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福建省南安市2016_2017学年高二数学下学期第一次阶段考试3月试题文

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福建省南安市           2016-2017   学年高二数学下学期第一次阶段考试(3                            月)试

                                      题 文

                             第I卷(选择题   共       60 分)

一.选择题(本大题共          12 小题,每小题     5 分,共   60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符

    合题目要求)

1.复数   z 满足 (3  2i)z  4  3i ( i 为虚数单位),则复数      z 在复平面内对应的点位于

    A.第一象限       B.第二象限              C.第三象限       D.第四象限

2.若命题    p 是真命题,命题       q 是假命题,则下列命题一定是真命题的是

    A. p  q          B. p  q         C. p  q         D. p  q

3.已知   a,b,c  R ,命题“若    a  b  c  3,则 a2  b2  c2  3”的否命题是

   A. 若 a  b  c  3,则 a2  b2  c2  3    B. 若 a  b  c  3,则 a2  b2  c2  3

   C.若 a  b  c  3,则 a2  b2  c2  3    D.若 a2  b2  c2  3,则 a  b  c  3

             y2   x2
4.已知双曲线             1(a  0,b  0) 的离心率为    5 ,则该双曲线的渐近线方程为
             a2  b2
                             1               1
   A. y  2x         B. y   x       C. y   x      D. y  4x
                             2               4
5.设函数    f x xx  kx  2k,且 f 0 8 ,则 k 

    A.2             B.  2             C.  2          D. 1

6.下列命题中正确的有

①设有一个回归方程         yˆ  2  3x ,变量 x 增加一个单位时,      y 平均增加    3 个单位;

                      2                                 2
②命题   p :“ x0  R , x0  x0 1  0 ”的否定 p “ x  R , x   x 1 0 ”;

③残差平方和越小的模型,拟合的效果越好;

                              2
                    n     ^                                                   说
                     yi  yi 
④明模型的拟合效果越好.用相关指数 2 i1      来刻画回归效果,          2 的值越小,
            R  1   n                         R
                             2
    A.1 个           yiB.y2个                      C.3 个                      D.
                    i1
4 个

7.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量                       x (吨)与相                         应
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的生产能耗     y (吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出                        y 关于  x 的线性回归方程

为 yˆ  0.7x. 0 35 ,则表中 m 的值为

x       3        4       5        6

y       2.5      m       4        4.5

    A.3      B.3.15      C.4        D.4.5

8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的                       S 

    A.40     B.21        C.20       D.18

                     x2  y2
9.“  m  3 ”是“椭圆            1焦距为   2 ”的
                     4   m

   A.充分不必要     条件    B.必要不充分条件    C.充要条件    D.既不充分又不必要条件

10.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的                        “筹”原意是指《孙子算经》中记载

的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形

式有纵横两种形式,如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排

列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横

式表示,以此类推.例如          6613 用算筹表示就是                  ,则  9117 用算筹可表示为


                                      

 A.                 B.                  C.                 D.

              x2   y2
11.已知双曲线             1(b  0) ,过其右焦点    F 作圆   x2  y2  9 的两条切线,切点分别记作
              9   b2

C, D ,双曲线的右顶点为         E , CED   150 ,其双曲线的离心率为(    )

     2  3              2  3                                 3
   A.               B.                 C.  3            D. 
      9                  3                                  2


                  a               3   2                      1   
12.已知函数     f (x)   ln x, g(x)  x  x  5,若对任意的    x1 , x2  ,2 ,都有
                   x                                         2  


f (x1 )  g(x2 )  2 成立,则实数 a 的取值范围是
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   A. ln 2,      B.1,         C.  ,1       D. ,ln 2

                             第II卷(非选择题,共        90 分)

二.填空题(共       4 小题,每小题     5 分,共   20 分,请把答案写在答题卡上):

13.复数   z  i(i 1) ( i 为虚数单位)的共轭复数       z =          .

                                                          1
                       2
14.若  M 为抛物线     y  2x 第一象限上的点,且        M  到焦点的距离为       4 ,则  M  的坐标为   .

15.设函数    f (x)  g(x)  x2 ,曲线 y  g(x) 在点 (1, g(1)) 处的切线方程为    y  2x 1,则曲线

y  f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为          .

                          1       1         4   x   x   4     x  x  4
16.已知   x  0 ,由不等式    x    2 x   2, x             33       3,, 可以推
                          x        x        x2  2   2  x2     2  2 x2
           a
出结论:    x     n 1(n N * ),则a =          .
           xn
三.解答题(本大题共          6 小题,共   70 分,其中    17 题为  10 分,其余为    12 分):

17.(本小题     10 分)极坐标系的极点为直角坐标系              xoy 的原点,极轴为      x 轴的正半轴,两种坐标

系中的长度单位相同,已知曲线             C 的极坐标方程为         4(cos  sin ) .

(Ⅰ)求    C 的直角坐标方程;

                 1
              x   t,
                 2
(Ⅱ)直线     l :           (t 为参数)与曲线     C 交于   A, B 两点,定点    E(0,1) ,求| EA |g| EB | .
                      3
             y  1    t
                   2

18.(本小题     12 分)为了了解某校学生喜欢吃零食是否与性别有关,随机对此校                          100 人进行调查,
                                                                            2
得到如下的列表:已知在全部            100 人中随机抽取      1 人,抽到不喜欢吃零食的学生的概率为                  .
                                                                            5
      喜欢吃零食      不喜欢吃零食辣         合计

男生               10

女生    20

合计                               100

(Ⅰ)请将上面的列表补充完整;

(Ⅱ)是否有      99.9%以上的把握认为喜欢吃零食与性别有               关?说明理由.

下面的临界值表供参考:                                                 nad  bc2
                                               K 2 
                                                    a  bc  d a  cb  d 
                                               (其中n    a  b  c  d)
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    2
pK    k  0.010  0.005  0.001

k           6.635  7.879  10.828


                                        x  2cos
19.(本小题     12 分)已知曲线     C1 的参数方程是               (  为参数),曲线       C2 的参数方程是
                                          y  sin

x  3  t

    3  3t ( t 为参数).
 y 
     8


 (Ⅰ)将曲线      C1 , C2 的参数方程化为普       通方程;


 (Ⅱ)求曲线      C1 上的点到曲线     C2 的距离的最大值和最小值.


 20.(本小题     12 分)某工厂为了安排生产任务,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次

试验,得到的数据如下:

零件的个数     x (件)           2       3       4       5

加工的时间     y (小时)          2.5     3       4       4.5

(Ⅰ)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

(Ⅱ)求出     y 关于  x 的线性回归方程      yˆ  bˆx  aˆ ,并在坐标系中画出回归直线;

(Ⅲ)试预测生产10        个零件需要多少时间?

             n
              xi yi  nx  y
   (注:   ˆ   i1         ,          )
         b   n            aˆ  y  bx
                  2    2
               xi  nx
              i1


                             x2   y2                        1
21.(本小题     12 分)已知椭圆     E :        1(a  b  0) 的离心率为     ,直线   y  x  6 与以原
                             a2   b2                        2

点为圆心,以椭圆        E 的短半轴长为半径的圆相切.

 (Ⅰ)求椭圆      E 的方程;

 (Ⅱ)若斜率为       k(k  0) 的直线 l 与椭圆   E 相交于   A, B 两点(  A, B 不是左右顶点),且以         AB 为

直径的圆过椭圆       E 的右顶点,求证:直线         l 过定点,并求出该定点的坐标.
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22.(本小题     12 分)已知函数      f (x)  x  ln x, g(x)  x3  x2 f (x) 16x  20 .

(Ⅰ)求    f (x) 的单调区间及极值;

(Ⅱ)求证:      g(x) 的图象恒在    x 轴的上方.
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                         2016~2017  学年度下学期第一次阶段考

                               高二数学(文)科参考答案

一、选择题:                        

    1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C 9.A 10.D 11.B 12.B

二、填空题:


                     1 1                          n
    13. 1 i    14.  ,       15. y  4x      16. n  
                     4 8 

三、解答题

17. (Ⅰ)在      4(cos  sin ) 中,两边同乘以     ,得   2  4( cos   sin ) ,

                                              2        2
则 C 的直角坐标方程为        x2  y2  4x  4y ,即 x  2  y  2  8 .………5 分

(Ⅱ)将    l 的参数方程代入曲线        C 的直角坐标方程,得        t 2  ( 3  2)t  3  0 ,

    
    t1  t2  3  2
所以                ,则|  EA |g| EB | t1t2  3 ………10 分
      t1t2  3
                                                                      2
18. 解:(Ⅰ)∵在全部        100 人中随机抽取      1 人抽到不喜欢吃零食的学生的概率为                 . 
                                                                      5
                             2
∴在  100 人中,不喜欢吃零食的有            100  40 (人)……………2       分
                             5
∴女生不喜欢吃零食的有          40-10=30(人),

列表补充如下 :

      喜欢  吃零食     不喜欢吃零食       合计

男生    40          10           50

女生    20          30           50

合计    60          40           100

                                               ……………6     分

                                 2
             1004030   2010    50
(Ⅱ)∵    K 2                           16.667 10.828
                 505060  40       3

∴有  99.9%以上的把握认为喜欢吃零食与性别有关.……………12                     分

                                x2
19. 解:(Ⅰ)曲线      C  的普通方程为          y2  1 ,  
                   1            4


            曲线  C2 的普通方程为      3x  8y 12  0 ;……………4     分
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(Ⅱ)设点    P(2cos,sin ) 为曲线 C1 上任意一点,

则点  P 到直线  3x  8y 12  0 的距离 d 为:

    6cos  8sin 12  10sin(  ) 12            3
 d                                  ,(其中   tan   )
            73                73                   4

                            2 73  22 73 
因为  sin(  ) 1,1,所以 d     ,      ,
                             73    73  

                                    22 73          2 73
即曲线   C 上的点到曲线     C 的距离  的 最大值为          ,最小值为         .……………12    分
       1            2                 73            73

20.解:(Ⅰ)(1)散点图如下图:


                       ;……………2    分

                     4             1 4          1  4          4
(Ⅱ)由表中的数据得:                                                ,    2    ,
                     xi yi  52.5, x   xi  3.5, y   yi  3.5  xi  54
                    i1            4 i1        4 i1        i1

      n
        x y  nx y
        i i       52.5  4 3.5 3.5
∴$    i1                             ,$       $                   ,
  b   n                     2    0.7 a  y  bx  3.5  0.7  3.5  1.05
          2    2     54  4 3.5
        xi  nx
       i1

∴ $y  0.7x 1.05 ,回归直线如上图;……………10       分

(3)将   x=10 代入回归直线方程,得       $y  0.7 10 1.05  8.05 (小时),

∴预测加工    10 个零件需要    8.05 小时.………………12       分 

                       1     c  1           6
21.   解:(Ⅰ).因为      e   ,即      .因为  r       b ,所以  b  3 , a  2 .所以椭圆
                       2     a  2          11

          x2  y2
 E 的方程为          1.……………4   分
          4   3


(Ⅱ)令    l : y  kx  m(k  0)
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设  A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 )

  y  kx  m
 
  x2 y2
        1
  4   3

联立消   y 得

 (3  4k 2 )x2  8kmx  4(m2  3)  0

              8km
     x  x  
     1   2   3  4k 2
所以                  ,……………6    分
            4(m2  3)
     x x 
     1 2   3  4k 2

且   64k 2 m2 16(3  4k 2 )(m2  3)  0

所以  4k 2  m2  3

  以 AB 为直径的圆过右顶点       N(2,0)
    uur uuur
                                  2    2
所以  NAgNB   (x1  2)(x2  2)  y1 y2  7m  4k 16km  0
        m      m
化简得   7( )2 16   4  0
        k      k
    m     2  m
所以       或    2 ……………10   分
    k     7  k
      m
因为当      2 时. l : y  k(x  2) 过定点 N(2,0) 不合题意
      k
    m     2
所以     
    k     7
           2         2
 l : y  k(x  ) 过定点 N( ,0) .………………12 分 
           7         7
                                            x 1
22. 解:(Ⅰ)函数      f (x) 的定义域为  (0,) , f '(x)  (x  0) .
                                             x
         x 1
令  f '(x)    0 ,得 x  1.
          x
令  f '(x)  0 得 x  1, f (x) 递增;令 f '(x)  0 得 0  x  1 , f (x) 递减.

∴  f (x) 的增区间为  (1,) ,减区间为  (0,1) ,

∴  f (x) 的极小值为  f (1)  1, f (x) 无极大值. ……………5  分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知         f (x)  1, 
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∴ g(x)  x3  x2 16x  20 ,等号当且仅当     x  1时成立.

设 h(x)  x3  x2 16x  20 ,则 h'(x)  3x2  2x 16  (3x  8)(x  2) ,

令 h'(x)  0 得 x  2 ;

令 h'(x)  0 ,得 0  x  2 .


∴ h(x)min  h(2)  0 ,

∴ h(x)  0 ,等号当且仅当      x  2 时成立.

因为取等号不一样,所以          g(x)  0

即 g(x) 的图象恒在     x 轴的上方………………12         分
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