网校教育资源平台

2018年高中数学第二章数列2.4等比数列学案新人教A版必修5

评价文档:
文档评论: 0

相关文档推荐

等比数列及其前n项和
免费
2018年高中数学第二章数列2.4等比数列学案新人教A版必修5
免费
2018年高中数学复习课二数列学案新人教A版必修5
免费
2018年高中数学课时跟踪检测十二等比数列的前n项和新人教A版必修5
免费
等比数列系列学案(2.4-2.5)
免费
安徽省长丰县高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用教案新人教A版必修5
免费
安徽省长丰县高中数学第二章数列2.4等比数列2.4.2等比数列的基本性质及其应用教案新人教A版必修5
免费
安徽省长丰县高中数学第二章数列2.4等比数列2.4.1等比数列的概念及通项公式教案新人教A版必修5
免费
2017-2018学年北师大版必修五 1.3.2等比数列的前n项 教案
免费
1.3.2 第3课时 等比数列前n项和性质
免费
1.3.2 第2课时 等比数列习题课
免费
1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和 课件(北师大版必修五)
免费
2.4.1等比数列的定义与通项公式
免费
等比数列及其前n项和
免费
高三数学等比数列及求和公式
免费
高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《2.5等比数列的前n项和》教案1
免费
高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《2.5等比数列的前n项和》导学案
免费
2.5等比数列前n项和公式教案
免费
2.4等比数列及其通项公式教案
免费
2015-2016学年高中数学 2.4.2等比数列的性质双基限时练 新人教A版必修5
免费

高中数学审核员

中国现代教育网
分享到:
0积分 下载
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                2.4 等比数列

                        第一课时 等比数列的概念及通项公式


     预习课本    P48~50,思考并完成以下问题   

    (1)等比数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等比数列?

    (2)等比数列的通项公式是什么?

     
    (3)等比中项的定义是什么?


     

                                    [新知初探]
    1.等比数列的定义
    如果一个数列从第        2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫
做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母                        q 表示(q≠0).
    [点睛] (1)“从第      2 项起”,也就是说等比数列中至少含有三项;
    (2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”;
                                                an            an+1
    (3)“同一常数     q”,q  是等比数列的公比,即          q=an-1(n≥2)或    q=  an  .特别注意,
q 不可以为零,当       q=1 时,等比数列为常数列,非零的常数列是特殊的等比数列.
    2.等比中项
    如果在   a 与 b 中间插入一个数       G,使  a,G,b  成等比数列,那么         G 叫做 a 与 b 的等比
中项,这三个数满足关系式            G=±   ab.
    [点睛] (1)G   是  a 与 b 的等比中项,则      a 与 b 的符号相同,符号相反的两个实数不存
在等比中项.
    G=±   ab,即等比中项有两个,且互为相反数.
    (2)当 G2=ab 时,G   不一定是    a 与 b 的等比中项.例如       02=5×0,但    0,0,5 不是等比
数列.
    3.等比数列的通项公式

                                                              n-1
    等比数列{an}的首项为        a1,公比为    q(q≠0),则通项公式为:an=a1q           .

                                    [小试身手]
    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列(  )
    (2)等比数列的首项不能为零,但公比可以为零(  )
    (3)常数列一定为等比数列(  )
    (4)任何两个数都有等比中项(  )
    解析:(1)错误,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数
列.
    (2)错误,当公比为零时,根据等比数列的定义,数列中的项也为零.
    (3)错误,当常数列不为零时,该数列才是等比数列.
    (4)错误.当两数同号时才有等比中项,异号时不存在等比中项.
    答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
    2.下列数列为等比数列的是(  )
                                         1   1  1
    A.2,22,3×22,…                      B.a,a2,a3,…
    C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…               D.0,0,0,…
    解析:选    B A、C、D    不是等比数列,A       中不满足定义,C、D        中项可为    0,不符合定
义.
                       9       1        2
    3.等比数列的首项为8,末项为3,公比为3,则这个数列的项数为(  )
    A.3                                 B.4
    C.5                                 D.6
                 1  9   2
    解析:选    B ∵3=8·(3)n-1,
      8   2        2    2
    ∴27=(3)n-1,即(3)3=(3)n-1,
    ∴n-1=3,∴n=4.

    4.已知等比数列{an}为递增数列,a1=-2,且                3(an+an+2)=10an+1,则公比    q=
________.
                                                                         1
                                2             2
    解析:设公比为       q,则  3(an+anq )=10anq,即   3q -10q+3=0,解得      q=3 或 q=3,
                                              1

又因为   a1=-2  且数列{an}为等比递增数列,所以             q=3.
          1
    答案:3
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台


                                         等比数列的通项公式


                                   1     1      1

    [典例] (1)在等比数列{an}中,a1=2,q=2,an=32,则项数                 n 为(  )
    A.3                                B.4
    C.5                                 D.6

    (2)已知等比数列{an}为递增数列,且            a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项

公式   an=________.
                                  1  1      1     1   1
                         n-1         ( )n-1      ( )n ( )5
    [解析] (1)因为     an=a1q   ,所以2×    2   =32,即    2 = 2  ,解得   n=5.
                                                1
                              2                                 9
    (2)由 2(an+an+2)=5an+1⇒2q  -5q+2=0⇒q=2     或2,由   a52=a10=a1q >0⇒a1>0,又

数列{an}递增,所以       q=2.

               4 2    9                                       n
    a52=a10⇒(a1q ) =a1q ⇒a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为           an=2  .
    [答案] (1)C (2)2n


                              等比数列通项公式的求法

    (1)根据已知条件,建立关于           a1,q 的方程组,求出       a1,q 后再求   an,这是常规方法.

    (2)充分利用各项之间的关系,直接求出                q 后,再求   a1,最后求    an,这种方法带有一
定的技巧性,能简化运算.

        
    [活学活用]

    在等比数列{an}中,

    (1)a4=2,a7=8,求    an;

    (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求       n.

    解:(1)因为Error!所以Error!
      ②
            3           3        3
    由①得    q =4,从而    q= 4,而   a1q =2,
            2   1
                                   2n5
                             n-1    3
    于是  a1=q3=2,所以     an=a1q   =2    .
    (2)法一:因为Error!
      ④       1

    由③得    q=2,从而    a1=32.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                      1
                     ( )n-1
    又 an=1,所以    32×  2   =1,
    即 26-n=20,所以    n=6.
                                       1

    法二:因为     a3+a6=q(a2+a5),所以     q=2.

              4
    由 a1q+a1q =18,得    a1=32.

             n-1
    由 an=a1q   =1,得    n=6.


                                              等比中项

                                   1

    [典例] (1)在等比数列{an}中,a1=8,q=2,则              a4 与 a8 的等比中项是(  )
    A.±4                               B.4
         1                              1
    C.±4                               D.4
    (2)已知  b 是 a,c  的等比中项,求证:ab+bc         是  a2+b2 与 b2+c2 的等比中项.
                     1
                         n-1  n-4               4
    [解析] (1)由    an=8×2    =2    知,a4=1,a8=2     ,所以   a4 与 a8 的等比中项为±4.
    答案:A
    (2)证明:因为     b 是 a,c 的等比中项,
    所以  b2=ac,且   a,b,c   均不为零,
    又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+
2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2),
    即 ab+bc  是 a2+b2 与 b2+c2 的等比中项.


                          G   b
    (1)由等比中项的定义可知          a =G⇒G2=ab⇒G=±     ab,所以只有     a,b 同号时,a,b     的
等比中项有两个,异号时,没有等比中项.
    (2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和
后一项的等比中项.
    (3)a,G,b  成等比数列等价于        G2=ab(ab>0).

        
    [活学活用]
    1.如果-1,a,b,c,-9         成等比数列,那么(  )
    A.b=3,ac=9                          B.b=-3,ac=9
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    C.b=3,ac=-9                         D.b=-3,ac=-9
    解析:选    B 因为    b2=(-1)×(-9)=9,且      b 与首项-1    同号,
    所以  b=-3,且     a,c 必同号.
    所以  ac=b2=9.

    2.已知等比数列{an}的前三项依次为             a-1,a+1,a+4,则       an=________.
    解析:由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4),

    解得  a=5,所以     a1=4,a2=6,
           a2  6  3
    所以  q=a1=4=2,
                3
               ( )n-1
    所以  an=4×   2   .
             3
    答案:4×(2)n-1

                                                       等比数列的判定与证明


                                                   *
    [典例] 在数列{an}中,若         an>0,且 an+1=2an+3(n∈N   ).证明:数列{an+3}是等比
数列.
    证明:[法一 定义法]

    ∵an>0,∴an+3>0.

    又∵an+1=2an+3,
      an+1+3   2an+3+3   2an+3
    ∴  an+3  =   an+3  =   an+3   =2.

    ∴数列{an+3}是首项为        a1+3,公比为    2 的等比数列.
    [法二 等比中项法]

    ∵an>0,∴an+3>0.

    又∵an+1=2an+3,

    ∴an+2=4an+9.

    ∴(an+2+3)(an+3)

    =(4an+12)(an+3)

             2
    =(2an+6)

              2
    =(an+1+3)  .

    即 an+3,an+1+3,an+2+3    成等比数列,

    ∴数列{an+3}是等比数列.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台


                           证明数列是等比数列常用的方法
               an+1                      an

    (1)定义法:     an =q(q  为常数且    q≠0)或an-1=q(q    为常数且    q≠0,n≥2)⇔{an}为
等比数列.

                                            *
    (2)等比中项法:an+2     1=an·an+2(an≠0,n∈N    )⇔{an}为等比数列.

     
    [活学活用]

    (1)已知各项均不为       0 的数列{an}中,a1,a2,a3     成等差数列,a2,a3,a4       成等比数列,

a3,a4,a5 的倒数成等差数列,证明:a1,a3,a5             成等比数列.
                                                        (1)
    (2)已知数列{an}是首项为        2,公差为-1     的等差数列,令       bn= 2 an,求证数列{bn}是
等比数列,并求其通项公式.

    证明:(1)由已知,有        2a2=a1+a3,①

    a32=a2·a4,②
    2   1   1
    a4=a3+a5.③
          2   a3+a5          2a3·a5

    由③得a4=    a3·a5 ,所以  a4=a3+a5.④
              a1+a3

    由①得   a2=   2  .⑤
                        a1+a3  2a3·a5
    将④⑤代入②,得        a32=  2  ·a3+a5.
          a1+a3a5

    ∴a3=    a3+a5   ,即  a3(a3+a5)=a5(a1+a3).

    化简,得    a32=a1·a5.又  a1,a3,a5 均不为   0,所以   a1,a3,a5  成等比数列.

    (2)依题意   an=2+(n-1)×(-1)=3-n,
             1
            ( )3-n
    于是  bn=  2   .
             1
               3-n
             (2)
       bn    1       1
               4-n
    而bn-1=(2)     =(2)-1=2.

                                                  n-3
    ∴数列{bn}是公比为       2 的等比数列,通项公式为          bn=2   .
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                               层级一 学业水平达标
    1.2+   3和 2-  3的等比中项是(  )
    A.1                                B.-1
    C.±1                                D.2
    解析:选    C 设   2+  3和 2-  3的等比中项为      G,
    则 G2=(2+   3)(2-  3)=1,
    ∴G=±1.

    2.在首项    a1=1,公比    q=2  的等比数列{an}中,当       an=64 时,项数    n 等于(  )
    A.4                                 B.5
    C.6                                 D.7

                          n-1          n-1        n-1   6
    解析:选    D 因为    an=a1q  ,所以    1×2   =64,即   2   =2  ,得  n-1=6,解得     n=
7.

    3.设等差数列{an}的公差         d 不为 0,a1=9d,若    ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则     k 等于(  
)
    A.2                                 B.4
    C.6                                 D.8

    解析:选    B ∵an=(n+8)d,又∵ak2=a1·a2k,
    ∴[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,
    解得  k=-2(舍去)或      k=4.

    4.等比数列{an}的公比为         q,且|q|≠1,a1=-1,若       am=a1·a2·a3·a4·a5,则
m 等于(  )
    A.9                                 B.10
    C.11                                D.12

                                              2    3    4      10     10
    解析:选    C ∵a1·a2·a3·a4·a5=a1·a1q·a1q      ·a1q  ·a1q =a15·q  =-q   ,am=

   m-1    m-1
a1q  =-q     ,
    ∴-q10=-qm-1,∴10=m-1,∴m=11.

    5.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则            an 等于(  )
    A.(-2)n-1                           B.-(-2n-1)
    C.(-2)n                             D.-(-2)n

                               4
    解析:选    A 设公比为     q,则   a1q =-8a1q,

                        3
    又 a1≠0,q≠0,所以      q =-8,q=-2,

    又 a5>a2,所以    a2<0,a5>0,

                                   n-1
    从而  a1>0,即   a1=1,故   an=(-2)    .

    6.等比数列{an}中,a1=-2,a3=-8,则            an=________.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

            a3           -8
    解析:∵a1=q2,∴q2=-2=4,即           q=±2.

                       n-1           n-1       n
    当 q=-2   时,an=a1q    =-2×(-2)       =(-2)  ;

                     n-1       n-1     n
    当 q=2  时,an=a1q    =-2×2      =-2  .
    答案:(-2)n    或-2n
                                            1                  a8+a9

    7.已知等比数列{an}的各项均为正数,且               a1,2a3,2a2 成等差数列,则a6+a7=
________.
                    1
                                                       2
    解析:由题设      a1,2a3,2a2 成等差数列可得      a1+2a2=a3,即   q -2q-1=0,所以      q=
       a8+a9  a81+q
 2+1,a6+a7=a61+q=q2=3+2        2.
    答案:3+2     2
    8.已知三个数成等比数列,其积为               512,如果第一个数与第三个数各减去              2,则此时
的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于________.
                                   a
    解析:依题意设原来的三个数依次为q,a,aq.
      a
    ∵q·a·aq=512,∴a=8.
    又∵第一个数与第三个数各减去              2 后的三个数成等差数列,
       a
        -2
    ∴(q   )+(aq-2)=2a,
                                1
    ∴2q2-5q+2=0,∴q=2       或 q=2,
    ∴原来的三个数为        4,8,16 或 16,8,4.
    ∵4+8+16=16+8+4=28,
    ∴原来的三个数的和等于           28.
    答案:28
    9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为                  48,后三个成等比数列,积为            8 000,求
这四个数.
    解:设前三个数分别为          a-d,a,a+d,则有
    (a-d)+a+(a+d)=48,即       a=16.
                    b
    设后三个数分别为q,b,bq,则有
    b
    q·b·bq=b3=8 000,即      b=20,
    ∴这四个数分别为        m,16,20,n,
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                          202
    ∴m=2×16-20=12,n=       16 =25.
    即所求的四个数分别为          12,16,20,25.

    10.已知递增的等比数列{an}满足           a2+a3+a4=28,且    a3+2 是  a2 和 a4 的等差中项,

求  an.

    解:设等比数列{an}的公比为          q.依题意,知      2(a3+2)=a2+a4,

    ∴a2+a3+a4=3a3+4=28,

    ∴a3=8,a2+a4=20,
      8                        1
    ∴q+8q=20,解得      q=2 或  q=2(舍去).
          a3
                       n
    又 a1=q2=2,∴an=2     .

                               层级二 应试能力达标
                                               2a1+a2

    1.设  a1,a2,a3,a4  成等比数列,其公比为          2,则2a3+a4的值为(  )
      1                                  1
    A.4                                B.2
      1
    C.8                                 D.1
                       2a1+a2     1   1
    解析:选    A 原式=q22a1+a2=q2=4.
                                1

    2.在等比数列{an}中,已知          a1=3,a5=3,则    a3=(  )
    A.1                                 B.3
    C.±1                                D.±3
                                                              1
                          4          4        2            2
    解析:选    A 由   a5=a1·q =3,所以     q =9,得   q =3,a3=a1·q   =3×3=1.

    3.设  a1=2,数列{1+2an}是公比为        3 的等比数列,则       a6 等于(  )
    A.607.5                             B.608
    C.607                               D.159

                                   n-1
    解析:选    C ∵1+2an=(1+2a1)×3        ,
                         5 × 243-1
                 5
    ∴1+2a6=5×3    ,∴a6=      2    =607.
    4.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行
数成等比数列,而且每一行的公比都相等,
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                        1
                                        4
                                        1  1
                                        2,4
                                        3  3  3
                                        4,8,16
                                        …

                                  *
    记第  i 行第  j 列的数为    aij(i,j∈N  ),则  a53 的值为(  )
      1                                 1
    A.16                               B.8
      5                                 5
    C.16                               D.4
                               1       1                     1         1  5

    解析:选    C 第一列构成首项为4,公差为4的等差数列,所以                    a51=4+(5-1)×4=4.
又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第                                5 行构成首项
  5        1                    5  1    5
                                   ( )2
为4,公比为2的等比数列,所以             a53=4× 2  =16.

    5.若数列{an}的前      n 项和为   Sn,且  an=2Sn-3,则{an}的通项公式是________.

    解析:由    an=2Sn-3  得 an-1=2Sn-1-3(n≥2),两式相减得        an-an-1=2an(n≥2),
                        an

    ∴an=-an-1(n≥2),an-1=-1(n≥2).

    故{an}是公比为-1      的等比数列,

                                               n-1
    令 n=1  得 a1=2a1-3,∴a1=3,故      an=3·(-1)     .

                     n-1
    答案:an=3·(-1)

    6.在等差数列{an}中,a1=2,a3=6,若将            a1,a4,a5  都加上同一个数,所得的三个
数依次成等比数列,则所加的这个数为________.

    解析:设等差数列{an}的公差为           d,所求的数为       m,则Error!∴d=2,∴a4=8,a5=

                                            2                        2
10,∵a1+m,a4+m,a5+m      成等比数列,∴(a4+m)        =(a1+m)(a5+m),即(8+m)     =(2+
m)(10+m),解得    m=-11.
    答案:-11

    7.已知数列{an}的前       n 项和  Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列.

    证明:∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1.

    ∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.
            1

    ∴an+1=2an.

    又∵S1=2-a1,

    ∴a1=1≠0.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

              1

    又由  an+1=2an 知 an≠0,
      an+1  1
    ∴  an  =2.

    ∴数列{an}是等比数列.


    8.已知数列{an}是各项为正数的等比数列,且                 a2=9,a4=81.

    (1)求数列{an}的通项公式        an;

    (2)若 bn=log3an,求证:数列{bn}是等差数列.

    解:(1)求数列{an}的公比为         q,
                         a4  81
                      2
    ∵a2=9,a4=81.则    q =a2=  9 =9,

    又∵an>0,∴q>0,∴q=3,

                    n-2      n-2  n      *
    故通项公式     an=a2q   =9×3    =3  ,n∈N  .

                          n                  n
    (2)证明:由(1) 知     an=3 ,∴bn=log3an=log33   =n,

                                      *
    ∴bn+1-bn=(n+1)-n=1(常数),n∈N         ,故数列{bn}是一个公差等于          1 的等差数
列.


                             第二课时 等比数列的性质


   预习课本     P53 练习第   3、4 题,思考并完成以下问题 

    等比数列项的运算性质是什么?

     


                                    [新知初探]
                                  等比数列的性质

    (1)若数列{an},{bn}是项数相同的等比数列,则{an·bn}也是等比数列.特别地,若

{an}是等比数列,c      是不等于    0 的常数,则{c·an}也是等比数列.

    (2)在等比数列{an}中,若        m+n=p+q,则     aman=apaq.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台


    (3)数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项的
积.

    (4)在等比数列{an}中,每隔         k 项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比
数列,公比为      qk+1.

                           *
    (5)当 m,n,p(m,n,p∈N      )成等差数列时,am,an,ap       成等比数列.

                                    [小试身手]
    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(  )

    (2)当 q>1 时,{an}为递增数列(  )

    (3)当 q=1  时,{an}为常数列(  )
    解析:(1)正确,根据等比数列的定义可以判定该说法正确.

    (2)错误,当    q>1,a1>0 时,{an}才为递增数列.
    (3)正确,当    q=1  时,数列中的每一项都相等,所以为常数列.
    答案:(1)√ (2)× (3)√

    2.由公比为     q 的等比数列     a1,a2,…依次相邻两项的乘积组成的数列                a1a2,a2a3,

a3a4,…是(  )
    A.等差数列
    B.以  q 为公比的等比数列
    C.以  q2 为公比的等比数列
    D.以  2q 为公比的等比数列
                   an+1an+2   an+2
    解析:选    C 因为     anan+1 =   an =q2 为常数,所以该数列为以          q2 为公比的等比数
列.

    3.已知等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则            a8 的值为(  )
    A.35                               B.63
    C.21  3                            D.±21   3

    解析:选    B ∵{an}成等比数列.

    ∴a4,a6,a8  成等比数列
                       212

    ∴a62=a4·a8,即   a8=  7 =63.

    4.在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,则                 a4+a8=
________.

    解析:∵a6a10=a82,a3a5=a42,
    ∴a42+a82=41,

    又 a4a8=4,
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

             2
    ∴(a4+a8)  =a42+a82+2a4a8=41+8=49,
    ∵数列各项都是正数,

    ∴a4+a8=7.
    答案:7


                                           等比数列的性质


    [典例] (1)在    1 与 100 之间插入    n 个正数,使这     n+2  个数成等比数列,则插入的
n 个数的积为(  )
    A.10n                              B.n10
    C.100n                              D.n100

                                            65
    (2)在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=2         ,则  a7 等于________.

    [解析] (1)设这     n+2 个数为    a1,a2,…,an+1,an+2,
                              n       n
                                           n
    则 a2·a3·…·an+1=(a1an+2)2=(100)2=10     .

                            5  65            13
    (2)因为  a1a2a3…a10=(a3a8) =2 ,所以    a3a8=2 ,

                   4          9
    又因为   a3=16=2  ,所以    a8=2 .

                 5
    因为  a8=a3·q  ,所以   q=2.
            a8

    所以  a7= q =256.
    [答案] (1)A (2)256


    有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出基本量                           a1 和 q 的方程组,先

解出   a1 和 q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题,却
简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项的“下标”的指导作用.

        
    [活学活用]

    1.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则              a1+a10=(  )
    A.7                                 B.5
    C.-5                                D.-7

    解析:选    D 因为数列{an}为等比数列,
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台


    所以  a5a6=a4a7=-8,联立Error!

    解得Error!或Error!
              1
    所以  q3=-2或   q3=-2,
              a4
                       3
    故 a1+a10=q3+a7·q   =-7.

    2.已知等比数列{an}的公比为正数,且              4a2a8=a42,a2=1,则   a6=(  )
      1                                   1
    A.8                                 B.16
      1                                   1
    C.32                                D.64
                                            1             1
                                                       4
    解析:选    B 由   4a2a8=a42,得 4a52=a42,∴q=2,∴a6=a2q    =16.

                                      灵活设元求解等比数列问题


    [典例] (1)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去                     1,1,4,13 成等差数列,则这
四个数的和是________.
    (2)有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为                      216,后三个数成等差数列,
且它们之和为      12,求这四个数.
    [解析] (1)设这四个数分别为           a,aq,aq2,aq3,则    a-1,aq-1,aq2-4,aq3-
13 成等差数列.即

    Error!
    整理得Error!解得    a=3,q=2.因此这四个数分别是           3,6,12,24,其和为    45.
    [答案] 45
                            a
    (2)解:法一:设前三个数为q,a,aq,
      a
    则q·a·aq=216,
    所以  a3=216.所以   a=6.
                  6
    因此前三个数为q,6,6q.
    由题意知第     4 个数为   12q-6.
                                  2
    所以  6+6q+12q-6=12,解得       q=3.
    故所求的四个数为        9,6,4,2.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                              1                1
    法二:设后三个数为         4-d,4,4+d,则第一个数为4(4-d)2,由题意知4(4-d)2×(4-
d)×4=216,解得     4-d=6.所以    d=-2.故所求得的四个数为           9,6,4,2.


                              几个数成等比数列的设法
                          a
    (1)三个数成等比数列设为q,a,aq.
    推广到一般:奇数个数成等比数列设为:
       a  a
    …q2,q,a,aq,aq2…
    (2)四个符号相同的数成等比数列设为:
     a  a
    q3,q,aq,aq3.
    推广到一般:偶数个符号相同的数成等比数列设为:
       a  a   a
    …q5,q3,q,aq,aq3,aq5…
    (3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为:a,aq,aq2,aq3.

    [活学活用]
    在 2 和 20 之间插入两个数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的
两个数的和为(  )
            35                                35
    A.-4  或  2                          B.4 或 2
                                            1
    C.4                                 D.172
                                                      a2
    解析:选    B 设插入的第一个数为          a,则插入的另一个数为          2 .
         a2                    a2
    由 a,  2 ,20 成等差数列得      2× 2 =a+20.
    ∴a2-a-20=0,解得       a=-4  或 a=5.
                                      a2
    当 a=-4   时,插入的两个数的和为           a+ 2 =4.
                                    a2 35
    当 a=5  时,插入的两个数的和为           a+ 2 = 2 .

                                       等比数列的实际应用问题
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    [典例] 某工厂      2016 年 1 月的生产总值为       a 万元,计划从     2016 年 2 月起,每月生产
总值比上一个月增长         m%,那么到    2017 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元?

    [解] 设从    2016 年 1 月开始,第     n 个月该厂的生产总值是         an 万元,则   an+1=an+

anm%,
      an+1
    ∴  an  =1+m%.

                                                               n-1
    ∴数列{an}是首项      a1=a,公比    q=1+m%的等比数列.∴an=a(1+m%)            .

                                              20-1         19
    ∴2017 年  8 月底该厂的生产总值为         a20=a(1+m%)    =a(1+m%)   (万元).


    数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系,建立数学模型是解决
这类问题的核心,常用的方法有:①构造等差、等比数列的模型,然后用数列的通项公式
或求和公式解;②通过归纳得到结论,再用数列知识求解.


     [活学活用]
     如图,在等腰直角三角形            ABC    中,斜边     BC=2 2.过点 

A 作 BC  的垂线,垂足为       A1  ;过点    A1 作  AC 的垂线,垂足为 

A2;过点   A2  作 A1C  的垂线,垂足为       A3  ;…,依此类推.设

BA=a1 ,AA1=a2  , A1A2=a3 ,…, A5A6=a7 ,则 a7=________.

    解析:等腰直角三角形          ABC 中,斜边    BC=2  2,所以   AB=AC=a1=2,AA1=a2=     2,
                    π      2        2              2   1
                                  (  )n          (  )6
…,An-1An=an+1=sin4·an=     2 an=2×  2 ,故   a7=2×  2  =4.
          1
    答案:4


                               层级一 学业水平达标
    1.等比数列     x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(  )
    A.-24                              B.0
    C.12                                D.24
    解析:选    A 由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即          x2+4x+3=0,解得     x=-3   或 x=-
1(舍去),所以等比数列的前           3 项是-3,-6,-12,则第四项为-24.

    2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(  )

    A.a1,a3,a9  成等比数列                   B.a2,a3,a6 成等比数列
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台


    C.a2,a4,a8  成等比数列                   D.a3,a6,a9 成等比数列
                                        a6  a9
    解析:选    D 设等比数列的公比为          q,因为a3=a6=q3,

    即 a62=a3a9,所以   a3,a6,a9 成等比数列.故选        D.
                                                          a5

    3.在正项等比数列{an}中,an+11 的等比数列,若      a4,a5 是方程   4x -8x+3=0   的两根,则

a6+a7=________.
                      1     3       a5

    解析:由题意得       a4=2,a5=2,∴q=a4=3.
                        1  3
                         +
                     2  (   )   2
    ∴a6+a7=(a4+a5)q   = 2  2 ×3 =18.
    答案:18
    8.画一个边长为       2 厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第                     2 个正方形,以
第  2 个正方形的对角线为边画第           3 个正方形,这样一共画了          10 个正方形,则第       10 个正方
形的面积等于________平方厘米.

    解析:这    10 个正方形的边长构成以          2 为首项,    2为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,
n∈N*),
    则第  10 个正方形的面积       S=a120=22·29=211=2 048.
    答案:2 048

    9.在由实数组成的等比数列{an}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求                   q.
    解:法一:由条件得

    Error!

    由②得   a73=512,即   a7=8.
    将其代入①得      2q8-5q4+2=0.

            1                 1
    解得  q4=2或  q4=2,即   q=±4  2或 q=±4  2.

    法二:∵a3a11=a2a12=a72,

    ∴a73=512,即   a7=8.

    于是有Error!

                     2
    即 a3 和 a11 是方程  x -20x+64=0   的两根,解此方程得         x=4 或 x=16.

    因此Error!或Error!

                 8
    又∵a11=a3·q   ,
           a11 1     1             1 1    1
    ∴q=±(   a3 )8=±48=±4  2或  q=±(4)8=±4   2 .

    10.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列

{an}的通项公式.

    解:∵a1a5=a32,a3a7=a52,

    ∴由题意,得      a32-2a3a5+a52=36,

    同理得   a32+2a3a5+a52=100,
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    ∴Error!即Error!

    解得Error!或Error!

    分别解得Error!或Error!

           n-2      6-n
    ∴an=2    或  an=2   .
                               层级二 应试能力达标

    1.在等比数列{an}中,Tn       表示前   n 项的积,若     T5=1,则(  )

    A.a1=1                             B.a3=1

    C.a4=1                              D.a5=1

    解析:选    B 由题意,可得       a1·a2·a3·a4·a5=1,即(a1·a5)·(a2·a4)·a3=1,又

a1·a5=a2·a4=a32,所以     a35=1,得  a3=1.

    2.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且                 b7=a7,则   b5+b9 等于
(  )
    A.2                                 B.4
    C.8                                 D.16

    解析:选    C 等比数列{an}中,a3a11=a72=4a7,解得         a7=4,等差数列{bn}中,b5+

b9=2b7=2a7=8.

    3.在各项均为正数的等比数列{bn}中,若               b7·b8=3,则    log3b1+log3b2+…+

log3b14 等于(  )

    A.5                                 B.6
    C.7                                 D.8

                                                                   7
    解析:选    C log3b1+log3b2+…+log3b14=log3 (b1b2…b14)=log3 (b7b8)   =7log33=
7.

                                                                    30
    4.设各项为正数的等比数列{an}中,公比               q=2,且   a1·a2·a3·…·a30=2      ,则

a3·a6·a9·…·a30=(  )
    A.230                               B.210
    C.220                               D.215

                                     30
    解析:选    C ∵a1·a2·a3·…·a30=2       ,
                             29 × 30
    ∴a310·q1+2+3+…+29=a310·q    2  =230,
            27

    ∴a1=2-   2 ,
                                 9 × 10
                                3
    ∴a3·a6·a9·…·a30=a130·(q     )  2
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

          27
    =(2-  2 ×22)10×(23)45=220.

                                                           2
    5.已知{an}为公比      q>1 的等比数列,若       a2 015 和 a2 016 是方程 4x -8x+3=0 的两根,

则  a2 017+a2 018 的值是______.
    解析:设等比数列的公比为            q.

                            2
    因为  a2 015 和 a2 016 是方程 4x -8x+3=0 的两个根,
                                    3

    所以  a2 015+a2 016=2,a2 015·a2 016=4,

    所以  a2 015(1+q)=2 ,①
                 3

    a2 015·a2 015q=4,②
        ①
    故由②2   得,
              22
    1+q2    3  16
       q    = 4 = 3 .
    又因为   q>1,解得    q=3,

                            2         3
    所以  a2 017+a2 018=a2 015·q +a2 015·q .

                   2     2
    =a2 015(1+q)·q  =2×3  =18.
    答案:18

    6.已知-7,a1,a2,-1       四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1               五个实数成等
          a2-a1
比数列,则       b2 =________.
                           -1--7

    解析:由题意,知        a2-a1=      3     =2,b2=(-4)×(-1)=4.又因为         b2 是等比
                                                  a2-a1    2

数列中的第三项,所以          b2 与第一项同号,即       b2=-2,所以      b2  =-2=-1.
    答案:-1

    7.已知数列{an}为等差数列,公差            d≠0,由{an}中的部分项组成的数列             ab1,

ab2,…,abn,…为等比数列,其中            b1=1,b2=5,b3=17.求数列{bn}的通项公式.

                                 2                         2
    解:依题意     a52=a1a17,即(a1+4d)  =a1(a1+16d),所以    a1d=2d ,因为    d≠0,所以
                         a5  a1+4d

a1=2d,数列{abn}的公比      q=a1=    a1 =3,

                n-1
    所以  abn=a13   ,①
                        bn+1

    又 abn=a1+(bn-1)d=     2  a1,②
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                     bn+1
                 n-1
    由①②得    a1·3   =   2  ·a1.

                               n-1
    因为  a1=2d≠0,所以     bn=2×3    -1.


                                                               *
    8.已知数列{an}满足       a1=1,a2=2,且    an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N    ).

                          *
     (1)设 bn=an+1+an(n∈N   ),求证{bn}是等比数列;

    (2)求数列{an}的通项公式.

                                                       *
    解:(1)证明:由已知得         an+1+an=3(an+an-1)(n≥2,n∈N    ),则   bn+1=3bn,

    又 b1=3,则{bn}是以     3 为首项,3    为公比的等比数列.
                        an+1   1 an  1
                   n
    (2)由 an+1+an=3  ,得3n+1+3·3n=3.
          an          1   1

    设 cn=3n,则   cn+1+3cn=3,
              1    1    1
                    (cn- )
    可得  cn+1-4=-3       4 ,
          1        1  1     1
                          -
                          (  )n-1
    又 c1=3,故   cn-4=12×     3   ,
      3n--1n

则  an=     4    .
0积分下载