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2019版高考数学一轮复习第十一章计数原理随机变量及分布列课时训练

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               第十一章 计数原理、随机变量及分布列
                       第 1 课时 分类计数原理与分步计数原理
    一、 填空题
    1. 三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过                             3 次传递后,
毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有________种.
    答案:2
    解析:(列举法)传递方式有甲→乙→丙→甲;甲→丙→乙→甲.
    2. 将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级,每个年级                      2 人.要求甲必须在高一年级,
乙和丙均不在高三年级,则不同的安排种数为________.
    答案:9
    解析:若甲、乙在高一年级,则丙一定在高二年级,此时不同的安排种数为                                3;若甲、
丙在高一年级,则乙一定在高二年级,此时不同的安排种数为                          3;若甲在高一年级,乙、
丙在高二年级,此时不同的安排种数为                 3,所以由分类计数原理知不同的安排种数为                  9.
    3. 现有  4 名同学去听同时进行的          3 个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个
讲座,不同选法的种数是________.
    答案:81
    解析:每个同学都有         3 种选择,所以不同选法共有           34=81(种) .
    4. 五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),获得冠军的可能性有________种.
    答案:625
    解析:获得冠军的可能情况有             5×5×5×5=625(种).
    5.  4 位同学从甲、乙、丙        3 门课程中选修      1 门,则恰有    2 人选修课程甲的不同选法有
________种.
    答案:24
    解析:分三步,第一步先从            4 位同学中选     2 人选修课程甲,共有        C42种不同选法;第二
步给第   3 位同学选课程,有        2 种选法;第三步给第        4 位同学选课程,也有         2 种不同选
法.故共有     C42×2×2=24(种).
    6. 如图所示    2×2  方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是                     1,2,3,4   中的
任何一个,允许重复.若填入             A 方格的数字大于      B 方格的数字,则不同的填法共有
________种.

                                    A    B
                                    C    D
    答案:96
    解析:可分三步:第一步,填             A,B 方格的数字,填入        A 方格的数字大于       B 方格的数字
有  6 种方式(若方格     A 填入  2,则方格    B 只能填入    1;若方格    A 填入  3,则方格    B 只能填入
1 或 2;若方格    A 填入  4,则方格    B 只能填入    1 或 2 或 3);第二步,填方格        C 的数字,有
4 种不同的填法;第三步,填方格             D 的数字,有     4 种不同的填法.由分步计数原理得不同
的填法总数为      6×4×4=96(种).
    7. 现有红、黄、蓝不同颜色的旗各三面,每次升一面、两面或三面在某一旗杆上纵向
排列,共可以组成________种不同的旗语信号.
    答案:39
    解析:悬挂一面旗共可以组成             3 种旗语信号;
    悬挂两面旗共可以组成          3×3=9(种)旗语信号;
    悬挂三面旗共可以组成          3×3×3=27(种)旗语信号.
    由分类计数原理知,共有           3+9+27=39(种)旗语信号.
    8.  将 3 个不同的小球放入编号分别为             1,2,3,4   的盒子内,则      4 号盒子中至少有一
个球的放法有________种.
    答案:37
    解析:根据题意,将         3 个不同的小球放入编号分别为            1,2,3,4   的盒子内,有
4×4×4=64(种)放法,而        4 号盒子中没有球,即        3 个小球放在     1,2,3  号的盒子内,有
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

3×3×3=27(种)放法.
    所以  4 号盒子中至少有一个球的放法有              64-27=37(种).
    9.   从 0,1,2,3,4,5,6      七个数字中,任意取出三个不同的数字,作为二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的系数,可得________个不同的二次函数.
    答案:180
    解析:由分步计算原理,可得             6×6×5=180(个)不同的二次函数.
    10.   为举办校园文化节,某班推荐            2 名男生、3    名女生参加文艺技能培训,培训项目
及人数分别为:乐器         1 人,舞蹈    2 人,演唱    2 人,每人只参加一个项目,并且舞蹈和演唱
项目必须有女生参加,则不同的推荐方案的种数为________.(用数字作答)
    答案:24
    解析:若参加乐器培训的是女生,则各有                  1 名男生及   1 名女生分别参加舞蹈和演唱培
训,共有    3×2×2=12(种)方案;若参加乐器培训的是男生,则各有                      1 名男生、1   名女生及
2 名女生分别参加舞蹈和演唱培训,共有                2×3×2=12(种)方案,所以共有           24 种推荐方
案.
    11.   如图,用    4 种不同的颜色对图中        5 个区域涂色(4     种颜色全部使用),要求每个区
域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为________.


    答案:96
    解析:按区域      1 与 3 是否同色分类.
    (1)  区域  1 与 3 同色:先涂区域       1 与 3,有  4 种方法,再涂区域        2,4,5(还有    3 种颜
色),有   A3种方法.
    ∴ 区域   1 与 3 涂同色,共有      4A3=24(种)方法.
    (2) 区域  1 与 3 不同色:第一步,涂区域           1 与 3,有  A42种方法,
    第二步,涂区域       2 有 2 种方法,
    第三步,涂区域       4 只有  1 种方法,
    第四步,涂区域       5 有 3 种方法.
    ∴ 这时共有     A42×2×1×3=72(种)方法.
    故由分类计数原理,不同的涂色种数为                 24+72=96.

    二、 解答题
    12.  书架的第一层有       6 本不同的数学书,第二层有           6 本不同的语文书,第三层有            5 本
不同的英语书.
    (1) 从这些书中任取       1 本,有多少种不同的取法?
    (2) 从这些书中任取       1 本数学书,1     本语文书,1     本英语书共     3 本书的不同的取法有多
少种?
    (3) 从这些书中任取       3 本,并且在书架上按次序排好,有多少种不同的排法?
    解:(1) 因为共有      17 本书,从这些书中任取         1 本,共有    17 种取法.
    (2)  分三步:第一步,从         6 本不同的数学书中取        1 本,有   6 种取法;第二步,从         6 本
不同的语文书中取        1 本,有   6 种取法;第三步:从        5 本不同的英语书中取         1 本,有   5 种取
法.由分步计数原理知,取法总数               N=6×6×5=180(种).
    (3) 实际上是从     17 本书中任取     3 本放在三个不同的位置上,完成这个工作分三个步骤,

    第一步:从     17 本不同的书中取       1 本,放在第一个位置,有          17 种方法;
    第二步:从剩余       16 本不同的书中取       1 本,放在第二个位置,有          16 种方法;
    第三步:从剩余       15 本不同的书中取       1 本,放在第三个位置,有          15 种方法.
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    由分步计数原理知,排法总数             N=17×16×15=4 080(种).
    13.  如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,现在用四
种颜色给这四个直角三角形区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,
则不同的涂色方法有多少种?


    解:如图,设四个直角三角形顺次为                A,B,C,D,按     A→B→C→D   顺序涂色,下面分
两种情况:
    (1)  A,C 不同色(注意:B,D       可同色、也可不同色,D          只要不与    A,C 同色,所以      D 可
以从剩余的     2 种颜色中任意取一色):有           4×3×2×2=48(种);
    (2)  A,C 同色(注意:B,D      可同色、也可不同色,D          只要不与    A,C  同色,所以     D 可以
从剩余的    3 种颜色中任意取一色):有           4×3×1×3=36(种).
    所以不同的涂色方法共有           84 种.


                               第 2 课时 排列与组合
    一、 填空题
    1. 若 An3=6Cn4,则 n=________.
    答案:7
            n!             n!
    解析:(n-3)!=6×(n-4)!        × 4!,得   n-3=4,解得     n=7.
    2.  5 人站成一排,甲、乙两人必须站在一起的不同排法有________种.
    答案:48
    解析:可先排甲、乙两人,有             A2=2(种)排法,再把甲、乙两人与其他三人进行全排
列,有   A4=24(种)排法,由分步计数原理,得一共有                 2×24=48(种)排法.
    3. 用数字   1,2,3,4,5    组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为________.
    答案:72
    解析:由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是                      1,3,5.分为两步:先从         1,3,
5 三个数中选一个作为个位数有            C31种,再将剩下的      4 个数字排列得到       A4,则满足条件的五
位数有   C31·A4=72(个).
    4.    5 位同学站成一排照相,其中甲与乙必须相邻,且甲不能站在两端的排法总数是
________种.
    答案:36
    解析:分三类:甲站第          2 个位置,则乙站       1,3 中的一个位置,不同的排法有             C21A3=
12(种);甲站第     3 个位置,则乙站       2,4 中的一个位置,不同的排法有             C21A3=12(种);甲
站第   4 个位置,则乙站      3,5 中的一个位置,不同的排法有             C21A3=12(种).故共有     12+
12+12=36(种).
    5. 某电视台一节目收视率很高,现要连续插播                  4 个广告,其中      2 个不同的商业广告和
2 个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是商业广告,且                          2 个商业广告不能连续播
放,则不同的播放方式有________种.
    答案:8
    解析:分三步进行分析:第一步,最后一个排商业广告有                        A21种;第二步,在前两个位
置选一个排第二个商业广告有             A21种;第三步,余下的两个排公益宣传广告有                 A2种.根据分
步计数原理,可得不同的播放方式共有                 A21A21A2=8(种).
    6. 用数字   0,1,2,3,4    组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为________.
    答案:36
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    解析:由题可知,五位数为奇数,则个位数只能是                     1,3;分为两步:先从         1,3  两个
数中选一个作为个位数有           C21种,再将中间     3 个位置中选一个放入         0,剩下的    3 个数字排列
得到   A3,则满足条件的五位数有          C21C31A3=36(个).
    7. 某大学的    8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各                            2 名,
分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐              4 名同学(乘同一辆车的        4 名同学不考虑位置),其中大一
的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的                  4 名同学中恰有     2 名同学是来自同一年级的乘坐
方式共有________种.
    答案:24
    解析:分类讨论,有         2 种情形.孪生姐妹乘坐甲车,则有              C32C21C21=12(种)乘车方式;
孪生姐妹不乘坐甲车,则有            C31C21C21=12(种)乘车方式.由分类计数原理,得共有              24 种乘
车方式.
    8. 甲、乙、丙     3 人站到共有     7 级的台阶上,若每级台阶最多站             2 人,同一级台阶上的
人不区分站的位置,则不同的站法种数是________.(用数字作答)
    答案:336
    解析:若    7 个台阶上每一个只站一人,则有             A73种;若有一个台阶有        2 人,另一个是
1 人,则共有     C31A72种,因此共有不同的站法种数是           336.
    9.  用 1,2,3,4,5,6      组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶
性不同,且     1 和 2 相邻,这样的六位数的个数是________.(用数字作答)
    答案:40
    解析:本小题主要考查排列组合知识.依题先排除                     1 和 2 的剩余   4 个元素有    2A2A2=
8 种方案,再向这排好的          4 个元素中插入     1 和 2 捆绑的整体,有       A51种插法,∴ 不同的安排
方案共有    2A2A2A51=40(种).
    10. 由 0,1,2,…,9      这十个数字组成的无重复数字的四位数中,十位数字与千位数
字之差的绝对值等于         7 的四位数的个数是________.
    答案:280
    解析:当十位数字为         0,千位数字为      7 时,四位数的个数是         A82;当十位数字与千位数
字为   1,8 时,四位数的个数是         A82A2;当十位数字与千位数字为           2,9 时,四位数的个数是
A82A2,故所求的四位数的个数是           A82+A82A2+A82A2=280.
    11.  身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成
一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数共有________种.
    答案:48
    解析:分类计数原理,按红红之间有蓝无蓝两类来分:
    (1) 当红红之间有蓝时,则有           A2A42=24(种);
    (2) 当红红之间无蓝时,则有           C21A2A3=24(种).
    因此,这五个人排成一行,穿相同颜色衣服的人不能相邻,则有                           48 种排法.
    二、 解答题
    12. 一种团体竞技比赛的积分规则是:每队胜、平、负分别得                        2 分、1  分、0  分.已知
甲球队已赛     4 场,积   4 分.在这    4 场比赛中,甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有多
少种?
    解:由题意,甲队积         4 分分三类情况:
    ① 2 胜  2 负,有   C42C2=6(种);
    ② 1 胜  2 平 1 负,有   C41C32=12(种);
    ③ 0 胜  4 平 0 负,有   C4=1(种).
    综上可知共有      6+12+1=19(种)情况.
    13.   某国际旅行社共有        9 名专业导游,其中       6 人会英语,4     人会日语,若在同一天要
接待   5 个不同的外国旅游团队,其中            3 个队要安排会英语的导游,2           个队要安排会日语的
导游,则不同的安排方法共有多少种?
    解:依题意,导游中有          5 人只会英语,3      人只会日语,1      人既会英语又会日语.按只会
英语的导游分类:①          3 个英语导游从只会英语人员中选取,则有                 A53A42=720(种);②   3 个
英语导游从只会英语的导游中选              2 名,另一名由既会英语又会日语的导游担任,则有
C52A3A32=360(种).故不同的安排方法共有          A53A42+C52A3A32=1 080(种).
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                               第 3 课时 二项式定理
    一、 填空题
    1. (2016·北京卷)在(1-2x)6     的展开式中,x2      的系数为________.(用数字作答)
    答案:60
                                              r r      2               2
    解析:由二项展开式的通项公式              Tr+1=C6r·(-2)  x 可知,x   的系数为     C62(-2) =60.
                             1
    2. (2016·山东卷)若(ax2+      x)5 的展开式中    x5 的系数是-80,则实数        a=________.
    答案:-2
                              1               5             5
                         2 5-r   r    5-r
    解析:因为     Tr+1=C5r(ax )  ( x) =C5ra  x10-2r,所以由     10-2r=5  得 r=2,因
此由   C52a5-2=-80 得 a=-2.
               b
           ax-
    3.   在(    x)n(ab≠0,且   a,b 为常数)的展开式中,含          x 项的系数为     10a3b2,则 n=
________.
    答案:5
    解析:由题意,得展开式中含             x 项的系数为    Cn2a3b2,则由  Cn2a3b2=10a3b2,即 Cn2=
10,解得   n=5.
                x   1
    4.       在(2-3  x)n 的展开式中,各项的二项式系数和为               256,则展开式中常数项是
________.
    答案:7
                                        x  1                       1
                     n                     3 x 8                 r( ) -
    解析:依题意,得        2 =256,则   n=8,则(2-      ) 展开式的通项      Tr+1=C8 2 8 r·(-
       4        4                                        1
  r                                                    6( )     6
1) x8-3r,令   8-3r=0,则    r=6,因此展开式中的常数项            T7=C8 2 2(-1) =7.
                2   10                         9          10
    5. 若多项式    x +x  =a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)      +a10(x+1)  ,则   a9=________.
    答案:-10
                2  10            2             10
    解析:因为 x     +x   =[(x+1)-1]   +[(x+1)-1]    ,所以   a9=C110×(-1)=-10.
    6.   在(1+x)6(1+y)4  的展开式中,记        xmyn 项的系数为   f(m,n),则   f(3,0)+f(2,
1)+f(1,2)+f(0,3)=________.
    答案:120
    解析:由题意可得        f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63C40+C62C41+C61C42+
C60C43=20+60+36+4=120.
                   7            2    3     4    5    6    7
    7.    设(1-2x)   =a0+a1x+a2x  +a3x +a4x +a5x +a6x  +a7x ,则代数式     a1+2a2+
3a3+4a4+5a5+6a6+7a7  的值为________.
    答案:-14
                                            6              2     3     4
    解析:对已知等式的两边求导,得-14(1-2x)                 =a1+2a2x+3a3x  +4a4x +5a5x +
    5     6
6a6x +7a7x ,令  x=1,有   a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7=-14.
                            7    7    6    5     4    3    2
    8.     已知多项式(3x-1)      =a0x  +a1x +a2x +a3x +a4x +a5x  +a6x+a7,则|a0|+
|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=________.
    答案:16 384
                                                                          7
    解析:求      |a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|的值相当于求(3x+1)          的
                                                               7
系数和.即令      x=1,|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=4       =16 384.
                     a
    9.  设二项式(x-      x)6(a>0)的展开式中     x3 的系数为   A,常数项为     B.若 B=4A,则    a 的
值是________.
    答案:2
                            a                3        3
                    r r 6-r( x)      r r r
    解析:Tr+1=(-1)     C6x      r=(-1)  a C6x6-2r,令  6-2r=3,得    r=2,则    A=
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                     3
(-1)2a2C62=15a2.令 6-2r=0  得  r=4,则   B=(-1)4a4C64=15a4.由  B=4A 得  15a4=
4×15a2,又   a>0,则   a=2.
                             2       3            n            2        n
    10.    已知(1+x)+(1+x)      +(1+x)  +…+(1+x)    =a0+a1x+a2x   +…+anx   ,且
                                1

                                   n
a0+a1+a2+…+an=126,那么(        x-  x) 的展开式中的常数项为________.
    答案:-20
                                                      2n-1
                                         2       n            n+1          n+
    解析:令    x=1  得 a0+a1+a2+…+an=2+2      +…+2   =2×   2-1 =2   -2=126⇒2
                                          1

1       n+1   7                     6-r     r         r 3-r
 =128⇒2    =2 ⇒n=6,又    Tr+1=C6r( x)  (-  x) =C6r(-1) x   ,所以由    3-r=0  得
r=3,则常数项为-C63=-20.
    二、 解答题
    11. 求证:
    (1) 32n+2-8n-9 能被   64 整除(n∈N*);
    (2) 3n>(n+2)·2n-1(n∈N*,n>2).
    证明:(1) ∵ 32n+2-8n-9=32·32n-8n-9
    =9·9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9
    =9(Cn08n+Cn18n-1+…+Cn-n 1·8+Cn·1)-8n-9
    =9(8n+Cn18n-1+…+Cn-n   282)+9×8n+9-8n-9
    =9×82(8n-2+Cn1·8n-3+…+Cn-n    2)+64n
    =64[9(8n-2+Cn18n-3+…+Cn-n  2)+n],
    ∴ 32n+2-8n-9  能被   64 整除.
    (2)  ∵  n∈N*,且   n>2,∴    3n=(2+1)n  展开后至少有      4 项.(2+1)n=2n+Cn1·2n-
1+…+Cn-n  1·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,
    ∴ 3n>(n+2)·2n-1(n∈N*,n>2).
    12. 二项式(2x-3y)9    的展开式中,求:
    (1) 二项式系数之和;
    (2) 各项系数之和;
    (3) 所有奇数项系数之和.
                  9    9    8     7 2        9
    解:设(2x-3y)    =a0x +a1x  y+a2x y +…+a9y   .
    (1) 二项式系数之和为        C90+C91+C92+…+C9=29.
                                                              9
    (2) 令 x=1,y=1,得各项系数之和为            a0+a1+a2+…+a9=(2-3)      =-1.
    (3) 由(2)知  a0+a1+a2+…+a9=-1,
                                          9
    令 x=1,y=-1,得       a0-a1+a2-…-a9=5    ,
                                    59-1

    将两式相加,得       a0+a2+a4+a6+a8=     2  ,即为所有奇数项系数之和.
    13. (2017·徐州第一学期期末)已知等式(1+x)2n-1=(1+x)n-1(1+x)n.
    (1) 求(1+x)2n-1  的展开式中含      xn 的项的系数,并化简:Cn-0        1Cn+Cn-1 1Cn-n 1+…+
Cn-1Cn1;
    (2) 求证:(Cn1)2+2(Cn2)2+…+n(Cn)2=nC2n-n    1.
    (1) 解:(1+x)2n-1  的展开式中含      xn 的项的系数为     C2n-n 1.
            n-1     n                      n-1   n-1                 n
    由(1+x)    (1+x)  =(Cn-0 1+Cn-1 1x+…+C    n-1x   )(Cn0+Cn1x+…+Cnx  )可知,
    (1+x)n-1(1+x)n 的展开式中含      xn 的项的系数为      Cn-0 1Cn+Cn-1 1Cn-n 1+…+Cn-1Cn1.
    所以  Cn-0 1Cn+Cn-1 1Cn-n 1+…+Cn-1Cn1=C2n-n 1.
                                    n!
    (2) 证明:当    k∈N*时,kCnk=k·k!(n-k)!
            n!
    =(k-1)!(n-k)!
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             (n-1)!
    =n·(k-1)!(n-k)!=nCnk-1.
    所以(Cn1)2+2(Cn2)2+…+n(Cn)2


                   第  4 课时 离散型随机变量及分布列、超几何分布
    一、 填空题
                                            k
    1.     已知随机变量      X 的分布列为     P(X=k)=15,k=1,2,3,4,5,则         P(0.5<X<
2.5)=________.
    答案:0.2
                                           1+2   1
    解析:P(0.5<X<2.5)=P(X=1)+P(X=2)=          15 =5=0.2.
    2. 设随机变量     X 的概率分布列如下表所示:

                            X    0     1       2
                                       1       1
                            P    a
                                       3       6
    F(x)=P(X≤x),则当     x 的取值范围是[1,2)时,F(x)=________.
          5
    答案:6
                1  1          1                                1  1  5
    解析:∵ a+3+6=1,∴ a=2.∵ x∈[1,2),∴ F(x)=P(X≤x)=2+3=6.
    3. 设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为

                           X     -1       0      1
                                  1
                           P            1-2q    q2
                                  2
    则 q=________.
              2
    答案:1-    2  
                              1-2q ≥ 0,
                               q2 ≥ 0,
                          1
                         { +1-2q+q2=1,)
    解析:由分布列的性质知           2
               2
    所以  q=1-   2 .
    4.         在含有   3 件次品的    10 件产品中,任取      4 件,则取到次品数        X=2 的概率为
________.
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          3
    答案:10
    解析:由题意,X       服从超几何分布,其中          N=10,M=3,n=4,所以分布列为            P(X=

k)=     ,k=0,1,2,3.即

                      X     0       1       2       3
                            1       1       3        1
                      P
                            6       2       10      30
    5. 若 P(x≤x2)=1-β,P(x≥x1)=1-α,其中           x1<x2,
    则 P(x1≤x≤x2)=________.
    答案:1-(α+β)

    解析:由分布列性质可有           P(x1≤x≤x2)=P(x≤x2)+P(x≥x1)-1=(1-β)+(1-
α)-1=1-(α+β).
    6. 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有                 3 个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没
有抢到题的队伍得        0 分,抢到题并回答正确的得           1 分,抢到题但回答错误的扣            1 分(即得-
1 分).若   X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则                    X 的所有可能取值是
________.
    答案:-1,0,1,2,3
    解析:X=-1,甲抢到一题但答错了,而乙抢到了两个题都答错了;
    X=0,甲没抢到题,乙抢到           3 个题且答错至少      2 个题或甲抢到      2 题,但答时一对一错,
而乙抢到一个题目并答错;
    X=1,甲抢到     1 题且答对,乙抢到        2 个题目且至少答错一个或甲抢到             3 题,且   1 错
2 对;
    X=2,甲抢到     2 题均答对;
    X=3,甲抢到     3 题均答对.
    7.  从装有   3 个红球,2    个白球的袋中随机取出          2 个球,设其中有      X 个红球,则随机变
量  X=1 的概率为________.
    答案:0.6

    解析:P(X=1)=        =0.6.
                                             i
    8.      已知随机变量      X 的分布列为     P(X=i)=2a(i=1,2,3,4),则       P(2<X≤4)=
________.
          7
    答案:10
                          1   2  3   4
    解析:由分布列的性质得2a+2a+2a+2a=1,则                a=5.所以   P(2<X≤4)=P(X=3)+
         3   4   7
P(X=4)=10+10=10.
    9.  从装有除颜色外没有区别的            3 个黄球、3    个红球、3    个蓝球的袋中摸       3 个球,设摸
出的   3 个球的颜色种数为随机变量           X,则  P(X=2)=________.
          9
    答案:14
    解析:X=2,即摸出的         3 个球有   2 种颜色,其中一种颜色的球有            2 个,另一种颜色的
                           9
球有   1 个,故  P(X=2)=      =14.
    10. 袋中共有    6 个除了颜色外完全相同的球,其中有               1 个红球,2    个白球和    3 个黑球,
从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率为________.
          2
    答案:5
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    解析:1   个红球,2     个白球和    3 个黑球分别记为      a1,b1,b2,c1,c2,c3,从袋中任取
两球共有    a1,b1;a1,b2;a1,c1;a1,c2;a1,c3;b1,b2;b1,c1;b1,c2;b1,c3;b2,
c1;b2,c2;b2,c3;c1,c2;c1,c3;c2,c315      种,满足两球颜色为一白一黑有              6 种,概率
   6  2
为15=5.
    二、 解答题
    11. 从集合   M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个元素构成子集{a,b,c}.
    (1) 求 a,b,c   中任意两数之差的绝对值均不小于              2 的概率;
    (2)    记  a,b,c  三个数中相邻自然数的组数为             X(如集合{3,4,5}中      3 和 4 相邻,
4 和 5 相邻,X=2),求随机变量         X 的分布列及其数学期望          E(X).
    解:(1)    从  9 个不同的元素中任取        3 个不同元素,为古典概型.记“a,b,c               中任意
两数之差的绝对值均不小于            2”为事件    A,其基本事件总数        n=C93.
    由题意,a,b,c      均不相邻,利用插空法得,事件              A 包含基本事件数      m=C73.
                  5                                                      5
    故 P(A)=     =12.所以,a,b,c      中任意两数之差的绝对值均不小于               2 的概率为12.
    (2) 

                          X      0       1       2
                                 5       1       1
                          P
                                12       2      12
                  5     1     1  2
    所以  E(X)=0×12+1×2+2×12=3.
    12.  某中学有    4 位学生申请     A,B,C  三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中
一所大学,且申请其中任何一所大学是等可能的.
    (1) 求恰有   2 人申请   A 大学的概率;
    (2) 求被申请大学的个数         X 的概率分布列与数学期望          E(X). 
                                                        24  8
    解:(1) 记“恰有      2 人申请   A 大学”为事件     A,P(A)=      =81=27.
                                        3   1
    (2) X 的所有可能值为      1,2,3.P(X=1)=34=27,
                  42  14                36  4
    P(X=2)=      =81=27,P(X=3)=        =81=9.
    X 的概率分布列为

                          X      1       2       3
                                 1       14      4
                          P
                                27       27      9
                             1      14    4  65
    所以  X 的数学期望     E(X)=1×27+2×27+3×9=27.
    13.  某超市在节日期间进行有奖促销,规定凡在该超市购物满                        400 元的顾客,均可获
得一次摸奖机会.摸奖规则如下:
    奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的                  4 个球(红、黄、黑、白).顾客不放回的每
次摸出   1 个球,若摸到黑球则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励                              20 元,摸
到白球或黄球奖励        10 元,摸到黑球不奖励.
    (1) 求 1 名顾客摸球     2 次摸奖停止的概率;
    (2) 记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量                 X 的分布列和数学期望.
                                                                1
    解:(1)    设“1  名顾客摸球     2 次停止摸奖”为事件         A,则  P(A)=     =4,故   1 名顾客
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                       1
摸球   2 次停止摸奖的概率为4.
    (2) 随机变量    X 的所有取值为      0,10,20,30,40.
             1                 1
    P(X=0)=4,P(X=10)=        =6,
                         1
    P(X=20)=     +     =6,
                   1                  1
    P(X=30)=     =6,P(X=40)=        =4,
    所以随机变量      X 的分布列为

                   X      0      10     20      30     40
                          1      1       1      1       1
                   P
                          4      6       6      6       4
                 1      1      1     1      1
    所以  E(X)=0×4+10×6+20×6+30×6+40×4=20. 
                            第 5 课时 独立性及二项分布
    一、 填空题
    1. 周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估计做对第一道题的概率为
0.80,做对两道题的概率为          0.60,则预估计做对第二道题的概率为________.
    答案:0.75
    解析:记做对第一道题为事件             A,做对第二道题为事件          B,则  P(A)=0.80,P(AB)=
0.60,因为做对第一道、第二道题这两个事件是相互独立的,所以                          P(AB)=P(A)P(B),即
      P(AB)  0.60
P(B)=  P(A) =0.80=0.75.
    2.  已知盒中装有      3 个红球、2    个白球、5    个黑球,它们大小形状完全相同,现需一个
红球,甲每次从中任取一个不放回,在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概
率为________.
          1
    答案:3
                                                                        2  1
    解析:事件     A:“第一次拿到白球”,事件             B:“第二次拿到红球”,则            P(A)=10=5,
       2   3  1             P(AB)  1
P(AB)=10·9=15,故     P(B|A)= P(A) =3.
                        1
                      6,
    3. 设随机变量     X~B(   2),则  P(X=3)=________.
          5
    答案:16
                 1                             1       1    5
              6,                                    1-
    解析:X~B(      2),由二项分布可得,P(X=3)=C63(2)3·(           2)3=16.
    4. (2017·徐州期末改编)甲、乙、丙分别从              A,B,C,D    四道题中独立地选做两道题,
其中甲必选     B 题,则甲选做      D 题,且乙、丙都不选做         D 题的概率为________.
          1
    答案:12
    解析:设“甲选做        D 题,且乙、丙都不选做         D 题”为事件     E.
                           1                                 1
    甲选做   D 题的概率为        =3,乙、丙不选做        D 题的概率都是         =2.
            1  1  1  1
    则 P(E)=3×2×2=12,
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                                             1
    即甲选做    D 题,且乙、丙都不选做          D 题的概率为12.
                                                              80
    5. 一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为81,则此射手每次
射击命中的概率为________.
          2
    答案:3
    解析:由题意可知该射手对同一目标独立地射击了四次全都没有命中的概率为                                 1-
80  1                                            1          2
81=81,设该射手每次射击命中的概率为               p,则(1-p)4=81,所以       p=3.
                                                               1
    6.  有  3 位同学参加某项测试,假设每位同学能通过测试的概率都是2,且各人能否通
过测试是相互独立的,则至少有              2 位同学能通过测试的概率为________.
          1
    答案:2
    解析:记“至少有        2 位同学能通过测试”为事件           A,则其包含的事件为“恰好有             2 位
同学能通过测试”或“恰好有             3 位同学能通过测试”,而每位同学不能通过测试的概率都
      1 1                         1      1   1
是  1-2=2,且相互独立,故         P(A)=C32(2)3+C3(2)3=2.
    7. 某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯闪
          1                               1
烁的概率是2,两次闭合都出现红灯闪烁的概率为6.则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件
下第二次出现红灯闪烁的概率为________.
          1
    答案:3
    解析:设事件      A:第一次闭合后出现红灯闪烁;事件                B:第二次闭合出现红灯闪烁.则
      1         1
P(A)=2,P(AB)=6,
                               1
                               6
                        P(AB)  1  1
    故满足条件的      P(B|A)=  P(A) =2=3.
    8.     甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为                      0.6,乙被录取的概率为
0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为________.
    答案:0.88
    解析:因为甲、乙两人是否被录取相互独立,又因为所求事件的对立事件为“两人均
未被录取”,由对立事件和相互独立事件概率公式知,P=1-(1-0.6)(1-0.7)=1-
0.12=0.88.
                                                          5
    9.      设随机变量      X~B(2,p),η~B(4,p).若       P(X≥1)=9,则    P(η≥2)的值为
________.
          11
    答案:27
                     5                    5                           1
    解析:由    P(X≥1)=9,得    C21p(1-p)+C2p2=9,即    9p2-18p+5=0,解得     p=3或   p=
5
3(舍去),
                                                 1    2       1   2   1   11
    ∴ P(η≥2)=C42p2(1-p)2+C43p3(1-p)+C4p4=6×(3)2×(3)2+4×(3)3×3+(3)4=27.
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    二、 解答题
                                                                 2 3
    10. 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为3和5.现安排甲
组研发新产品      A,乙组研发新产品        B.设甲、乙两组的研发相互独立.
    (1) 求至少有一种新产品研发成功的概率;
    (2)  若新产品    A 研发成功,预计企业可获利润             120 万元;若新产品      B 研发成功,预计
企业可获利润      100 万元.求该企业可获利润的分布列.
                                                                         2
    解:记   E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知                         P(E)=3,
       1        3        2
P(-)=3,P(F)=5,P(-)=5,且事件          E 与 F,E  与-,-与     F,-与-都相互独立.
  E                  F                       F   E      E   F
    (1) 记 H={至少有一种新产品研发成功},则-=--,
                                           H   E F
                           1 2   2
    于是  P(-)=P(-)P(-)=3×5=15,
           H     E    F              2  13
    故所求的概率为       P(H)=1-P(-)=1-15=15.
                             H
    (2) 设企业可获利润为        X(万元),则    X 的可能取值为      0,100,120,220.
                          1  2  2
    因为  P(X=0)=P(--)=3×5=15,
                   E F1  3   3  1
    P(X=100)=P(-F)=3×5=15=5,
                 E    2  2   4
    P(X=120)=P(E-)=3×5=15,
                  F   2 3   6  2
    P(X=220)=P(EF)=3×5=15=5.
    故所求的分布列为

                      X      0      100     120     220
                             2       1       4       2
                      P
                            15       5      15       5
    11.   某考生从    6 道预选题中一次性随机的抽取            3 道题作答,其中       4 道填空题,2    道解
答题.
    (1) 求该考生至少抽到        1 道解答题的概率;
    (2)   若所抽取的     3 道题中有   2 道填空题,1     道解答题.已知该考生答对每道填空题的
      2                       1
概率为3,答对每道解答题的概率为2,且各题答对与否相互独立.用                            X 表示该考生答对题
的个数,求     X 的分布列和数学期望.

    解:(1)     记该考生至少抽到        1 道解答题为事件       A,则  P(A)=1-P(A)=1-       =1-
1  4
5=5.
    (2) X 所有的可能取值为       0,1,2,3.
                2       1   1               2     2      1      2   1   5
             1-      1-                        1-     1-     1-
    P(X=0)=(    3)2·(   2)=18;P(x=1)=C21·3·(      3)·(   2)+(   3)2·2=18;
                 2     2  1   2       1   8  4           2    1 2
                    1-             1-
    P(X=2)=C21·3·(     3)·2+(3)2·(    2)=18=9;P(X=3)=(3)2·2=9.
    所以  X 的分布列为

                      X      0       1       2       3
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                             1       5       4       2
                      P
                            18       18      9       9
                  1     5      4    2  33
    所以  E(X)=0×18+1×18+2×9+3×9=18.
    12.  在一次数学考试中,第          21 题和第   22 题为选做题.规定每位考生必须且只需从其
                                           1
中选做一题.设       4 名考生选做每一道题的概率均为2.
    (1) 求其中甲、乙两名考生选做同一道题的概率;
    (2) 设这  4 名考生中选做第       22 题的考生个数为      X,求   X 的分布列.
    解:(1)    设事件   A 表示“甲选做第       21 题”,事件    B 表示“乙选做第       21 题”,则甲、
乙两名考生选做同一道题的事件为“AB+- -”,且事件                       A 与事件   B 相互独立.
                                   A  B
                                         1  1     1      1   1
                                               1-     1-
    故 P(AB+- -)=P(A)P(B)+P(-)P(-)=2×2+(           2)×(   2)=2.
             A B                A    B               1
                                                   4,
    (2) 随机变量    X 的可能取值为      0,1,2,3,4,且      X~B(  2),
                  1     1
                     1-
    则 P(X=k)=C4k(2)k(   2)4-k
         1
    =C4k(2)4(k=0,1,2,3,4).
    故随机变量     X 的分布列为

                  X      0       1       2      3       4
                         1       1       3      1       1
                  P
                         16      4       8      4       16
    13. 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为                    1 000 元,此作物的市场价格和这
块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

                          作物产量(kg)            300   500
                             概 率              0.5   0.5
                       作物市场价格(元/kg)            6     10
                             概 率              0.4   0.6
    (1) 设 X 表示在这块地上种植         1 季此作物的利润,求        X 的分布列;
    (2)      若在这块地上连续        3 季种植此作物,求这         3 季中至少有     2 季的利润不少于      2 
000 元的概率.
    解:(1)    设  A 表示事件“作物产量为         300   kg”,B  表示事件“作物市场价格为            6 元
/kg”,由题设知      P(A)=0.5,P(B)=0.4,
    因为利润=产量×市场价格-成本,
    500×10-1    000=4   000,500×6-1     000=2   000,300×10-1    000=2   000,
300×6-1 000=800.
    所以  X 所有可能的取值为        4 000,2 000,800.
    P(X=4 000)=P(-)P(-)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
                   A    B
    P(X=2 000)=P(-)P(B)+P(A)P(-)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,
                   A             B
    P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2.
    则 X 的分布列为

                           X   4 000    2 000   800
                           P    0.3      0.5    0.2
    (2) 设 Ci 表示事件“第     i 季利润不少于      2 000 元”(i=1,2,3),
    由题意知    C1,C2,C3 相互独立,由(1)知,
    P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
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    3 季的利润均不少于        2 000 元的概率为
                                3
    P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.8 =0.512;
    3 季中有   2 季的利润不少于      2 000 元的概率为
    P(- C C )+P(C -  C )+P(C C - )=3×0.82×0.2=0.384.
      C 1 2 3     1 C 2 3   1 2 C 3
    所以,这    3 季中至少有     2 季的利润不少于       2 000 元的概率为    0.512+0.384=0.896.
                       第 6 课时 离散型随机变量的均值与方差
    一、 填空题
    1. 设 X 是一个离散型随机变量,其概率分布列如下表:

                          X    -1        0        1
                                          3q
                          P    0.5               q2
                                       1-  2
    则 q=________.
          1
    答案:2
    解析:∵     随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于                              1,
           3
    0.5+1-  q+q2=1 ①,
           2
            3
       0<1-  q<1 ②,
            2
   {        <  ③        )
∴         q2 1    .
           1                                            1
    解得  q=2或   1,而把   q=1 代入②③不合题意,舍去,∴ q=2.
                                      1
    2. 设随机变量     X 的分布列为     P(X=k)=5(k=2,4,6,8,10),则        V(X)=________.
    答案:8
                   1
    解析:∵ E(X)=5(2+4+6+8+10)=6,
             1
    ∴ V(X)=5[(-4)2+(-2)2+02+22+42]=8.
    3. 某老师从课本上抄录一个随机变量               X 的分布列如下表:

                              X    1     2    3
                              P    ?    !     ?
    请小牛同学计算       x 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模
糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案                              E(X)=________.
    答案:2
    解析:设“?”处的数值为            x,则“!”处的数值为          1-2x,则   E(X)=1·x+2×(1-
2x)+3x=x+2-4x+3x=2.
    4. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,
则在   2 次试验中成功次数       X 的均值是________.
          3
    答案:2
                                     3           3               3  3
                                              2,
    解析:由题意知,试验成功的概率               p=4,故   X~B(   4),所以  E(X)=2×4=2.
    5. 若离散型随机变量        X 的分布列如下表:

                              X      0      1
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                                     a      a2
                              P
                                     2      2
    则 X 的数学期望     E(X)=________.
          1
    答案:2 
                                     a  a2
    解析:∵      分布列中概率和为        1,∴    2+ 2 =1,即   a2+a-2=0,解得     a=-2(舍去)
                 1
或  a=1,∴ E(X)=2.
    6.      已知随机变量       X 服从二项分布     X~B(n,p).若    E(X)=30,V(X)=20,则     p=
________.
          1
    答案:3
                                                           1
    解析:依题可得       E(X)=np=30  且  V(X)=np(1-p)=20,解得      p=3.
    7.    抛掷两枚骰子,当至少一枚            5 点或一枚    6 点出现时,就说这次试验成功,则在
10 次试验中成功次数的均值为________.
          50
    答案:   9  
                                                           4 4  4
    解析:抛掷两枚骰子,当两枚骰子不出现                  5 点和 6 点时的概率为6×6=9,所以至少有
                             4  5
一次出现    5 点或  6 点的概率为     1-9=9,用    X 表示  10 次试验中成功的次数,则随机变量
                     5             5 50
                  10,
X 满足二项分布      X~B(   9),E(X)=10×9=    9 .
    8.  设整数    m 是从不等式    x2-2x-8≤0   的整数解的集合       S 中随机抽取的一个元素,记
随机变量    X=m2,则   x 的数学期望     E(X)=________.
    答案:5
    解析:由不等式       x2-2x-8≤0,得-2≤x≤4,∴           S={-2,-1,0,1,2,3,4},
∴ X=0,1,4,9,16,其分布列为

                   X      0      1       4      9      16
                          1      2       2      1       1
                   P
                          7      7       7      7       7
                1     2    2     1      1  35
    ∴ E(X)=0×7+1×7+4×7+9×7+16×7=           7 =5.
    9. 一个人将编号为       1,2,3,4   的四个小球随机放入编号为            1,2,3,4   的四个盒子,
每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了.设放
对个数记为     X,则   X 的数学期望为________.
    答案:1
    解析:将四个不同小球放入四个不同盒子,每个盒子放一个小球,共有                              A4种不同放法,
                                                    3                 1
放对的个数     X 可取的值有     0,1,2,4,其中      P(X=0)=      =8,P(X=1)=       =3,
               1                1           3     1     1     1
P(X=2)=      =4,P(X=4)=       =24,E(X)=0×8+1×3+2×4+4×24=1.
    二、 解答题
    10.  某校举办校园科技文化艺术节,在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈
赏析》两场讲座.已知          A,B 两学习小组各有        5 位同学,每位同学在两场讲座中任意选听一
场.A   组 1 人选听《生活趣味数学》,其余             4 人选听《校园舞蹈赏析》;B           组  2 人选听《生
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活趣味数学》,其余         3 人选听《校园舞蹈赏析》.
    (1) 若从此   10 人中任意选出      3 人,求选出的      3 人中恰有   2 人选听《校园舞蹈赏析》的
概率;
    (2) 若从  A,B  两组中各任选      2 人,设   X 为选出的   4 人中选听《生活趣味数学》的人数,
求  X 的分布列和数学期望        E(X).
    解:(1)      设“选出的     3 人中恰有    2 人选听《校园舞蹈赏析》”为事件              M,则  P(M)=
      21
    =40.
                                                       21
    所以选出的     3 人中恰有    2 人选听《校园舞蹈赏析》的概率为40.
    (2) X 可能的取值为      0,1,2,3,
                   9                 12                1
    P(X=0)=      =50,P(X=1)=       =25,P(X=3)=       =25,故   P(X=2)=1-
                           3
P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=10.
    所以  X 的分布列为

                      X      0       1       2        3
                            9       12       3        1
                      P
                            50      25       10      25
                             9      12     3     1   6
    所以  X 的数学期望     E(X)=0×50+1×25+2×10+3×25=5.
    11.  甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳                        5 个课外活动,每个同
学彼此独立地选择参加          3 个活动,其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋,所以必选歌唱,不
选围棋,另在舞蹈、阅读、游泳中随机选                  2 个,同学乙和丙从       5 个课外活动中任选        3 个.
    (1) 求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率;
    (2) 设 X 表示选中舞蹈的同学人数,求             X 的分布列及数学期望.
    解:(1) 设   A 表示事件“甲同学选中舞蹈”,B              表示事件“乙同学选中舞蹈”,C             表示
事件“丙同学选中舞蹈”,
                  2             3              3
    则 P(A)=     =3,P(B)=      =5,P(C)=       =5.
    ∵ 事件   A,B,C   相互独立,
    ∴ 甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为
                                                        2 2  2   8
    P(AB C)=P(A)•P(B)•P(C)=P(A)•[1-P(B)]·[1-P(C)]=3×5×5=75.
    (2) ∵ X 可能的取值为      0,1,2,3,且取这些值的概率分别为
             1  2  2  4           2  2  2  1 3  2  1  2  3  20
    P(X=0)=3×5×5=75,P(X=1)=3×5×5+3×5×5+3×5×5=75,
             2  3  2 2  2  3  1  3  3  33          2  3  3  18
    P(X=2)=3×5×5+3×5×5+3×5×5=75,P(X=3)=3×5×5=75,
    ∴ X 的分布列为

                     X      0       1        2       3
                            4       20      33       18
                     P
                           75       75      75       75
                            4     20     33     18 140  28
    ∴ X 的数学期望      E(X)=0×75+1×75+2×75+3×75=        75 =15.
                                                                        4
    12. 某同学参加     3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为5,第
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二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为                   p,q(p>q),且不同课程是否取得优秀成绩相
互独立.记     X 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为

                        X      0      1    2      3
                               6                  24
                        P             a    b
                              125                125
    (1) 求该同学至少有       1 门课程取得优秀成绩的概率;
    (2) 求 p,q  的值;
    (3) 求数学期望     E(X).
                                                                                4

    解:设事件     Ai 表示“该同学第      i 门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3,由题意知                  P(A1)=5,
P(A2)=p,P(A3)=q.
    (1)  由于事件“该同学至少有           1 门课程取得优秀成绩”与事件“X=0”是对立的,所
                                                         6   119
以该同学至少有       1 门课程取得优秀成绩的概率是            1-P(X=0)=1-125=125.
    (2) 由题意知,
                       1              6

    P(X=0)=P(A1A2A3)=5(1-p)(1-q)=125,
                       4    24

    P(X=3)=P(A1A2A3)=5pq=125,
               6                          3     2
    整理得   pq=25,p+q=1,由      p>q,可得    p=5,q=5.
    (3) 由题意知,

    a=P(X=1)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
      4              1        1         37
    =5(1-p)(1-q)+5p(1-q)+5(1-p)q=125,
                                             58
    b=P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=125,
                                                         9
    E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=5.
    13.  (2017·山东卷)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人
的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另
一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗

示的作用,现有       6 名男志愿者     A1,A2,A3,A4,A5,A6   和 4 名女志愿者     B1,B2,B3,B4,从
中随机抽取     5 人接受甲种心理暗示,另           5 人接受乙种心理暗示.

    (1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含                A1 但不包含   B1 的概率.
    (2) 用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者的人数,求                   X 的分布列与数学期望         E(X).

    解:(1)     记接受甲种心理暗示的志愿者中包含               A1 但不包含    B1 的事件为   M,则  P(M)=
      5
    =18.
    (2) 由题意知    X 可取的值为     0,1,2,3,4.则
                   1
    P(X=0)=      =42,
                   5
    P(X=1)=      =21,
                  10
    P(X=2)=      =21,
                   5
    P(X=3)=      =21,
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               1
P(X=4)=      =42,
因此  X 的分布列为
             X      0       1        2       3        4
                    1       5       10       5        1
             P
                   42       21      21       21      42
X 的数学期望是
E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)
     1      5     10      5     1
=0×42+1×21+2×21+3×21+4×42
=2.
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