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2018版高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程3参数方程和普通方程的互化课件新人教A版选修4_4

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3 参数方程和普通方程的互化
[学习目标]

1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题                .
[知识链  接]
普通方程化为参数方程,参数方程的形式是否唯一?
 提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程,关键在于适当
 选择参数,如果选择的参数不同,那么所得的参数方程的形
 式也不同.
[预习导   引]

  参数方程与普通方程的互化
  (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般
  地,可以通过     消去参数         而从参数方程得到普通方程.

                                           y=g(t)


                          取值范围
要点一 把参数方程化为普通方程


  (1)当t为参数,θ为常数时,方程表示何种曲线?
  (2)当t为常数,θ为参数时,方程表示何种曲线?


答案 x2+(y-1)2=1
要点二 把普通方程化成参数方程

例2 求方程4x2+y2=16的参数方程:
  (1)设y=4sin θ,θ为参数;
  (2)若令y=t(t为参数),如何求曲线的参数方程?若令x=
  2t(t为参数),如何求曲线的参数方程?


跟踪演练2 设y=tx(t为参数),则圆         x2+y2-4y=0的参数方程是
 ________.
要点三 参数方程的应用

 例3 已知x、y满足x2+(y-1)2=1,求:

  (1)3x+4y的最大值和最小值;
  (2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值.

规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参
数时,应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三
角函数的巨大作用,常选择角为参数,若轨迹与运动有关,常
选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题,常常
设圆的参数方程,然后转化为求三角函数的最大值和最小值问
题.3.注意运用三角恒等式求最值:
跟踪演练3 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
 定点A(12,0),当点P在圆上运动时          ,利用参数方程求线
 段PA的中点M的轨迹.

1.参数方程和普通方程的互化

 参数方程化为普通方程,可通过代入消元法和三角恒等式消
 参法消去参数方程中的参数,通过曲线的普通方程来判断曲
 线的类型.
 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数,寻求曲线上任
 一点M的坐标x,y和参数的关系,根据实际问题的要求,我
 们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作
 为参数.
2.同一道题参数的选择往往不是唯一的,适当地选择参数,可
 以简化解题的过程,降低计算量,提高准确率.求轨迹方程与
 求轨迹有所不同,求轨迹方程只需求出方程即可,而求轨迹
 往往是先求出轨迹方程,然后根据轨迹方程指明轨迹是什么
 图形.

3.参数方程与普通方程的等价性

  把参数方程化为普通方程后,很容易改变了变量的取值范围
  ,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们要注意
  参数方程与普通方程的等价性.
1.与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程为(t为参数)(  )


  解析 A化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,
  1].B化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].
  C化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[0,+∞),y∈(-∞,1].
  D化为普通方程为x2+y-1=0,x∈R,y∈R.
  答案 D
答案 x2-y=2(y≥2)
解析 y2=(sin θ+cos θ)2=sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=1+
2sin θcos θ=1+x,又x=sin 2θ∈[-1,1],∴曲线的普通方
程是y2=x+1(-1≤x≤1).

答案 y2=x+1(-1≤x≤1)
(1)求常数a;
(2)求曲线C的普通方程.
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