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2017年高考真题——文科数学(全国Ⅰ卷)纯 Word解析版

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高中数学审核员

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            2017  年普通高等学校招生全国统一考试全国                            I 卷

                                  文科数学


一、选择题:本大题共          12 小题,每小题      5 分,共   60 分。在每小题给出的四个选项中,只有

    一项是符合题目要求的.

1.已知设集合      A  x x  2, B  x 3  2x  0,则

                   3
    A. A  B  x x              B. A  B  
                   2

                   3
    C. A  B  x x              D. A  B  R
                   2

    【答案】A

                         3                    3
    【解析】因为      B  x x   ,所以   A  B  x x   .
                         2                    2

2.为评估一种农作物的种植效果,选了                 n 块地作试验田.      这 n 块地的亩产量(单位:kg)分

别为   x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

    A. x1,x2,…,xn   的平均数           B. x1,x2,…,xn   的标准差

    C. x1,x2,…,xn   的最大值           D. x1,x2,…,xn   的中位数

    【答案】B

    【解析】数据的稳定性与标准差和方差有关.

3.下列各式的运算结果为纯虚数的是

    A. i(1 i)2     B. i2 (1 i)   C. (1 i)2      D.  i(1 i)  

    【答案】C

    【解析】    (1 i)2 1 2i  i2  2i .

4.如图,正方形       ABCD  内的图形来自中国古代的太极图. 

正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成

中心对称.     在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的

概率是
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       1                                     1              
    A.                  B.                 C.              D.          
       4                  8                   2               4
    【答案】B

    【解析】设正方形边长为           2,则圆半径为      1,于是正方形的面积为          2×2=4,圆的面积为
                                                                   
                                                                      
 12   ,从而图中黑色部分的面积为              ,所以此点取自黑色部分的概率为               2    。
                                   2                               4   8
                         y 2
5.已知    F 是双曲线   C:x2      1 的右焦点,P     是  C 上一点,且     PF 与 x 轴垂直,点    A 的坐
                         3

标是(1,3),则△APF       的面积为
       1              1               2                3
    A.              B.             C.              D.       
       3              2               3                2
    【答案】D
                                                         1         3
    【解析】由题意知,         F(2, 0), P(2, 3), A(1, 3) 所以 S      1 3   .
                                                    APF  2        2
6.如图,在下列四个正方体中,A,B               为正方体的两个顶点,M,N,Q             为所在棱的中点,则

在这四个正方体中,直线           AB 与平面   MNQ  不平行的是

                                       B                        A
   A
                      A       N           A                       N
                              B                                M  B
   Q                                                   M
                                                               B          Q
   B                B                        B         B                     B
     N                                Q     N             Q               B
     B   M                  M         B     B             B
         BA                 BB                  C                  D
                                                                   B
    【答案】A

    【解析】图     B 中,AQ∥MQ;图       C 中,AB∥MQ;图      D 中,AB∥NQ;故直线        AB 与平

面  MNQ 不平行的是      A.

                      x  3y  3,
                      
7.设   x,y 满足约束条件      x  y 1, 则 z  x  y 的最大值为
                      
                      y  0,

    A.  0           B. 1           C. 2            D. 3     

    【答案】D
                                                     y
    【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,

                                                               (3,0)
所以   z  x  y 在点(3, 0)处取得最大值    3.                O                x
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            sin 2x
8.函数    y         的部分图像大致为
           1 cos x


    【答案】C
                                                          sin 2x
    【解析】因为函数的定义域为x             x  k ,k  Z,且 f (x)          f (x) ,
                                                        1 cos x

    所以函数为奇函数,又          f ( )  0, f (1)  0 ,所以选项 C 正确.

9.已知函数      f (x)  ln x  ln(2  x) ,则

    A. f (x) 在(0,2)单调递增                    B. f (x) 在(0,2)单调递减

    C.   y  f (x) 的图像关于直线     x=1 对称      D. y  f (x) 的图像关于点(1,0)对称          

    【答案】C

                                                 2(1 x)
    【解析】因为函数的定义域为(0,2),且                  f (x)       ,
                                                 x(2  x)

    所以  x (0, 1) 时,  f (x) 单调递增;   x(1, 2) 时 f (x) 单调递减.

    又因为    f (2  x)  ln(2  x)  ln x  f (x) ,所以 f (x) 关于 x=1 对称.

10.右面程序框图是为了求出满足              3n  2n 1000 的最小偶数
                                                                      开始
n,那么在          和       两个空白框中,可以分别填入
                                                                     输入
    A. A 1000和n    n 1  B. A 1000和n    n  2                    n=0

    C. A 1000和n   n 1   D. A 1000和n    n  2                  A  3n  2n

    【答案】D
                                                               是
    【解析】因为要求        A 大于  1000 时输出,且框图中在“否”                           否

时输出,所以“            ”中不能输入     A>1000,排除    A、B,又要                   输出   n

求  n 为偶数,且    n 初始值为    0,所以“          ”中 n 依次加   2 可                 结束

保证其为偶数,故选         D.
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11.△ABC   的内角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c.   已知  sin B  sin A(sin C  cosC)  0 ,

 a  2 , c  2 ,则 C=
                                                          
    A.                  B.                 C.              D.          
       12                   6                 4               3
    【答案】B

    【解析】因为      B    (A  C) , sin B  sin A(sin C  cosC)  0 ,

    所以  sin(A  C)  sin Asin C  sin AcosC  0 ,即 cos Asin C  sin Asin C  0 .
                                                  3
    又因为   sin C  0 ,所以  cos A  sin A  0 ,所以 A    .
                                                  4
                    a      c               csin A   1          
    由正弦定理,得                  ,所以   sin C          ,所以   C     .
                  sin A  sin C                a     2           6
                    x2   y 2
12.设   A,B 是椭圆   C:        1长轴的两个端点.         若 C 上存在点    M 满足∠AMB=120°,
                     3   m

则  m 的取值范围是

    A.  (0, 1][9,  )                    B. (0,  3][9,  )

    C. (0, 1][4,  )                     D.  (0,  3][4,   )   

    【答案】A

    【解析】取特殊情况分析,当             M 为短轴顶点时∠AMB=120°.

    ①若焦点在     x 轴上,因为∠AMB=120°,          m  1 ,即 m   9 ,所以此时    m(0  , 1] ;

    ②若焦点在     y 轴上,因为∠AMB=120°,          m  3 ,即  m  9 ,所以此时    m[9  ,  ) ;


    故答案选    A.


二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分.

13.  已知向量    a = (-1,2),b = (m,1). 若向量   a + b 与 a 垂直,则   m=       .

    【答案】7

    【解析】因为向量        a + b 与 a 垂直,所以(a     + b)·a=0,所以   1(1  m)  6  0 ,所以

m=7.
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                1
14.曲线    y  x2  在点(1,2)处的切线方程为                          .
                x
    【答案】    y  x 1
                         1
    【解析】因为      y  2x   ,所以   k  1,切线方程为      y  2  x 1,即 y  x 1.
                         x 2
                                        
15.已知    (0,   ) , tan  2 ,则 cos(   )         .
                2                        4
            3  10
    【答案】
              10

                                                  5          2 5
    【解析】因为       (0,   ) , tan  2 ,所以 cos      , sin      ,
                        2                         5            5

                     2                3 10
    所以  cos(   )     (cos  sin)      .
                4    2                  10

16.已知三棱锥      S—ABC  的所有顶点都在球        O 的球面上,SC      是球  O 的直径.           若平面

SCA⊥平面    SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥        S—ABC  的体积为    9,则球    O 的表面积为           .

    【答案】    36                                                       A

    【解析】取     SC 的中点   O. 联结   OA,OB.                                       S
                                                                     O
    因为        ,       ,所以      ⊥   ,    ⊥                                   A
         SA=AC  SB=BC       OA   SC  OB   SC.                  C     A
                                                                         B
    又因为平面         ⊥平面       ,所以      ⊥平面                       A
              SCA       SCB       OA       SCB.                          A
                                  1             1  1              1
    设  OA=R,则有V          V        S    OA       2R R R   R3 .
                   S  ABC ASCB  3   SCB      3  2              3
                            1
    由题意有V          9 ,所以     R3  9 ,所以  R  3.
             S  ABC        3

    故球   O 的表面积为    4R 2  36 .


三、解答题:共       70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第                      17~21 题为必考题,

每个试题考生必须作答。第            22、23 题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共      60 分.

17.(12   分)


    记 Sn 为等比数列an    的前   n 项和.  已知  S2  2, S3  6 .


    (1)求an 的通项公式;
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    (2)求 Sn ,并判断   Sn1 , Sn , Sn2 是否成等差数列.


    【解析】(1)由题意,          S2  2, S3  6 ,


         a 1  a q  2
             1                 a1  2               n
    所以                    ,解得          ,所以   an  (2) .
                     2            q  2
        a1  a1q  a1q  6    

                   2[1 (2)n ]  2
    (2)因为    S                  [1 (2)n ] ,
               n    1 (2)       3

                  2             2               2
     S   S      [1 (2)n1 ] [1 (2)n2 ]   [2  (2)n1  (2)n2 ]
      n1  n2    3             3               3
                  2               2               4
                 [2  (2)n1 ]   [2  2(2)n ]   [1 (2)n ].
                  3               3               3

    所以                  ,即     ,    ,     成等差数列
        Sn1  Sn2  2Sn   Sn1  Sn  Sn2          .


18.(12   分)
                                                                P
    如图,在四棱锥       P—ABCD   中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
                                                                A
    (1)证明:平面     PAB⊥平面   PAD;
                                                                     D             C
    (2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,
                                                                     A             A
                         8
且四棱锥     P—ABCD  的体积为      ,求该四棱锥的侧面积. 
                         3                                     A                B
                                                                                A
    【解析】(1)证明:因为∠BAP=∠CDP=90°,所以                PA⊥AB,PD⊥CD.

    又因为   AB∥CD,所以      PD⊥AB.

    又因为   PD   PA  P , PD、PA    平面PAD    ,

    所以   AB⊥平面   PAD,又   AB  平面  PAD,所以平面      PAB⊥平面    PAD.

    (2)设 PA  a ,则 PD   AB  DC   a ,

                                                              2
    又因为∠APD=90°,所以         AD   BC   2a ,所以△PAD     的高为       a .
                                                             2

                                      1            2    a3   8
    因为平面    PAD⊥平面     ABCD,所以V        a  2a     a      ,所以    a  2 .
                                      3           2      3   3

    因为△PAD,△PAB       和△PCD   是全等的直角三角形,△PBC            是等边三角形,
                     1      1
    所以侧面积     S  3   22    2 2  6  6  2 3 .
                     2      2
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19.(12   分)

    为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔                        30min 从该生产线上随机抽取

一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).                下面是检验员在一天内依次抽取的               16 个零件的尺寸:


  抽取次序          1       2       3       4        5       6       7       8

  零件尺寸        9.95    10.12    9.96    9.96    10.01    9.92    9.98    10.04

  抽取次序          9      10       11      12      13      14       15      16

  零件尺寸        10.26    9.91   10.13    10.02   9.22    10.04   10.05    9.95

                   16                  16               16
                1                    1               1            2
    经计算得                     ,                  2           2              ,
            x      xi  9.97 s      (xi  x)      (  xi 16x )  0.212
                16 i1              16 i1          16  i1

   16                   16
            2        ,                         ,其中     为抽取的第      个零件的尺寸,
  (i 8.5)   18.439  (xi   x)(i  8.5)  2.78   xi          i
  i1                   i1

 i  1, 2, 3, , 16 . 


    (1)求 (xi , i)(i  1,2,,16)的相关系数    r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺

寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若                     r  0.25 ,则可以认为零件的尺寸不随生产

过程的进行而系统地变大或变小).

    (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x                    3s, x  3s) 之外的零件,就认为这条

生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,

    (i)从这一天抽检的结果看,是否需对这天的生产过程进行检查?

    (ii)在(x  3s, x  3s) 之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生

产的零件尺寸的均值与标准差. (精确到              0.1)

                                                    n
                                                   (xi   x)(yi  y)
    附:样本    (x , y )(i  1, 2, , n) 的相关系数  r     i1                 .
              i   i                               n          n
                                                          2           2
                                                 (xi  x)  (yi   y)
                                                 i1         i1

  0.008  0.09
                                                2.78
    【解析】(1)由题意,代入相关数据可得                 r                0.71.
                                            0.21218.439
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    因为   r  0.71  0.25 ,所以零件尺寸会随生产过程的进行而系统地变大或变小.

    (2)(i)由题意       x  9.97 , s  0.212 ,所以零件尺寸范围为(9.334,10.606),

    所以第   13 次的零件尺寸为       9.22<9.334,因此需要对当天的生产进行检查.
                            169.97  9.22
    (ii)剔除离群值    9.22 后, x                10.02 ,此时
                                  15

            15                15
          1          2    1      2     2     1
     s     (xi  x)      (  xi 15x )     (1506.1282 15100.4004
         15 i1           15 i1             15
        0.008  0.09.

20.(12   分)

                        x2
    设  A,B 为曲线    C: y   上两点,A     与 B 的横坐标之和为       4.
                        4

    (1)求直线   AB 的斜率;

    (2)设 M 为曲线   C 上一点,C     在 M 处的切线与直线       AB 平行,且    AM⊥BM,求直线

AB 的方程.


    【解析】(1)设直线方程为            y  kx  m , A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ).

          x 2
      y            2
    由      4    得 x   4kx  4m  0 ,由韦达定理有     x1  x2  4k, x1  x2  4m .
      
      y  kx  m

    由题意有    4k  4 ,所以   k  1.

    (2)由(1)知   k  1,且    (4k)2  4(4m)  16k 2 16m  0 ,所以 m  1.

                               x
    设 M  (x , y ) ,则有  f (x )  0  1 ,所以 x  2 ,从而   y  1,所以   M (2, 1) .
           0  0            0   2            0           0


    又因为   AM⊥BM,所以      MA MB   0 ,即  (x1  2)(x2  2)  (y1 1)(y2 1)  0 .

                                                                   2
    因  y1  x1  m , y2  x2  m ,代入整理得  (m  3)(x1  x2 )  2x1x2  m  2m  5  0 ,


                                                   2
    又因为   x1  x2  4k  4, x1  x2  4m ,代入整理得 m   6m  7  0 ,

    解得  m  1或m    7 ,又因为   m  1,所以    m  7 . 

    故直线   AB 的方程为     x  y  7  0 .
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21.(12   分)

    已知函数     f (x)  ex (ex  a)  a2 x .

    (1)讨论  f (x) 的单调性;

    (2)若 f (x)  0 ,求 a 的取值范围.

    【解析】(1)       f (x)  2e2x  ae x  a 2  (e x  a)(2e x  a) .

        ①若  a  0 ,则  f (x)  2e2x  0 ,所以 f (x) 在 R 上单调递增;
                                        a                        a
        ②若  a  0 ,由  f (x)  0 得 x  ln( ) ,由 f (x)  0 得 x  ln( ) ,
                                        2                        2
                                a                              a
                所以  f (x) 在 (ln( ),  ) 上单调递增,在     (, ln(  )) 上单调递减;
                                2                              2
        ③若  a  0 ,由  f (x)  0 得 x  ln a ,由 f (x)  0 得 x  ln a ,

                所以  f (x) 在 (ln a,  ) 上单调递增,在    (, ln a) 上单调递减.

        (2)当 a  0 时, f (x)  e2x  0 ,符合题意;

                                         2
          当 a  0 时,  f (x)min  f (ln a)  a ln a .

            因为   f (x)  0 ,所以 0  a  1.
                                     a    3           a
          当 a  0 时,  f (x)   f (ln( ))  a 2  a 2 ln( ) ,
                          min        2    4            2
                                     3
                                     4
            因为   f (x)min  0 ,所以  2e  a  0 .

                                3
        综上,   a 的取值范围为       2e 4  a  1.

 

(二)选考题:共      10 分。请考生在第      22、23  题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一

题计分.

22.[选修   4—4:坐标系与参数方程](10           分)

                                          x  3cos,
    在直角坐标系      xOy 中,曲线    C 的参数方程为                (  为参数),直线       l 的参数
                                          y  sin,

      x  a  4t,
方程为             (t 为参数).
      y  1 t,

    (1)若 a  1,求  C 与 l 的交点坐标;
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   (2)若 C 上的点到  l 的距离的最大值为       17 ,求 a.

                               x2
   【解析】(1)曲线      C 的普通方程为        y2  1,
                               9

   当 a  1时,直线   l 的普通方程为    x  4y  3  0 ,

                                        21
           x2                       x  
              y2 1       x  3      25
   由方程组    9          ,解得       或        .
                           y  0     24
          x  4y  3  0            y 
                                      25
                                21  24
   所以  C 与 l 的交点坐标为    (3,0) , ( ,   ) .
                               25   25

   (2)直线 l 的普通方程为    x  4y  (a  4)  0 ,曲线 C 上的点(3cos , sin ) 到直线 l 的

       3cos  4sin  (a  4) 5sin(  )  (a  4)
距离为:                                         .
               12  42               17

   因为曲线    C 上的点到   l 的距离的最大值为      17 ,

   所以当   a  4  0 时,  5  (a  4)  17 ,解得 a  8 ,

   当 a  4  0 时, 5  (a  4)  17 ,解得 a  16 ,

   综上,   a  8 或者 a  16 .

23.[选修  4—5:不等式选讲](10     分)

   已知函数    f (x)  x2  ax  4 , g(x)  x 1  x 1 .

   (1) 当 a 1时,求不等式    f (x)  g(x) 的解集;

   (2) 若不等式   f (x)  g(x) 的解集包含[1, 1] ,求 a 的取值范围.

   【解析】(1)当      a 1时,由   f (x)  g(x) 得  x2  x  4  x 1  x 1 .

   当 x  1 时,有  x2  x  4  1 x 1 x ,得 x  1;

   当 1  x  1 时,有  x2  x  4  x 11 x ,得 1  x  1 ;

                                1  17      1  17
   当 x  1时,有   x2  x  4  2x ,得      x         ;
                                   2            2
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                1  17
综上所述,    1 x         .
                   2

                                  1  17 
所以不等式     f (x)  g(x) 的解集为 x 1  x       .
                                     2    

(2)由   f (x)  g(x) 得  x2  ax  4  x 1  x 1 .

因为不等式     f (x)  g(x) 的解集包含[1, 1] ,

所以当   x [1, 1] 时,  x2  ax  4  x 1  x 1  x 11 x  2 恒成立. 

即  x2  ax  2  0 在 x [1, 1] 上恒成立.


          2            h(1)  0
令 h(x)  x  ax  2 ,则有       ,所以  1  a  1,
                       h(1)  0

即 a 的取值范围为[1,    1] .
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