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【全国百强校】重庆市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考数学(理)试题

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秘密★启用前

             2018  年重庆一中高          2019 级高二上期期末考试


                     数    学   试    题   卷(理科)            2018.1

    

        数学试题共   4 页。满分   150 分。考试时间    120 分钟 。

注意事项:


    1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。[来源:学_科_网][来源:学科网         ZXXK]

    2.答选择题时,必须使用       2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦

擦干净后,再选涂其他答案标号。

    3.答非选择题时,必须使用        0.5 毫米黑色签字   笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。

    4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上              答题无效。


一.选择题.(每小题      5 分,共  60 分)
1.若命题“   p  q ”为假,且“   p ”为假,则(      ) 
    A . p 且 q 为真          B . q 假          C . q 真          D . p 假

2.当函数   y  xAex 取极小值时,    x  (   )

     A . 2                B . 2           C .1             D .   1

3.若抛物线    y2  4x 上的点  M 到焦点的距离为10,则          M 到  y 轴的距离为(       )

    A .8                  B .9             C .10            D .11

4.设 a  R ,函数  f (x)  ex  aAex 的导函数是 f (x) ,且 f (x) 是奇函数,则 a 的值为(     )
                               1               1
    A .1                 B .              C .              D . 1
                               2               2
5.设平面    与平面    相交于直线l     ,直线   a 在平面    内,直线b    在平面     内,且b    l ,

则“ a  b ”是“   ”的(   )

    A .充分不必要条件            B .必要不充分条件  
    C .充要条件               D .既不充分也不必要条件
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              x2   y2
6.已知  P 是椭圆         1(0  b  5) 上除顶点外的一点,      F 是椭圆的左焦点,若
              25  b2                               1

 1  
  (OP  OF )  4 ,则点 P 到该椭圆左焦点的距离为(              )
 2        1
                                                                5
    A . 6                B . 4             C . 2            D .
                                                                2
                                                                
7.在三棱锥    P  ABC 中,  PA  底面  ABC ,  D 是 PC 的中点,已知      BAC    , AB  2 ,
                                                                 2
 AC  2 3, PA  2,则异面直线     BC 与 AD 所成角的余弦值为(           )
       3                    3                  1               1
   A .                  B .                C .             D .
       4                    8                  4               8
8.已知一个棱长为       2 的正方体,被一个平面截去一部分后所
得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为(                        )

      A . 2 10             B . 2 2         

          9                   3 10
      C .                 D .
          2                     2

9.给出定义:设       f (x) 是函数 y  f x的导函数,   f (x) 是


函数   f (x) 的导函数,若    f (x) 有零点 x0 ,则称点
                                                     sin x
 x , f (x )为原函数 y  f x的“拐点”。已知函数       f x          的拐点是
  0    0                                          sin x  cos x

 M (x0 , f x0 ) ,则点 M (   )

      A .在直线    y  3x 上         B .在直线    y  3x 上       
                   1                           1
      C .在直线    y   上            D .在直线    y   上
                   3                           2
           x2  y2
10.设双曲线          1(a  0,b  0) 的右焦点为  F ,过点   F 作与  x 轴垂直的直线l      交两渐
           a2  b2

近线于    A, B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为                P ,设O  为坐标原点,若
                   3
 OP  OA  OB(,   R) , A  ,则双曲线的离心率为(            )
                               16
           2 3               3 5                3 2            9
      A .               B .               C .              D .
            3                 5                  2             8
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11.已知球O    的直径长为12,当它的内接正四棱锥的体积最大时,该四棱锥的高为(                              )  
      A . 4              B . 6              C .8           D .12
                                                ln x
12.设实数   m  0 ,若对任意的     x 0,,不等式    emx     0 恒成立,则    m 的最小值
                                                 m
为(    )
          1                  1                   2             e
     A .                B .                C .             D .      
          e                  2e                  e             3

二.填空题.(每小题      5 分,共  20 分)
       a    1
13.若   (2x  )dx  3 ln 2(a 1) ,则 a         .
     1     x
                                         
14.已知正方体      ABCD  ABC D 的棱长为     a , AM  1 MC ,点  N 为  B B 的中点,则
                      1 1 1 1                2   1          1

 MN            .

15.若函数    f x 2x2  ln x 在定义域的一个子区间k      1,k 1上不是单调函数,则实数

 k 的取值范围是           .  

              x2  y2
16.已知椭圆C     :     1(a  b  0) 的一个焦点为    F( 3,0) , A 为椭圆C   的右顶点,以
              a2  b2
                        b                        
 A 为圆心的圆     A 与直线   y  x 相交于   P,Q 两点,且    APAAQ   0,OP  3OQ ,则圆   A 的
                        a
半径为          .  

三.解答题.(共    6 小题,共   70 分)
                               3
17.(10 分)已知三次函数      f x x3  ax2  b(a,b R) .
                               2
(1)若曲线   y  f (x) 在点a 1, f (a 1)处切线的斜率为    12,求  a 的值;

(2)若 f (x) 在区间1,1上的最小值为       2 ,最大值为     1 且 a 1,求函数    f (x) 的解析式。
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18.(12 分)四棱锥   P  ABCD 的底面是边长为1的正方形,

 PA  CD, PA 1, PD  2 ,           E, F 为 PD 上两点,且          P
          1                                                        F
 PF  ED   PD .
          3                                                             E
(1)求证: BF / / 面 ACE ;
                                                                            D
(2)求 BF 与平面   PCD  所成角的正弦值。                                   A

                                                        B            C


19.(12 分)已知  F(0,1) ,直线l  : y  1, P 为平面上的动点,过点        P 作l 的垂线,垂足为
          
 Q ,且QPAQF    FPAFQ , P 点的轨迹为曲线C        .

(1)求C  的方程;

(2)若 A(0,2) ,l 为C 在 P 点处的切线,求点        A 到l 距离的最小值。
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20.(12 分)如图,四边形      ABCD 是等腰梯形,       AB //CD , ABC  60 , AB  2CB  4 ,在梯
形  ACEF 中,  EF // AC ,且 AC  2EF , EC  平面ABCD .
(1)求证:面    FEB  面CEB ;
                            
(2)若二面角    D  AF  C 的大小为    ,求几何体     ABCDEF  的体积。
                            4


                  x2  y2
21.(12 分)从椭圆C    :     1(b  0) 上一点  P 向 x 轴作垂线,垂足恰好为椭圆的左焦
                  2   b2
                                               
点  F1 , M 是椭圆的右顶点,        N 是椭圆的上顶点,且         MN  OP(  0) .

(1)求该椭圆C     的方程;


(2)不过原点的直线l       与椭圆C    交于  A, B 两点,已知OA     ,直线l   ,OB   的斜率   k1,k,k2 成等


比数列,记以OA       ,OB   为直径的圆的面积分别为           S1, S2 ,求证:  S1  S2 为定值,并求出

定值。


                                          
22. (12 分)已知  n N ,函数    fn (x)  x  nln x , fn (x) 是 fn (x) 的导函数.


(1)当 n  3时,求函数     y  f3 (x) 在0,内的零点的个数。

                                            
(2)对于  0     ,若存在   使得  fn ()  fn   fn ( )(   ) ,试比较   与 2 的大

小。
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                                                        命题人:谢凯

                                                          审题人:关毓维   周娟


             2018  年重庆一中高          2019 级高二上期期末考试


                          数   学    答     案(理科)           2018.1

一.选择题.(每小题      5 分,共  60 分)
题号      1     2    3     4     5     6     7    8     9     10   11    12

答案      B    D     B     A     B    C      A    C     D     A     C    A

二.填空题.(每小题      5 分,共  20 分)

                     21                  3               2 10
  13. 2          14.   a             15. 1,             16.         
                     6                   2                5

三.解答题.(共    70 分)
17.(10 分)

解:因为     f (x)  3x2  3ax ,

                                        2
(1)由导数的几何意义        f (a 1) =12,∴ 3(a 1)  3a(a 1)  12 ,  [来源:Zxxk.Com]

∴3a   9 ,∴  a  3. 


(2) 由  f (x)  3x(x  a)  0  得 x1  0 , x2  a ∵ x 1,1 ,且 a 1,

∴当   x 1,0时,  f (x)  0 , f (x) 递增;

  当  x 0,1时,  f (x)  0 , f (x) 递减.
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∴  f (x) 在区间1,1上的最大值为       f (0) ,
                              3          3               3       3
∵  f (0)  b ,∴b =1,∵  f (1)  1 a 1  2  a , f (1)  1 a 1   a ,
                              2          2               2       2
                                               3              4
∴  f (1)  f (1) ,∴ f (1) 是函数 f (x) 的最小值,∴   a  2 ,∴  a   ,
                                               2              3
∴  f (x) = x 3  2x 2 1.


18.(12 分)
解:(1)连   BD 交 AC 于O  ,连OE  .
                EO / /BF   
     ED  FE              
              EO  面A面CE   BF / / ACE .
     DO  BO              
                BF  面ACE
  
(2) PA  CD ,又 PA2  AD2  PD2 ,得到 PA  AD ,则  PA  面 ABCD  ,
以  A 为坐标原点.     AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴建立坐标系.
                                     1 2       2 1
则  B(1,0,0), D(0,1,0), P(0,0,1),C(1,1,0) , F(0, , ) , E(0, , ) ,
                                     3 3       3 3
  
                                  
                                        
                                n2 CP  0
设面   PCD 法向量   n2  (a2 ,b2 ,c2 ) ,则    n2  (0,1,1) ,
                                n2 CE  0

    1 2 
 BF   1, ,  ,令 BF 与平面  PCD  所成角为     ,
        3 3 

                         
                 BFAn    3 7
则sin   cos  BF,n    2  .
                  2             14
                       BF  n2


19.(12 分)

解:(1)令   P(x, y) ,则Q(x,1) ,0, y 1Ax,2 (x, y 1)Ax,2,

即  2(y 1)  x2  2(y 1) ,化简可得方程C  : x2  4y .

        x2       x
(2)由 y    得 y  ,令  P(x , y ) ,则切线l  的方程为
         4       2       0  0
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    x             x x  x2     x x           x x
 y  0 (x  x )  y  0  0  y  0  2y  y  0  y ,即 x x  2y  2y  0 ,
    2     0    0   2   2   0   2     0   0  2    0     0         0

                 4  2y       y  2    y  2            1
则  A 到l 的距离   d       0  2   0       0     y 1         2 ,
                    2          4y  4    y   1    0      y  1
                   x0  4        0      0              0 


即  y0  0 时取得最小值    2.


20.(12 分)

解:(1)证明:由已知        ABC  60 , AB  2CB  4 ,计算可得 AC  2 3,ACB  900 ,则


 AC  CB ,又 EC  平面  ABCD ,知   AC  EC ,则  AC  面 CEB ,[来源:学,科,网]

又  EF ∥ AC ,则  EF  面 CEB ,面  FEB  面CEB .

(2)因为  EC  平面  ABCD ,又由(1)知    AC  CB ,以 C 为原点,建立空间直角坐标系
                                                          
 C  xyz ,设 CE  h ,则 C(0,0,0) , A(2 3,0,0) , F( 3,0,h) , D( 3,1,0) , AD   3,1,0,
                                                   
                                          AD  An  0
             ,设平面         的法向量为              ,则        1  ,
 AF   3,0,h       DAF           n1  (x, y, z)  
                                                 AF An1  0
                                                             
                                                      n1 An2  2
n   (h, 3h, 3) ,又平面  AFC 的法向量为     n  (0,1,0) ,所以 cos450     ,
   1                                   1                           2
                                                            n1 An2
         6          6
解得   h   ,即   CE    ,此几何体由四棱锥         D  ACEF 和四棱锥    B  ACEF 组成,
        2           2
                1   1             6  1    1             6  9  2
故几何体体积V         1    3  2 3      2   3  2 3       .
                3   2           2  3    2           2    4
21.(12 分)

                                                  1
                    b2                      1
解:(1)由题可知      P(c,   ) ,由 MN   OP(  0) ,可得  a   ,所以1    c,a2  2 ,
                     2                            c  a

                   x2
则该椭圆     C 的方程为        y2 1.
                    2


 (2)令l : y  kx  mm  0, A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,
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        y  kx  m
        
    由     2         1 2k 2 x2  4kmx  2m2  2  0 的两根为 x , x ,
         x   2                                       1 2
           y 1
         2

            4km        2m2  2
知  x  x       , x x       ,由    0 可得 2k 2 1 m2  0 。
   1   2   1 2k 2 1 2 1 2k 2


                        2       y1  y2  kx1  mkx2  m
又  k1,k,k2 成等比数列可知     k  k1k2                     [来源:学§科§网 Z§X§X§K]
                                x1  x2        x1x2

    2                 2                  2
   k x1x2  km(x1  x2 )  m 2 km(x1  x2 )  m             2
                        k               ,则   km(x1  x2 )  m  0 ,
            x1x2                  x1x2

                          2
       4km    2      4k            2  1
km         m  0        1  0  k  ,[来源:学#科#网]
      1 2k 2         1 2k 2           2

                2        2                           2     2
             OA       OB       2  2   2   2      x1    x2 
S1  S2               x1  y1  x2  y2  1 1 
              4        4    4                  4   2      2 
                     2    
              x1  x2          1    2 2    2          3
          2          x1x2   2   4k m  (m 1)  3  .
         4      2          4   2                 4     4


[来源:学科网 ZXXK]

22.(12 分)
                                   3  x  3
解:(1)   f (x)  x  3ln x , f (x) 1  ,
          3                3       x    x
可知   f (x) 在 0,3 单减,   3, 单增,则     y  f (x)  f (x)  3 3ln 3  0 ,
      3                              3     3  min

                2    2     2   2
又  f3 (1) 1  0, f3 (e )  e  3ln e  e  6  0 ,


 y  f3 (x) 在0,内的零点的个数为       2 个.


(2)由 fn ()  fn   fn( )(   ) 得

        f ()  f     nln    nln  n(ln   ln)
 f ( )  n   n                     1             ,
  n                                      

             2n                      nln   ln  2n
而  f (   ) 1     ,所以    f ( )  f ( )          
    n  2                 n     n  2                 
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    n       2                     2(1 t)
      ln            ,令t    ,ht ln t     ,则t  1,
                                  1 t

                                 2
        1  2(t 1)  (1 t) t 1
而  ht                        0 ,所以   ht在1,上是增函数,
         t      (t 1)2     t(t 1)2
                                                    n
则  ht h(1)  0 ,所以 f ( )  f ( )  0 ,又因为 f (x) 1 在0,上是增函数,
                      n     n  2                        x
          
所以         ,即有   2     .
          2


[来源:学,科,网 Z,X,X,K]


[来源:学科网 ZXXK][来源:学|科|网]


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