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2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业:选修4-5 不等式选讲 61 Word版含答案

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高中数学审核员

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课时作业     61 绝对值不等式

    1.(2018·合肥市第二次质量检测)已知函数             f(x)=|x-4|+|x-
a|(a∈R)的最小值为     2.
    (1)求实数  a 的值;
    (2)解不等式   f(x)≤5.
    解析:(1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,从而解得        a=2.
    (2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|=Error!.
    结合函数    y=f(x)的图象和,不等式        f(x)≤5 的解集为Error!.
    2.(2018·江苏三校联考)已知函数          f(x)=|x-a|,其中  a>1.
    (1)当 a=2 时,求不等式      f(x)≥4-|x-4|的解集;
    (2)已知关于   x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2   的解集为
{x|1≤x≤2},求   a 的值.
    解析:(1)当   a=2  时,f(x)+|x-4|=
    Error!
    当 x≤2  时,由   f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,
    解得  x≤1;
    当 29;
    (2)设关于  x 的不等式    f(x)≤|x-4|的解集为    A,B={x∈R||2x-
1|≤3},如果    A∪B=A,求实数      a 的取值范围.
    解析:(1)当   a=5  时,   f(x)=|x+5|+|x-2|.
    ①当  x≥2  时,由   f(x)>9,得 2x+3>9,解得    x>3;
    ②当-5≤x<2    时,由   f(x)>9,得  7>9,此时不等式无解;
    ③当  x<-5  时,由   f(x)>9,得-2x-3>9,解得      x<-6.
    综上所述,当      a=5 时,关于     x 的不等式   f(x)>9 的解集为
{x∈R|x<-6  或 x>3}.
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    (2)∵A∪B=A,∴B⊆A.
    又 B={x||2x-1|≤3}={x∈R|-1≤x≤2},关于        x 的不等式
f(x)≤|x-4|的解集为   A,
    ∴当-1≤x≤2     时,f(x)≤|x-4|恒成立.
    由 f(x)≤|x-4|得|x+a|≤2.
    ∴当-1≤x≤2     时,|x+a|≤2   恒成立,即-2-x≤a≤2-x         恒成
立.
    ∴实数   a 的取值范围为[-1,0].
    4.(2018·南昌市第一次模拟)已知函数           f(x)=|2x-a|+|x-1|,
a∈R.
    (1)若不等式   f(x)≤2-|x-1|有解,求实数       a 的取值范围;
    (2)当 a<2 时,函数   f(x)的最小值为    3,求实数     a 的值.
                                     a
                                   x-
    解析:(1)由题    f(x)≤2-|x-1|,可得|     2|+|x-1|≤1.
                            a        a
                          x-          -1
    而由绝对值的几何意义知|            2|+|x-1|≥|2 |,
                                a
                                 -1
    由不等式    f(x)≤2-|x-1|有解,得|2     |≤1,即   0≤a≤4.
    故实数   a 的取值范围是[0,4].
                                       a
    (2)函数  f(x)=|2x-a|+|x-1|,当  a<2,即2<1  时,
    f(x)=Error!
                a    a

    所以  f(x)min=f(2)=-2+1=3,得   a=-4<2(符合题意),故       a=
-4.
    5.(2018·长春二模)已知函数        f(x)=|x-1|+|x-a|.
    (1)当 a=2 时,求不等式      f(x)≥3 的解集;
    (2)如果对任意的     x∈R,f(x)≥2   恒成立,求实数       a 的取值范
围.
    解析:解法一:(1)当       a=2  时,f(x)=|x-1|+|x-2|.
    由 f(x)≥3 得|x-1|+|x-2|≥3,
    由绝对值的几何意义知不等式的解集为(-∞,0]∪[3,+∞).
    (2)若 a=1,则   f(x)=2|x-1|,显然不满足题设条件;
    若 a<1,则   f(x)=Error!,易知 f(x)的最小值为    1-a;
    若 a>1,则   f(x)=Error!,易知 f(x)的最小值为    a-1.
    所以对于任意的       x∈R,f(x)≥2  恒成立的充要条件是|a-1|≥2,
解得  a≤-1   或 a≥3,
    从而可得实数      a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
    解法二:(1)同解法一;
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    (2)根据绝对值的几何性质可知,f(x)=|x-1|+|x-a|表示              x 轴上
的点  x 到 1 和 a 两点的距离之和,
    所以  f(x)的最小值为|a-1|,
    故对任意的     x∈R,f(x)≥2  恒成立的充要条件是|a-1|≥2,
    故实数   a 的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
                          [能力挑战]
    6.(2017·新课标全国卷Ⅲ)已知函数           f(x)=|x+1|-|x-2|.
    (1)求不等式   f(x)≥1 的解集;
    (2)若不等式   f(x)≥x2-x+m  的解集非空,求       m 的取值范围.
    解析:(1)f(x)=Error!
    当 x<-1   时,f(x)≥1  无解;
    当-1≤x≤2    时,由   f(x)≥1,得  2x-1≥1,解得     1≤x≤2;
    当 x>2  时,由   f(x)≥1,解得   x>2.
    所以  f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}.
    (2)由 f(x)≥x2-x+m,得
    m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
                                                  3
                                                |x|-
    而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-(       2)2+
5  5
4≤4,
           3                       5
    且当  x=2时,|x+1|-|x-2|-x2+x=4,
                        5
                    -∞,
    故 m 的取值范围为(         4].
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