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2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业:第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 25 Word版含答案

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课时作业     25 平面向量基本定理及坐标表示

    一、选择题
    1.在平行四边形       ABCD  中,AC  为对角线,若      → =(2,4), → =
                                           AB        AC
(1,3),则 → =(  )
        BD
    A.(-2,-4)  B.(-3,-5)
    C.(3,5)          D.(2,4)
    解析:由题意得       → = → - → = → - → =( → - → )- → = → -
                  BD AD  AB  BC  AB   AC AB   AB  AC
2 → =(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).
 AB
    答案:B
    2.已知   A(-1,-1),B(m,m+2),C(2,5)三点共线,则            m 的
值为(  )
    A.1   B.2
    C.3   D.4
    解析:   → =(m,m+2)-(-1,-1)=(m+1,m+3),
          AB
    → =(2,5)-(-1,-1)=(3,6),
    AC
    ∵A,B,C    三点共线,∴3(m+3)-6(m+1)=0,
    ∴m=1.故选    A.
    答案:A


    3.如图,在△OAB       中,P  为线段    AB 上的一点,    → =x → +
                                             OP   OA
y → ,且 BP=2  → ,则(  )
 OB       2 PA 1        1     2
    A.x=3,y=3     B.x=3,y=3
          1    3        3     1
    C.x=4,y=4     D.x=4,y=4
                                                  2
    解析:由题意知       → = → +→,又→=2    → ,所以   → = → +3 → =
    2         2   O1P OB BP   2BP  P1A     OP  OB  BA
→ +3( → - → )=3 → +3 → ,所以 x=3,y=3.
OB   OA  OB   OA   OB
    答案:A
    4.已知向量     a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若        3a-2b+
c=0,则   c=(  )
    A.(-23,-12)     B.(23,12)
    C.(7,0)          D.(-7,0)
    解析:由题意可得        3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以
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Error!解得Error!所以 c=(-23,-12).
    答案:A
    5.(2018·广东省五校高三第一次考试)设            D 是△ABC   所在平面
内一点,    → =2 → ,则(  )
        AB   D3C          3
    A. → = → -2 →   B. → =2 → - →
      BD  1AC AB      BD  AC  1AB
    C. → =2 → - →     D. → = → -2 →
      BD  AC  AB      BD  AC  AB     1       3
    解析:   → = → + → = → - → = → - → -2 → = → -2 → ,选 A.
          BD  BC CD  BC  DC  AC  AB  AB  AC   AB
    答案:A
                                              1
    6.在平面直角坐标系中,已知向量               a=(1,2),a-2b=(3,1),
c=(x,3),若(2a+b)∥c,则     x=(  )
    A.-2    B.-4
    C.-3    D.-1
               1
    解析:∵a-2b=(3,1),
              1
    ∴a-(3,1)=2b,则   b=(-4,2).∴2a+b=(-2,6).
    又(2a+b)∥c,∴-6=6x,x=-1.故选          D.
    答案:D
    7.已知点    A(2,3),B(4,5),C(7,10),若 → = → +λ → (λ∈R),且
                                     AP AB   AC
点 P 在直线   x-2y=0  上,则    λ 的值为(  )
      2       2
    A.3  B.-3
      3       3
    C.2  D.-2
    解析:设    P(x,y),则由   → = → +λ → ,得(x-2,y-3)=(2,2)+
                        AP  AB   AC
λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ),∴x=5λ+4,y=7λ+5.
    又点  P 在直线   x-2y=0  上,故    5λ+4-2(7λ+5)=0,解得      λ=
  2
-3.故选  B.
    答案:B
    8.(2018·安徽省两校阶段性测试)已知向量             a=(m,1),b=(m,
-1),且|a+b|=|a-b|,则|a|=(  )
             6
    A.1   B. 2
    C. 2  D.4
    解析:∵a=(m,1),b=(m,-1),∴a+b=(2m,0),a-b=
(0,2),又|a+b|=|a-b|,∴|2m|=2,∴m=±1,∴|a|=        m2+12=  2.故
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选 C.
    答案:C
    9.(2018·福建福州一中模拟)已知△ABC           和点   M 满足  → + → +
                                                 MA  MB
→ =0.若存在实数      m,使得   → + → =m  → 成立,则    m=(  )
MC                     AB  AC   AM
    A.2   B.3
    C.4   D.5
    解析:由    → + → + → =0  知,点   M 为△ABC   的重心,设点
            MA  MB  MC 2    2 1         1
D 为边  BC 的中点,则     → =3 → =3×2( → + → )=3( → + → ),所以 → +
                   AM   AD      AB  AC    AB AC       AB
→ =3 → ,故  m=3,故选     B.
AC   AM
    答案:B
    10.


    (2018·河南中原名校联考)如图,在直角梯形              ABCD  中,AB=
2AD=2DC,E    为 BC 边上一点,     → =3 → ,F 为  AE 的中点,则→=(  )
      2   1              1  BC2  EC                  BF
    A.3 → -3 →      B.3   → -3 →
      AB 2 AD 1          AB 1 AD 2
    C.-3  → +3 →        D.-3 → +3 →
          AB  AD             AB   AD


    解析:解法一:如图,取           AB 的中点   G,连接    DG,CG,则易
                                                   1
知四边形    DCBG  为平行四边形,所以         → = → = → - → = → -2 → ,∴
               2        2   1   BC2 GD 2 AD AG AD   AB
                         → - →
→ = → + → = → +3 → = → +3(AD 2AB)=3 → +3 → ,于是→=  → - → =
1AE AB  B1E2 AB 2 BC AB 2    1    AB  AD      BF  AF  AB
          → +  →
2 → - → =2(3AB 3AD)- → =-3 → +3 → ,故选 C.
 AE AB             AB    AB1  AD
    解法二:→=      → + → = → +2 →
            1BF B1A AF BA  AE
             → + → + →
    =-  → +2(AD 2AB CE)
        AB  1   1   1
             → + → + →
    =-  → +2(AD 2AB 3CB)
        AB  1   1    1
    =-  → +2 → +4 → +6( → + → + → )
        2AB 1AD  AB   CD  DA  AB
    =-3  → +3 → .
        AB   AD
    答案:C
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    二、填空题
    11.(2018·贵阳监测)已知向量        m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若
(m+n)∥(m-n),则     λ=________.
    解析:因为     m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+
n)∥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得           λ=0.
    答案:0
    12.(2018·深圳调研)已知向量        a=(x,1)与向量   b=(9,x)的夹角
为 π,则   x=________.
    解析:本题考查平面向量的数量积.由于向量                   a 与 b 的夹角为
     x  1
π,由9=x可得     x=±3,当   x=3 时两向量的夹角为        0,舍去,故     x=
-3.
    答案:-3
    13.


    如图,已知平面内有三个向量            → 、 → 、 → ,其中   → 与 → 的夹角
                             OA  OB  OC      OA  OB
为 120°, → 与 → 的夹角为    30°,且|  → |=| → |=1,| → |=2 3.若 → =
        OA  OC               OA   OB      OC       OC
λ → +μ → (λ,μ∈R),则  λ+μ  的值为________.
 OA   OB


    解析:解法一:如图,作平行四边形               OB1CA1,则   → = → +  → ,
                                              OC  OB1 OA1
因为  → 与 → 的夹角为    120°, → 与 → 的夹角为    30°,所以∠B1OC=90°.
    OA  OB              OA  OC
                                       3
    在 Rt△OB1C  中,∠OCB1=30°,|OC|=2       ,

    所以|OB1|=2,|B1C|=4,

    所以|OA1|=|B1C|=4,所以     → =4 → +2 → ,所以  λ=4,μ=2,
                          OC   OA   OB
所以  λ+μ=6.
    解法二:以     O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则
          1 3
         - ,
A(1,0),B( 2 2 ),C(3, 3).


    由 → =λ → +μ → ,得Error!解得Error!
      OC   OA  OB
    所以  λ+μ=6.
    答案:6
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    14.(2018·山西晋中四校联考)在平行四边形             ABCD  中,E  和
F 分别是边    CD 和  BC 的中点,若     → =λ → +μ → ,其中  λ,μ∈R,则
                            AC   AE   AF
λ+μ=________.


    解析:解法一:如右图.
    ∵四边形    ABCD  为平行四边形,且        E、F  分别为   CD、BC  的中
点,
    ∴ → = → + → =( → - → )+( → -→)
      AC  AD  A1B AE  DE   AF  BF 1
    =( → + → )-2( → + → )=( → + → )-2 → ,
      AE  2AF   DC  BC   AE2 AF   AC 4
    ∴ → =3( → + → ),∴λ=μ=3,∴λ+μ=3.
      AC   AE  AF
    解法二(回路法):连接        EF 交 AC 于  M.


    因为  E、F  分别为   CD、BC   的中点,
                                    3
    所以点   M 为  AC 的四等分点,且       → =4 → ,
                               AM   AC
    又 → =λ → +μ → ,
      AC   AE3 AF 3
    所以  → =4λ → +4μ → .
        AM   AE    AF         3
    因为  M、E、F    三点共线,所以4(λ+μ)=1,
              4
    所以  λ+μ=3.
          4
    答案:3
                          [能力挑战]
    15.(2018·呼伦贝尔模拟)O      是平面上一定点,A,B,C           是该平
面上不共线的三个点,一动点             P 满足:  → = → +λ( → + → ),λ∈(0,
                                 OP  OA   AB  AC
+∞),则直线      AP 一定通过△ABC      的(  )
    A.外心     B.内心
    C.重心     D.垂心
    解析:
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    如图,取    BC 中点  D.因为  → = → +λ( → + → ), → - → =λ( → +
                         OP  OA   AB  AC   OP  OA   AB
→ ),即  → =2λ → ,
AC    AP    AD
    所以  A,P,D   三点共线,
    所以  AP 一定通过△ABC      的重心.
    答案:C
    16.(2018·广东茂名二模)已知向量          a=(3,-2),b=(x,y-
                            3  2
1)且 a∥b,若   x,y 均为正数,则x+y的最小值是(  )
    A.24   B.8
      8      5
    C.3     D.3
    解析:∵a∥b,∴-2x-3(y-1)=0,即            2x+3y=3,
      3 2   3 2  1        1   9y 4x   1     9y 4x
            +              6+  +  +6   12+2  ·
    ∴x+y=(x   y)×3(2x+3y)=3(  x  y  )≥3(    x y )=8,当且
            3
仅当  2x=3y=2时,等号成立.
      3 2
    ∴x+y的最小值是      8.故选  B.
    答案:B


    17.如图,在三角形        ABC 中,BE   是边  AC 的中线,O     是 BE 边
的中点,若     → =a,  → =b,则   → =(  )
      1  1AB   1 AC1     AO
    A.2a+2b  B.2a+3b
      1  1     1  1
    C.4a+2b  D.2a+4b
    解析:∵在三角形        ABC 中,BE   是 AC 边上的中线,
          1
    ∴ → =2 → .
      AE  AC
    ∵O  是 BE 边的中点,
          1        1    1    1  1
    ∴ → =2( → + → )=2 → +4 → =2a+4b.
      AO   AB  AE   AB   AC
    答案:D
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