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河南省六市2018届高三第一次联考(一模)数学(理)试题含解析

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                         河南省六市     2018 届高三第一次联考(一模)

                                     数学(理)试题

                                   第Ⅰ卷(共     60 分)

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题       5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合                   ,集合                  ,则         (    )

A.          B.         C.          D. 

【答案】C

【解析】                                         ,                         ,

所以               ,选  C.

2. 已知   为虚数单位,若                       ,则       (    )
A. 0    B. 1    C.       D. 2

【答案】B


3. 现有   5 人参加抽奖活动,每人依次从装有              5 张奖票(其中     3 张为中奖票)的箱子中不放

回地随机抽取一张,直到           3 张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第                    4 人抽完后结束

的概率为(    )

A.       B.      C.      D. 
【答案】C

【解析】试题分析:将           张奖票不放回地依次取出共有                   种不同的取法,若获恰好在第

四次抽奖结束,则前三次共抽到              张中奖票,第四次抽的最后一张奖票,共有                             种

取法,所以概率为                 ,故选    C.
考点:古典概型及其概率的计算.

4. 汽车以              作变速运动时,在第         1s 至 2s 之间的   1s 内经过的路程是(    )

A.        B.        C.       D. 
【答案】D
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【解析】                                        ,选 D.
5. 为考察      两种药物预防某疾病的效果,进行动物实验,分别得到如下等高条形图:根据

图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是(    )


A. 药物   的预防效果优于药物          的预防效果

B. 药物   的预防效果优于药物          的预防效果

C. 药物   、   对该疾病均有显著的预防效果

D. 药物   、   对该疾病均没有预防效果

【答案】B

【解析】由     A、B  两种药物预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到的等高条形图,知:


药物   A 的预防效果优于药物        B 的预防效果.

故选   B.

6. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体的各个表面中,最大面的面积为(    )


A.         B.        C. 2    D. 4

【答案】B
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【解析】几何体如图,                             ,所以最大面SAB的面积为

                        ,选B.


7. 已知数列       满足:                   ,则其前    100 项和为(    )

A. 250    B. 200    C. 150    D. 100

【答案】D

【解析】因为                  ,所以                                               选 D.


8. 已知锐角         中,角        所对的边分别为          ,若           ,则         的取值范围

是(    )

A.          B.         C.          D. 
【答案】C

【解析】


因为为锐角三角形,所以


                                 ,选 D.

9. 设           是数列           的一个排列,观察如图所示的程序框图,则输出的                      的值为

(    )
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A. 2015    B. 2016    C. 2017    D. 2018

【答案】D

【解析】试题分析:此题的程序框图的功能就是先求这                            个数的最大值,然后进行计算,

              ,因为                              ,所以

                           ,故选    D.

考点:程序框图.

【方法点睛】本题考查的是程序框图.对于算法与流程图的考查,一般会侧重于对流程图循

环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次

要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数

学问题,是求和还是求项.

10. 在三棱锥          中,         ,        ,       ,        ,         ,且三棱锥

      的体积为       ,则该三棱锥的外接球半径是(    )
A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】C
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【解析】取     SC 中点  O,则   OA=OB=OC=OS,即 O 为三棱锥的外接球球心,设半径为              r,则

                     选 C.
点睛:涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、

切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间

的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该

几何体已知量的关系,列方程(组)求解.


11. 椭圆                   与函数        的图象交于点      ,若函数         的图象在     处的切线

过椭圆的左焦点            ,则椭圆的离心率是(    )

A.         B.         C.         D. 
【答案】B


【解析】设


因此          ,所以        ,                ,                  ,选  B.

点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于                                    的方程或

不等式,再根据          的关系消掉      得到    的关系式,而建立关于             的方程或不等式,要充分

利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.


12. 若关于    的方程                有  3 个不相等的实数解            ,且              ,其中


     ,          ,则                   的值为(    )

A. 1    B.        C.          D. 

【答案】A


【解析】令           ,则方程                 化为                 有两个不等的实根           ,所


以                                                    ,选   A.
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点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.

二、填空题(每题        4 分,满分    20 分,将答案填在答题纸上)

13. 已知         ,           ,则     ______.

【答案】5

【解析】      

14. 已知二项式           的展开式的二项式系数之和为             32,则展开式中含        项的系数是
_______(用数字作答).

【答案】10

【解析】试题分析:由题意可得:                             ,


所以                                             ,令                   ,所以展开

式中含    项的系数是     10.

考点:二项式定理.


15. 已知   是双曲线     :        右支上一点,直线        是双曲线的一条渐近线,            在 上的射影为

  ,  是双曲线的左焦点,则                  的最小值是_______.

【答案】

【解析】


16. 已知动点         满足                         ,则          的最小值是_______.

【答案】

【解析】
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因此可行域为一个三角形           ABC 及其内部,其中                      ,所以           


点睛:线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是

虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、

还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

三、解答题 (本大题共          6 题,共   70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 


17. 已知数列       中,       ,其前   项的和为      ,且满足                 .


(1)求证:数列          是等差数列; 

(2)证明:当          时,                        .
【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】试题分析:(1)根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列


    是等差数列;(2)求出              的通项公式,利用放缩法进行证明不等式.


试题解析:(1)当            时,              ,


         ,从而      构成以    1 为首项,2   为公差的等差数列. -------6        分


(2)由(1)可知,                            ,

  当     时,

从而                                                       .
考点:1.裂项求和;2.放缩法;3.推理能力.

【方法点睛】本题主要考查的是裂项求和,放缩法,等差数列的通项公式,考查了变形能力,


推理能力与计算能力,属于中档题,首先根据                           可求出数列        的通项公式,(2)问

中根据(1)中条件进行裂项求和,可发现中间部分项被消掉,因此可适当利用放缩的方法
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对前    项和进行放大或缩小,即可证明结论,因此根据数列的递推关系结合等差数列的定义

是解决问题的关键.

18. 我们国家正处于老龄化社会中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口

400 万,其中老人(年龄         60 岁及以上)人数约有        66 万,为了了解老人们的健康状况,政府

从老人中随机抽取        600 人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能自

理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以                       80 岁为界限分成两个群体进行统计,

样本分布制作成如下图表:


(1)若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取                          8 人进一步了解他们的生活

状况,则两个群体中各应抽取多少人?

(2)估算该市      80 岁及以上长者占全市户籍人口的百分比;

(3)据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入,政府计划为这部分老人每月发放

生活补贴,标准如下:

①80  岁及以上长者每人每月发放生活补贴               200 元;

②80  岁以下老人每人每月发放生活补贴              120 元;

③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴                    100 元.

利用样本估计总体,试估计政府执行此计划的年度预算.(单位:亿元,结果保留两位小数)


【答案】(1)3,5(2)             (3)2.22

【解析】试题分析:(Ⅰ)从图表中求出不能自理的                      80 岁及以上长者占比,由此能求出抽

取  16 人中不能自理的      80 岁及以上长者人数为.

(Ⅱ)求出在      600 人中  80 岁及以上长者在老人中占比,用样本估计总体,能求出                       80 岁及以

上长者占户籍人口的百分比.
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(Ⅲ)用样本估计总体,设任一户籍老人每月享受的生活补助为                           X 元,则   Xr 可能取值为     0,

120,200,220,300,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量                      X 的分布列、EX,从而能

估计政府执行此计划的年度预算.

试题解析:

(1)数据整理如下表:


从图表中知不能自理的            岁及以上长者比为:

故抽取     人中不能自理的        岁及以上长者人数为
  岁以下长者人数为         人

(2)在    人中    岁及以上长者在老人中占比为:

用样本估计总体,          岁及以上长者共有                万,

  岁及以上长者占户籍人口的百分比为                       %=    %,
(3)用样本估计总体,设任一户籍老人每月享受的生活补助为                         元,


则随机变量的分布列为:


全市老人的总预算为                                  元,

政府执行此计划的年度预算约为                   亿元.

求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:

第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;

第二步是“探求概率”,即利用排列组合,枚举法,概率公式(常见的有古典概型公式、几
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何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积,以及对立事件的概率公式等),

求出随机变量取每个值时的概率;

第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布

列或某事件的概率是否正确;

第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些

实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布                                     ,则此

随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(                             )求得.因此,应熟记常见的典

型分布的期望公式,可加快解题速度.

19. 如图,在四棱锥              中,      平面       ,底面        是菱形,              ,  为

   与   的交点,     为    上任意一点.

(1)证明:平面             平面     ; 

(2)若      平面      ,并且二面角             的大小为      ,求        的值.


【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析:(1)解决立体几何的有关问题,空间想象能力是非常重要的,但新旧

知识的迁移融合也很重要,在平面几何的基础上,把某些空间问题转化为平面问题来解决,

有时很方便;(2)证明两个平面垂直,首先考虑直线与平面垂直,也可以简单记为“证面

面垂直,找线面垂直”,是化归思想的体现,这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似,

掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键;(3)空间向量将空间位置关系转化为向量

运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时

注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质

定理条件要完备.

试题解析:(1)因为                      ,          ,

又      是菱形,             ,故       平面
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  平面        平面      4 分

(2)连结       ,因为      平面     ,

所以        ,所以       平面

又   是   的中点,故此时        为   的中点,

以   为坐标原点,射线                分别为    轴,  轴,   轴建立空间直角坐标系. .6            分

设             则         ,


向量           为平面      的一个法向量 .8       分

设平面       的一个法向量              ,


则          且         ,

即                        ,

取     ,则              ,则             12 分


                                           解得
故                        14 分

考点:1、平面与平面垂直的判定;2、平面与平面所成角余弦值的应用.

20. 已知抛物线      :            的焦点为     ,过   的直线   交抛物线     于点     ,当直线     的倾斜

角是     时,    的中垂线交      轴于点        .
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(1)求    的值; 

(2)以      为直径的圆交      轴于点       ,记劣弧      的长度为     ,当直线    绕  点旋转时,求

    的最大值.

【答案】(1)          (2)

【解析】试题分析:(1)设出直线               的方程为          ,设               ,联立直线与抛物
线方程,利用韦达定理求出              中点坐标,推出中垂线方程,结合                 的中垂线交      轴于点

     ,求出    即可;(2)设      方程为           ,代入        ,求出     的距离以及        中点为

           ,令           ,求出    的表达式,推出关系式               ,利用     到  轴的距离


           ,求出                    ,分离常数即可求得            的最大值.

试题解析:(1)             当  的倾斜角为        时,  的方程为


设                           得

                               得   中点为          

   中垂线为                         代入得                    

(2)设    的方程为           ,代入        得

                                          中点为

令                                               
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


  到  轴的距离                  


                               

当      时    取最小值

 的最大值为             

 故     的最大值为     . 

21. 已知函数                         .

(1)讨论       的单调性;


(2)若      有两个极值点         ,且       ,证明:           .

【答案】(1)见解析(2)见解析


                                                                                          ..

...................


试题解析:(1)                       ,

所以

(1)当       时,        ,所以     在       上单调递增

(2)当       时,令                ,

当            即        时,       恒成立,即           恒成立

所以     在       上单调递增
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当            ,即      时,

            ,两根

所以               ,

                     ,

                ,

故当           时,    在       上单调递增

当          时,     在           和              上单调递增

   在                  上单调递减.

(2)


由(1)知        时,           上单调递增,此时           无极值


当     时,

由       得

           ,设两根        ,则           ,

其中

   在     上递增,在          上递减,在           上递增


令

            ,所以     在       上单调递减,且

故         .
点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数                                     .根据差函数
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导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条

件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放

缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

请考生在     22、23 二题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分.

22. 选修   4-4:坐标系与参数方程

以平面直角坐标系           的原点为极点,        轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取

相同的长度单位,直线          的参数方程为               ( 为参数),圆       的极坐标方程为

             . 
(1)求直线      的普通方程与圆       的执直角坐标方程; 

(2)设曲线      与直线    交于     两点,若     点的直角坐标为          ,求          的值.

【答案】(1)            ,               (2)

【解析】试题分析:(1)根据加减消元法将直线                      的参数方程化为普通方程,根据

                        将圆   的极坐标方程化为直角坐标方程,(2)先化直线参数方

程标准形式,代入圆          的直角坐标方程,根据参数几何意义得                               ,再根据韦

达定理求值.

试题解析: 解:(1)直线           的普通方程为            ,

                         ,

所以

所以曲线     的直角坐标方程为                       .


(2)点        在直线   上,且在圆      内,由已知直线       的参数方程是               (  为参数)

代入                 ,

得            ,设两个实根为         ,则                     ,即    异号

所以                              .

  点睛:直线的参数方程的标准形式的应用
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过点   M0(x0,y0),倾斜角为     α 的直线   l 的参数方程是                  .(t 是参数,t    可正、
可负、可为     0)

若  M1,M2 是 l 上的两点,其对应参数分别为            t1,t2,则

(1)M1,M2 两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α,y0+t2sin α).

(2)|M1M2|=|t1-t2|.


(3)若线段   M1M2 的中点  M 所对应的参数为       t,则  t=      ,中点   M 到定点   M0 的距离|MM0|=


|t|=      .

(4)若  M0 为线段  M1M2 的中点,则    t1+t2=0.

23. 选修   4-5:不等式选讲

已知关于     的不等式                有解.

(1)求实数      的取值范围;


(2)已知                    ,证明:                  .

【答案】(1)          (2)见解析

【解析】试题分析:

(Ⅰ)原问题等价于                        ,结合绝对值三角不等式的性质可得                   ;


(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得               ,由柯西不等式可得                                         ,


即               .

试题解析:

(Ⅰ)                           ,故      ; 


(Ⅱ)由题知            ,故                                   ,


                        .
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