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2018秋新版高中数学北师大版必修5习题:第三章不等式 3.3.2.2

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高中数学审核员

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       第   2 课时 利用基本不等式求最值及实际应用题
                                         课时过关·能力提升
                  1    16𝑥
                    +
                  𝑥   2
1.若 x>1,则函数   y=x+   𝑥 + 1的最小值为(  )
A.16             B.8
C.4              D.非上述情况
                1                      16
解析:∵x>1,设   t=x+𝑥>2,∴原函数可变为       y=t+ 𝑡 ≥2 16=8,当且仅当   t=4 时,等号成立.
答案:B
                                                                              𝑥
2.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为                   800 元.若每批生产     x 件,则平均仓储时间为8天,
且每件产品每天的仓储费用为             1 元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应
生产产品(  )
A.60 件           B.80 件        C.100 件        D.120 件
                                                                𝑥
                                                         800  +  ·𝑥·1
                                                                8      800   𝑥
                                                                     =     +
解析:设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为                       f(x),则 f(x)=   𝑥       𝑥   8≥2
 800 𝑥           800   𝑥
     ·                =
  𝑥 8=20.当且仅当     𝑥   8,即 x=80 时,等号成立,f(x)取最小值.
答案:B
3.某工厂第一年年产量为         A,第二年的增长率为        a,第三年的增长率为       b,这两年的平均增长率为          x,则(  )
    𝑎 + 𝑏           𝑎 + 𝑏      𝑎 + 𝑏        𝑎 + 𝑏
A.x=  2          B.x≤   2      C.x>  2        D.x≥  2
解析:由题设有      A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,
                                                   𝑎 + 𝑏      𝑎 + 𝑏
                                                         2 = 1 +      2
    即(1+a)(1+b)=(1+x)2,则(1+x)2=1+(a+b)+ab≤1+(a+b)+(  2  )   (     2  ) ,即 1+x≤1+
𝑎 + 𝑏    𝑎 + 𝑏
  2  ,故 x≤   2  .
答案:B
                                              (𝑎 + 𝑏)2
4.已知  x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则      𝑐𝑑 的最小值是(  )
A.0              B.1           C.2            D.4
             𝑎 + 𝑏 = 𝑥 + 𝑦,
解析:由题意知{       𝑐𝑑 = 𝑥𝑦, 
      (𝑎 + 𝑏)2 (𝑥 + 𝑦)2 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦 𝑥2 + 𝑦2
              =        =               =
    故   𝑐𝑑      𝑥𝑦        𝑥𝑦         𝑥𝑦 +2.
    ∵x>0,y>0,
      𝑥2 + 𝑦2
    ∴   𝑥𝑦 +2≥2+2=4,当且仅当     x=y 时,等号成立.
答案:D
5.某商场的某种商品的年进货量为             1 万件,分若干次进货,每次进货的量相同,且需运费                 100 元,运来的
货物除出售外,还需租仓库存放,一年的租金按一次进货时的一半计算,每件                            2 元,为使一年的运费和
租金最省,每次进货量应为(  )
A.500 件          B.1 000 件     C.2 500 件      D.5 000 件
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                                   10 000 × 100   𝑥      1 000 000
                                                +                   ·𝑥
解析:设每次进货       x 件,总费用为    y 元,由 y=      𝑥       2×2≥2       𝑥     =2 000,当且仅当
1 000 000
    𝑥    =x,即 x=1 000 时,等号成立,此时     y 最小.
答案:B
                                   2   1
                                     +
6.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=2,a2+b=4,则𝑥 𝑦的最大值为(  )
A.1              B.2           C.3            D.4
       x  y
解析:∵a   =b =2,∴x=loga2,y=logb2.
      2  1
       +
                            2
    ∴𝑥  𝑦=2log2a+log2b=log2a b.
    ∵a2+b=4,a>1,b>1,
                 2
    ∴a2+b=4≥2   𝑎 𝑏,即 a2b≤4,当且仅当  a= 2,b=2 时,等号成立.
      2  1                  2   1
       +                      +
                2
    ∴𝑥  𝑦=log2a b≤log24=2,即𝑥 𝑦的最大值为    2.故选  B.
答案:B
                1   𝑎
                  +
7.已知不等式(x+y)(𝑥     𝑦)≥9 对任意正实数     x,y 恒成立,则正实数     a 的最小值是(  )
                                                9
A.2              B.3           C.4            D.2
          1  𝑎      𝑦 𝑎𝑥       𝑦 𝑎𝑥
           +           +             ·
解析:(x+y)(𝑥  𝑦)=1+a+𝑥  𝑦 ≥1+a+2 𝑥 𝑦 =1+a+2 𝑎=( 𝑎+1)2.
                 1  𝑎
                  +
    ∵不等式(x+y)(𝑥    𝑦)≥9 对任意正实数      x,y 恒成立,∴(  𝑎+1)2≥9,即  𝑎+1≥3.
    ∴  𝑎≥2,a≥4,即正实数    a 的最小值为     4.故选 C.
答案:C
8.某公司一年购买某种货物          400 吨,每次都购买     x 吨,运费为   4 万元/次,一年的总存储费用为           4x 万元,
要使一年的总费用之和最小,则            x=     吨. 
                  400             400                           1 600
解析:每年购买次数为         𝑥 ,所以总费用为      𝑥 ·4+4x≥2 6 400=160,当且仅当      𝑥 =4x,即 x=20 时,
等号成立.故     x=20.
答案:20
9.建造一个容积为      8 m3,深为  2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为                       120 元
和 80 元,那么水池的最低总造价为     元. 
答案:1 760

10.函数  y=loga(x-1)+1(a>0,且 a≠1)的图像恒过定点     A,若点  A 在一次函数     y=mx+n 的图像上,其中
        1  2
          +
m,n>0,则𝑚  𝑛的最小值为     . 
解析:由题意,得     A(2,1),则 1=2m+n.
              1  2   2𝑚 + 𝑛 2(2𝑚 + 𝑛)
                +  =        +
    ∵m,n>0,∴𝑚   𝑛    𝑚         𝑛
        𝑛 4𝑚
          +
    =4+𝑚   𝑛 ≥4+2  4=8.
            n   4𝑚     1   1
              =
    当且仅当𝑚      𝑛 ,即 m=4,n=2时,等号成立,
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      1   2
        +
    故𝑚   𝑛的最小值为    8.
答案:8
                                                                 4
★11.设  00.
                       3𝑥 + 8 - 3𝑥
           3𝑥(8 - 3𝑥) ≤         2
    ∴f(x)=            (     2    ) =4,
                        4
    当且仅当    3x=8-3x,即 x=3时,等号成立,
                               4
    ∴函数   f(x)的最大值为    4,此时  x=3.
               2                2
    又 f(x)= - 9𝑥 + 24𝑥 = - (3𝑥 - 4) + 16,
           4                  4
    当 03时,f(x)是减少的,
             4
    ∴当  0
	
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