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2018年高中数学课时跟踪检测九等差数列的前n项和新人教A版必修5

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              课时跟踪检测(九)  等差数列的前                         n 项和
                               层级一 学业水平达标

    1.已知数列{an}的通项公式为          an=2-3n,则{an}的前      n 项和  Sn 等于(  )
         3   n                             3    n
    A.-2n2+2                           B.-2n2-2
      3   n                             3    n
    C.2n2+2                            D.2n2-2
                                                 n-1+2-3n       3    n
                                                                    2
    解析:选    A ∵an=2-3n,∴a1=2-3=-1,∴Sn=                 2      =-2n   +2.

    2.等差数列{an}的前       n 项和为  Sn,若  a7>0,a8<0,则下列结论正确的是(  )

    A.S70                             D.S15>0
                                                 13a1+a13

    解析:选    C 由等差数列的性质及求和公式得,S13=                     2     =13a7>0,S15=
15a1+a15

     2     =15a8<0,故选    C.

    3.设等差数列{an}的前        n 项和为  Sn,若  S3=9,S6=36,则     a7+a8+a9 等于(  )
    A.63                                B.45
    C.36                                D.27

    解析:选    B ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6                   构

成等差数列,所以        S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即    a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-
3×9=45.

    4.已知等差数列{an}的前         n 项和为  Sn,7a5+5a9=0,且   a9>a5,则  Sn 取得最小值时
n 的值为(  )
    A.5                                 B.6
    C.7                                 D.8
                                a1   17

    解析:选    B 由   7a5+5a9=0,得   d =-  3 .

    又 a9>a5,所以   d>0,a1<0.
               d        d                     1  a1 1  17  37
                    a1-
    因为函数    y=2x2+(     2)x 的图象的对称轴为       x=2-  d =2+  3 = 6 ,取最接近的整数

6,故   Sn 取得最小值时     n 的值为  6.
                                      a5  5    S9

    5.设  Sn 是等差数列{an}的前      n 项和,若a3=9,则S5等于(  )
    A.1                                 B.-1
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                                         1
    C.2                                D.2
                   9
                    a1+a9
                   2
               S9  5          9 × 2a5
                    a1+a5
    解析:选    A S5=2          =5  × 2a3
      9a5  9 5
    =5a3=5×9=1.

                                      2
    6.若等差数列{an}的前        n 项和为  Sn=An  +Bn,则该数列的公差为________.

                                   2                                   2
    解析:数列{an}的前       n 项和为  Sn=An  +Bn,所以当     n≥2 时,an=Sn-Sn-1=An    +
Bn-A(n-1)2-B(n-1)=2An+B-A,当        n=1  时满足,所以      d=2A.
    答案:2A

    7.设等差数列{an}的前        n 项和为  Sn,且  Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则       m=________.
                                                 {Sn}               Sm
    解析:因为     Sn 是等差数列{an}的前      n 项和,所以数列       n  是等差数列,所以        m +
Sm+2   2Sm+1     -2     3
 m+2 =  m+1   ,即  m +m+2=0,解得       m=4.
    答案:4
    8.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为                  44,偶数项之和为        33,则这个数列的中
间项是________,项数是________.

    解析:设等差数列{an}的项数为           2n+1,

    S 奇=a1+a3+…+a2n+1
      n+1a1+a2n+1
    =          2

    =(n+1)an+1,
                            na2+a2n

    S 偶=a2+a4+a6+…+a2n=         2     =nan+1,
        S奇   n+1  44
    所以S偶=     n =33,解得     n=3,所以项数      2n+1=7,

    S 奇-S 偶=an+1,即   a4=44-33=11   为所求中间项.
    答案:11 7

    9.已知数列{an}的前       n 项和为  Sn,且满足    log2(Sn+1)=n+1,求数列{an}的通项公
式.

                               n+1
    解:由已知条件,可得          Sn+1=2    ,

           n+1
    则 Sn=2    -1.

    当 n=1  时,a1=S1=3,

                             n+1        n      n
    当 n≥2  时,an=Sn-Sn-1=(2      -1)-(2  -1)=2   ,
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    又当  n=1  时,3≠21,

    故 an=Error!

    10.在等差数列{an}中,Sn       为其前   n 项的和,已知      a1+a3=22,S5=45.

    (1)求 an,Sn;

    (2)设数列{Sn}中最大项为        Sk,求  k.

    解:(1)由已知得Error!即Error!

                                     2
    所以Error!所以    an=-2n+15,Sn=-n     +14n.

    (2)由 an≥0 可得   n≤7,所以    S7 最大,k=7.
                               层级二 应试能力达标

    1.已知等差数列{an}的前         n 项和为  Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则       n=(  )
    A.12                               B.14
    C.16                                D.18

    解析:选    B 因为    Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所
                                   na1+an

以  4(a1+an)=120,a1+an=30,由     Sn=     2    =210,得   n=14.

    2.在等差数列{an}中,Sn       是其前   n 项和,且    S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数  k 为(  )
    A.2 014                             B.2 015
    C.2 016                             D.2 017

    解析:选    C 因为等差数列的前         n 项和  Sn 是关于  n 的二次函数,所以由二次函数的对
                                2 011+2 014  2 009+k

称性及   S2 011=S2 014,Sk=S2 009,可得     2     =    2  ,解得    k=2 016.故选   C.

    3.已知   Sn 为等差数列{an}的前      n 项和,S1<0,2S21+S25=0,则     Sn 取最小值时,n     的值
为(  )
    A.11                                B.12
    C.13                                D.14

    解析:选    A 设等差数列{an}的公差为          d,由  2S21+S25=0 得,67a1+720d=0,又

d>0,∴67a11=67(a1+10d)=67a1+670d<0,67a12=67(a1+11d)=67a1+737d>0,即

a11<0,a12>0.故选  A.
                                                      An  7n+45        an

    4.已知等差数列{an}和{bn}的前         n 项和分别为     An 和 Bn,且Bn=   n+3 ,则使得bn为整
数的正整数     n 的个数是(  )
    A.2                                 B.3
    C.4                                 D.5
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                     a1+a2n-1   a1+a2n-1
                                         2n-1
                         2          2
                 an  b1+b2n-1   b1+b2n-1           A2n-1   72n-1+45
                                         2n-1
    解析:选    D ∵bn=       2    =     2            =B2n-1=     2n-1+3    =
14n+38      12
 2n+2  =7+n+1,∴当      n 取 1,2,3,5,11 时,符合条件,∴符合条件的           n 的个数是    5.

    5.若数列{an}是等差数列,首项           a1<0,a203+a204>0,a203·a204<0,则使前    n 项和

Sn<0 的最大自然数     n 是________.

    解析:由    a203+a204>0⇒a1+a406>0⇒S406>0,又由  a1<0 且 a203·a204<0,知 a203<0,

a204>0,所以公差    d>0,则数列{an}的前      203 项都是负数,那么       2a203=a1+a405<0,所以

S405<0,所以使前    n 项和  Sn<0 的最大自然数     n=405.
    答案:405

    6.已知等差数列{an}的前         n 项和为  Sn,若  S4≤4,S5≥15,则     a4 的最小值为
________.

    解析:S4=2(a1+a4)≤4⇒2a3-d≤2,S5=5a3≥15⇒a3≥3.因为            2a3-d≤2,所以     d-

2a3≥-2,又因为      a3≥3,所以    2a3≥6,所以    d≥4,所以    a4=a3+d≥7,所以     a4 的最小值
为  7.
    答案:7

    7.已知等差数列{an}的公差          d>0,前  n 项和为   Sn,且  a2a3=45,S4=28.

    (1)求数列{an}的通项公式;
              Sn

    (2)若 bn=n+c(c  为非零常数),且数列{bn}也是等差数列,求                c 的值.
                      a1+a4  × 4

    解:(1)∵S4=28,∴          2     =28,a1+a4=14,a2+a3=14,

    又 a2a3=45,公差    d>0,

    ∴a20,得  n< 3 ,

               *
∴当  n≤17,n∈N    时,an>0;

             *
当 n≥18,n∈N    时,an<0,

∴{an}的前   17 项和最大.
(2)当 n≤17,n∈N*时,
                                        nn-1      3   103
                                                      2
|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=na1+           2   d=-2n   + 2 n.
当 n≥18,n∈N*时,

|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+a17-a18-a19-…-an

=2(a1+a2+…+a17)-(a1+a2+…+an)
     3       103         3   103
    -  × 172+   × 17   -  n2+   n
=2(  2        2     )-(  2    2  )
  3   103
=2n2-  2 n+884.

∴Sn=Error!
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