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2019高考数学文一轮分层演练:第8章立体几何 第2讲

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    [学生用书    P248(单独成册)]


    一、选择题

    1.圆柱的底面积为        S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是(  )
    A.4πS                                      B.2πS
                                                   2 3
    C.πS                                       D.   3 πS
                                          S                          S
    解析:选    A.由   πr2=S 得圆柱的底面半径是         π,故侧面展开图的边长为           2π· π=

2 πS,所以圆柱的侧面积是          4πS,故选   A.
    2.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为                     2 的等腰三角形,侧视图是半径为
1 的半圆,则该几何体的体积是(  )


                                                   π
    A.π                                        B.3
                                                    3π
    C.  3π                                     D.   3
    解析:选    D.由三视图可知,该几何体是两个同底的半圆锥,其中底的半径为                             1,高
为  22-12=   3,

                 1  1           3
    因此体积=2×2×3π×12×         3= 3 π.
    3.如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为(  )


    A.20                                       B.22
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    C.24                                       D.26
    解析:选    D.该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分,长方体的

长,宽,高分别为        4,1,2,挖去半圆柱的底面半径为              1,高为   1,所以表面积为       S=S  长方

                                                               2
体表-2S  半圆柱底-S   圆柱轴截面+S   半圆柱侧=2×4×1+2×1×2+2×4×2-π×1            -2×1+
1
2×2π×1=26.故选      D.
    4.(2018·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )


    A.(9+   5)π                                B.(9+2   5)π
    C.(10+   5)π                               D.(10+2   5)π
    解析:选    A.由三视图可知,该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥,且圆锥的高
                                                  1
是圆柱高的一半.故该几何体的表面积                 S=π×12+4×2π+2×2π×       5=(9+  5)π.
    5.(2018·云南第一次统考)如图,网格纸上小正方形的边长为                     1,粗线画出的是某几何
体的三视图,则此几何体的体积为(  )


    A.12                                       B.18
    C.24                                       D.30
    解析:选    C.由三视图知,该几何体是直三棱柱削去一个同底的三棱锥,其中三棱柱

的高为   5,削去的三棱锥的高为          3,三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为                    3 和 4 的直
                             1           1  1
角三角形,所以该几何体的体积为2×3×4×5-3×2×3×4×3=24,故选                          C.
    6.正四棱锥     P­ABCD  的侧棱和底面边长都等于           2 2,则它的外接球的表面积是(  )
    A.16π                                      B.12π
    C.8π                                       D.4π
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    解析:选    A.设正四棱锥的外接球半径为             R,顶点    P 在底面上的射影为        O,因为   OA=
1     1           1
2AC=2  AB2+BC2=2    (2 2)2+(2 2)2=2,所以    PO=   PA2-OA2=    (2 2)2-22=2.又

                                                2
OA=OB=OC=OD=2,由此可知            R=2,于是    S 球=4πR  =16π.
    二、填空题

    7.将一个边长分别为         4π,8π 的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面积是
________.
    解析:当以长度为        4π 的边为底面圆时,底面圆的半径为              2,两个底面的面积是         8π;当

以长度为    8π 的边为底面圆时,底面圆的半径为               4,两个底面圆的面积为         32π.无论哪种方

式,侧面积都是矩形的面积            32π2.故所求的表面积是         32π2+8π 或 32π2+32π.

    答案:32π2+8π    或 32π2+32π
    8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.


                                                                4  1  13
    解析:该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得,所以其体积为                            8-3-6=   2 .
          13
    答案:   2
    9.


    在长方体    ABCD­A1B1C1D1 中,AB=BC=2,过       A1,C1,B  三点的平面截去长方体的一
                                                           40

个角后,得到如图所示的几何体              ABCD­A1C1D1,这个几何体的体积为          3 ,则经过    A1,C1,
B,D  四点的球的表面积为________.

    解析:设    AA1=x,则    VABCD­A1C1D1=VABCD­A1B1C1D1-VB­A1B1C1=2×2×x-
1  1           40
3×2×2×2×x=     3 ,则  x=4.

    因为  A1,C1,B,D    是长方体的四个顶点,
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    所以经过    A1,C1,B,D    四点的球的球心为长方体           ABCD­A1B1C1D1 的体对角线的中点,
                                              22+22+42
且长方体的体对角线为球的直径,所以球的半径                    R=      2     =  6,所以球的表面积为
24π.

    答案:24π
    10.一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何
体的体积为________.


                                                                   1
    解析:由题意得,该几何体为如图所示的五棱锥                    P­ABCDE,所以体积       V=3×
 1                5
  × 2 × 1+22
(2         )×  3=3  3.


          5
    答案:3    3
    三、解答题

    11.如图,在四边形        ABCD  中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2               2,
AD=2,求四边形       ABCD 绕  AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.


    解:由已知得:CE=2,DE=2,CB=5,S              表面=S  圆台侧+S   圆台下底+S  圆锥侧=π(2+
                                                   1
                     2         2                       2    2   22·52π2
5)×5+π×25+π×2×2       =(60+4    )π,V=V  圆台-V  圆锥=3(π·2  +π·5 +        )×4-
1          148
3π×22×2=   3 π.
    12.已知一个圆锥的底面半径为             R,高为   H.
    (1)若圆锥内有一个高为        x 的内接圆柱,则       x 为何值时,圆柱的侧面积最大?最大侧面
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积是多少?

    (2)作一平面将圆锥分成一个小圆锥与一个圆台,当两几何体的体积相等时,求小圆锥
的高与圆台的高的比值.
    解:(1)设圆柱的侧面积为         S,底面半径为      r.
      r  H-x            R
    由R=    H ,得   r=R-H·x.
                                 R
                              R-  ·x
    则圆柱的侧面积       S=2πrx=2πx(    H  )
        2πR
    =-   H ·x2+2πRx,
                   2πR
                    2πR   H
                 2 -
    显然,当    x=-   (  H  )=2时,圆柱的侧面积最大,
                  2πR  H        H  1
    最大侧面积为-        H ·(2)2+2πR·2=2πRH.
    (2)设小圆锥的底面半径为         a,高为    b.
                            1  1      1

                                  2      2
    由题意得小圆锥的体积          V1=2×3πR  H=6πR  H,
                                  1    3
      a  b    1      1           3      4
    由R=H,且3πa2b=6πR2H,得       b=  2H=  2 H.
                       3 4
                         H
                        2
                   b     3 4    3 4
                      H-   H     3
    设圆台高为     c,则c=       2 =2-   4,
                                   3 4

                                    3
    故小圆锥的高与圆台的高的比值为2-                4.
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