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2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选修1_1

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 第二章   圆锥曲线与方程

      2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
                   学习目标:1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点)2.掌握抛物
线的标准方程及其推导过程.(易错点)3.明确                                                                                                                                                                         p      的几何意义,并能解决简单的
求抛物线标准方程问题.(难点) 
                                                             1.抛物线的定义 
                                                             平面内与一个定点                                                                                                                                                                                                                                                      F                           和一条定直线                                                                                                                                                                                           l(l                                  不经过点                                                                                                                               F)距离相等的点的轨迹
叫做_________.点                                                                                                                                                                                                                                                              F                          叫做抛物线的______,直线                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      l               叫做抛物线的______. 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  [自 主 预 习·探 新 知] 
                                                             思考                                                                   1:抛物线的定义中,若点                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          F                          在直线                                                                                                l               上,那么点的轨迹是什么? 

        抛物线                                   焦点                                 准线


                                                               [提示]                                                                                                               点的轨迹是过点                                                                                                                                                                                                                              F                          且垂直于直线                                                                                                                                                                                              l                的直线. 
                                                                      2.抛物线的标准方程 
                                                                                                                        图形                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           标准方程                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          焦点坐标                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        准线方程 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ______________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            _________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ________ 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            -p                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ______________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    F                                                                                                                  ,0                                                                                                                                                                                                                                                                                                          ________ 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 2                                                                                                                        


                                               p                                             p
                                           F       ,0                          x=-               
       2                                       2                                             2
   y      =2px(p>0)                                                                                                                                                                                                                                                                                               
                                                                                         p
     2                                                                             x=        
y       =-2px(p>0)                                                                       2
                      
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      _____________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 _________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    _________ 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  ____________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          __________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   __________ 

                                                      p                                    p
                                         F0,                               y=-                  
     2
 x      =2py(p>0)                                     2                                    2

                                                                                                                                                                                                                                                                                                
                                                                                                                                                                                                                                                         -p
                                                                                                                                                                                           F0,                                                                                                    
                                                                                      p
    2                                                                           y=                                                                                                                                                                                    2                         
x       =-2py(p>0)                                                                    2
                 
                      
               思考              2:(1)抛物线方程中                                                     p(p>0)的几何意义是什么? 
               (2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置? 


               [提示]                      (1)p          的几何意义是焦点到准线的距离. 
               (2)根据抛物线方程中一次式±2                                                                               px,±2                py       来确定焦点位置,“x,y”表示
焦点在                     x    轴或              y    轴上,系数“±2                                        p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半
轴上. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               [基础自测] 
                                                               1.思考辨析 
                                                               (1)并非所有二次函数的图象都是抛物线.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    (  ) 
                                                               (2)抛物线是双曲线的一支.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          (  ) 
                                                               (3)抛物线的标准方程有四种不同的形式,它们的共同点为“顶点在原
点,焦点在坐标轴上.”                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            (  ) 


                                                               [答案]                                                                                                               (1)×                                                                                                (2)×                                                                                                (3)√ 
                       2.抛物线                                                  y2=-8x                                        的           焦点坐标                                          是(  ) 
                       A.(2,0)                                                                                                                                                         B.(-2,0) 
                       C.(4,0)                                                                                                                                                         D.(-4,0) 


                                                                                                                                                                                                                                                                                       p
                                              抛物线                                        2=-                                      的焦点在                                                     轴的负半轴上,且                                                                                          =                 ,因此焦点坐标
                       B                   [                                        y                               8x                                                             x                                                                                                   2                 2
是(-2,0).] 
3.抛物线                             y2=8x                的焦点到准线的距离是(  ) 
A.1                                                                                                B.2                     
C.4                                                                                                D.8 


C           [由         y2=8x                 得        p=4,即焦点到准线的距离为                                                                                 4.] 
4.抛物线                                                                                          x=4y2                                                     的准线方程是(  ) 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      【导学号:97792096】 
                                                               1
              .                            =                                                                                                                                                                                                                                                     .                            =-
A                                 y                            2                                                                                                                                                                                                                   B                                 y                                                1 
                                                                                       1                                                                                                                                                                                                                                                           1
             .                            =-                                                                                                                                                                                                                                                      .                            =
C                                x                                                16                                                                                                                                                                                               D                                  x                            8 


                                                                                                                                                                                        1                                                                                                                                                                                                                         1
                                         由                                 =                                      2         得                                 2=                                           ,故准线方程为                                                                                                                                                   =-
C                                  [                              x                            4y                                                    y                                  4x                                                                                                                                                                  x                                                16.] 
                                                                                                       根据下列条件分别求出抛物线的标准方程: 
                                                                                                                                                                                        2
                                                       准线方程为                                                                                                        =                            ;
                                 (1)                                                                                                                        y                           3                            
                                 (2)焦点在                                                                               y            轴上,焦点到准线的距离为                                                                                                                                                                                                                               5; 
                                                                                                                                                                                                        [合 作 探 究·攻 重 难] 
求抛物线的标准方程
                                 (3)经过点(-3,-1); 
                                 (4)焦点为直线                                                                                                                   3x-4y-12=0                                                                                                                     与坐标轴的交点. 
[思路探究]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          (1)(2)                                                                                                                                                                                                                                                                              由题意可确定方程形式                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      →                                                                                                                                求出p                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

→                                                                                                                                写出抛物线的标准方程                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

(3)                                                                                                                                                设出抛物线的标准方程                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      →                                                                                                                                代入点的坐标求参数                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

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(4)                                                                                                                                                写出焦点坐标                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  →                                                                                                                               分情况讨论焦点的位置                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      →                                                                                                                                写出抛物线的标准方程                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
                                                                                                                                                                          p           2                               4
                  解                         因为抛物线的准线交                                                                 轴于正半轴,且                                                 =          ,则                   =          ,所以所
               [         ]         (1)                                                                           y                                                        2           3                   p           3
                                                                                                 8
求抛物线的标准方程为                                                                      2=-
                                                                             x                   3y. 
               (2)已知抛物线的焦点在                                                                   y     轴上,可设方程为                                                       x2=2my(m≠0),由焦点到
准线的距离为                                         5,知|m|=5,m=±5                                                     ,所以满足条件的抛物线有两条,它们的
标准方程分别为                                               x2=10y                    和        x2=-10y. 
                                                                                                                                                                                                                            (3)∵点(-3,-1)在第三象限,∴设所求抛物线的标准方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         y2=-
2px(p>0)或                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     x2=-2py(p>0). 
                                                                                                                                                                                                                            若抛物线的标准方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               y2=-2px(p>0),则由(-1)2=-2p×(-3),解得
                                                                                                                                                                     1
                                                       =                                                                                                                                                                    ;
p                                                                                                                                                                    6                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                                                                                            若抛物线的标准方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               x2=-2py(p>0),则由(-3)2=-2p×(-1),解得
                                                                                                                                                                     9
                                                       =
p                                                                                                                                                                    2. 
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                                                                                                                                                                                                                            ∴所求抛物线的标准方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           2=-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                或                                                                                                                                                                                          2=-
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                                                                                                                                                                                                                   (4)对于直线方程                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      3x-4y-12=0,令                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    x=0,得                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      y=-3;令                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               y=0,得                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      x=4, 
                                                                                                                                                                                                                            ∴抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0). 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         p
                                                                                                                                                                                                                            当焦点为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  ,-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         时,                                                                                                                                                                                                                                                                                 =                                                                                                                                                                      ,∴                                                                                                                                                                                                                                                                                  =                                                                                                                                                                     ,此时抛物线的标准方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           2=-
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                                                                                                                                                                                                                            ∴所求抛物线的标准方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          x2=-12y                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    或                                                                                                                                         y2=16x. 
[规律方法]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      
              2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 
              (1)把握开口方向与方程间的对应关系. 
              (2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为                                                                                                                       y2=mx                  或        x2=ny,这样可以
减少讨论情况的个数. 
                                                   p
                       注意                   与          的几何意义.
              (3)                      p           2                                               
[跟踪训练] 
1.根据下列条件确定抛物线的标准方程. 
(1)关于                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    y                                                                            轴对称且过点(-1,-3); 
(2)过点(4,-8); 
(3)焦点在                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 x-2y-4=0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     上. 
                                                                                                                                                                                                                            [解]                                                                                                                                                                                                                                                                                                     (1)法一:设所求抛物线方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             x2=-2py(p>0),将点(-1,-3)
代入方程, 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              1
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                                                                                                                                                                                                                                                    ≠                                                                                                                                                                                                          .又抛物线过点                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              -                                                                                                                                                                     ,-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    ,所以                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        =                                                                                                                                                                                                                                                                      -                                                                                                                                                                                                         ,即                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   =-                                                                                                                                                                                                                                                                                 ,所以所
my(m                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               0)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          (                                                                                                                                                  1                                                                                                                                                                                                                                                                                 3)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              1                                                                                                                                                                    m·(                                                                                                                                                                                                                                                                    3)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               m                                                                                                                                                                                                                                                                                                           3
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求抛物线方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         2=-
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1.所以所求抛物线方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                y2=16x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       或                                                                                                                                         x2=-2y. 
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点(4,-8),所以                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              64=4n,即                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           n=16,抛物线的方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    y2=16x; 
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                                                                                                                                                                                                                            综上,抛物线的标准方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          y2=16x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       或                                                                                                                                         x2=-2y. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           x=0,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             x=0,
                                                                                                                                                                                                                            (3)由                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               得                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           x-2y-4=0,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        y=-2, 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          y=0,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              y=0,
                                                                                                                                                                                                                            由                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  得                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          x-2y-4=0,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         x=4.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
                                                                                                                                                                                                                            所以所求抛物线的焦点坐标为(0,-2)或(4,0). 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    p
                                                                                                                                                                                                                            当焦点为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 ,-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      时,由                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               =                                                                                                                                                                    ,得                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     =                                                                                                                                                                    ,所以所求抛物线方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     2=-
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                                                                                                                                                                                                                            综上所述,所求抛物线方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       x2=-8y                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              或                                                                                                                                         y2=16x. 
                                                                                                                 (1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在                                                                                                                                                                                                                                                                                                           y           轴上,抛物线上一点                                                                                                                                                                    M(m,
-3)到焦点的距离为                                                                                                                                                                            5,求                                                    m                  的值、抛物线方程和准线方程. 
                                        (2)已知抛物线                                                                                                                           y2=4x                                                          的焦点是                                                                                    F,点                                                         P                   是抛物线上的动点,对于定点
A(4,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           P                 点坐标.                                                                        
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              【导学号:97792097】 

      抛物线的定义的应用                         (3)已知动圆                                                                                                     M                     与直线                                                              y=2                                         相切,且与定圆                                                                                                                                         C:x2+(y+3)2=1                                                                                                                                                    外切,求
动圆圆心                                                                                 M                     的轨迹方程. 
[思路探究]                                                  (1)利用抛物线定义先求抛物线的方程,再求                                                                                                                                                                    m         和准线方程. 
(2)利用抛物线的定义,把|PF|转化为到准线的距离. 
(3)利用|MC|的长度比点                                                                                       M          到直线                             y=2                  的距离大                                      1      求解. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               p
                                                                                                                                                                                                                                                                       解                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         设所求抛物线方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           2=-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 ,由                                                                                                                                                                                                                                                            +                                                                                                                                                                        =                                                                                                                                                                                                    得                                                                                                                                                                                                    =                                                                                                                                                                        ,因此
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抛物线方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          x2=-8y,其准线方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      y=2,由                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    m2=24                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              得                                                                                                                                           m=±2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 6. 
                                                                                                                                                                                                                                  (2)如图,作                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           PN⊥l                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        于                                                                                                                                           N(l                                                                                                                                                                          为准线),作                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               AB⊥l                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  于                                                                                                                                           B, 
                                                                                                                                                                                                                                  则|PA|+|PF| 
                                                                                                                                                                                                                                  =|PA|+|PN|≥|AB|, 
                                                                                                                                                                                                                                  当且仅当                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          P                                                                                                为                                                                                                                                            AB                                                                                                                                                                    与抛物线的交点时,取等号. 

                                                                                                                                                                                                                                  ∴(|PA|+|PF|)min=|AB| 
                                                                                                                                                                                                                                  =4+1=5. 

                                                                                                                                                                                                                                  此时                                                                                                                                                                                                                                                           yP=2,代入抛物线得                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             xP=1, 
                                                                                                                                                                                                                                  ∴P(1,2). 
               (3)设动圆圆心为                                            M(x,y),半径为                                             r, 
               则由题意可得                                       M       到圆心                    C(0,-3)的距离与直线                                                               y=3             的距离相等. 
               由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以                                                                                                                         C(0,-3)为焦点,以                                                          y=3
为准线的一条抛物线,其方程为                                                                                         x2=-12y. 
                                                                                                                                                                                                                                [规律方法]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   抛物线定义的两种应用 
                                                                                                                                                                                                                                (1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离
等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互

转化,从而简化某些问题. 
                                                                                                                                                                                                                                (2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值
时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题. 
               [跟踪训练] 
               2.(1)已知点                                    P      是抛物线                            y2=2x                 上的一个动点,则点                                                             P     到点               A(0,2)的距
离与               P     到该抛物线准线的距离之和的最小值为(  ) 
                           17
                                                                                .
               A.          2                                                                                          B           3 
                                                                                                                             9
               C.          5                                                                                          D.2 
                                                                                                                                                                                                                                  A                                                                                                                                                                                                 [由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距
离.由图可得, 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                1
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                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              P                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              x                                                                                                                                                                                                                                                                                  2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     d                                                                                                                                                                       |PF|                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                                                                                                 易知点                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           A(0,2)在抛物线                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 y2=2x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        的外部, 
                                                                                                                                                                                                                                 连接                                                                                                                                                                                                                                                           AF,交                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   y2=2x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        于点                                                                                                                                                                                                                                                           P′, 
                                                                                                                                                                                                                                 欲使所求距离之和最小,只需                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      A,P′,F                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      共线, 
                                                                                                                                                                                                                                 ∴其最小值为 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               12                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          17
                                                                                                                                                                                                                                 |AF|=                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 0-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   +2-02=                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       .] 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 2
                                                                                                                 1                                                                                                1
              (2)若位于                        y    轴右侧的动点                                     M       到        F       ,0的距离比它到                                              y    轴的距离大                                 .求
                                                                                                                 2                                                                                                2
点       M       的轨迹方程. 


                                                                                                                              1              
              [解]               由于位于                        y    轴右侧的动点                                    M      到       F       ,0的距离比它到                                              y   轴的距离大
                                                                                                                              2              
1                                                           1                                                                                                1
   ,所以动点                               M       到        F        ,0的距离与它到直线                                                         l:x=-                        的距离相等.由抛物
2                                                           2                                                                                                2
线的定义知动点                                           M       的轨迹是以                               F     为焦点,l                          为准线的抛物线(不包含原点),
                                                                                                          p         1
其方程应为                                  2=                               的形式,而                                 =         ,所以                      =                  =         ,故点                           的轨迹
                                    y           2px(p>0)                                                  2         2                         p         1,2p               2                        M
方程为                   y2=2x(x≠0). 
抛物线的实际应用         [探究问题] 
                 已知抛物线,如何建系,才能使抛物线方程为标准方程? 


                 提示:以抛物线的顶点为坐标原点,以抛物线的对称轴为坐标轴建系. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         5                                                                                            米时,水面宽为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   8                                                                                            米,
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一小船宽                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   米,高                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     米,载货后船露出水面上的部分高                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            米,问水面上涨到与
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      4
抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航? 

                                                                                                                                                                                                                            [思路探究]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             建系                                                                                                                                                                                                                                             →                                                                                                                               设方程                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          →                                                                                                                                解方程                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          →                                                                                                                                求出相关量                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    →                                                                                                                               解决问题                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
                                                                                                                                                                                                                          [解]                                                                                                                                                                                                                                                                                               如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                x2=-2py(p>0),由题意,
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                                                                                                                                        B(4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     5)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      p                                                                                                                                                                   5                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        5                                                                                 y.                                                                                                                                  
                                                                                                                                                                                                                          ∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航. 

                                                                                                                                                                                                                          设此时船面宽为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                AA′,则                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   A(2,yA), 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       16                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  5
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                                                                                                             4                                                                                                                                                                   2(                                                                                                                                                                                                      )                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      
[规律方法]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    求抛物线实际应用的五个步骤 
(1)建立适当的坐标系. 
(2)设出合适的抛物线标准方程. 
(3)通过计算求出抛物线的标准方程. 
(4)求出需要求出的量. 
(5)还原到实际问题中,从而解决实际问题. 
                                                                                                                                                                                                                            [跟踪训练] 
                                                                                                                                                                                                                            3.如图                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            2•3•1                                                                                                                                                                                                                                                                       是抛物线形拱桥,当水面在                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            l                                                            时,拱顶离水面                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         2                                                                                    米,水面
宽                                                                                                                                         4                                                                                 米,若水面下降                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        0.42                                                                                                                                                                                                                        米后,则水面宽为(  ) 


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               图                                                                                                                                         2•3•1 
                                                                                                                                                                                                                            A.2.2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              米                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       B.4.4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        米 
                                                                                                                                                                                                                            C.2.4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        米                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             D.4                                                                                                                                                                                                                                                                             米 
B            [如图建立直角坐标系, 
设抛物线方程为                                               x2=my, 
将        A(2,-2)代入                                        x2=my, 
得        m=-2 

           2
∴x           =-2y,代入                                        B(x0,-2.42)得                                        x0=2.2, 
故水面宽为                                  4.4 m,故选                                  B.] 
                                                                                                 2
                        .准线方程为                                                          =             的抛物线的标准方程为                                                                                           
                   1                                                               y             3                                                                                                    (                     ) 
                                                    8                                                                                                                                            8
                          .             2=                                                                                                                   .             2=-
                   A               x                3y                                                                                                 B              x                          3y 
                                                             8                                                                                                                          8
                         .             2=-                                                                                                                   .             2=
                   C               y                         3x                                                                                        D               y                3x 


                                                                                                      [当 堂 达 标·固 双 基] 

                                                                                                                2                                                                                                                                                p             2                                     4
                                      由准线方程为                                                          =             知抛物线焦点在                                                                     轴负半轴上,且                                                              =              ,则                     =
                   B               [                                                              y             3                                                                         y                                                                      2             3                      p              3.
                                                                                                                                               8
故所求抛物线的标准方程为                                                                                                             2=-
                                                                                                                     x                         3y.] 
                                                                                                                                                                                                   1
                .抛物线                                                                                                                                                =                                                            2              的焦点坐标是                                                                                                                                                                                                    
2                                                                                                                                                     y                                            4x                                                                                                                                                                                                                                        (                                                                         ) 
                                                                                              1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             1                                                                      
A.0,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           B.                                                                  ,0 
                                                                                      16                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    16                                                                                     
C.(0,1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          D.(1,0) 


 C                                                     [抛物线的标准方程为                                                                                                                                                                                                                                                                                                   x2=4y,从而焦点坐标为(0,1).] 
                                        3.抛物线y2=24ax(a>                                                                                                                                                                                   0)上有一点                                                                                                M,它的横坐                                                                                                               标是3,它到焦点                                                                                                                                                的距离
是                        5,则抛物线的方程为(  ) 
                                        A.y2=8x                                                                                                                                                                                                                                                                            B.y2=12x 
                                        C.y2=16x                                                                                                                                                                                                                                                                           D.y2=20x 


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     1
                                                                                 由题意知                                                                                                     +                             =                             ,解得                                                                        =                             ,因此抛物线方程为                                                                                                                                                                                          2=
                                        A                                  [                                                                                          6a                                      3                             5                                                                          a                             3                                                                                                                                                                                                   y                                  8x.] 
                                                                                                                                      2
                             4.已知抛物线                                                                                           y          =2px(p>0)的焦点                                                                                                               F1,若点                                                        A(2,-4)在抛物线上,则
点                 A            到焦点的距离为________.                                                                                                                                                             
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  【导学号:97792098】 


                             4                     [把点(2,-4)代入抛物线                                                                                                                                                      y2=2px,得                                                                      16=4p,即                                                                     p=4,从而抛物线
的焦点为(2,0).故点                                                                                                                          A            到焦点的距离为                                                                                                   4.] 
             5.若抛物线                              y2=-2px(p>0)上有一点                                                       M,其横坐标为-9,它到焦点的
距离为                  10,求点                      M      的坐标. 


                                                                                                                                                                                 p           
             [解]              由抛物线方程                                  y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为                                                                           F-             ,0,准线
                                                                                                                                                                                 2           
                              p                                                                                                                                         p
方程为                     =          设点                    到准线的距离为                                           ,则                =                 =           ,即              -        -           =           ,
                     x        2.                  M                                                    d                 d         |MF|              10                 2         (       9)          10
得       p=2,故抛物线方程为                                                      y2=-4x. 
             由点            M(-9,y)在抛物线上,得                                                             y=±6            ,故点                 M      的坐标为(-9,6)或(-9,
-6). 
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