 ,请你确定点
E 的位置,并证明你的结论.
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19.      已知数列{an}    ,其前   n 项和为   Sn ,满足  a1  2 , Sn  nan  an1 ,其中 n  2 ,

 n  N* ,
  ,   R .

                                         *
(1)若     0 ,   4 , bn  an1  2an ( n  N ),求数列{bn} 的前 n 项和;
                       3
(2)若   a   3,且      ,求证:数列{a      } 是等差数列.
        2              2               n


20. 已知椭圆     : 9x2  y2  m2 (m  0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,         l 与  有两 

个交点    A、B,线段    AB 的中点为    M.
                                                              
(1)若   m  3 ,点  K 在椭圆    上,  F1 、 F2 分别为椭圆的两个焦点,求          KF1  KF2 的范围;

(2)证明:直线       OM  的斜率与    l 的斜率的乘积为定值;
              m
(3)若   l 过点  (  ,m) ,射线  OM  与  交于点   P,四边形     OAPB  能否为平行四边形? 
              3
  若能,求此时      l 的斜率;若不能,说明理由.


21. 记函数   f (x) 的定义域为    D. 如果存在实数     a 、 b 使得   f (a  x)  f (a  x)  b 对任意满

足  a  x  D 且 a  x  D 的 x 恒成立,则称  f (x) 为  函数.
                  1
(1)设函数      f (x)  1,试判断    f (x) 是否为   函数,并说明理由;
                  x
                   1
(2)设函数     g(x)       ,其中常数     t  0 ,证明:  g(x) 是  函数;
                  2x  t

(3)若   h(x) 是定义在    R 上的   函数,且函数      h(x) 的图象关于直线      x  m (m 为常数)对称,

试判断   h(x) 是否为周期函数?并证明你的结论.
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              上海市杨浦区            2018   届高三二模数学试卷

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一.  填空题(本大题共        12 题,1-6 每题  4 分,7-12  每题  5 分,共   54 分)

1. 函数  y  lg x 1 的零点是        

【解析】    lg x 1  0  x  10
             2n
2. 计算:   lim               
         n 4n 1
         1
【解析】
         2
3. 若 (1 3x)n 的二项展开式中     x2 项的系数是    54 ,则  n          

          2 2
【解析】    Cn 3  54  n  4

4. 掷一颗均匀的骰子,出现奇数点的概率为        
         1
【解析】
         2
               x  y  0
               
5. 若 x 、 y 满足  x  y  2 ,则目标函数    f  x  2y 的最大值为        
               
               y  0
【解析】三个交点为         (1,1) 、 (0,0) 、 (2,0) ,所以最大值为   3

6. 若复数   z 满足  z 1,则   z  i 的最大值是                        

【解析】结合几何意义,单位圆上的点到                  (0,1) 的距离,最大值为      2
                                                              3       3
7. 若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为                  3、3、2  的三角形,
则该圆锥的体积是        
                                                                  2
            1          2 2
【解析】V          2 2    
            3           3
           x2  16y2
8. 若双曲线             1 ( p  0) 的左焦点在抛物线     y2  2 px 的准线上,则    p          
           3    p2
            p2   p2
【解析】    3          p  4
           16    4
                                  3
9. 若 sin(x  y)cos x  cos(x  y)sin x  ,则 tan 2y 的值为         
                                  5
                3           3            24
【解析】    sin y   , tan y   , tan 2y  
                5           4            7
                                       2       1     2
10. 若{an}为等比数列,       an  0 ,且 a2018   ,则            的最小值为        
                                       2     a2017 a2019
          1     2    a    2a      2 2a
【解析】                  2019   2017      2018
                        2          2     4
         a2017 a2019     a2018      a2018
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11. 在△ABC 中,角   A、B、C  所对的边分别为      a、b、c,  a  2 , 2sin A  sinC . 
                   1
若 B 为钝角,   cos2C   ,则 ABC  的面积为        
                   4
                                      1          10          6
【解析】   a  2 , c  4 , cos2C  1 2sin2 C    sinC  , cosC  ,
                                      4          4          4
       10          54                   15      1        15
sin A    , cos A   , sin B  sin(A  C)  , S   2 4    15
       8           8                    4       2        4
              uuur uuur        uuur  1  uuur  m  uuur
12. 已知非零向量   OP 、 OQ 不共线,设    OM       OP     OQ  ,定义点集
                                    m 1    m 1
       uur uuur uuur uuur
       FP  FM FQ  FM
A  {F | uur    uuur }. 若对于任意的    m  3 ,当 F1 , F2  A 且不在直线 PQ 上时,
        | FP |   | FQ |
      uuuur   uuur
不等式|  F1F2 |  k | PQ | 恒成立,则实数 k 的最小值为        
                                      m 1           m 1  1
【解析】建系,不妨设        P(1,0) , Q(1,0) ,∴ M ( ,0) , m  3 ,  [  ,1) ,
                                      m 1           m 1  2
  FP   MP                  (x 1)2  y2       5        9
∴         3 ,设 F(x, y) ,∴          9 ,即 (x  )2  y2  ,点 F 在此圆内,
  FQ   MQ                  (x 1)2  y2       4        16

  uuuur      3  3   3          3
∴| F F |  2   ,    2k  k 
   1 2 max   4  2   2          4

二. 选择题(本大题共      4 题,每题   5 分,共  20 分)

13. 已知函数  f (x)  sin(x ) (  0 , | |  ) 的图象如图所示,则 的值为(    )  

                                                  y
  A.                      B.                        1
     4                    2

                                                        
   C.                   D.                        O              x
      2                     3                             4   2
                                 
【解析】T      ,  2 , f ( )  1    ,选 C         1
                       2           2
14. 设 A、B 是非空集合,定义:        A B  {x | x  A U B 且 x  A I B} .

已知  A  {x | y  2x  x2 }, B  {x | x  1},则 A B 等于(    )

  A. [0,1]U(2,)       B.  [0,1) U(2,)       C. [0,1]      D.  [0,2]

【解析】   A  [0,2] , A U B  [0,) , A I B  (1,2] ,选 A

        2   2      2   2         a1  b1
15. 已知 a1  b1  0 , a2  b2  0 ,则“    0 ”是“直线   l1 : a1x  b1 y  c1  0 与
                                 a2  b2

l2 : a2 x  b2 y  c2  0 平行”的(    )条件             

  A. 充分非必要         B. 必要非充分        C. 充要       D. 既非充分也非必要
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         a   b
【解析】      1   1  0 推出直线平行或重合,选         B
         a2  b2
                        45
16. 已知长方体的表面积为            ,棱长的总和为       24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大
                        2
值为(       )
            1                2                3                 6
   A. arccos       B. arccos         C. arccos        D. arccos
            3                3                9                9
                                         45                            27
【解析】设三条棱        a  b  c ,∴ ab  ac  bc  , a  b  c  6 , a2  b2  c2  ,
                                         4                             2
                            45
 a2  b2  c2  a2  2bc  a2  2[  a(6  a)] ,整理得 a2  4a  3  0 ,∴1  a  2 , 
                            4
                           3  6           2     6
∴最短棱长为      1,体对角线长为            , cos          ,选  D
                             2          3  6   9

三.  解答题(本大题共        5 题,共  14+14+14+16+18=76 分)
17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用,

据市场分析,每辆单车的营运累计利润                 y(单位:元)与营运天数           x (x  N* ) 满足函数关系
        1
式  y   x2  60x  800 .
        2
(1)要使营运累计利润高于            800 元,求营运天数的取值范围;
                                                   y
(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润                          的值最大?
                                                   x
                                            1
【解析】(1)要使营运累计收入高于                800 元,令     x2  60x 800  800 , ……2 分
                                            2
解得  40  x  80 .                          ………………………………………5            分
所以营运天数的取值范围为            40 到 80 天之间          .………………………………7           分
      y    1   800
(2)       x      60  2 400  60  20      …………………………………9          分   
      x    2    x
        1    800
当且仅当      x     时等号成立,解得        x  400               …………………………12        分    
         2    x
所以每辆单车营运        400 天时,才能使每天的平均营运利润最大,最大为                    20 元每天   .…14 分


18. 如图,在棱长为       1 的正方体   ABCD   A1B1C1D1 中,点  E 是棱  AB 上的动点.

(1)求证:     DA1  ED1 ;

                                      
(2)若直线     DA1 与平面   CED1 所成的角是     45 ,请你确定点       E 的位置,并证明你的结论.

【解析】以     D 为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则                  D(0,0,0) , A(1,0,0) , B(1,1,0) ,

                                                              z
 C(0,1,0) ,D (0,1,2) ,A (1,0,1),设 E(1,m,0) (0  m  1)
            1         1                                      D1         C1

                                                A
(  )证明:               ,                       分            1         B1
  1        DA1  (1,0,1) ED1  (1,m,1) ………2

                                                             D
                                                                        C y

                                                          A     E   B
                                                         x
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   
  DA1  ED1  1 (1)  0  (m) 11  0 ………4 分

 所以   DA1⊥ED1. ……………6     分
另解:                 ,所以                                                  分
       AE  平面ADA1         AE  A1D .                           ……………2

又  A1D  AD1 ,所以  A1D  平面D1  AE .                  ……………………………4          分

所以   DA  ED                                        ……………………………6           分
       1     1                                      

(2)以    A 为原点,AB    为 x 轴、AD   为 y 轴、AA1  为 z 轴建立空间直角坐标系…………7             分
所以          、       、        、        ,设         ,则                    分
     A1(0,0,1) D(0,1,0) C(1,1,0) D1(0,1,1) AE  t    E(t,0,0)     ………8

                                    
                                    nCD1  0     x  z  0
设平面    CED1 的法向量为    n  (x, y, z) ,由        可得              ,
                                                   (t 1)x  y  0
                                    nCE  0    
    z  x
所以            ,因此平面     CED1 的一个法向量为       (1,t 1,1)                ………10 分
    y  (t 1)x

                                               | DA n |
由直线       与平面        所成的角是        ,可得               1                     分
      DA1       CED1           45       sin 45                    ……11
                                                | DA1 || n |
      2       |1 t 1|            1
可得                       ,解得t                                   ………13  分
     2     2  1 (t 1)2 1       2

由于       ,所以直线         与平面        所成的角是        时,点    在线段      中点处        分
     AB=1          DA1       CED1           45       E       AB       . …14


19.      已知数列{an}    ,其前   n 项和为   Sn ,满足  a1  2 , Sn  nan  an1 ,其中 n  2 ,

 n  N* ,
  ,   R .

                                         *
(1)若     0 ,   4 , bn  an1  2an ( n  N ),求数列{bn} 的前 n 项和;
                       3
(2)若   a   3,且      ,求证:数列{a      } 是等差数列.
        2              2               n

【解析】(1)      Sn  4an1 ,所以 Sn1  4an .两式相减得   Sn1  Sn  4an  4an1 .

即  an1  4an  4an1                                               ………2   分

所以  an1  2an  2(an  2an1) ,即 bn  2bn1 ,                      ………3   分

又  S2  4a1  8,所以 a2  S2  a1  6 ,得 b1  a2  2a1  2                  ………4 分

                                                 n             n1
因此数列{bn}    为以  2 为首项,2    为公比的等比数列.       bn  2 ,前  n 项和为   2    2    …7 分

(2)当    n = 2 时, S2  2a2  a1 ,
                            3              1
所以3   2  6  2 . 又     ,可以解得      ,    1                ………9   分
                            2              2
         n                n 1                        n 1     n
所以   S    a  a  , S        a   a ,两式相减得      a       a     a  a  a
      n  2  n   n1  n1   2   n1  n             n1  2   n1 2  n   n   n1
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   n 1     n  2
即      a       a  a  . 猜想  a  n 1,下面用数学归纳法证明:                 ………10   分
    2   n1  2   n   n1      n

①  当  n = 1 或 2 时, a1  2 11, a2  3  2 1,猜想成立;

                      *
②  假设当   n  k ( k  N ,k  2 )时, ak  k 1  成立
                       2   k  2          2   k  2
则当  n  k 1时,  a        (    a  a  )     (    (k 1)  k)  k  2 猜想成立.
                 k 1 k 1  2   k   k 1 k 1  2

由①、②可知,对任意正整数             n, an  n 1.                        ………13   分

所以  an1  an 1为常数,所以数列{an}       是等差数列.                      ………14   分

另解:若    a2  3 ,由 a1  a2  2a2  a1 ,得 5  6  2 ,
         3           1
又      ,解得      ,    1 .                                   ………9 分
         2           2
                     1
由  a1  2 , a2  3,    ,  1,代入   Sn  nan  an1 得 a3  4 ,
                     2
                                 n                 n 1
所以  a , a  , a 成等差数列,由       S   a  a  ,得  S        a   a ,
     1   2    3               n  2 n   n1    n1   2   n1  n
                 n 1      n
两式相减得:      a       a     a  a  a  ,即  (n 1)a  (n  2)a  2a  0
             n1   2  n1  2 n   n  n1          n1       n    n1

所以   nan2  (n 1)an1  2an  0                                     ………11 分

相减得:    nan2  2(n 1)an1  (n  2)an  2an  2an1  0

所以  n(an2  2an1  an )  2(an1  2an  an1 )  0
                      2                   22
所以  (a    2a   a )   (a  2a  a )       (a  2a   a  )
      n2   n1  n    n  n1   n   n1  n(n 1) n    n1  n-2
              (2)n1
                 (a  2a  a ) ,      
            n(n 1)2  3    2  1

因为  a1  2a2  a3  0 ,所以 an2  2an1  an  0 ,即数列{an} 是等差数列.………14   分

20. 已知椭圆     : 9x2  y2  m2 (m  0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,         l 与  有两 

个交点    A、B,线段    AB 的中点为    M.
                                                              
(1)若   m  3 ,点  K 在椭圆    上,  F1 、 F2 分别为椭圆的两个焦点,求          KF1  KF2 的范围;

(2)证明:直线       OM  的斜率与    l 的斜率的乘积为定值;
              m
(3)若   l 过点  (  ,m) ,射线  OM  与  交于点   P,四边形     OAPB  能否为平行四边形? 
              3
  若能,求此时      l 的斜率;若不能,说明理由.

                      2   2
【解析】(1)椭圆         :9x  y  9 ,两个焦点     F1(0,2 2) 、 F2 (0,2 2) ,设 K(x, y)

                                           2   2
所以   KF1  KF2  (x,2 2  y)(x,2 2  y)  x  y 8
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       2  2           2       2             2        2         2
由于9x     y  9 ,所以  y  9  9x , KF1  KF2  x  (9  9x ) 8  8x 1  …3 分

由椭圆性质可知       1  x 1,所以   KF1  KF2 [7,1]     ……………5     分

(2)设直线l     : y  kx  b (b  0,k  0 ), A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) , M (x0 , y0 ) ,

                  2        2    2                2    2         2    2
所以   x1、x2 为方程9x    (kx  b)  m 的两根,化简得      (k  9)x  2kbx  b  m  0 ,
         x  x      kb                  k 2b       9b
所以   x   1  2        , y  kx  b        b      .     ……………8     分
     0     2      k 2  9  0    0      k 2  9    k 2  9
      y     9
       0      ,所以直线         的斜率与     的斜率的乘积等于          为定值              分
 kOM                 OM          l                9      . …………10
      x0    k
                 m
(3)∵直线     l 过点 (  ,m) ,∴  l 不过原点且与     C 有两个交点的充要条件是          k  0 , k  3 .
                  3
                            m                              mk
设  P(x , y )  设直线l : y  k(x  )  m ( m  0,k  0 ),即 y  kx   m .
      p  p                   3                              3
                           9                                   m2k 2
由(2)的结论可知OM          : y   x ,代入椭圆方程     9x2  y 2  m2 得 x2      …12 分
                           k                               p  9k 2  81
                            mk         km
                       (m    )k  9(m   )
由(2)的过程得中点         M (     3    ,      3 ) ,                 ……………14     分
                         k 2  9   k 2  9
若四边形          为平行四边形,那么            也是     的中点,所以             ,
        OAPB                    M      OP             2x0  x p
         mk 2
    mk             2 2
                  m  k
得  4(     3  )2        ,解得   k  4  7
      k 2  9    9k 2  81

所以当   l 的斜率为    4  7 或 4  7 时,四边形    OAPB  为平行四边形.        ……………16     分


21. 记函数   f (x) 的定义域为    D. 如果存在实数     a 、 b 使得   f (a  x)  f (a  x)  b 对任意满

足  a  x  D 且 a  x  D 的 x 恒成立,则称  f (x) 为  函数.
                  1
(1)设函数      f (x)  1,试判断    f (x) 是否为   函数,并说明理由;
                  x
                   1
(2)设函数     g(x)       ,其中常数     t  0 ,证明:  g(x) 是  函数;
                  2x  t

(3)若   h(x) 是定义在    R 上的   函数,且函数      h(x) 的图象关于直线      x  m (m 为常数)对称,

试判断   h(x) 是否为周期函数?并证明你的结论.
                   1
【解析】(1)       f (x)  1是  函数                                  . ……1 分
                    x
                1
理由如下:      f (x)  1的定义域为{x     | x  0},
                 x
只需证明存在实数        a , b 使得   f (a  x)  f (a  x)  b 对任意 x  a 恒成立.
                            1     1                  a  x  a  x
由  f (a  x)  f (a  x)  b ,得      2  b ,即b  2           .
                          a  x a  x                (a  x)(a  x)
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            2  2
所以  (b  2)(a  x )  2a 对任意 x  a 恒成立.   即b   2,a  0. 
从而存在    a  0,b  2 ,使 f (a  x)  f (a  x)  b 对任意 x  a 恒成立.
          1
所以   f (x)  1是  函数.                                     …………4    分
           x

(2)记   g(x) 的定义域为     D ,只需证明存在实数        a , b 使得当   a  x  D 且 a  x  D 时,
                                1       1
 g(a  x)  g(a  x)  b 恒成立,即               b 恒成立.
                             2ax  t 2ax  t
所以  2ax  t  2ax  t  b(2ax  t)(2ax  t) ,                          ……5 分

化简得,    (1 bt)(2ax  2ax )  b(22a  t 2 )  2t .

                                                1
所以1   bt  0 ,b(22a  t 2 )  2t  0 . 因为 t  0 ,可得 b  , a  log | t | ,
                                                 t        2
                                      1
即存在实数     a , b 满足条件,从而       g(x)      是  函数.            …………10    分
                                    2x  t
(3)函数    h(x) 的图象关于直线      x  m ( m 为常数)对称,

所以  h(m  x)  h(m  x)         (1),                  ……………12   分

又因为   h(a  x)  h(a  x)  b     (2),       

所以当   m   a 时, h(x  2m  2a)  h[m  (x  m  2a)]

由(1)          h[m  (x  m  2a)]  h(2a  x)  h[a  (a  x)]

由(2)          b  h[a  (a  x)]  b  h(x)      (3)

所以  h(x  4m  4a)  h[(x  2m  2a)  2m  2a]  b  h(x  2m  2a)

(取  t  x  2m  2a 由(3)得)

再利用(3)式,       h(x  4m  4a)  b [b  h(x)]  h(x) .

所以   f (x) 为周期函数,其一个周期为          4m  4a .                   ……………15   分

当  m  a 时,即  h(a  x)  h(a  x) ,又 h(a  x)  b  h(a  x) ,
             b
所以  h(a  x)  为常数.   所以函数    h(x) 为常数函数,
             2
               b
 h(x 1)  h(x)  , h(x) 是一个周期函数.                        ……………17     分
               2
综上,函数     h(x) 为周期函数                                    ……………18     分

            (其他解法参考评分标准,酌情给分)
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