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湖北省武汉市2018届高三四月调研测试数学理试题含答案

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                       武汉市   2018 届高中毕业生四月调研测试

                                    理科数学

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题       5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.
        5
1.复数       的共轭复数是(   )
       i  2
A.  2  i            B. 2  i          C. 2  i         D. 2  i

2.已知集合    M   {x | x2 1}, N  {x | ax 1},若 N  M ,则实数   a 的取值集合为(   

)

A.{1}            B.{1,1}         C.{1,0}         D.{1,1,0}

3.执行如图所示的程序框图,如果输入的                 t [2,2] ,则输出的   S 属于(   )


A.[4,2]          B.[2,2]         C.[2,4]        D.[4,0]

4.某几何体的三视图如图所示,则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点,它们之间距离的

最大值为(   )
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A.   3              B.  6           C. 2 3          D. 2 6

5.一张储蓄卡的密码共有          6 位数字,每位数字都可以从           0 : 9 中任选一个,某人在银行自动
提款机上取钱时,忘记了密码最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过                                  2 次就按对

的概率为(   )
    2                   3                1                    1
A.                  B.                C.                  D.
    5                  10                5                   10

                                                       2           2
6.若实数   a , b 满足  a  b 1, m  loga (loga b) , n  (loga b) , l  loga b ,则 m , n ,

 l 的大小关系为(   )

A.  m  l  n          B. l  n  m        C. n  l  m          D. l  m  n

7.已知直线     y  kx 1与双曲线   x2  y2  4 的右支有两个交点,则        k 的取值范围为(   )

        5                   5                 5   5                5
A. (0,   )            B.[1,  ]          C. (   ,   )        D. (1, )
       2                   2                  2   2               2
                                                               b  c
8.在 ABC  中,角    A 、 B 、 C 的对应边分别为       a , b , c ,条件  p : a      ,条件   q :
                                                                 2
     B  C
 A       ,那么条件     p 是条件   q 成立的(   )
      2
A.充分而不必要条件                     B.必要而不充分条件

C.充要条件                             D.既不充分也不必要条件
        1
9.在 (x   1)6 的展开式中,含      x5 项的系数为(   )
         x
A. 6                   B. 6            C. 24                 D. 24

10.若  x , y 满足  x 1  2 y 1  2 ,则 M  2x2  y2  2x 的最小值为(   )

                          2                                      4
A. 2                  B.               C. 4                 D. 
                          11                                     9
                       
11.函数   f (x)  2sin(x  )(  0) 的图象在[0,1] 上恰有两个最大值点,则           的取值范围
                        3
为(   )
                              9            13  25                25
A.[2  ,4 ]             B.[2 , )       C.[    ,   )        D.[2 ,   )
                               2             6    6                  6
12.过点  P(2,1) 作抛物线    x2  4y 的两条切线,切点分别为          A , B , PA ,  PB 分别交   x 轴

于  E , F 两点,   O 为坐标原点,则       PEF  与 OAB  的面积之比为(   )

     3                      3               1                   3
A.                      B.               C.                  D.
    2                       3               2                   4
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二、填空题:本大题共          4 小题,每小题      5 分,共   20 分. 

13.已知  sin  2cos  ,则  sin cos            .
                                                
14.已知向量    a , b , c 满足 a  b  2c  0 ,且 a 1, b  3 , c  2 ,则
           
 a b  2a c  2bc            .
               
15.已知  x (   ,  ) , y  f (x) 1为奇函数,   f '(x)  f (x) tan x  0 ,则不等式
             2  2
 f (x)  cos x 的解集为          .

16.在四面体    ABCD   中,  AD  DB   AC  CB 1,则四面体体积最大时,它的外接球半
径  R            .

三、解答题:共       70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第                    17 题~第   21 题为必

考题,每个试题考生都必须作答.第               22 题~第   23 题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共        60 分.

                                            2n 1
17.已知正数数列{an}满足:         a1  2 , an  an1       2 (n  2) .
                                           an  an1


(1)求   a2 , a3 ;

                             2   2
(2)设数列{bn}满足       bn  (an 1)  n ,证明:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通


项  an .


18.如图,在棱长为       3 的正方体    ABCD   A1B1C1D1 中, E , F 分别在棱    AB  , CD 上,且

 AE  CF 1.


(1)已知    M  为棱  DD1 上一点,且     D1M  1,求证:     B1M  平面   A1EC1 .


(2)求直线     FC1 与平面   A1EC1 所成角的正弦值.
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                x2  y2
19.已知椭圆     :        1,过点    P(1,1) 作倾斜角互补的两条不同直线           l , l ,设 l 与椭
                4   2                                          1   2     1


圆   交于  A 、 B 两点,   l2 与椭圆  交于  C ,  D 两点.

(1)若   P(1,1) 为线段  AB  的中点,求直线       AB 的方程;

            AB
(2)记         ,求    的取值范围.
           CD

20.在某市高中某学科竞赛中,某一个区                4000 名考生的参赛成绩统计如图所示.


(1)求这    4000 名考生的竞赛平均成绩          x (同一组中数据用该组区间中点作代表);

(2)由直方图可认为考生竞赛成绩               z 服正态分布    N(,  2 ) ,其中  ,  2 分别取考生的平

均成绩    x 和考生成绩的方差       s2 ,那么该区    4000 名考生成绩超过84.41分(含84.81分)的人

数估计有多少人?

(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况,现从全市参赛考

生中随机抽取      4 名考生,记成绩不超过84.81分的考生人数为                 ,求  P(  3) .(精确到

 0.001 )

附:①   s2  204.75 ,  204.75 14.31;

②  z : N(, 2 ) ,则 P(   z    )  0.6826 , P(  2  z    2 )  0.9544 ;


③ 0.84134  0.501.

21.已知函数     f (x)  xex  a(ln x  x) , a  R .

(1)当   a  e 时,求   f (x) 的单调区间;
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(2)若    f (x) 有两个零点,求实数       a 的取值范围.

(二)选考题:共        10 分.请考生在     22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一

题记分.作答时请写清题号.

22.[选修   4-4:坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系        xOy 中,以坐标原点       O 为极点,    x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,             l 的极

                                              x  3cos
坐标方程为     (cos  2sin ) 10 , C 的参数方程为               (  为参数,     R ).
                                              y  2sin

(1)写出    l 和 C 的普通方程;

(2)在   C 上求点   M  ,使点   M  到 l 的距离最小,并求出最小值.

23.[选修   4-5:不等式选讲]

已知   f (x)  ax  2  x  2 .

(1)在   a  2 时,解不等式      f (x) 1;

(2)若关于     x 的不等式    4  f (x)  4 对 x  R 恒成立,求实数    a 的取值范围.
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                                理科数学参考答案

一、选择题

1-5: BDABC      6-10: BDABD     11、12:CC

二、填空题

     2                                                    15
13.            14. 13           15. (0, )            16. 
     5                                  2                  6

三、解答题

                         3
17.(1)由已知     a2  a1        2 ,而 a1  2 ,
                      a2  a1

    2   2                    2
∴  a2  2  3 2(a2  2) ,即 a2  2a2  3  0 .


而  a2  0 ,则 a2  3 .

               5
又由  a3  a2        2 , a2  3 ,
             a3  a2

    2                      2
∴  a3  9  5  2(a3  3) ,即 a3  2a3 8  0 .


而  a3  0 ,则 a3  4 .


∴  a2  3 , a3  4 .

                      2   2
(2)由已知条件可知:          an  an1  2(an  an1)  2n 1,

         2         2   2        2
∴ (an 1)  (an1 1)  n  (n 1) ,

         2   2         2        2
则 (an 1)  n  (an1 1)  (n 1)

             2   2
    (a3 1)  2

         2  2
  (a2 1) 1

  0 ,

             2   2
而 bn  (an 1)  n ,


∴ bn  0 ,数列{bn}为等差数列.
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       2   2
∴ (an 1)  n .而 an  0 ,


故 an  n 1.


18.解:(1)过   M 作 MT  AA1 于点T ,连 B1T ,则 A1T 1.


易证:  AA1E  A1B1T ,于是 AA1E  A1B1T .

                                     
由 A1B1T  A1TB1  90 ,知 AA1E  A1TB1  90 ,


∴ A1E  B1T .


显然  MT  面 AA1B1B ,而 A1E  面 AA1B1B ,


∴ MT  A1E ,又 B1T  MT  T ,


∴ A1E  面 MTB ,∴ A1E  MB1 .


连 B1D1 ,则 B1D1  A1C1 .


又 D1M  A1C1 , B1D1  D1M  D1 ,


∴ A1C1  面 MD1B1 ,


∴ A1C1  MB1 .


由 A1E  MB1 , A1C1  MB1 , A1E  A1C1  A1 ,


∴ B1M  面 A1EC1 .


(2)在  D1C1 上取一点 N ,使  ND1 1,连接  EF .


易知  A1E/ /FN .

∴V       V     V
   A1 EFC1 N EFC1 ENFC1
  1         1 1
   S  3   (  23)3  3.
  3  NFC1  3 2

对于  A1EC1 , A1C1  3 2 , A1E  10 ,


而 EC1  22 ,

                      10 18  22 1
由余弦定理可知     cosEAC                .
                  1 1 2 10 3 2  20
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                1                 1           19  3
∴ A EC 的面积  S  AC   A E sin EAC  3 2  10    19 .
    1  1        2 1 1 1       1   2           20  2


由等体积法可知     F 到平面  A1EC1 之距离 h 满足

 1                 1 3                6
  S    h  V  ,则      19 h  3 ,∴ h  ,
 3 A1EC1  A1 EFC1 3 2               19


又 FC1  10 ,设 FC1 与平面 AEC1 所成角为  ,

        6 19   6    3 190
∴ sin                .
         10    190   95

19.解:(1)设直线    AB 的斜率为  k  tan ,方程为 y 1  k(x 1) ,代入 x2  2y2  4 中,


∴ x2  2[kx  (k 1)]2  4  0 .

∴ (1 2k 2 )x2  4k(k 1)x  2(k 1)2  4  0 .

判别式    [4(k 1)k]2  4(2k 2 1)[2(k 1)2  4]  8(3k 2  2k 1) .


设 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,则

       4k(k 1)
  x  x 
  1  2  2k 2 1
               .
      2(k 1)2  4
 x x 
  1 2 2k 2 1

∵ AB 中点为  (1,1) ,
  1         2k(k 1)       1
∴   (x  x )     1,则  k  .
  2  1  2   2k 2 1        2
                    1
∴直线的   AB 方程为  y 1  (x 1) ,即 x  2y 1  0 .
                    2

                     2              2
(2)由(1)知    AB   1 k x1  x2  (x1  x2 )  4x1x2

   1 k 2  8(3k 2  2k 1)
                    .
         2k 2 1

设直线的   CD 方程为  y 1  k(x 1)(k  0) .
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              1 k 2  8(3k 2  2k 1)
同理可得   CD                       .
                    2k 2 1

      AB    3k 2  2k 1
∴                  (k  0) .
     CD     3k 2  2k 1
            4k            4
∴  2 1         1          .
          2               1
        3k 1 2k     3k    2
                          k
        1
令 t  3k  ,
        k
           4
则 g(t) 1   , t (,2 3][2  3,) .
          t  2
g(t) 在 (,2 3],[2 3,) 分别单调递减,

∴ 2  3  g(t) 1 或1 g(t)  2  3 .

故 2  3   2 1或1  2  2  3 .

       6  2        6  2
即  [       ,1)  (1,    ] .
        2             2

20.解:(1)由题意知:

 中间值         45        55         65        75         85        95

  概率         0.1       0.15       0.2       0.3       0.15       0.1

∴ x  450.1 550.15  650.2  750.3 850.15  950.1  70.5 ,

∴ 4000 名考生的竞赛平均成绩       x 为 70.5 分.

(2)依题意    z 服从正态分布    N(, 2 ) ,其中   x  70.5 ,

 2  D  204.75 , 14.31,

∴ z 服从正态分布    N(, 2 )  N(70.5,14.312 ) ,

而 P(   z    )  P(56.19  z  84.81)  0.6826 ,
              1 0.6826
∴ P(z  84.81)        0.1587 .
                 2
∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为          0.1587 4000  634.8 人  634 人.

(3)全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率1             0.1587  0.8413.
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而 : B(4,0.8413) ,

                         4       4
∴ P(  3) 1 P(  4) 1 C4 0.8413 1 0.501  0.499 .

21.解:(1)定义域为:      (0,) ,

                (1 x)(xex  e)
当 a  e 时, f '(x)          .
                      x

∴ f (x) 在 (0,1) 时为减函数;在  (1,) 时为增函数.

(2)记  t  ln x  x ,则 t  ln x  x 在 (0,) 上单增,且 t  R .

∴ f (x)  xex  a(ln x  x)  et  at  g(t) .

∴ f (x) 在 x  0 上有两个零点等价于   g(t)  et  at 在 t  R 上有两个零点.

①在 a  0 时, g(t)  et 在 R 上单增,且 g(t)  0 ,故 g(t) 无零点;

②在 a  0 时, g '(t)  et  a 在 R 上单增,又 g(0) 1  0 ,

  1    1
g( )  e a 1 0 ,故 g(t) 在 R 上只有一个零点;
  a

③在 a  0 时,由 g '(t)  et  a  0 可知 g(t) 在 t  ln a 时有唯一的一个极小值

g(ln a)  a(1 ln a) .


若 0  a  e , g最小  a(1 ln a)  0 , g(t) 无零点;


若 a  e , g最小  0 , g(t) 只有一个零点;


若 a  e 时, g最小  a(1 ln a)  0 ,而 g(0) 1  0 ,
         ln x
由于  f (x)   在 x  e 时为减函数,可知:     a  e 时, ea  ae  a2 .
          x
从而  g(a)  ea  a2  0 ,

∴ g(x) 在 (0,ln a) 和 (ln a,) 上各有一个零点.

综上讨论可知:     a  e 时 f (x) 有两个零点,即所求    a 的取值范围是    (e,) .

22.解:(1)由   l :  cos   sin 10  0 ,及 x   cos , y   sin .
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∴ l 的方程为  x  2y 10  0 .

                              x2  y2
由 x  3cos , y  2sin ,消去 得      1.
                              9   4

(2)在  C 上取点  M (3cos,2sin) ,则

    3cos  4sin 10  1
d                       5cos(  ) 10 .
            5          5           0

          3
    cos  
       0  5
其中          ,
           4
   sin 
      0  5


当  0 时, d 取最小值    5 .
                   9                  8     9 8
此时 3sin  3cos   , 2sin  2cos   ,  M ( , ) .
                0  5       0       0  5     5  5
23.解:(1)在   a  2 时, 2x  2  x  2 1.

在 x 1时, (2x  2)  (x  2) 1,∴1 x  5 ;

在 x  2 时, (2x  2)  (x  2) 1, x  3 ,∴ x 无解;
                                     1      1
在 2  x 1时, (2x  2)  (x  2) 1, x   ,∴   x 1.
                                     3      3
                                1
综上可知:不等式      f (x) 1的解集为{x  |   x  5} .
                                3
(2)∵   x  2  ax  2  4 恒成立,

而 x  2  ax  2  (1 a)x ,

或 x  2  ax  2  (1 a)x  4 ,

故只需   (1 a)x  4 恒成立,或 (1 a)x  4  4 恒成立,

∴ a  1或 a 1.

∴ a 的取值为1或   1.

                                    
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