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辽宁省实验中学分校2017届高三数学12月月考试题 文

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          辽宁省实验中学分校               2017  届高三数学        12  月月考试题 文

一、选择题:本大题共         12 小题,每小题     5 分,共   60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的

1.已知集合    A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A},则            B 的子集共有(  )

  A.2 个       B.4  个       C.6 个         D.8 个

2.若复数   z=cosθ﹣    +(    ﹣sinθ)i(i    是虚数单位)是纯虚数,则            tanθ 的值为(  )

 A.﹣          B.           C.﹣       D.±


3.已知函数    f(x)=                        ,则  f(f(2))等于(  )

  A.0         B.4          C.﹣           D.

4..已知{an}为等差数列,3a4+a8=36,则{an}的前          9 项和 S9=(  )

  A.9        B.1 7         C.36           D .81

5.在长方形     ABCD 中,AB=2,BC=1,O   为  AB 中点,在长方形      ABCD 内随机取一点,取到的点到点

O 的距离不大于     1 的概率是(  )

  A.     B.1﹣      C.            D.1﹣

6.已知向量      ,  满足   •(   + )=2,且|    |=1 ,|  |=2,则   与  的夹角为(  )

  A.     B.        C.            D.
7 已知 α,β    是两个不同的平面,m,n          是两条不同的直线,给出了下列命题:

①若  m⊥α,m⊂β,则       α⊥β;②若      m⊥n,m⊥α,则      n∥α;

③若  m∥α,α⊥β,则        m⊥β,④若     α∩β=m,n∥m,且       n⊄α,n⊄β,则      n∥α,n∥β(  

)

  A.②④        B.①②④        C.①④          D.①③

8.已知  sinφ=  ,且   φ∈(     ,π),函数       f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻               两条

对称轴之间的距离等于            ,则  f(    )的值为(  )

  A.         B.﹣           C.        D.﹣
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                                                                     线段   AB 上,且
9.如图所示,已知|         |=1,|   |=   ,        =0,点  C 在
                                                                     ∠AOC=30°,设

  =m   +n  (m,n∈R),则      m﹣n 等于(  )

  A.          B.       C.﹣          D.﹣
                                                                                点对

称的两点,且10.已知椭圆 C∠AFB=90°:  + ,则=1 的左焦点为△ABF 的周长为(F,A, B 是 )C 上关于原

  A.10        B.12         C.14         D.16

11.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为

  4,  该几何体的表面积为(  )

 A .(4+4   )π         B.(6+4    )π

 C.(8+4    )π        D.(12+4    )π

12.若存在两个正实数        x,y,使得    x+a(y﹣2ex)(lny﹣lnx)=0      成立,其中     e 为自然对数的底数,

则实数   a 的取值范围是(  )

A.(﹣∞,0)∪[        ,+∞)     B.(0,    ]  C.[  ,+∞)      D.(﹣∞,0)
二、填空题(每小题        5 分,共  30 分)


13.已知函数    f(x)=                 为奇函数,且      g(﹣e)=0,则      a=  .


14.若实数   x,y 满足条件:                   ,则         的最大值为       

15.在边长为    2 的正方形    ABCD 中,动  点 M 和 N 分别在边    BC 和 CD 上,且     =     ,    =

  ,则     •  的最小值为  .

                                  2  2
16.若直线   l1:y=x,l2:y=x+2  与圆   C:x +y ﹣2mx﹣2ny=0  的四个交点把圆       C 分成的四条弧长相等,

则 m=      

3、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17、(本小题满分      12 分)

设锐角三角形      ABC 的内角    A,B,  C 的对边分别为      a,b,  c , a  2bsin A.
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         (Ⅰ)求    B 的大小;(Ⅱ)求       cos A  sin C 的取值范围.


         18、(本小题满分      12 分)
           如图,多面体      AEDBFC  的直观图及三视图如图所示,            M, N 分别为   AF , BC 的中点.

           (Ⅰ)求证:      MN // 平面 CDEF  ;

           (II)求多面体      A  CDEF 的体积.


                                                      2
            D                  C


                                              2                                   2
                                N
                 E                   F

                                                    正视图
                        M                                                  2
          A                                                              侧视图
                   直观图         B


                                             2


                                                       2
                                                   俯视图

         19、(本小题满分      12 分)

             某市司法部门为了宣传《宪法》             举办法律知识问答活动,随机对该市18~68                岁的人群抽取一个

             容量为   n 的样本,并将样本数据分成五组:[              18,28),[28,38),[38,48),[48,58),

             [58,68],再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组,第                    2 组,   ,第5  组,绘制了样本的频

             率分布直方图;并对回答问题情况进行统计后,结果如下表所示.

                   岁 岁
                   岁 岁
              0.030                                                                 回答正确
               0.025                                                     回答正确
                                                       组号       分组                 的人数占本
              0.020
                                                                          的人数
               0.015                                                                组的比例
               0.010
                                                      第 1 组   [18,28)       5         0.5
                    18 28 38 48 58 68 岁 岁 岁 岁 岁
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                                             第 2 组   [28,38)       18         a

                                             第 3 组   [38,48)       27        0.9

                                             第 4 组   [48,58)       x         0.36

                                             第 5 组   [58,6 8]      3         0.2

    (Ⅰ)分别求出       a , x 的值;

    (Ⅱ)第     2,3,4 组回答正   确的人中用分层抽样方法抽取            6 人,则第    2,3,4 组每组应各抽取多

          少人?

    (III)在(II)的前提下,决定在所抽取的                 6 人中随机抽取     2 人颁发幸运奖,
          求所抽取的人中第        2 组至少有1人获得幸运奖的概率.


20、(本小题满分      12 分)

           x2   y2                        2
已知椭圆    C :      1(a  b  0) 的离心率为       ,且过点    A( 2,1) .直线
           a2   b2                        2

         2
    y    x  m 交椭圆  C 于 B , D (不与点   A 重合)两点.
        2
    (Ⅰ)求椭圆   C 的方程;

    (Ⅱ)△ABD  的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.


21、(本小题满分      12 分)
                   a
已知函数    f (x)  ln x  (a  0) .
                    x

    (Ⅰ)求  f (x) 的单调区间;


    (Ⅱ)如果   P(x0 , y0 ) 是曲线 y  f (x) 上的任意一点,若以     P(x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率
       1
    k   恒成立,求实数      a 的最小值;
       2

                              x3  2(bx  a) 1
    (Ⅲ)讨论关于     x 的方程   f (x)               的实根情况. 
                                   2x       2
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    请考生在第     22~23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22、(本小题满分       10 分)选修   4-4:坐标系与参数方程

                                                 x  1 cos,
已知在平面直角坐标系          xOy 内,点   P(x, y)  在曲线    C:             ( 为参数,     R )上运
                                                 y  sin
                                                            
    动.以   Ox 为极轴建立极坐标系,直线           l 的极坐标方程为       cos(   )  0 .
                                                            4
   (Ⅰ)写出曲线       C 的标准方程和直线       l 的直角坐标方程;

   (Ⅱ)若直线     l 与曲线   C 相交于   A、B 两点,点    M 在曲线   C 上移动,试求     ABM   面积的

        最大值   .


23、(本小题满分       10 分)选修   4-5:不等式选讲

关于  x 的不等式   lg(| x  3|  | x  7 |)  m.

   (Ⅰ) 当    m 1 时,解不等式;

   (Ⅱ)设函数      f (x)  lg(| x  3 |  | x  7 |) ,当 m 为何值时, f (x)  m 恒成立
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                 辽宁省实验中学分校         2016—2017 学年度上学期阶段性测试

                            数学文科参考答案   高三年级

一、AACDA   BCBBC   D A

二、13. ﹣1﹣e    14.           15.  -1   16.  0 或-1

三、
                                                                     1
17、(Ⅰ)由     a  2bsin A,根据正弦定理得       sin A  2sin Bsin A ,所以 sin B  ,
                                                                     2
                           π
由△ABC    为锐角三角形得       B   .
                           6
                                    
(Ⅱ)   cos A  sin C  cos A  sin     A
                                    

                
 cos A  sin   A
            6    

         1        3
 cos A  cos A    sin A
         2        2

            
  3 sin  A   .
           3 

由△ABC    为锐角三角形知,
                        
   A    B ,    B        .
2      2       2      2   6   3
2         
    A      ,
 3       3  6
    1            3
所以    sin  A     .
    2       3    2

       3                 3
由此有        3 sin  A       3 ,
       2             3   2

                               3  3 
所以,              的取值范围为          ,   .
      cos A  sin C                
                              2   2 

18、证明:由多面体        AEDBFC   的三视图知,三棱柱         AED  BFC  中,底面   DAE  是等腰直角三角形,

DA  AE   2 , DA  平面  ABEF  ,侧面   ABFE, ABCD  都是边长为      2 的正方形                                                           

……………2     分

(1)连结  EB ,则  M  是 EB 的中点,
                                         


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                                                   D
                                                                         C
   在△  EBC  中,  MN  // EC ,………4   分

   且 EC  平面   CDEF  , MN   平面   CDEF  ,
                                                       H
 ∴ MN  ∥平面   CDEF    ………6    分                                          N
                                                        E
                                                                           F
(2) 因为  DA  平面   ABEF  , EF  平面   ABEF  ,
                                                               M
   EF   AD ,                                   A                   B
 又 EF ⊥  AE ,所以,    EF ⊥平面    ADE  ,∴四边形     CDEF  是矩形,

且侧面   CDEF  ⊥平面   DAE   …………8    分

取 DE 的中点    H,  DA   AE, DA  AE   2 , AH    2 ,

且 AH   平面  CDEF  .…………10    分
                                1            1               8
所以,多面体      A  CDEF 的体积V       S      AH   DE  EF  AH   .………12   分
                                3 CDEF       3               3

19、解:(I)第1组人数         5  0.5 10 ,所以 n 10  0.1 100 ,

            第  2 组频率为:    0.2 ,人数为:1000.2      20 ,

            所以  a 18  20  0.9 , …………………………………………………2                  分

            第  4 组人数1000.25    25 ,

            所以   x  250.36  9 .  …………………………………………………4                 分

(II)第   2,3,4 组回答正确的人数的比为18:          27 :9  2 :3:1, ………………………5        分

    所以第    2,3,4 组每组应各依次抽取        2 人, 3 人,1人.   ………………………7            分

(III)记“所抽取的人中第          2 组至少有1人获得幸运奖”为事件              A ,抽取的   6 人中,第    2   组的设


     为  a1 , a2 ,第 3 组的设为   b1 , b2 , b3 ,第 4 组的设为  c ,则从  6 名幸运者中任取       2 名的所

     有可能的情况有15        种,它们是:


      (a1,a2 ) , (a1,b1) , (a1,b2 ),(a1,b3 ),(a1,c) , (a2 ,b1),(a2 ,b2 ),(a2 ,b3 ),(a2 ,c) ,

      (b1,b2 ),(b1,b3 ),(b1,c) , (b2 ,b3 ),(b2 ,c), (b3 ,c) .   ………………………………9 分


      其中第   2 组至少有1人的情况有        9 种,他们是:      (a1,a2 ) , (a1,b1) , (a1,b2 ),(a1,b3 ),(a1,c) ,

      (a2 ,b1),(a2 ,b2 ),(a2 ,b3 ),(a2 ,c) .   …………………10 分
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          9   3
   P(A)       .   ………………………………………………………………12                        分
         15   5

                       2   c      2    1
 20、【答案】(Ⅰ)      e        ,          1, a2  b2  c2  a  2 , b  2 , c  2 
                       2   a      a2  b2

 x2   y2
       1
  4   2

                                    2
                                y=    x+m
                                    2          2           2
 (Ⅱ)设  B(x1, y1 )  , D(x2 , y2 )  ,由         x   2mx  m   2  0
                                 x2   y2
                                       1
                                 4  2

            2                                                  2
    8  2m  0  2  m  2 , x1  x2   2m,    ①    x1x2  m  2   ②   

               2             6
  BD    1 (   )2 x  x      8  2m2 ,   
               2    1   2   2

                         2                  2m
 设 d 为点  A 到直线   BD: y=    x+m 的距离,    d 
                        2                     6

          1          2
  S       BD  d      (4  m2 )m2  2
    ABD  2         2

 当且仅当    m   2 (2,2) 时等号成立  

 ∴当  m   2 时, ABD   的面积最大,最大值为          2

                                         a
 21、【答案】(共      14 分)解:(Ⅰ)   f (x)  ln x  ,定义域为   (0,) ,      
                                         x
          1   a   x  a
 则 f | (x)          .          
          x  x2    x2
 因为  a  0 ,由 f (x)  0, 得 x (a,) , 由 f (x)  0, 得 x (0,a) ,   


 所以  f (x) 的单调递增区间为      (a,)  ,单调递减区间为      (0,a) .   

                                                         x  a  1
 (Ⅱ)由题意,以             为切点的切线的斜率          满足              0              ,  
              P(x0 , y0 )              k     k  f (x0 )  2     (x0  0)
                                                          x0    2
          1                                       1         1
 所以  a   x 2  x 对 x  0 恒成立. 又当    x   0 时,   x 2  x   ,
          2 0    0   0                 0          2 0    0  2
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                   1
    所以  a 的最小值为      .                  
                   2
                         x3  2(bx  a) 1
    (Ⅲ)由题意,方程      f (x)               化简得  
                              2x       2
            1     1
    b  ln x  x2 + x (0,)
            2     2
                 1        1           1     (1 x)(1 x)
    令 h(x)  ln x  x2  b  ,则 h(x)   x            .   
                 2        2           x          x
    当 x (0,1) 时, h(x)  0 ,当 x (1,) 时, h(x)  0 ,  

    所以  h(x) 在区间  (0,1) 上单调递增,在区间       (1,) 上单调递减.   
                                                          1         1
    所以  h(x) 在 x 1处取得极大值即最大值,最大值为              h(1)  ln1 12  b   b .      
                                                          2         2
    所以  当   b  0 , 即 b  0 时, y  h(x)  的图象与 x 轴恰有两个交点,  

               x3  2(bx  a) 1
    方程  f (x)               有两个实根,   
                   2x        2

    当 b  0 时, y  h(x)  的图象与  x 轴恰有一个交点,  

               x3  2(bx  a) 1
    方程  f (x)               有一个实根,    
                   2x        2

    当 b  0 时, y  h(x)  的图象与  x 轴无交点,  

               x3  2(bx  a) 1
    方程  f (x)               无实根   
                   2x        2

22、(本小题满分       10 分)选修   4-4:坐标系与参数方程


解:(1)消去参数        ,得曲线    C 的标准方程:      (x 1) 2  y 2 1.
               
    由  cos(  )  0 得:  cos   sin  0 ,
               4
    即直线   l 的直角坐标方程为:        x  y  0.

                                     1       2
   (2)圆心    (1, 0) 到直线 l 的距离为   d            ,
                                     11    2

    则圆  上的点   M 到直线的最大距离
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              2
    为 d  r   1(其中   r 为曲线  C 的半径),
             2

                  2
    | AB | 2 12  ( ) 2  2 .设 M 点的坐标为 (x, y) ,
                 2

    则过  M 且与直线  l 垂直的直线   l方程为:   x  y 1  0 ,

             (x 1) 2  y 2 1
    则联立方程                 ,
             x  y 1  0

            2             2
        x    1    x     1
            2             2
    解得          ,或            ,
               2           2
        y         y 
            2         2

               2
         x     1
               2
    经检验             舍去.
               2
         y 
             2

               2       2
    故当点  M 为 (   1,    ) 时, ABM 面积的最大值为
              2        2

               1        2        2 1
    (S    )      2  (  1)       .
      ABM max 2        2        2

23、(本小题满分      10 分)选修  4-5:不等式选讲

解:(1)当    m 1时,原不等式可变为        0 | x  3|  | x  7 |10 ,

    可得其解集为{x     | 2  x  7}.

   (2)设  t | x  3|  | x  7 | ,

    则由对数定义及绝对值的        几何意义知    0  t  10 ,

    因 y  lg x 在 (0,  ) 上为增函数, 

    则 lgt  1,当 t  10, x  7 时, lgt  1,

    故只需  m  1即可,

    即 m 1时,  f (x)  m 恒成立.
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