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北京市通州区2018届高考数学一模考试试题(文)含答案

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                       通州区   2017—2018 学年度高三一模考试

                                       数学(文)试卷

                                                                     2018 年 4 月  

    本试卷分第一部分和第二部分两部分,共                  150 分.考试时间长      120 分钟.考生务必将答

案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.


                          第一部分  (选择题  共        40 分)

一、选择题:本大题共          8 小题,每小题      5 分,共   40 分.在每小题给出的四个选项中,选出

    符合题目要求的一项.

  1.已知全集           ,集合                   ,           ,那么             等于
             U  R       A  x | x 1 0 B  0,1,2     ðU A B

    A.0,1,2           B.1,2            C.0,1           D.2 

               y2
  2.双曲线    x2    1 的渐近线方程是
                4

              5                                      1
    A.  y     x        B. y   5x         C. y   x        D. y  2x
             5                                       2            

                   x  y  0,
                   
  3.已知   x , y 满足  x 1,     那么  z  2x  y 的最小值是         开始
                   
                   x  y  2,
                                                          输入  k
    A. 1              B.  0
                                                         n 1,m 1
    C. 1                D. 2

                                                                    是
                                                          n  k
  4.执行如右图所示的程序框图,若输出                 m 的值是   25 ,          否
    则输入   k 的值可以是                                        n  n  2   输出 m

    A. 4               B. 6   
                                                        m  m  n     结束
    C.8                 D.10

                                       1
                                      
                 1           1         2
   5.已知   a  log1 , b  log3 ,   c  3 ,那么
                3 6          2
    A. c >b > a         B. c > a >b          C. a >b >c         D. a >c >b
 
 6.“  x  R , x2  bx 1  0 成立”是“ b0,1”的
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    A.充分而不必要条件                             B.必要而不充分条件      
    C.充分必要条件                               D.既不充分也不必要条件
  7.已知四棱锥      P  ABCD  的底面   ABCD   是边长为    2 的正方形,且它的正视图如图所示,
   则该四棱锥侧视图的面积是 

    A. 4  2                B. 4                        2


    C.  2  2               D. 2                             2      2

  8.描金又称泥金画漆,是一种传统工艺美术技艺.                       起源于战国时期,在漆器表面,用金

    色描绘花纹的装饰方法,常以黑漆作底,也有少数以朱漆为底. 描金工作分为两道工序,

    第一道工序是上漆,第二道工序是描绘花纹. 现甲、乙两位工匠要完成                             A , B , C 三件

    原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描绘花纹. 每道工序所需的时间(单位:

    小时)如下:

                        原料

               时间                 原料   A        原料  B       原料   C

       工序

                上漆                   9            16           10

              描绘花纹                  15            8            14

    则完成这三件原料的描金工作最少需要
    A. 43小时         B.    46 小时           C.  47 小时          D.   49 小时


                         第二部分  (非选择题  共          110 分)

二、填空题:本大题共          6 小题,每小题      5 分,共   30 分.把答案填在答题卡上.

  9.某校高三(1)班有学生           40 人,高三(2)班有学生         32 人,现在要用分层抽样的方法

    从两个班抽出      9 人参加某项调查,则高三(1)班被抽出的人数是_______.
  10.已知复数     1 i1 ai是纯虚数,那么实数        a  _______.

  11.已知   x  0 , y  0 ,且 x  2y  2 ,那么 xy 的最大值是_______. 

  12.已知抛物线      y2  8x 的准线与圆心为      C 的圆  x2  y2  2x 8  0 交于 A , B 两点,那
        
    么  CA  CB  _______.

                       2
                     x  2x  3x  2,
  13.已知函数      f (x)                 当 f (a)  0 时,实数  a 的取值范围是______;
                     x 1x  2.
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  若函数   g x f (x)  b 恰有一个零点,则实数       b 的取值范围是_______.

14.在△   ABC  中,角   A ,  B , C 的对边分别为     a , b , c ,已知   B  60 , b  4 ,

  下列判断: 

    ①若  c   3 ,则角   C 有两个解; 

                             3 3
    ②若  BC   BA  6 ,则 AC 边上的高为         ; 
                                      2

    ③ a  c 不可能是   9 .    

  其中正确判断的序号是_______.


三、解答题:本大题共          6 小题,共    80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15.(本题满分      13 分)


                          x    x        2 x
    已知函数     f x sin   cos   3 cos   .
                          2    2         2
  (Ⅰ)求     f x的最小正周期;

  (Ⅱ)求     f x在区间   ,0上的最大值和最小值. 


16.(本题满分      13 分)
                                      15           5
    已知数列a     是等比数列,前       4 项和为     ,且   2a ,   a , 4a  成等差数列. 
              n                       4        2   2 3     3

  (Ⅰ)求an的通项公式;
                                     1
  (Ⅱ)设数列b       是首项为    2 ,公差为      a 的等差数列,其前        n 项和为   S ,求满足
                n                    3  3                         n

    Sn1  0 的最大正整数    n .
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17.(本题满分      13 分)

    作为北京副中心,通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点,也肩负着

  医治北京市“大城市病”的历史重任,因此,通州区的发展备受瞩目. 2017                             年 12 月

  25 日发布的《北京市通州区统计年鉴(2017)》显示:2016                    年通州区全区完成全社会

  固定资产投资      939.9 亿元,比上年增长        17.4%,下面给出的是通州区           2011-2016 年全

  社会固定资产投资及增长率,如图一.

     一 一                             一 一
          2011-2016年全社会固定资产投资及增长率          2011-2017年全社会固定资产投资及增长率
                                     一 一 一 一
    一 一 一 一                      一 一 一                              一 一 一
                                     1100
     1000                     939.9 25.0
             21.7                    1000                           25.0
     900 20.0                               21.7             939.9
                          800.8      900
     800                          20.0  20.0             800.8
                 16.7 687.7     17.4 800                            20.0
     700                                         16.7 687.7   17.4
                 590.8               700
     600               16.4 16.4  15.0
             506.1                   600        590.8 16.4 16.4     15.0
     500                                    506.1
        415.8                        500
     400                          10.0  415.8
                                     400                            10.0
     300
                                     300
     200                          5.0
                                     200                            5.0
     100                             100
                                  0.0
      0                               0                             0.0
        2011 2012 2013 2014 2015 2016   2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

              一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一         一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一
                                                                            又


      根据通州区统计局        2018 年 1 月 25 日发布:2017   年通州区全区完成全社会固定资产

  投资   1054.5 亿元,比上年增长       12.2%.  

  (Ⅰ)在图二中画出         2017 年通州区全区完成全社会固定资产投资(柱状图),标出增

  长率并补全折线图;

  (Ⅱ)从    2011-2017 这 7 年中随机选取连续的         2 年份,求后一年份增长率高于前一年份

  增长率的概率;


  (Ⅲ)设    2011-2017 这 7 年全社会固定资产投资总额的中位数为                x0 ,平均数为    x ,比较


   x0 与 x 的大小(写出结论即可).


18.(本题满分      14 分)

    如图所示的几何体中,平面            PAD   平面  ABCD  ,△PAD   为直角三角形, 

  APD    90 ,四边形   ABCD  为直角梯形,      AB // DC , AB  AD  , PQ // DC ,

                                                                P
   PQ  DC   PD 1,  PA  AB  2 .   
                                                             Q
                                                     A               D

                                                                 C

                                              B
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  (Ⅰ)求证:      PD  // 平面 QBC ; 

  (Ⅱ)求证:      QC   平面  PABQ  ; 

  (Ⅲ)在线段      QB  上是否存在点      M ,使得

   AM   BC ,若存在,求      QM   的值;若不存在,请说明理由.  

19.(本题满分      13 分)

                x2  y2                                      3
    已知椭圆    C  :      1a  b  0过点  A0, 1,离心率为        .   
             1  a2  b2                                     2


  (Ⅰ)求椭圆      C1 的方程;

                   x2   y2
  (Ⅱ)设椭圆      C  :        1,直线    l 交椭圆  C  于 P , Q 两点,交椭圆      C 于  M ,
                2 4a2  4b2                   1                     2

   N 两点,   O 为坐标原点.

                            | ON |
  (i)当直线     l 经过原点时,求           的值;
                            | OP |

  (ⅱ)当直线      l 经过 A 点时,若     MN    7 PQ  ,求直线    l 的方程.


20.(本题满分      14 分)

    已知函数     f (x)  x ln x  x 1, g(x)  ex  ax , a  R .

  (Ⅰ)求     f (x) 的最小值;

  (Ⅱ)若    g(x)  1在 R 上恒成立,求      a 的值;

                  n     n      n            n
               1    2   3        n 1    1
  (Ⅲ)求证:                              对一切大于     2 的正整数    n 都成
               n    n   n        n     e 1

  立.  
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                        高三数学(文科)一模考试参考答案

                                                    2018.4

一、选择题

          题号      1      2      3      4      5      6      7      8

          答案      B      D      A      C      D      B      C      B


二、填空题
                                                            1
9. 5                  10. 1                            11. 
                                                            2

12. 4  2               13. 1, ; ,41,     14.   ②③  
                                                               
三、解答题


                                x    x        2 x
15. 解:(Ⅰ)因为        f x sin   cos   3 cos
                                2    2         2

      x    x         x   1        3         3
  sin cos    3 cos2     sin x   cos x 
     2    2          2   2        2        2

                                  3
                       sin  x+  +  .                        ……………………  
                              3   2

4 分

所以   f x的最小正周期T       2.                                   ……………………  
                                                            
6 分

                                  2  
(Ⅱ)因为     x  ,0,所以   x+         ,   . 
                             3    3   3 

                                                     3
所以当    x      ,即  x  0 时,函数   f (x) 取得最大值    sin  +      3. 
          3   3                                    3   2

                    5                              3
当  x      ,即  x     时,函数     f (x) 取得最小值   1+    .
      3    2           6                             2

                                                         3
所以   f x在区间   ,0上的最大值和最小值分别为             3 和 1+    .        ……………… 
                                                        2      

13 分
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                                                5
16. 解:(Ⅰ)设等比数列a           的公比为    q. 因为 2a  ,   a , 4a 成等差数列, 
                          n                  2  2  3    3
       5
所以  2   a =2a   4a . 所以 2a   a .  
        2 3    2    3        2   3
所以  q  2.                                                   ……………  3   分

                                            4
                             15       a1 1 2  15
因为等比数列a       前  4 项和 S     ,所以                .
              n           4  4          1 2     4

         1
所以  a1   .                                                ………  6   分
         4                                                  


         1   n1   n3
所以  an     2   2  .                                     ……  7  分
         4                                                  
                                     1                    1     1
(Ⅱ)因为数列b        是首项为    2 ,公差为      a 的等差数列, 又         a =   , 
                n                    3  3                 3 3   3
             n  n 1   1    n2 13n
所以                                   
     Sn  2n                    .
                2     3       6

                n 12 13n 1
所以   Sn1  0 ,即                   0.                    …………  11    分
                        6                                  

所以  n 12 13n 1 0.  所以 1 n 12.

因为  n 为最大正整数,

所以  n 11.                                                 ………………  13     分


17. 解:(Ⅰ)

              一 一
                     2011-2017年全社会固定资产投资及增长率
              一 一 一 一
                                                  一 一 一
              1100                            1054.5
              1000                                 25.0
                      21.7                939.9
              900
                  20.0               800.8
              800                                  20.0
                           16.7 687.7      17.4
              700
              600          590.8  16.4 16.4        15.0
                      506.1
              500                               12.2
                 415.8
              400                                  10.0
              300
              200                                  5.0
              100
               0                                   0.0
                  2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

                        一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一


                                                           ……………  4     分
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(Ⅱ)从     2011-2017 这 7 年中随机选取连续的        2 年份,有   2011,2012,  2012,2013,

 2013,2014, 2014,2015,  2015,2016,  2016,2017共  6 组,                                         
           ……………………  6        分
设“选取连续的       2 年,后一年份增长率高于前一年份增长率”为事件                     A , 

则事件    A 包含有  2011,2012,  2015,2016共  2 组.                                       
            1
所以   PA   .                                              …………  10    分
            3                                                
                                                                 1
所以   7 年中随机选取连续的        2 年,后一年增长率高于前一年增长率的概率是                    .
                                                                 3

(Ⅲ)    x0  x .                                                  …………………  
13 分


18. 解:(Ⅰ)因为       PQ // CD , PQ  CD  ,

所以四边形     PQCD   是平行四边形. 所以        PD // QC.

因为   PD  平面  QBC  , QC   平面  QBC  , 

所以        平面                                       …………………  4       分
     PD //    QBC.                                  
(Ⅱ)因为平面       PAD   平面  ABCD   , AB  AD , AB  平面   PABQ  ,

所以   AB  平面  PAD.
因为   PD  平面  PAD  ,所以   PD   AB.  
因为   PA  PD ,  PA  AB  A , PA  平面  PABQ  ,  AB  平面  PABQ  , 

所以   PD  平面  PABQ.                                 
因为   PD // QC ,

所以  QC   平面  PABQ.                                 ……………  9    分

(Ⅲ)假设存在,过点          A 作 AM   QB  , 交  QB 于  M , 

由(Ⅱ)可知      QC   平面  PABQ   ,又因为    AM   平面  PABQ  , 

所以  QC   AM.  又因为     AM   QB , QB   QC  Q ,所以   AM   平面   QBC.
因为   BC  平面  QBC  ,

所以   AM   BC .                                    ………………  12     分

连接   AQ ,因为   PQ   PD  DC  1,  PA  AB  2 , 所以△   QAB  的面积是    2 .
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     1           1                         4
所以    QB  AM      5  AM  2.  所以 AM     5.
     2           2                         5
           3
所以  QM       5.                                    ………………  14     分
           5


                                                               3
19. 解:(Ⅰ)因为椭圆的焦点在             x 轴上,且过点     0, 1,离心率    e    ,
                                                              2

           c    3
所以  b 1,        .  所以由   a2  b2  c2 ,得 a2  4.   
           a    2

                       x2
所以椭圆    C  的标准方程是         y2 1.                           ………………  3     分
          1            4

(Ⅱ)(i)因为直线         l 经过原点   O ,

所以由椭圆的对称性,不妨设点              P , N 在点  O 的同侧.

                ON
设点   Px , y ,       , 
        0  0    OP

     x 2
所以    0  y 2 1, N x , y .
     4     0           0    0


因为点    N 在椭圆   C2 上,

          2       2
     x     y          2  x 2   
所以      0       0     ,即        0     2
                   1            y0  1.
      16       4           4   4      

                          ON
所以    2 (负值舍去),即             2.                          ………………  7      分
                          OP
                                                             
(ⅱ)因为直线       l 经过  A 点, 

①当直线    l 的斜率不存在时,        MN   2 PQ ,不符合题意.          ………………  8            分

②当直线    l 的斜率存在时,设为        k ,

所以直线    l 的方程为    y  kx 1.

          y  kx 1,
          
联立方程组        2         消去  y ,得  1 4k 2 x2 8kx  0.
           x    2                     
              y  1,
           4
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              8k
所以   x  x        , x  x  0.
     1   2  1 4k 2   1  2
                    8k
所以              2                                              ……………………  
     PQ    1 k      2 .
                  1 4k                                   
10 分

          y  kx 1,
                                      2  2
联立方程组      x2  y2     消去   y ,得 1 4k x  8kx 12  0.
                 1,
          16    4
              8k             12
所以   x  x        , x  x       .
     1   2  1 4k 2   1  2  1 4k 2

                             2
                      8k         12
所以              2
     MN    1 k        2   4     2
                    1 4k       1 4k

                  4 16k 2  3
               2                                          …………………12       分
          1 k         2  .
                    1 4k                                  

因为   MN    7 PQ  ,

所以    16k 2  3  2 7k.
        1          1
所以  k    ,或  k    .  
        2          2
                     1              1
所以直线    l 的方程是    y   x 1,或  y    x 1.                …………………13       分
                     2              2                      

20.解:(Ⅰ)因为函数         f (x)  x ln x  x 1, x (0,) ,

所以   f '(x)  ln x .  

所以当    x (0,1) 时, f '(x)  0 ;当 x (1, ) 时, f '(x)  0 .  

所以函数     f (x) 在 (0,1) 上单调递减,在   (1, ) 上单调递增.

所以当    x  1时,  f (x) 取得最小值   f (1)  0 .                    ………………3    分

(Ⅱ)设    h(x)  g x1  ex  ax 1,

所以  h'(x)  ex  a . 

①当  a  0 时, h'(x)  0 恒成立,函数     h(x) 在 R 上是增函数,且      h(0)  0 ,

所以当    x  0 时, h(x)  0 .  所以 a  0 不满足条件.
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②当 a  0 时,令 h'(x)  0 ,即 ex  a  0 ,解得 x  ln a ;

令 h'(x)  0 ,即 ex  a  0 ,解得 x  ln a.

所以 h(x) 在 ,ln a上单调递减,在    ln a,上单调递增.

所以当  x  ln a 时, h(x) 取得最小值,  h(ln a)  a  a ln a 1.

要使 h(x)  g x1 0 在 R 上恒成立,则需满足    h(ln a)  0 .

由(Ⅰ)可知当     a  0 时, a ln a  a 1 0 ,
所以 a  a ln a 1 0.

所以 a  a ln a 1  0 .  

所以 a  1.                                                  …………………  9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知       ex  x 1  0 恒成立,即1 x  ex .  
                      i
对任意的正整数     n,令  x   , i  1,2,n 1,
                      n

         i
     i   
则1    e n , i 1,2,,n 1.
    n
       i           n  i
所以 (1  )n  ei ,即 ( )n  ei  , i 1,2,,n 1.
       n            n
    n 1    n  2       1
所以 (    )n  (  )n  ( )n  e1  e2  e(n1)
      n       n         n
                            e1[1 (e1)n1] e1  1
                                                 .
                               1 e1    1 e1  e 1

       n     n     n           n
    1   2   3       n 1   1
所以                     .              ………………  14    分
    n   n   n       n    e 1                 
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