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选修2-3 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2018)

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1.1分类加法计数原理
      与
  分步乘法计数原理
        1、分类加法计数原理


   从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘
汽车.如果一天中火车有3班,汽车有2班.那么
一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共
有多少种不同的走法?
                知识要
                   点

分类加法计数原理
     完成一件事有两类不同方案,在第1类方案
中有m 种不同的方法,在第2类方案中有             n种不
同的方法. 那么完成这件事共有
          N=m+n
种不同的方法.
   例题1
      在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了
   解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的
   强项专业,具体情况如下:
         A大学          B大学
         生物学         数学
         化学          会计学
         医学          信息技术学
         物理学         法学
         工程学
   如果这名同学只能选一个专业,那么它共有
多少种选择呢?
       2、分步乘法计数原理


    用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯

数字,以A1,A2,…,B1,B2,…的方式
给教室里的座位编号,总共能编出多少个不
同的号码?
      解答

由题意画图如下:

    字母      数字      得到的号码
             1         A1
             2         A2
             3         A3
             4         A4
     A       5         A5
             6         A6
             7         A7
             8         A8
             9         A9
解:
    由于前6个英文字母中的任意一个都能
与9个数字中的任意一个组成一个号码,而
且它们各不相同,因此共有
          6×9=54
个不同的号码.

 观察有什么特征
              知识要
                 点

分步乘法计数原理
    完成一件事需要两个步骤,做第1步有
m 种不同的方法,做第2步有         n种不同的方
法. 那么完成这件事共有
          N=m×n
 种不同的方法.
    例题2

    书架的第一层放有4本不同的计算机书,
第二层放有5本不同的文艺书,从书架的第1、
2层各取1本书,有多少种不同的取法?

     分析

       读题意可知,这是一个分步乘
   法计数题.
 继续解答
解:
   从书架的第1,2,各取1本书,可以分成两
个步骤完成:
   第一步,从第一层取1本计算机书,有4种
方法;
   第二步,从第二层取1本文艺书,有5种方
法;
根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是
           N=4×5=20
   例题3

    一名同学有7枚明朝不同古币和10枚
清朝不同古币
    (1)从中任取一枚,有多少种不同取
法?
    (2)从中任取明清古币各一枚,有多
少种不同取法?
  继续解答
解:
  (1)该题应用分类计数原理,分两类:第
一类,取明朝古币有7种;第二类,取清朝古
币有10种. 所以共有
             7+10=17
种不同取法.
 (2)该题应用分步计数原理,分两步:第
一步,取明朝古币有7种;第二步,取清朝古
币有10种. 共有
             7×10=70
种不同取法.
         课堂小结

1.理解分类加法计数原理与分步乘法
计数原理,并加区别:
   ① 分类加法计数原理针对的是“分类”
问题,其中各种方法相对独立,用其中任何
一种方法都可以完成这件事;
   ②分步乘法计数原理针对的是“分步”
问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各
个步骤都完成后才算做完这件事.
    3.运用分类加法计数原理与分步乘法
计数原理的注意点:
   ①分类加法计数原理:首先确定分类标准,
其次满足:完成这件事的任何一种方法必属于
某一类,并且分别属于不同的两类的方法都是
不同的方法,即"不重不漏".
   ②分步乘法计数原理:首先确定分步标准,
其次满足:必须并且只需连续完成这n个步骤,
这件事才算完成.
             课堂练习
1.填空
(1)从甲地到乙地有2种走法,从乙地到丙地有4
种走法,从甲地不经过乙地到丙地有3种走法,则
从甲地到丙地的不同的走法共有            ______11 种.

(2)甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名,
现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校
三好学生代表大会,共有______31       种不同的推选方
法.
   2.选择
  (1)一件工作可以用2种方法完成,有5人
会用第1种方法完成,另有4人会用第2种方法
完成,从中选出1人来完成这件工作,不同选
法的种数是(      )
√A.9          B.2           C.20                 D.6   
 (2)从A村去B村的道路有3条,从B村去C
村的道路有2条,从A村经B村去C村,不同的
路线有  (     )条.
 A.3         B.4            C.5             √ D.6
3.解答题

   (1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个允
许重复数字的三位数.
解:
   由于此三位数的数字允许重复,分三步:
百、十、个位数各有5种取法,
所以可以组成
          5×5×5=125
个三位数.
            习题解答

                A组
  1. “一件事情”是“买一台某型号的电视机”
不同的选法有4+7=11(种).

  2. “一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到
丁地去”. 所以是“先分类,再分步”,不同的
路线共有2×3+4×2=14(条).
    3. 对于第一问,“一件事情”是“构成一
个分数”由于1,5,9,13是奇数,4,8,12,
16是偶数,所以以1,5,9,13中任意一个为分
子,都可以与4,8,12,16中的任意一个构成
分数. 因此可以分两步来构成分数:
     第一步,选分子,有4种选法;
     第二步,选分母,也有4种选法.
共有不同的分数
          4×4=16(个).        
对于第二问,分四类:
   分子为1时,分母可以从4,8,12,16中
任选一个,有4个,
   分子为5时,分母从8,12,16中选一个,
有3个;
   分子为9时,分母从12,16中选一个,有2
个;
   分子为13时,分母只能是16,有1个.
所以共有真分数
         4+3+2+1=10(个).
4.”一件事情”是“接通线路”。更具电路的有关
知识,容易得到不同的接通线路有
         3+1+2×2=8(条).
5.(1)分两步完成:
  第一步,从A中选横坐标,有6种选择;
  第二步,从A中选纵坐标,也有6种选择.
所以共有坐标
        6×6=36(个)
(2)由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相
同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的,
因此可分两步完成:
 第一步,取斜率,有4种取法;
 第二步,取截距,有4种取法.
所以共有直线
           4×4=16(条).
               B组
1. “一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由
于数字可以重复,最后一个只能在0~5这拨个数
字中拔,所以有号码10×10×10×6=6000(个).
2. (1) “一件事情”是“4名学生分别参加3个运动
队中的一个,每人限报一个,可以报同一个运动
队”. 应该是人选运动队,所以不同报法种数
是    .

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(2)“一件事情”是“3个班分别从5个景点中
选择一处游览”. 应该是人选风景,故不同的选
法种数是      .
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