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2018年高中数学第二章数列2.4等比数列学案新人教A版必修5

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                                2.4 等比数列

                        第一课时 等比数列的概念及通项公式


     预习课本    P48~50,思考并完成以下问题   

    (1)等比数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等比数列?

    (2)等比数列的通项公式是什么?

     
    (3)等比中项的定义是什么?


     

                                    [新知初探]
    1.等比数列的定义
    如果一个数列从第        2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫
做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母                        q 表示(q≠0).
    [点睛] (1)“从第      2 项起”,也就是说等比数列中至少含有三项;
    (2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”;
                                                an            an+1
    (3)“同一常数     q”,q  是等比数列的公比,即          q=an-1(n≥2)或    q=  an  .特别注意,
q 不可以为零,当       q=1 时,等比数列为常数列,非零的常数列是特殊的等比数列.
    2.等比中项
    如果在   a 与 b 中间插入一个数       G,使  a,G,b  成等比数列,那么         G 叫做 a 与 b 的等比
中项,这三个数满足关系式            G=±   ab.
    [点睛] (1)G   是  a 与 b 的等比中项,则      a 与 b 的符号相同,符号相反的两个实数不存
在等比中项.
    G=±   ab,即等比中项有两个,且互为相反数.
    (2)当 G2=ab 时,G   不一定是    a 与 b 的等比中项.例如       02=5×0,但    0,0,5 不是等比
数列.
    3.等比数列的通项公式

                                                              n-1
    等比数列{an}的首项为        a1,公比为    q(q≠0),则通项公式为:an=a1q           .

                                    [小试身手]
    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列(  )
    (2)等比数列的首项不能为零,但公比可以为零(  )
    (3)常数列一定为等比数列(  )
    (4)任何两个数都有等比中项(  )
    解析:(1)错误,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数
列.
    (2)错误,当公比为零时,根据等比数列的定义,数列中的项也为零.
    (3)错误,当常数列不为零时,该数列才是等比数列.
    (4)错误.当两数同号时才有等比中项,异号时不存在等比中项.
    答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
    2.下列数列为等比数列的是(  )
                                         1   1  1
    A.2,22,3×22,…                      B.a,a2,a3,…
    C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…               D.0,0,0,…
    解析:选    B A、C、D    不是等比数列,A       中不满足定义,C、D        中项可为    0,不符合定
义.
                       9       1        2
    3.等比数列的首项为8,末项为3,公比为3,则这个数列的项数为(  )
    A.3                                 B.4
    C.5                                 D.6
                 1  9   2
    解析:选    B ∵3=8·(3)n-1,
      8   2        2    2
    ∴27=(3)n-1,即(3)3=(3)n-1,
    ∴n-1=3,∴n=4.

    4.已知等比数列{an}为递增数列,a1=-2,且                3(an+an+2)=10an+1,则公比    q=
________.
                                                                         1
                                2             2
    解析:设公比为       q,则  3(an+anq )=10anq,即   3q -10q+3=0,解得      q=3 或 q=3,
                                              1

又因为   a1=-2  且数列{an}为等比递增数列,所以             q=3.
          1
    答案:3
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                                         等比数列的通项公式


                                   1     1      1

    [典例] (1)在等比数列{an}中,a1=2,q=2,an=32,则项数                 n 为(  )
    A.3                                B.4
    C.5                                 D.6

    (2)已知等比数列{an}为递增数列,且            a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项

公式   an=________.
                                  1  1      1     1   1
                         n-1         ( )n-1      ( )n ( )5
    [解析] (1)因为     an=a1q   ,所以2×    2   =32,即    2 = 2  ,解得   n=5.
                                                1
                              2                                 9
    (2)由 2(an+an+2)=5an+1⇒2q  -5q+2=0⇒q=2     或2,由   a52=a10=a1q >0⇒a1>0,又

数列{an}递增,所以       q=2.

               4 2    9                                       n
    a52=a10⇒(a1q ) =a1q ⇒a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为           an=2  .
    [答案] (1)C (2)2n


                              等比数列通项公式的求法

    (1)根据已知条件,建立关于           a1,q 的方程组,求出       a1,q 后再求   an,这是常规方法.

    (2)充分利用各项之间的关系,直接求出                q 后,再求   a1,最后求    an,这种方法带有一
定的技巧性,能简化运算.

        
    [活学活用]

    在等比数列{an}中,

    (1)a4=2,a7=8,求    an;

    (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求       n.

    解:(1)因为Error!所以Error!
      ②
            3           3        3
    由①得    q =4,从而    q= 4,而   a1q =2,
            2   1
                                   2n5
                             n-1    3
    于是  a1=q3=2,所以     an=a1q   =2    .
    (2)法一:因为Error!
      ④       1

    由③得    q=2,从而    a1=32.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                      1
                     ( )n-1
    又 an=1,所以    32×  2   =1,
    即 26-n=20,所以    n=6.
                                       1

    法二:因为     a3+a6=q(a2+a5),所以     q=2.

              4
    由 a1q+a1q =18,得    a1=32.

             n-1
    由 an=a1q   =1,得    n=6.


                                              等比中项

                                   1

    [典例] (1)在等比数列{an}中,a1=8,q=2,则              a4 与 a8 的等比中项是(  )
    A.±4                               B.4
         1                              1
    C.±4                               D.4
    (2)已知  b 是 a,c  的等比中项,求证:ab+bc         是  a2+b2 与 b2+c2 的等比中项.
                     1
                         n-1  n-4               4
    [解析] (1)由    an=8×2    =2    知,a4=1,a8=2     ,所以   a4 与 a8 的等比中项为±4.
    答案:A
    (2)证明:因为     b 是 a,c 的等比中项,
    所以  b2=ac,且   a,b,c   均不为零,
    又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+
2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2),
    即 ab+bc  是 a2+b2 与 b2+c2 的等比中项.


                          G   b
    (1)由等比中项的定义可知          a =G⇒G2=ab⇒G=±     ab,所以只有     a,b 同号时,a,b     的
等比中项有两个,异号时,没有等比中项.
    (2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和
后一项的等比中项.
    (3)a,G,b  成等比数列等价于        G2=ab(ab>0).

        
    [活学活用]
    1.如果-1,a,b,c,-9         成等比数列,那么(  )
    A.b=3,ac=9                          B.b=-3,ac=9
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    C.b=3,ac=-9                         D.b=-3,ac=-9
    解析:选    B 因为    b2=(-1)×(-9)=9,且      b 与首项-1    同号,
    所以  b=-3,且     a,c 必同号.
    所以  ac=b2=9.

    2.已知等比数列{an}的前三项依次为             a-1,a+1,a+4,则       an=________.
    解析:由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4),

    解得  a=5,所以     a1=4,a2=6,
           a2  6  3
    所以  q=a1=4=2,
                3
               ( )n-1
    所以  an=4×   2   .
             3
    答案:4×(2)n-1

                                                       等比数列的判定与证明


                                                   *
    [典例] 在数列{an}中,若         an>0,且 an+1=2an+3(n∈N   ).证明:数列{an+3}是等比
数列.
    证明:[法一 定义法]

    ∵an>0,∴an+3>0.

    又∵an+1=2an+3,
      an+1+3   2an+3+3   2an+3
    ∴  an+3  =   an+3  =   an+3   =2.

    ∴数列{an+3}是首项为        a1+3,公比为    2 的等比数列.
    [法二 等比中项法]

    ∵an>0,∴an+3>0.

    又∵an+1=2an+3,

    ∴an+2=4an+9.

    ∴(an+2+3)(an+3)

    =(4an+12)(an+3)

             2
    =(2an+6)

              2
    =(an+1+3)  .

    即 an+3,an+1+3,an+2+3    成等比数列,

    ∴数列{an+3}是等比数列.
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                           证明数列是等比数列常用的方法
               an+1                      an

    (1)定义法:     an =q(q  为常数且    q≠0)或an-1=q(q    为常数且    q≠0,n≥2)⇔{an}为
等比数列.

                                            *
    (2)等比中项法:an+2     1=an·an+2(an≠0,n∈N    )⇔{an}为等比数列.

     
    [活学活用]

    (1)已知各项均不为       0 的数列{an}中,a1,a2,a3     成等差数列,a2,a3,a4       成等比数列,

a3,a4,a5 的倒数成等差数列,证明:a1,a3,a5             成等比数列.
                                                        (1)
    (2)已知数列{an}是首项为        2,公差为-1     的等差数列,令       bn= 2 an,求证数列{bn}是
等比数列,并求其通项公式.

    证明:(1)由已知,有        2a2=a1+a3,①

    a32=a2·a4,②
    2   1   1
    a4=a3+a5.③
          2   a3+a5          2a3·a5

    由③得a4=    a3·a5 ,所以  a4=a3+a5.④
              a1+a3

    由①得   a2=   2  .⑤
                        a1+a3  2a3·a5
    将④⑤代入②,得        a32=  2  ·a3+a5.
          a1+a3a5

    ∴a3=    a3+a5   ,即  a3(a3+a5)=a5(a1+a3).

    化简,得    a32=a1·a5.又  a1,a3,a5 均不为   0,所以   a1,a3,a5  成等比数列.

    (2)依题意   an=2+(n-1)×(-1)=3-n,
             1
            ( )3-n
    于是  bn=  2   .
             1
               3-n
             (2)
       bn    1       1
               4-n
    而bn-1=(2)     =(2)-1=2.

                                                  n-3
    ∴数列{bn}是公比为       2 的等比数列,通项公式为          bn=2   .
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                               层级一 学业水平达标
    1.2+   3和 2-  3的等比中项是(  )
    A.1                                B.-1
    C.±1                                D.2
    解析:选    C 设   2+  3和 2-  3的等比中项为      G,
    则 G2=(2+   3)(2-  3)=1,
    ∴G=±1.

    2.在首项    a1=1,公比    q=2  的等比数列{an}中,当       an=64 时,项数    n 等于(  )
    A.4                                 B.5
    C.6                                 D.7

                          n-1          n-1        n-1   6
    解析:选    D 因为    an=a1q  ,所以    1×2   =64,即   2   =2  ,得  n-1=6,解得     n=
7.

    3.设等差数列{an}的公差         d 不为 0,a1=9d,若    ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则     k 等于(  
)
    A.2                                 B.4
    C.6                                 D.8

    解析:选    B ∵an=(n+8)d,又∵ak2=a1·a2k,
    ∴[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,
    解得  k=-2(舍去)或      k=4.

    4.等比数列{an}的公比为         q,且|q|≠1,a1=-1,若       am=a1·a2·a3·a4·a5,则
m 等于(  )
    A.9                                 B.10
    C.11                                D.12

                                              2    3    4      10     10
    解析:选    C ∵a1·a2·a3·a4·a5=a1·a1q·a1q      ·a1q  ·a1q =a15·q  =-q   ,am=

   m-1    m-1
a1q  =-q     ,
    ∴-q10=-qm-1,∴10=m-1,∴m=11.

    5.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则            an 等于(  )
    A.(-2)n-1                           B.-(-2n-1)
    C.(-2)n                             D.-(-2)n

                               4
    解析:选    A 设公比为     q,则   a1q =-8a1q,

                        3
    又 a1≠0,q≠0,所以      q =-8,q=-2,

    又 a5>a2,所以    a2<0,a5>0,

                                   n-1
    从而  a1>0,即   a1=1,故   an=(-2)    .

    6.等比数列{an}中,a1=-2,a3=-8,则            an=________.
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            a3           -8
    解析:∵a1=q2,∴q2=-2=4,即           q=±2.

                       n-1           n-1       n
    当 q=-2   时,an=a1q    =-2×(-2)       =(-2)  ;

                     n-1       n-1     n
    当 q=2  时,an=a1q    =-2×2      =-2  .
    答案:(-2)n    或-2n
                                            1                  a8+a9

    7.已知等比数列{an}的各项均为正数,且               a1,2a3,2a2 成等差数列,则a6+a7=
________.
                    1
                                                       2
    解析:由题设      a1,2a3,2a2 成等差数列可得      a1+2a2=a3,即   q -2q-1=0,所以      q=
       a8+a9  a81+q
 2+1,a6+a7=a61+q=q2=3+2        2.
    答案:3+2     2
    8.已知三个数成等比数列,其积为               512,如果第一个数与第三个数各减去              2,则此时
的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于________.
                                   a
    解析:依题意设原来的三个数依次为q,a,aq.
      a
    ∵q·a·aq=512,∴a=8.
    又∵第一个数与第三个数各减去              2 后的三个数成等差数列,
       a
        -2
    ∴(q   )+(aq-2)=2a,
                                1
    ∴2q2-5q+2=0,∴q=2       或 q=2,
    ∴原来的三个数为        4,8,16 或 16,8,4.
    ∵4+8+16=16+8+4=28,
    ∴原来的三个数的和等于           28.
    答案:28
    9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为                  48,后三个成等比数列,积为            8 000,求
这四个数.
    解:设前三个数分别为          a-d,a,a+d,则有
    (a-d)+a+(a+d)=48,即       a=16.
                    b
    设后三个数分别为q,b,bq,则有
    b
    q·b·bq=b3=8 000,即      b=20,
    ∴这四个数分别为        m,16,20,n,
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                          202
    ∴m=2×16-20=12,n=       16 =25.
    即所求的四个数分别为          12,16,20,25.

    10.已知递增的等比数列{an}满足           a2+a3+a4=28,且    a3+2 是  a2 和 a4 的等差中项,

求  an.

    解:设等比数列{an}的公比为          q.依题意,知      2(a3+2)=a2+a4,

    ∴a2+a3+a4=3a3+4=28,

    ∴a3=8,a2+a4=20,
      8                        1
    ∴q+8q=20,解得      q=2 或  q=2(舍去).
          a3
                       n
    又 a1=q2=2,∴an=2     .

                               层级二 应试能力达标
                                               2a1+a2

    1.设  a1,a2,a3,a4  成等比数列,其公比为          2,则2a3+a4的值为(  )
      1                                  1
    A.4                                B.2
      1
    C.8                                 D.1
                       2a1+a2     1   1
    解析:选    A 原式=q22a1+a2=q2=4.
                                1

    2.在等比数列{an}中,已知          a1=3,a5=3,则    a3=(  )
    A.1                                 B.3
    C.±1                                D.±3
                                                              1
                          4          4        2            2
    解析:选    A 由   a5=a1·q =3,所以     q =9,得   q =3,a3=a1·q   =3×3=1.

    3.设  a1=2,数列{1+2an}是公比为        3 的等比数列,则       a6 等于(  )
    A.607.5                             B.608
    C.607                               D.159

                                   n-1
    解析:选    C ∵1+2an=(1+2a1)×3        ,
                         5 × 243-1
                 5
    ∴1+2a6=5×3    ,∴a6=      2    =607.
    4.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行
数成等比数列,而且每一行的公比都相等,
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                                        1
                                        4
                                        1  1
                                        2,4
                                        3  3  3
                                        4,8,16
                                        …

                                  *
    记第  i 行第  j 列的数为    aij(i,j∈N  ),则  a53 的值为(  )
      1                                 1
    A.16                               B.8
      5                                 5
    C.16                               D.4
                               1       1                     1         1  5

    解析:选    C 第一列构成首项为4,公差为4的等差数列,所以                    a51=4+(5-1)×4=4.
又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第                                5 行构成首项
  5        1                    5  1    5
                                   ( )2
为4,公比为2的等比数列,所以             a53=4× 2  =16.

    5.若数列{an}的前      n 项和为   Sn,且  an=2Sn-3,则{an}的通项公式是________.

    解析:由    an=2Sn-3  得 an-1=2Sn-1-3(n≥2),两式相减得        an-an-1=2an(n≥2),
                        an

    ∴an=-an-1(n≥2),an-1=-1(n≥2).

    故{an}是公比为-1      的等比数列,

                                               n-1
    令 n=1  得 a1=2a1-3,∴a1=3,故      an=3·(-1)     .

                     n-1
    答案:an=3·(-1)

    6.在等差数列{an}中,a1=2,a3=6,若将            a1,a4,a5  都加上同一个数,所得的三个
数依次成等比数列,则所加的这个数为________.

    解析:设等差数列{an}的公差为           d,所求的数为       m,则Error!∴d=2,∴a4=8,a5=

                                            2                        2
10,∵a1+m,a4+m,a5+m      成等比数列,∴(a4+m)        =(a1+m)(a5+m),即(8+m)     =(2+
m)(10+m),解得    m=-11.
    答案:-11

    7.已知数列{an}的前       n 项和  Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列.

    证明:∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1.

    ∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.
            1

    ∴an+1=2an.

    又∵S1=2-a1,

    ∴a1=1≠0.
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              1

    又由  an+1=2an 知 an≠0,
      an+1  1
    ∴  an  =2.

    ∴数列{an}是等比数列.


    8.已知数列{an}是各项为正数的等比数列,且                 a2=9,a4=81.

    (1)求数列{an}的通项公式        an;

    (2)若 bn=log3an,求证:数列{bn}是等差数列.

    解:(1)求数列{an}的公比为         q,
                         a4  81
                      2
    ∵a2=9,a4=81.则    q =a2=  9 =9,

    又∵an>0,∴q>0,∴q=3,

                    n-2      n-2  n      *
    故通项公式     an=a2q   =9×3    =3  ,n∈N  .

                          n                  n
    (2)证明:由(1) 知     an=3 ,∴bn=log3an=log33   =n,

                                      *
    ∴bn+1-bn=(n+1)-n=1(常数),n∈N         ,故数列{bn}是一个公差等于          1 的等差数
列.


                             第二课时 等比数列的性质


   预习课本     P53 练习第   3、4 题,思考并完成以下问题 

    等比数列项的运算性质是什么?

     


                                    [新知初探]
                                  等比数列的性质

    (1)若数列{an},{bn}是项数相同的等比数列,则{an·bn}也是等比数列.特别地,若

{an}是等比数列,c      是不等于    0 的常数,则{c·an}也是等比数列.

    (2)在等比数列{an}中,若        m+n=p+q,则     aman=apaq.
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    (3)数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项的
积.

    (4)在等比数列{an}中,每隔         k 项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比
数列,公比为      qk+1.

                           *
    (5)当 m,n,p(m,n,p∈N      )成等差数列时,am,an,ap       成等比数列.

                                    [小试身手]
    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(  )

    (2)当 q>1 时,{an}为递增数列(  )

    (3)当 q=1  时,{an}为常数列(  )
    解析:(1)正确,根据等比数列的定义可以判定该说法正确.

    (2)错误,当    q>1,a1>0 时,{an}才为递增数列.
    (3)正确,当    q=1  时,数列中的每一项都相等,所以为常数列.
    答案:(1)√ (2)× (3)√

    2.由公比为     q 的等比数列     a1,a2,…依次相邻两项的乘积组成的数列                a1a2,a2a3,

a3a4,…是(  )
    A.等差数列
    B.以  q 为公比的等比数列
    C.以  q2 为公比的等比数列
    D.以  2q 为公比的等比数列
                   an+1an+2   an+2
    解析:选    C 因为     anan+1 =   an =q2 为常数,所以该数列为以          q2 为公比的等比数
列.

    3.已知等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则            a8 的值为(  )
    A.35                               B.63
    C.21  3                            D.±21   3

    解析:选    B ∵{an}成等比数列.

    ∴a4,a6,a8  成等比数列
                       212

    ∴a62=a4·a8,即   a8=  7 =63.

    4.在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,则                 a4+a8=
________.

    解析:∵a6a10=a82,a3a5=a42,
    ∴a42+a82=41,

    又 a4a8=4,
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             2
    ∴(a4+a8)  =a42+a82+2a4a8=41+8=49,
    ∵数列各项都是正数,

    ∴a4+a8=7.
    答案:7


                                           等比数列的性质


    [典例] (1)在    1 与 100 之间插入    n 个正数,使这     n+2  个数成等比数列,则插入的
n 个数的积为(  )
    A.10n                              B.n10
    C.100n                              D.n100

                                            65
    (2)在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=2         ,则  a7 等于________.

    [解析] (1)设这     n+2 个数为    a1,a2,…,an+1,an+2,
                              n       n
                                           n
    则 a2·a3·…·an+1=(a1an+2)2=(100)2=10     .

                            5  65            13
    (2)因为  a1a2a3…a10=(a3a8) =2 ,所以    a3a8=2 ,

                   4          9
    又因为   a3=16=2  ,所以    a8=2 .

                 5
    因为  a8=a3·q  ,所以   q=2.
            a8

    所以  a7= q =256.
    [答案] (1)A (2)256


    有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出基本量                           a1 和 q 的方程组,先

解出   a1 和 q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题,却
简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项的“下标”的指导作用.

        
    [活学活用]

    1.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则              a1+a10=(  )
    A.7                                 B.5
    C.-5                                D.-7

    解析:选    D 因为数列{an}为等比数列,
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    所以  a5a6=a4a7=-8,联立Error!

    解得Error!或Error!
              1
    所以  q3=-2或   q3=-2,
              a4
                       3
    故 a1+a10=q3+a7·q   =-7.

    2.已知等比数列{an}的公比为正数,且              4a2a8=a42,a2=1,则   a6=(  )
      1                                   1
    A.8                                 B.16
      1                                   1
    C.32                                D.64
                                            1             1
                                                       4
    解析:选    B 由   4a2a8=a42,得 4a52=a42,∴q=2,∴a6=a2q    =16.

                                      灵活设元求解等比数列问题


    [典例] (1)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去                     1,1,4,13 成等差数列,则这
四个数的和是________.
    (2)有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为                      216,后三个数成等差数列,
且它们之和为      12,求这四个数.
    [解析] (1)设这四个数分别为           a,aq,aq2,aq3,则    a-1,aq-1,aq2-4,aq3-
13 成等差数列.即

    Error!
    整理得Error!解得    a=3,q=2.因此这四个数分别是           3,6,12,24,其和为    45.
    [答案] 45
                            a
    (2)解:法一:设前三个数为q,a,aq,
      a
    则q·a·aq=216,
    所以  a3=216.所以   a=6.
                  6
    因此前三个数为q,6,6q.
    由题意知第     4 个数为   12q-6.
                                  2
    所以  6+6q+12q-6=12,解得       q=3.
    故所求的四个数为        9,6,4,2.
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                                              1                1
    法二:设后三个数为         4-d,4,4+d,则第一个数为4(4-d)2,由题意知4(4-d)2×(4-
d)×4=216,解得     4-d=6.所以    d=-2.故所求得的四个数为           9,6,4,2.


                              几个数成等比数列的设法
                          a
    (1)三个数成等比数列设为q,a,aq.
    推广到一般:奇数个数成等比数列设为:
       a  a
    …q2,q,a,aq,aq2…
    (2)四个符号相同的数成等比数列设为:
     a  a
    q3,q,aq,aq3.
    推广到一般:偶数个符号相同的数成等比数列设为:
       a  a   a
    …q5,q3,q,aq,aq3,aq5…
    (3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为:a,aq,aq2,aq3.

    [活学活用]
    在 2 和 20 之间插入两个数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的
两个数的和为(  )
            35                                35
    A.-4  或  2                          B.4 或 2
                                            1
    C.4                                 D.172
                                                      a2
    解析:选    B 设插入的第一个数为          a,则插入的另一个数为          2 .
         a2                    a2
    由 a,  2 ,20 成等差数列得      2× 2 =a+20.
    ∴a2-a-20=0,解得       a=-4  或 a=5.
                                      a2
    当 a=-4   时,插入的两个数的和为           a+ 2 =4.
                                    a2 35
    当 a=5  时,插入的两个数的和为           a+ 2 = 2 .

                                       等比数列的实际应用问题
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    [典例] 某工厂      2016 年 1 月的生产总值为       a 万元,计划从     2016 年 2 月起,每月生产
总值比上一个月增长         m%,那么到    2017 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元?

    [解] 设从    2016 年 1 月开始,第     n 个月该厂的生产总值是         an 万元,则   an+1=an+

anm%,
      an+1
    ∴  an  =1+m%.

                                                               n-1
    ∴数列{an}是首项      a1=a,公比    q=1+m%的等比数列.∴an=a(1+m%)            .

                                              20-1         19
    ∴2017 年  8 月底该厂的生产总值为         a20=a(1+m%)    =a(1+m%)   (万元).


    数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系,建立数学模型是解决
这类问题的核心,常用的方法有:①构造等差、等比数列的模型,然后用数列的通项公式
或求和公式解;②通过归纳得到结论,再用数列知识求解.


     [活学活用]
     如图,在等腰直角三角形            ABC    中,斜边     BC=2 2.过点 

A 作 BC  的垂线,垂足为       A1  ;过点    A1 作  AC 的垂线,垂足为 

A2;过点   A2  作 A1C  的垂线,垂足为       A3  ;…,依此类推.设

BA=a1 ,AA1=a2  , A1A2=a3 ,…, A5A6=a7 ,则 a7=________.

    解析:等腰直角三角形          ABC 中,斜边    BC=2  2,所以   AB=AC=a1=2,AA1=a2=     2,
                    π      2        2              2   1
                                  (  )n          (  )6
…,An-1An=an+1=sin4·an=     2 an=2×  2 ,故   a7=2×  2  =4.
          1
    答案:4


                               层级一 学业水平达标
    1.等比数列     x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(  )
    A.-24                              B.0
    C.12                                D.24
    解析:选    A 由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即          x2+4x+3=0,解得     x=-3   或 x=-
1(舍去),所以等比数列的前           3 项是-3,-6,-12,则第四项为-24.

    2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(  )

    A.a1,a3,a9  成等比数列                   B.a2,a3,a6 成等比数列
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    C.a2,a4,a8  成等比数列                   D.a3,a6,a9 成等比数列
                                        a6  a9
    解析:选    D 设等比数列的公比为          q,因为a3=a6=q3,

    即 a62=a3a9,所以   a3,a6,a9 成等比数列.故选        D.
                                                          a5

    3.在正项等比数列{an}中,an+11 的等比数列,若      a4,a5 是方程   4x -8x+3=0   的两根,则

a6+a7=________.
                      1     3       a5

    解析:由题意得       a4=2,a5=2,∴q=a4=3.
                        1  3
                         +
                     2  (   )   2
    ∴a6+a7=(a4+a5)q   = 2  2 ×3 =18.
    答案:18
    8.画一个边长为       2 厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第                     2 个正方形,以
第  2 个正方形的对角线为边画第           3 个正方形,这样一共画了          10 个正方形,则第       10 个正方
形的面积等于________平方厘米.

    解析:这    10 个正方形的边长构成以          2 为首项,    2为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,
n∈N*),
    则第  10 个正方形的面积       S=a120=22·29=211=2 048.
    答案:2 048

    9.在由实数组成的等比数列{an}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求                   q.
    解:法一:由条件得

    Error!

    由②得   a73=512,即   a7=8.
    将其代入①得      2q8-5q4+2=0.

            1                 1
    解得  q4=2或  q4=2,即   q=±4  2或 q=±4  2.

    法二:∵a3a11=a2a12=a72,

    ∴a73=512,即   a7=8.

    于是有Error!

                     2
    即 a3 和 a11 是方程  x -20x+64=0   的两根,解此方程得         x=4 或 x=16.

    因此Error!或Error!

                 8
    又∵a11=a3·q   ,
           a11 1     1             1 1    1
    ∴q=±(   a3 )8=±48=±4  2或  q=±(4)8=±4   2 .

    10.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列

{an}的通项公式.

    解:∵a1a5=a32,a3a7=a52,

    ∴由题意,得      a32-2a3a5+a52=36,

    同理得   a32+2a3a5+a52=100,
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    ∴Error!即Error!

    解得Error!或Error!

    分别解得Error!或Error!

           n-2      6-n
    ∴an=2    或  an=2   .
                               层级二 应试能力达标

    1.在等比数列{an}中,Tn       表示前   n 项的积,若     T5=1,则(  )

    A.a1=1                             B.a3=1

    C.a4=1                              D.a5=1

    解析:选    B 由题意,可得       a1·a2·a3·a4·a5=1,即(a1·a5)·(a2·a4)·a3=1,又

a1·a5=a2·a4=a32,所以     a35=1,得  a3=1.

    2.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且                 b7=a7,则   b5+b9 等于
(  )
    A.2                                 B.4
    C.8                                 D.16

    解析:选    C 等比数列{an}中,a3a11=a72=4a7,解得         a7=4,等差数列{bn}中,b5+

b9=2b7=2a7=8.

    3.在各项均为正数的等比数列{bn}中,若               b7·b8=3,则    log3b1+log3b2+…+

log3b14 等于(  )

    A.5                                 B.6
    C.7                                 D.8

                                                                   7
    解析:选    C log3b1+log3b2+…+log3b14=log3 (b1b2…b14)=log3 (b7b8)   =7log33=
7.

                                                                    30
    4.设各项为正数的等比数列{an}中,公比               q=2,且   a1·a2·a3·…·a30=2      ,则

a3·a6·a9·…·a30=(  )
    A.230                               B.210
    C.220                               D.215

                                     30
    解析:选    C ∵a1·a2·a3·…·a30=2       ,
                             29 × 30
    ∴a310·q1+2+3+…+29=a310·q    2  =230,
            27

    ∴a1=2-   2 ,
                                 9 × 10
                                3
    ∴a3·a6·a9·…·a30=a130·(q     )  2
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          27
    =(2-  2 ×22)10×(23)45=220.

                                                           2
    5.已知{an}为公比      q>1 的等比数列,若       a2 015 和 a2 016 是方程 4x -8x+3=0 的两根,

则  a2 017+a2 018 的值是______.
    解析:设等比数列的公比为            q.

                            2
    因为  a2 015 和 a2 016 是方程 4x -8x+3=0 的两个根,
                                    3

    所以  a2 015+a2 016=2,a2 015·a2 016=4,

    所以  a2 015(1+q)=2 ,①
                 3

    a2 015·a2 015q=4,②
        ①
    故由②2   得,
              22
    1+q2    3  16
       q    = 4 = 3 .
    又因为   q>1,解得    q=3,

                            2         3
    所以  a2 017+a2 018=a2 015·q +a2 015·q .

                   2     2
    =a2 015(1+q)·q  =2×3  =18.
    答案:18

    6.已知-7,a1,a2,-1       四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1               五个实数成等
          a2-a1
比数列,则       b2 =________.
                           -1--7

    解析:由题意,知        a2-a1=      3     =2,b2=(-4)×(-1)=4.又因为         b2 是等比
                                                  a2-a1    2

数列中的第三项,所以          b2 与第一项同号,即       b2=-2,所以      b2  =-2=-1.
    答案:-1

    7.已知数列{an}为等差数列,公差            d≠0,由{an}中的部分项组成的数列             ab1,

ab2,…,abn,…为等比数列,其中            b1=1,b2=5,b3=17.求数列{bn}的通项公式.

                                 2                         2
    解:依题意     a52=a1a17,即(a1+4d)  =a1(a1+16d),所以    a1d=2d ,因为    d≠0,所以
                         a5  a1+4d

a1=2d,数列{abn}的公比      q=a1=    a1 =3,

                n-1
    所以  abn=a13   ,①
                        bn+1

    又 abn=a1+(bn-1)d=     2  a1,②
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                     bn+1
                 n-1
    由①②得    a1·3   =   2  ·a1.

                               n-1
    因为  a1=2d≠0,所以     bn=2×3    -1.


                                                               *
    8.已知数列{an}满足       a1=1,a2=2,且    an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N    ).

                          *
     (1)设 bn=an+1+an(n∈N   ),求证{bn}是等比数列;

    (2)求数列{an}的通项公式.

                                                       *
    解:(1)证明:由已知得         an+1+an=3(an+an-1)(n≥2,n∈N    ),则   bn+1=3bn,

    又 b1=3,则{bn}是以     3 为首项,3    为公比的等比数列.
                        an+1   1 an  1
                   n
    (2)由 an+1+an=3  ,得3n+1+3·3n=3.
          an          1   1

    设 cn=3n,则   cn+1+3cn=3,
              1    1    1
                    (cn- )
    可得  cn+1-4=-3       4 ,
          1        1  1     1
                          -
                          (  )n-1
    又 c1=3,故   cn-4=12×     3   ,
      3n--1n

则  an=     4    .
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