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2018版高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4_4

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四 柱坐标系与球坐标系简介
[学习目标]

1.了解柱坐标系、球坐标系的意义.
2.掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.
3.能够根据空间坐标的转化解决某些问题              .
[知识链  接]
1.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什么限制

?提示 空间点的坐标都是三个数值,其中至少有一个是距离.

2.在柱坐标系中,方程ρ=1表示空间中的什么曲面?在球坐标系
  中,方程r=1分别表示空间中的什么曲面?
  提示 ρ=1表示以z轴为中心,以1为半径的圆柱面;球坐标
  系中,方程r=1表示球心在原点的单位球面.
3.空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些

 ?提示 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背
  景,柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标
  和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到
  原点的距离和两个角刻画点的位置.
  (2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系
  ,空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
[预习导   引]
 1.柱坐标系
  如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,它
  在Oxy平面上的射影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在
  平面Oxy上的极坐标,这时         点P的位置可用有序数组(ρ,θ,
  z)(z∈R)表示.建立了空间的点与有序数组(ρ,θ, z )           之间的一种
  对应  关系,把建立上述对应         关系的坐标系叫做柱坐标系  ,有序数
  组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z)           ,其中ρ≥0,
  0≤θ<2π,z∈R.
2.球坐标系
  建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,
  连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy
  平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针            方向旋转到OQ时所转过最小
  的正角                                  (r,φ,θ)
             为θ,这样 点P的位置就可以用有序数组                 表示
  .这样 ,空间的点与(r,φ,θ)之间建立了一种对应              关系.把建
  立上述对应    关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).
  有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标,记做P(r,φ,θ),其中
  r≥0,0≤φ≤π,0≤φ<2π.
要点一 将点的柱坐标化为直角坐标
例1 将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标:

跟踪演练1 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标:

要点二 将点的球坐标化为直角坐标

跟踪演练2 根据下列点的球坐标,分别求其直角坐标:

要点三 将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标

 例3   已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为        1,如
   图建立空间直角坐标系Axyz,Ax为极轴,求

   点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.


跟踪演练3 若本例中条件不变,求点C的柱坐标和球坐标.
1.空间点的坐标的确定
  (1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标
  三度来确定的,即(x,y,z).
  (2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的
  竖坐标组成的,即(ρ,θ,z).
  (3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴
  正方向所成的角θ,点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ
  ,以及点到原点的距离组成的即(r,φ,θ).注意求坐标的顺序
  为:①到原点的距离r;②与z轴正方向所成的角φ;③与x轴正
  方向所成的角θ.
2.柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直
  角坐标系中的一部分建立起来的,空间任一点P的位置可
  以用有序数组(ρ,θ,z)表示,(ρ,θ)是点P在Oxy平面上的
  射影Q的极坐标,z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.
1.在空间直角坐标系Oxyz中,方程x=1表示(  )

  A.点                   B.直线
  C.平面                  D.以上都不对
  解析 由空间点的直角坐标的定义知,方程x=1表示与x轴
  垂直且到原点的距离为1的平面.
  答案 C
A.圆                   B.半圆  
C.球面                  D.半球面


 答案 D

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