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选修2-3 2.1.1离散型随机变量

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高中数学审核员

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          导入新课

     思考

   掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1,
2,3,4,5,6来表示,那么掷一枚硬币的
结果是否也可以用数字来表示呢?
   掷一枚硬币,可以出现正面向上、
反面向上两种结果. 虽然这个随机试验的
结果不是数字,但我们可以用数1和0分
别表示正面向上和反面向上.

  思考

      还可以用其他的数来表示这
  两个试验的结果吗?
   在掷骰子和掷硬币的随机试验中,我们
确定了一个对应关系,使得每一个试验结果
都用一个确定的数字表示.


    这就是我们今天要学习的课题
        ——离散型随机变量
2.1.1离散型随机变量
            知识要点

1.随机变量
   随着试验结果变化而变化的变量称为
随机变量.
   随机变量常用字母X,Y,ε,η,…表
示.
说明:
   (1)一般地,一个试验如果满足下列条件:

   ①试验可以在相同的情形下重复进行;
   ②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不
是一个;
   ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一
个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现
哪一个结果.
   这种试验就是一个随机试验,为了方便起见,
也简称试验.
            知识要点

2.随机变量和函数的相同点
   (1)随机变量和函数都是一种映射,随
机变量把随机试验的结果映为实数,函数把
实数映射为实数;
   (2)在这两种映射之间,试验结果的范
围相当于函数的定义域,随机变量的取值范
围相当于函数的值域.
        例题1

    任意掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向
上这两种结果,虽然这个随机试验的结果不具有数
量性质,但仍可以用数量来表示它.通常我们用ε来
表示这个随机试验的结果:

      ε=0,表示正面向上;
      ε=1,表示反面向上.
          知识要点

3.离散型随机变量

   如果随机变量X的所有可能取值(只
有有限多个或可列多个)可以一一列出,则
称之为离散型随机变量.
     例题2
   某次产品检验,在可能含有次品的100件
产品中任意抽取4件,那么其中含有的次品数
的结果.
解:  用η表示含有的次品数,则η是一个随机
变量.      η=0,表示含有0个次品;
         η=1,表示含有1个次品;
         η=2,表示含有2个次品;
         η=3,表示含有3个次品;
         η=4,表示含有4个次品.
      例题3

    从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1
张,被取出的卡片的号数ξ;

   解:ξ可取1,2,…,10.
       ξ=1,表示取出第1号卡片;
       ξ=2,表示取出第2号卡;
             ……
       ξ=10,表示取出第10号卡片.
    例题4

   某人射击一次,可能出现命中0环,
命中1环,… ,命中10环的结果.

解:  我们用ε表示射击的命中环数,则ε
是一个随机变量.
   继续解答                ε<3表示什么
                         意思?

ε=0,表示射击命中0环;
ε=1,表示射击命中1环;
ε=2,表示射击命中2环;
ε=3,表示射击命中3环;
ε=4,表示射击命中4环;
  ……
ε=10,表示射击命中10环.
    思考

  电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗?

分析:

    电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非
负实数,而所有非负实数不能一一列出,所以
X不是离散型随机变量.
  注意

    在研究随机现象时,需要根据所关心
 的问题恰当的定义随机变量.

   例如,如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是
否不少于1000小时,那么就可以定义如下的随机
变量:
         0,寿命<1000小时;
    Y
         1,寿命>=1000小时.
           课堂小结

1.随机变量的概念
    随机变量是随机事件的结果的数量化;
随机变量ξ的取值对应于随机试验的某一随机
事件.
2.离散型随机变量的概念
   所有取值可以一一列出的随机变量称为
离散型随机变量.
            课堂练习

1.选择

   (1)抛掷两颗骰子,所得点数之和为ξ,那么
ξ=4表示的随机试验结果是____.

   A.一颗是3点,一颗是1点
    B.两颗都是2点
    C.两颗都是4点
   √D.一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点
   (2)将一颗均匀骰子掷两次,不能作为
随机变量的是_____.

   A.两次出现的点数之和
   B.两次掷出的最大点数
   C.第一次减去第二次的点数差
  √D.抛掷的次数
2.解答题
    (1)一个袋中装有5个白球和5个黑球,
 从中任取3个,其中所含白球的个数ξ;

  解:ξ可取0,1,2 , 3.
      ξ=0,表示取出0个白球;
      ξ=1,表示取出1个白球;
      ξ=2,表示取出2个白球;
      ξ=3,表示取出3个白球.
  (4)写出下列各随机变量可能取的值,
并说明随机变量所取值所表示的随机试验的
结果.

   ①盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔,从中任意
取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ;

   ②从4张已编号(1号~4号)的卡片中任意取出
2张,被取出的卡片号数之和ξ.
           习题解答

1.

 (1)能用离散型随机变量表示. 可能的取值
为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

 (2)能用离散型随机变量表示. 可能的取值为
0,1,2,3,4,5.

 (3)不能用离散型随机变量表示.
2.可以取的例子很多,这里给出几个例子:

 例1  某公共汽车站一分钟内等车的人数;
 例2  某城市一年内下雨的天数;
 例3  一位跳水运动员在比赛时所得的分数;
 例4  某人的手机在一天内接收到电话的次数.
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