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高中数学人教A版必修5导学案:1.1.2余弦定理(学生版+教师版

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                              §1.1.2   余弦定理

1.新课引入
    我们知道,正弦定理可以解决“已知两角和任意边,求其他两边和一角”以及“已知两
边和其中一边的对角”,思考,已知两边及夹角,如何解此三角形呢?
    若△ABC   为任意三角形,已知角          C,a,b,求边     c.


    问题:在    ABC  中,  AB . BC . CA 的长分别为     c . a . b .
                 2 2  
     ∵  AB  CB  CA ,∴ AB  AB  (CB  CA)  (CB  CA)  CB  CA  2CACB ,
    化简得:    c2  a2  b2  2abcosC ,
    同理可得:      a2  b2  c2  2bccos A , b2  a2  c2  2accosC .
2.余弦定理
    余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的两倍.
    即:  c2  a2  b2  2abcosC , a2  b2  c2  2bccos A , b2  a2  c2  2accosC .
    思考:这个式子中有几个量?
3.对余弦定理的理解
    从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?
    (1)已知三边,求三个角;
    (2)已知两边及夹角,求第三边和其他两个角.
    (3)判断三角形的形状.
                                        a2  b2  c2      b2  c2  a2
    从余弦定理,又可得到以下推论:               cosC           , cos A          ,
                                           2ab               2bc
       a2  c2  b2
 cos B         .
          2ac
    (4)若   C= 90 ,则 cosC  0,这时  c2  a2  b2 ,

※  典型例题
考点   1.已知三角形的两边及夹角求解三角形
【例   1】在△ABC    中,已知    b  3,c  2 3,A  30 ,解此三角形.
                                                2
解:由余弦定理,        a2  b2  c2  2bc cos A  32  2 3  23 2 3cos30  3 ,
a    3
                                             1
                                          3
             a      b            bsin A           3
由正弦定理得                   sin B            2     b  c,B   60
            sin A  sin B            a       3    2
C  180  A  B  90

变式   1.若  b  3,c 1, A  60 ,则 a  ___7____
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                                         3
变式  2.在△ABC  中,已知    AB   2, BC 1,cosC  ,则  AC   _____2____
                                         4
变式  3.在△ABC  中,已知    a=2,b=2   2,C=15°,求角   A.
    分析:已知两边       a=2,b=2    2及其夹角    C=15°,故可利用余弦定理求出边
c,已知三边求角       A,可用余弦定理的变形解决.
                                                                2  3
    解析:cosC=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°·cos30°+sin45°sin30°=    2 × 2 +
 2 1   6+  2
2 ×2=   4  .
    由余弦定理,得       c2=a2+b2-2abcosC=4+8-2      2×( 6+  2)=8-4   3,∴c=
 6- 2.
            b2+c2-a2   3
    ∴cosA=    2bc   = 2 .    又∵0°0).
                        b2+c2-a2  6k2+  3+12k2-4k2   2
    由余弦定理,得       cosA=    2bc  =   2 × 6k ×  3+1k = 2 ,
                  a2+c2-b2  4k2+  3+12k2-6k2  1
    ∴A=45°.cosB=     2ac  =   2 × 2k ×  3+1k =2,
    ∴B=60°.∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
                                                             2
                                                          6 ×
                                  a    b           bsinA     2   3
    方法二:由方法一可得          A=45°.由sinA=sinB,得   sinB=   a =   2  =  2 ,
∴B=60°或   120°.
    又∵bc>b,∴A        为最大角.由余弦定理,有            cosA=    2bc  =-2,
                   3
∴A=120°,∴sinA=     2 .
                        c     5   3  5 3
    由正弦定理,得       sinC=asinA=7×  2 = 14 .


1.在△ABC    中,A,B,C     的对边分别为       a,b,c,若    a=c=   6+  2,且  B=
30°,则  b=(  )
    A.2        B.4+2   3     C.4-2   3      D. 6-  2
    解析:在△ABC      中,B=30°,由余弦定理知          b2=a2+c2-2ac·cos30°,∴b2=
                      3
2( 6+ 2)2-2( 6+ 2)2× 2 =(2-  3)( 6+ 2)2=4(2+  3)(2- 3)=4,∴b=2,故选
A.
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    答案:A
2.在△ABC    中,若   a=10,b=24,c=26,则最大角的余弦值是(  )
      12         5                   2
    A.13       B.13       C.0      D.3
    解析:∵c>b>a,∴c      所对的角     C 为最大角,由余弦定理得           cosC=
a2+b2-c2
   2ab  =0.  答案:C
                                         c2  a2  b2
3.在 ABC  中,A,B,C   的对边分别为     a,b,c,若            0 ,则 ABC (        C   
                                            2ab
)
     A.一定是锐角三角形                B.一定是直角三角形
     C.一定是钝角三角形                D.是锐角或直角三角形
4.边长为    5,7,8 的三角形的最大角与最小角之和为(  )
    A.90°       B.120°      C.135°     D.150°
    解析:设长为      7 的边所对的角为       θ,由已知条件可知角          θ 为中间
           52+82-72   1
角.∵cosθ=    2 × 5 × 8 =2,∴θ=60°,
    ∴最大角与最小角的和为           120°.  答案:B

5.在 ABC  中,若  b2  a 2  c2  ac ,则 B 为(  C  )

     A.60°       B.45°或   135° C.120°        D.30°
                                            1
6.△ABC   的两边长分别为       2,3,其夹角的余弦值为3,则其外接圆半径为(  )
      9 2       9 2      9 2        2 2
    A. 2       B. 4      C. 8       D. 9
                                             1       2 2
    解析:答案     C.  不妨设    c=2,b=3,则     cosA=3,sinA=   3 .
                                               1               a
    ∵a2=b2+c2-2bccosA,∴a2=32+22-2×3×2×3=9,∴a=3.∵sinA=
                 3
           a      2 2 9 2
               2 ×
2R,∴R=2sinA=       3 = 8 .
7.在△ABC  中,已知    A=30°,且  3a= 3b=12,则  c 的值为(  )
    A.4       B.8      C.4  或  8  D.无解
    解析:由    3a=  3b=12,得   a=4,b=4    3,利用余弦定理可得          a2=b2+c2-
2bccosA,即  16=48+c2-12c,解得      c=4 或  c=8.
    答案:C
8.若△ABC    的内角   A,B,C    所对的边    a,b,c   满足(a+b)2-c2=4,且      C=
60°,则  ab 的值为(  )
                                   4           2
    A.8-4   3         B.1        C.3         D.3
    解析:答案     C.    ∵C=60°,∴c2=a2+b2-2abcos60°,即        c2=a2+b2-ab. 
①
    又∵(a+b)2-c2=4,∴c2=a2+b2+2ab-4. ②
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                                  4
    比较①②知-ab=2ab-4,∴ab=3.
 .△      的三边长分别为          =  ,   =  ,    =  ,则  →  → 的值为      
9    ABC               AB   7  BC  5  CA   6    AB·BC      (    )
    A.19     B.14     C.-18     D.-19
                                AB2+BC2-AC2    19
    解析:由余弦定理的推论               =    2AB·BC    =35,又   →  → =
                          cosB                      AB·BC
                          19
                        -
→   →      -   =  ×  ×(   35)=-      答案:
|AB|·|BC|·cos(π B) 5 7          19.        D
10.在△ABC    中,内角    A,B,C    所对的边分别是       a,b,c.已知    8b=5c,∠C=
2∠B,则   cosC=(  )
      7           7           7    24
    A.25     B.-25       C.±25   D.25
    解析:由∠C=2∠B        得 sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理得        cosB=
sinC  c  4                                  4      7
2sinB=2b=5,所以    cosC=cos2B=2cos2B-1=2×(5)2-1=25,故选        A.
    答案:A
                                                                     1
11.设△ABC    的内角   A,B,C    的对边分别为      a,b,c,且     a=1,b=2,cosC=4,
则 sinB=________.
                                        a2+b2-c2  5-c2  1
    解析:由余弦定理及题中条件可得               cosC=    2ab  =   4 =4,解得     c=2,
                                                          1
所以△ABC    为以  BC  为底边的等腰三角形,故∠B=∠C,得                 cosB=4.由同角三角
                                    15
函数的基本关系式可得          sin2B=1-cos2B=16,又因为∠B∈(0,π),可得            sinB=
 15
 4 .

12.已知三角形的两边分别为         4 和 5,它们夹角的余弦是方程        2x 2  3x  2  0 的根,则第

三边长是       21     

                                   a2  b2  c2          
13. ABC 中三边分别为     a.b.c,且   S           ,那么角    C=           
                               ABC    4                  4
14.在 ABC  中,三边的长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三角形三边的长分别为  
2,3,4        
15.在△ABC  中,角   A,B,C  的对边分别为    a,b,c,且   a=3,b=4,c=6,则     bccosA+

accosB+abcosC 的值是________.
            b2+c2-a2          1                     1
解析:∵cosA=      2bc  ,∴bccosA=2(b2+c2-a2).同理   accosB=2(a2+c2-b2),abcosC=
1
2(a2+b2-c2).
                       1           61
  ∴bccosA+accosB+abcosC=2(a2+b2+c2)= 2 .

16.在 ABC  中,已知   a  b  4, a  c  2b ,且最大角为 120°,则这个三角形的最大边
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等于   14               
17.在△ABC    中,a、b、c    分别是角     A、B、C   所对的边长,若(a+b+c)(sinA+
sinB-sinC)=3asinB,求   C 的大小.
    解:由题意可知,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,于是有                a2+2ab+b2-c2=3ab,
  a2+b2-c2  1
即    2ab  =2,
              1
    所以  cosC=2,所以     C=60°.
18.在△ABC    中,角   A,B,C    的对边分别为      a、b、c,tanC=3     7.
                            5
      求      ;   若 →  → =-2且    +  =  ,求
    (1)  cosC  (2) CB·AC       a  b  9     c.
                         sinC                                   1
    解:(1)∵tanC=3    7,∴cosC=3   7,又∵sin2C+cos2C=1,∴cosC=±8.
                                   1
    又∵tanC>0,∴C    为锐角.∴cosC=8.
                 5           5             5              1
      ∵ →  → =-2,∴    →  → =2    ∴       =2     又∵      =8,∴     =
    (2) CB·AC         CB·CA   .    abcosC  .        cosC       ab  20.
    ∵a+b=9,∴(a+b)2=a2+2ab+b2=81,∴a2+b2=41.
                                                 1
    由余弦定理,得       c2=a2+b2-2abcosC=41-2×20×8=36,∴c=6.
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                       §1.1.2    余弦定理(学生版)

1.新课引入
    我们知道,正弦定理可以解决“已知两角和任意边,求其他两边和一角”以及“已知两
边和其中一边的对角”,思考,已知两边及夹角,如何解此三角形呢?
    若△ABC   为任意三角形,已知角          C,a,b,求边     c.


    问题:在    ABC  中,  AB . BC . CA 的长分别为     c . a . b .
                 2 2  
     ∵  AB  CB  CA ,∴ AB  AB  (CB  CA)  (CB  CA)  CB  CA  2CACB ,
    化简得:    c2  a2  b2  2abcosC ,
    同理可得:      a2  b2  c2  2bccos A , b2  a2  c2  2accosC .
2.余弦定理
    余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的两倍.
    即:  c2  a2  b2  2abcosC , a2  b2  c2  2bccos A , b2  a2  c2  2accosC .
    思考:这个式子中有几个量?
3.对余弦定理的理解
    从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?
    (1)已知三边,求三个角;
    (2)已知两边及夹角,求第三边和其他两个角.
    (3)判断三角形的形状.
                                        a2  b2  c2      b2  c2  a2
    从余弦定理,又可得到以下推论:               cosC           , cos A          ,
                                           2ab               2bc
       a2  c2  b2
 cos B         .
          2ac
    (4)若   C= 90 ,则 cosC  0,这时  c2  a2  b2 ,

※  典型例题
考点   1.已知三角形的两边及夹角求解三角形
【例   1】在△ABC    中,已知    b  3,c  2 3,A  30 ,解此三角形.


变式   1.若  b  3,c 1, A  60 ,则 a  _______
                                              3
变式   2.在△ABC    中,已知    AB   2, BC 1,cosC    ,则  AC    _______
                                              4
变式   3.在△ABC    中,已知    a=2,b=2    2,C=15°,求角     A.
     分析:已知两边         a=2,b=2     2及其夹角     C=15°,故可利用余弦定理求出边
c,已知三边求角         A,可用余弦定理的变形解决.
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考点  2.已知三角形的三条边就可以求出其它角.
【例  2】在△ABC   中,已知   a  6 , b  2 , c  3 1,解三角形(依次求解   A.B.C).


变式  4.在△ABC  中,若   a  3,b 1,c  2 ,则 A  ___________
变式  5.在△ABC  中,若   a2  c2  b2  ab ,则 C 的大小为(     )
     A.60°       B.45°或   135°        C.120°        D.30°
变式  6.在△ABC    中,已知     a∶b∶c=2∶     6∶( 3+1),求各角度数.
    解析:由余弦定理直接求各角,也可由余弦定理求出一角,然后用正弦定理
去求.


考点  3.利用余弦定理判断角的大小以及判断三角形的形状
           b2  c2  a2
   由 cos A        ,在△ABC   中,
              2bc
   b2  c2  a2  0  A为锐角; b2  c2  a2 =0  A 为直角; b2  c2  a2  0  A 为钝角
【例  3】在△ABC    中,a=5,b=7,c=8,则角           B 等于(  )
    A.90°        B.120°        C.60°       D.30°
【例  4】在△ABC    中,a=4,b=6,c=8,则此三角形为(   A  )
    A.钝角三角形   B.直角三角形                C.锐角三角形    D.不能确定

变式  7.在△ABC    中,角    A,B,C   的对边分别是       a,b,c,当    a2+b2
	
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