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湖北省武汉市2018届高三四月调研测试数学文试题含答案

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                       武汉市   2018 届高中毕业生四月调研测试

                                    文科数学

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题       5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.
        5
1.复数       的共轭复数是(   )
       i  2
A.  2  i              B. 2  i             C. 2  i           D. 2  i

2.已知集合    A  {x | x2  2x  0}, B  {x | lg(x 1)  0} ,则 A B  (   )

A. (0,2)             B. (1,2)              C. (1,2]            D. (0,2]

           x2   y2                x2     y2
3.曲线  C  :        1与曲线   C  :             1 (0  k  9) 的(   )
        1  25   9            2  25  k  9  k

A.长轴长相等        B.短轴长相等        C.离心率相等       D.焦距相等

4.执行如图所示的程序框图,如果输入的                 t [2,2] ,则输出的   S 属于(   )


A.[4,2]          B.[2,2]         C.[2,4]        D.[4,0]

                      x  y  3
                      
5.若  x 、 y 满足约束条件     x 1        ,则  z  3x  2y 的最小值为(   )
                      
                      x  2y  3  0
A. 9               B. 7              C.1           D. 3

6.从装有   3 双不同鞋的柜子里,随机取           2 只,则取出的      2 只鞋不成对的概率为(   )
   14                 4                3               1
A.                 B.               C.              D.
   15                 5                5               5

                                                       2           2
7.若实数   a , b 满足  a  b 1, m  loga (loga b) , n  (loga b) , l  loga b ,则 m , n ,
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 l 的大小关系为(   )

A.  m  l  n          B. l  n  m        C. n  l  m          D. l  m  n
                                                               b  c
8.在 ABC  中,角    A 、 B 、 C 的对应边分别为       a , b , c ,条件  p : a      ,条件   q :
                                                                 2
     B  C
 A       ,那么条件     p 是条件   q 成立的(   )
      2
A.充分而不必要条件                     B.必要而不充分条件

C.充要条件                             D.既不充分也不必要条件

9.某几何体的三视图如图所示,则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点,它们之间距离的

最大值为(   )


A.   3              B.  6           C. 2 3             D. 2 6

10.已知   f (x) 是 R 上的奇函数,且     y  f (x 1) 为偶函数,当    1 x  0 时,  f (x)  2x2 ,
     
则  f ( )  (   )
     2
    1                   1
A.                 B.              C.1                D. 1
    2                   2
                       
11.函数   f (x)  2sin(x  )(  0) 的图象在[0,1] 上恰有两个最大值点,则           的取值范围
                        3
为(   )
                         9            13  25                25
A.[2  ,4 ]        B.[2 , )       C.[    ,    )        D.[2 ,   )
                          2             6    6                  6
                            x2   y2
12.已知   A(2,0) , B(0,1) 是椭圆        1的两个顶点,直线        y  kx(k  0) 与直线 AB  相
                            a2   b2
                                       
交于点   D ,与椭圆相交于       E ,  F 两点,若    ED  6DF  ,则斜率    k 的值为(   )
    2                3                2   3                2   3
A.                B.               C.   或               D.   或
    3                8                3   8                3   4
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二、填空题:本大题共          4 小题,每小题      5 分,共   20 分. 

13.已知  sin  2cos  ,则  sin cos            .
                                                         
14.已知向量    a , b 满足条件    a  2 , b  3 , a 与 b 的夹角为  60 ,则  a  b            

. 

15.过点  P(1,1) 作曲线  y  x3 的切线,则切线方程为          .

16.在四面体    ABCD   中,  AC  CB   AB  AD  BD 1,且平面      ABC  平面   ABD ,则

四面体    ABCD  的外接球半径      R            .

三、解答题:共       70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第                    17 题~第   21 题为必

考题,每个试题考生都必须作答.第               22 题~第   23 题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共        60 分.
                                               1     3
17.已知正数等比数列{a         }的前  n 项和  S 满足:   S      S    .
                     n            n        n2 4  n  2

(1)求数列{an}的首项        a1 和公比  q ;


(2)若   bn  nan ,求数列{bn}的前     n 项和Tn .


18.如图,在棱长为       3 的正方体    ABCD   A1B1C1D1 中, E , F 分别在棱    AB  , CD 上,且

 AE  CF 1.


(1)求异面直线       A1E 与 C1F 所成角的余弦值.


(2)求四面体      EFC1 A1 的体积.

19.已知直线    y  2x 与抛物线     : y2  2 px 交于 O 和 E 两点,且    OE    5 .

(1)求抛物线       的方程;
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(2)过点    Q(2,0) 的直线交抛物线        于 A 、 B 两点,   P 为 x  2 上一点,   PA ,  PB 与 x 轴


相交于   M  、 N  两点,问    M 、  N 两点的横坐标的乘积         xM  xN 是否为定值?如果是定值,求

出该定值,否则说明理由.

20.在某市高中某学科竞赛中,某一个区                4000 名考生的参赛成绩统计如图所示.


(1)求这    4000 名考生的竞赛平均成绩          x (同一组中数据用该组区间中点作代表);

(2)记   70 分以上为优秀,       70 分及以下为合格,结合频率分布直方图完成下表,并判断是

否有  99%  的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关?

                           合格                  优秀                   合计

       男生                  720

       女生                                      1020

       合计                                                           4000

附:

        2
     p(k   k0 )           0.010               0.005               0.001


         k0                 6.635              7.879               10.828

            n(ad  bc)2
 k 2                        .
     (a  b)(c  d)(a  c)(b  d)
                     ln x
21.(1)求函数      f (x)    的最大值;
                      x
(2)若函数     g(x)  ex  ax 有两个零点,求实数       a 的取值范围.

(二)选考题:共        10 分.请考生在     22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一

题记分.作答时请写清题号.

22.[选修   4-4:坐标系与参数方程]
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在平面直角坐标系        xOy 中,以坐标原点       O 为极点,    x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,             l 的极

                                              x  3cos
坐标方程为     (cos  2sin ) 10 , C 的参数方程为               (  为参数,     R ).
                                              y  2sin

(1)写出    l 和 C 的普通方程;

(2)在   C 上求点   M  ,使点   M  到 l 的距离最小,并求出最小值.

23.[选修   4-5:不等式选讲]

已知   f (x)  ax  2  x  2 .

(1)在   a  2 时,解不等式      f (x) 1;

(2)若关于     x 的不等式    4  f (x)  4 对 x  R 恒成立,求实数    a 的取值范围.
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                       武汉市   2018 届高中毕业生四月调研测试

                                文科数学参考答案

一、选择题

1-5: CBDAC      6-10: BBABA     11、12:CC

二、填空题

     2                                         3   1              15
13.          14.   7        15. y  3x  2 , y  x         16. 
     5                                         4   4              6

三、解答题
                    1     3           1     3       1     3
17.解:(1)∵     S      S    ,可知   S    S    , S    S    ,
               n2  4  n  2        3  4  1  2    4  4  2  2
                 1           1                  1
两式相减得:      a    a ,∴   q2   ,而  q  0 ,则 q   .
             4   4 2         4                  2
         1     3                    1     3
又由   S    S   ,可知:    a  a  a    a   ,
      3  4  1  2         1   2   3  4  1  2
        1  1    1    3
∴  a (1    )  a    ,
   1    2  4    4 1  2

∴  a1 1.
                   1
(2)由(1)知      a   ( )n1 .
               n   2
        n
∵ b       ,
   n   2n1
         2   3        n
∴T   1           ,
    n    2   22      2n1
 1     1   2      n 1   n
  T                .
 2 n   2  22      2n1  2n
          1        1       1   n       1   n
两式相减得       T 1            2       .
          2  n     2      2n   2n      2n  2n
          n  2
∴T    4      .
   n      2n1

18.解:(1)在正方体        ABCD   A1B1C1D1 中,延长   DC  至 M  ,使  CM  1,则   AE/ /CM  .


∴  A1E/ /C1M .


∴ FC1M   为异面直线     A1E 与 C1F 所成的角.


在  FC1M  中,  C1F  C1M    10 , FM   2 ,

               10 10  4   4
∴ cosFC   M               .
          1    2  10  10   5
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(2)在  D1C1 上取一点 N ,使  ND1 1.


∴ A1E/ /FN ,从而 A1N / /EF , A1N / / 平面 EFC1 ,
                       1         1 1
∴V       V     V      S  3  ( 23)3  3 .
   A1 EFC1 N EFC1 ENFC1 3 NFC1 3 2


                                           p
19.解:(1)由   y2  2 px 与 y  2x ,解得交点 O(0,0) , E( , p) ,
                                           2
         p
∴ OE   ( )2  p2  5 ,得 p  2 .
         2

∴抛物线方程为:      y2  4x .

                        2
(2)设  AB : x  ty  2 ,代入 y  4x 中,设 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,

则 y2  4ty 8  0 ,


  y1  y2  4t ①
∴              .
             ②
  y1  y2  8

                        y1  y0
设 P(2, y0 ) ,则 PA : y  y0  (x  2) ,
                        x1  2


令 y  0 ,得 (y0  y1)xM  y0 x1  2y1 ③


同理由  BP 可知:  (y0  y2 ) xN  y0 x2  2y2 ④


由③×④得    (y0  y1)(y0  y2 )xM  xN  (y0 x1  2y1)(y0 x2  2y2 )

   2
  y0 x1x2  2y0 (y1x2  y2 x1)  4y1 y2

    y2 y2       y2    y2
  y2 1 2  2y (y  2  y  1 )  4y y
   0 44   0  1 4   2 4     1 2
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     1             y  y
 y2  y2 y2  2y y y 1 2  4y y (其中 y y  8 .)
   0 16 1 2    0 1 2 4      1 2       1 2

     2
 4[(y0  (y1  y2 )y0  y1 y2 ] ,


从而  xM  xN  4 为定值.

20.解:(1)由题意,得:

 中间值         45        55         65        75         85        95

  概率         0.1       0.15       0.2       0.3       0.15       0.1

∴ x  450.1 550.15  650.2  750.3 850.15  950.1  70.5 .

∴ 4000 名考生的竞赛平均成绩       x 为 70.5 分.

(2)

                        合格                优秀                 合计

      男生                720               1180              1900

      女生                1080              1020              2100

      合计                1800              2200              4000

     4000(7201020 11801080)2
K 2 
        1800 22001900 2100

   4000(540000)2

 18 2219 21108
  20005454
              73.82 10.828 .
 18 2219 21
故有 99% 的把握认为有关.
                  ln x             1 ln x
21.解:(1)对    f (x)   求导数,   f '(x)     .
                   x                 x2
在 0  x  e 时, f (x) 为增函数,在 x  e 时 f (x) 为减函数,
             1                    1
∴ f (x)  f (e)  ,从而 f (x) 的最大值为  .
             e                    e
(2)①在   a  0 时, g(x)  ex 在 R 上为增函数,且  g(x)  0 ,故 g(x) 无零点.

②在 a  0 时, g(x)  ex  ax 在 R 上单增,又 g(0) 1  0 ,

  1    1
g( )  e a 1 0 ,故 g(x) 在 R 上只有一个零点.
  a
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③在 a  0 时,由 g '(x)  ex  a  0 可知 g(x) 在 x  ln a 时有唯一极小值,

g ln a a1 ln a.


若 0  a  e , g(x)极小  a1 ln a 0 , g(x) 无零点,


若 a  e , g(x)极小  0 , g(x) 只有一个零点,


若 a  e , g(x)极小  a1 ln a 0 ,而 g(0) 1  0 .
                 ln x
由(1)可知,     f (x)   在 x  e 时为减函数,
                  x
∴在 a  e 时, ea  ae  a2 ,从而 g a ea  a2  0 .

∴ g(x) 在 (0,ln a) 与 (ln a,) 上各有一个零点.

综上讨论可知:     a  e 时, f (x) 有两个零点.

22.解:(1)由   l :  cos   sin 10  0 ,及 x   cos , y   sin .

∴ l 的方程为  x  2y 10  0 .

                              x2  y2
由 x  3cos , y  2sin ,消去 得      1.
                              9   4

(2)在  C 上取点  M (3cos,2sin) ,则

    3cos  4sin 10  1
d                       5cos(  ) 10 .
            5          5           0

          3
    cos  
       0  5
其中          ,
           4
   sin 
      0  5


当  0 时, d 取最小值    5 .
                   9                  8     9 8
此时 3sin  3cos   , 2sin  2cos   ,  M ( , ) .
                0  5       0       0  5     5  5
23.解:(1)在   a  2 时, 2x  2  x  2 1.

在 x 1时, (2x  2)  (x  2) 1,∴1 x  5 ;

在 x  2 时, (2x  2)  (x  2) 1, x  3 ,∴ x 无解;
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                                     1      1
在 2  x 1时, (2x  2)  (x  2) 1, x   ,∴   x 1.
                                     3      3
                                1
综上可知:不等式      f (x) 1的解集为{x  |   x  5} .
                                3
(2)∵   x  2  ax  2  4 恒成立,

而 x  2  ax  2  (1 a)x ,

或 x  2  ax  2  (1 a)x  4 ,

故只需   (1 a)x  4 恒成立,或 (1 a)x  4  4 恒成立,

∴ a  1或 a 1.

∴ a 的取值为1或   1.

                                    
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