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北京市通州区2018届高考数学一模考试试题(理)含答案

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高中数学审核员

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                 通州区     2017—2018     学年度高三一模考试
                         数学(理)试卷         
                                                                     2018 年 4 月  
    本试卷分第一部分和第二部分两部分,共                  150 分.考试时间长      120 分钟.考生务必将答
案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

                    第一部分           (选择题         共  40 分)

一、选择题:本大题共          8 小题,每小题      5 分,共   40 分.在每小题给出的四个选项中,选出
    符合题目要求的一项.

   .已知全集           ,集合                   ,           ,那么             等于
  1          U  R       A  x | x 1 0 B  0,1,2     ðU A B

    A.0,1,2           B.1,2            C.0,1             D.2 

                   x  y  0,
                   
  2.已知   x , y 满足  x 1,     那么  z  2x  y 的最小值是         开始
                   
                   x  y  2,
                                                          输入  k
    A. 1             B. 0               
    C. 1               D. 2
                                                         n 1,m 1
  3.执行如右图所示的程序框图,若输出                 m 的值是   25 , 
    则输入   k 的值可以是
                                                                     是
    A.  4               B. 6                              n  k
    C.8                 D.10                               否
                                                         n  n  2   输出  m


                                   1                                  结束
                                                       m  m  n
               1          1        2
  4.设  a  log1  , b  log3 , c  3  ,那么
              3 6         2
    A.  c >b > a         B. c > a >b          C. a >b >c         D. a >c >b  
  5.“  x  R , x2  bx 1  0 成立”是“ b0,1”的
    A.充分而不必要条件                             B.必要而不充分条件      
    C.充分必要条件                               D.既不充分也不必要条件
  6.已知抛物线      y2  8x 的准线与圆心为      C 的圆  x2  y2  2x 8  0 交于 A , B 两点,那
        
    么  CA  CB 等于

    A.  2               B. 2 2              C. 2  5             D. 4 2
  7.已知四棱锥      P  ABCD  的底面   ABCD   是边长为    2 的正方形,且它的正视图如图所示,
    则该四棱锥侧视图的面积是 

    A.  4 2             B. 4                           2


                                                             2       2
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    C.  2 2             D. 2  


  8.描金又称泥金画漆,是一种传统工艺美术技艺.                     起源于战国时期,在漆器表面,用金色
    描绘花纹的装饰方法,常以黑漆作底,也有少数以朱漆为底.                           描金工作分为两道工序,
    第一道工序是上漆,第二道工序是描绘花纹.                   现甲、乙两位工匠要完成           A , B , C 三件
    原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描绘花纹.                        每道工序所需的时间(单位:
    小时)如下:
                        原料
               时间                 原料   A        原料  B       原料   C
       工序
                上漆                   9            16           10
              描绘花纹                  15            8            14
    则完成这三件原料的描金工作最少需要
    A.  43小时           B. 46 小时             C. 47 小时           D.  49 小时

                   第二部分  (非选择题                   共  110  分)

二、填空题:本大题共          6 小题,每小题      5 分,共   30 分.把答案填在答题卡上.
  9.已知复数     1 i1 ai是纯虚数,那么实数        a  _______.

                         x 1 t,
  10.若直线    l 的参数方程为              ( t 为参数),则点    P4,0到直线   l 的距离是_______.
                         y  1 t

                                                   a8
  11.已知数列an是等比数列,           a3  4 , a6  32 ,那么     _______;记数列
                                                   a6

      an  2n

    的前  n 项和为   Sn ,则  Sn  _______.

  12. 2 位教师和    4 名学生站成一排合影,要求           2 位教师站在中间,学生甲不站在两边,则

    不同排法的种数为_______(结果用数字表示).

  13.在△   ABC  中,角   A ,  B , C 的对边分别为     a , b , c ,已知   B  60 , b  4 ,
    下列判断: 

      ①若  c   3 ,则角   C 有两个解; 
           
      ②若  BC   BA 12 ,则 AC  边上的高为     3 3 ; 

      ③ a  c 不可能是   9 .    
    其中判断正确的序号是_______.

  14.设函数     f (x)  x2  acos x , a R ,非空集合 M  x | f (x)  0, xR.
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  ① M  中所有元素之和为_______;
  ②若集合    N  x | f f x 0, xR,且 M  N ,则 a 的值是_______.

三、解答题:本大题共          6 小题,共    80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本题满分      13 分)

                          x    x        2 x
    已知函数     f x sin   cos   3 cos   .
                          2    2         2
  (Ⅰ)求     f x的最小正周期;
  (Ⅱ)求     f x在区间   ,0上的最大值和最小值. 

16.(本题满分      13 分)
      作为北京副中心,通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点,也肩负
  着医治北京市“大城市病”的历史重任,因此,通州区的发展备受瞩目. 2017                              年 12 月
  25 日发布的《北京市通州区统计年鉴(2017)》显示:2016                    年通州区全区完成全社会
  固定资产投资      939.9 亿元,比上年增长        17.4%,下面给出的是通州区           2011-2016 年全
  社会固定资产投资及增长率,如图一.
                                       一 一
     一 一                                     2011-2017年全社会固定资产投资及增长率
          2011-2016年全社会固定资产投资及增长率
                                       一 一 一 一
    一 一 一 一                                                           一 一 一
                                 一 一 一 1100
     1000                     939.9 25.0
             21.7                      1000                            25.0
                                               21.7            939.9
     900 20.0
                          800.8        900 20.0
     800                          20.0                     800.8
                     687.7      17.4   800                             20.0
                 16.7                              16.7 687.7   17.4
     700                               700
                 590.8
     600               16.4 16.4  15.0 600         590.8 16.4 16.4     15.0
             506.1                            506.1
     500                               500
        415.8                             415.8
     400                          10.0 400                             10.0
     300                               300
     200                          5.0  200                             5.0
     100                               100
      0                           0.0   0                              0.0
        2011 2012 2013 2014 2015 2016     2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

              一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一           一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一

      又根据通州区统计局         2018 年 1 月 25 日发布:2017   年通州区全区完成全社会固定资
  产投资   1054.5 亿元,比上年增长        12.2%.  
  (Ⅰ)在图二中画出         2017 年通州区全区完成全社会固定资产投资(柱状图),标出增
  长率并补全折线图;
  (Ⅱ)通过计算       2011-2017 这 7 年的平均增长率约为        17.2%,现从     2011-2017 这 7 年中
  随机选取    2 个年份,记     X 为“选取的     2 个年份中,增长率高于          17.2%的年份个数”,
  求  X 的分布列及数学期望;

  (Ⅲ)设    2011-2017 这 7 年全社会固定资产投资总额的中位数为                x0 ,平均数为    x ,比较


   x0 与 x 的大小(只需写出结论).

17.(本题满分      14 分)
    如图所示的几何体中,平面            PAD   平面  ABCD  ,△PAD   为等腰直角三角形, 

  APD    90 ,四边形   ABCD  为直角梯形,      AB // DC , AB  AD  , AB  AD   2 ,

   PQ // DC , PQ  DC  1.  
                                                             P

                                                           Q
                                                     A                D

                                                                  C

                                              B
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  (Ⅰ)求证:      PD  // 平面 QBC ; 

  (Ⅱ)求二面角       Q  BC  A 的余弦值; 

  (Ⅲ)在线段      QB  上是否存在点      M ,使得

                              QM
   AM   平面  QBC  ,若存在,求           的值;若不存在,请说明理由.  
                               QB

18.(本题满分      13 分)

    已知函数     f (x)  xex , g(x)  a(ex 1) , a  R .

  (Ⅰ)当    a 1时,求证:      f (x)  g(x) ;

  (Ⅱ)当    a  1时,求关于     x 的方程   f (x)  g(x) 的实根个数. 

19.(本题满分      13 分)

               x2   y2
    已知椭圆    C :       1a  b  0的上、下顶点分别为        A , B ,且  AB   2 ,离心
               a2   b2

        3
  率为      , O 为坐标原点.
       2
  (Ⅰ)求椭圆      C 的方程;
  (Ⅱ)设    P , Q 是椭圆   C 上的两个动点(不与         A , B 重合),且关于       y 轴对称,    M  ,

   N 分别是   OP ,  BP 的中点,直线      AM  与椭圆   C 的另一个交点为       D . 求证:   D ,  N ,
  Q 三点共线.


20.(本题满分      14 分)

    已知数列an,设       an  an1  an n 1,2,3,,若数列an为单调增数列或常


  数列时,则an为凸数列.    


  (Ⅰ)判断首项       a1  0 ,公比  q  0 ,且 q  1的等比数列an是否为凸数列,并说明理

  由;

  (Ⅱ)若an为凸数列,求证:对任意的1                 k  m  n ,且 k , m , n N ,
       a  a             a   a
  均有    n   m  a   a   m    k ,且 a   maxa  ,a ; 
       n  m    m1   m   m  k      m         1  n
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   其中  maxa1,an表示  a1 , an 中较大的数;


   (Ⅲ)若an为凸数列,且存在         t 1 t  n,t  N,使得 a0  at , an  at ,


   求证:   a1  a2   an .
              高三数学(理科)一模考试参考答案
                                                           2018.4

一、选择题
        题号      1     2     3     4      5     6      7    8
        答案      B    A      C     D      B     D     C     B

二、填空题

9. 1                   10.  2                  11. 4, 2n 1 n2  n
                            
12. 24                    13. ②③              14. 0 , 0
                                                 
三、解答题

                            x   x       2 x
15. 解:(Ⅰ)因为     f x sin   cos  3 cos
                            2   2         2

    x    x         x  1       3        3
 sin cos   3 cos2   sin x   cos x 
    2    2        2   2       2       2

                             3
                    sin  x+  + .                      ……………………  
                          3   2
4 分
所以  f x的最小正周期T     2.                                ……………………  
                                                         
6 分

                             2   
(Ⅱ)因为    x  ,0,所以 x+       ,   . 
                          3   3  3 

                                               3
所以当  x      ,即  x  0 时,函数  f (x) 取得最大值 sin  +     3. 
        3   3                                3   2

                  5                          3
当 x     ,即  x    时,函数    f (x) 取得最小值  1+   .
     3    2         6                          2

                                                  3
所以  f x在区间  ,0上的最大值和最小值分别为          3 和 1+   .       ……………… 
                                                  2      
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13 分


16.     解:                                               (Ⅰ)
               一 一
                      2011-2017年全社会固定资产投资及增长率
               一 一 一 一
                                                    一 一 一
               1100                              1054.5
               1000                                  25.0
                        21.7                939.9
               900
                   20.0                800.8
               800                                   20.0
                             16.7 687.7      17.4
               700
               600          590.8  16.4 16.4         15.0
                       506.1
               500                                 12.2
                  415.8
               400                                   10.0
               300
               200                                   5.0
               100
                0                                    0.0
                   2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

                         一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一

                                                           ……………………  
4 分
(Ⅱ)依题意,       X 的可能取值为      0 ,1,   2 .                        ……………………  
5 分

           C 2  2            C1C1   4             C 2  1
            4    ,             3 4    ,             3    .         ………………  
 P(X  0)  2      P(X 1)    2      P(X   2)  2 
           C7   7             C7    7             C7   7
8 分
所以   X 的分布列为

   X        0        1         2

            2         4        1
    P                                                      ……………………  
            7        7         7
                                     9 分
                                                           
                            2     4     1   6
所以   X 的数学期望     E X  0  1    2     .                 ……………………  
                            7    7      7   7             
10 分


(Ⅲ)    x0  .                                                  ……………………  

13 分
17. 解:(Ⅰ)因为       PQ // CD , PQ  CD  ,所以四边形      PQCD  是平行四边形. 

所以   PD // QC.

因为   PD  平面  QBC  , QC   平面  QBC  , 

所以        平面                                            ……………………  
     PD //    QBC.                                  
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4 分
(Ⅱ)取   AD 的中点为   O ,

因为  PA  PD ,所以 OP  AD. 
因为平面   PAD  平面 ABCD , OP  平面 PAD ,
所以  OP  平面 ABCD.                                       ……………………  
5 分
以点  O 为坐标原点,分别以直线      OD , OP 为 y 轴, z 轴建立空间直角坐标系
 Oxyz ,则 x 轴在平面 ABCD 内. 
因为  APD  90 , AB  AD  2 , PQ  CD 1,
所以  A0,1,0, B2,1,0, C 1,1,0, Q1,0,1,
            
所以  BQ  1,1,1, CQ  0,1,1.                          ……………………  7 分
                                 
                              n BQ  0,
设平面  QBC 的法向量为    n  x, y, z ,所以         即 x  y  z  0,
                                    
                                nCQ  0,   y  z  0.
                                          

所以  x  y  z, 令 z 1,则 y 1, x  2 .  
    
     y  z.
            
    
所以  n  2,1,1.                                             ……………………  
8 分

                                      1     6
设平面   ABCD 的法向量为   m  0,0,1,所以 cos n,m       .
                                           6 1 6

又因为二面角    Q  BC  A 为锐角,

                           6
所以二面角    Q  BC  A 的余弦值是   .                       ……………………  
                          6                         
10 分
                       QM
(Ⅲ)存在. 设点    M a,b,c,      ,  0,1.
                        QB
                
所以  QM  a 1,b,c 1, QB  1,1,1.

所以  a  +1, b   , c  +1.    所以点 M  1,, 1 .
                                                 
    
所以  AM   1, 1, 1.

                                             1  1
又平面  QBC 的法向量为    n  2,1,1, AM  平面 QBC ,所以        .
                                              2     1
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        1
所以      .
        3

                                                 QM         1
所以在线段     QB  上存在点    M ,使   AM   平面  QBC  ,且       的值是     . ……………  14     分
                                                 QB         3

18. 解:(Ⅰ)设函数        F(x)  f x g x xex  aex  a.

当  a  1时, F(x)  xex  ex 1,所以  F '(x)  xex .   

所以   x (,0) 时,  F '(x)  0 ; x (0, ) 时, F '(x)  0 .   

所以   F(x) 在 (,0) 上单调递减,在      (0, ) 上单调递增.  

所以当    x  0 时, F(x) 取得最小值    F(0)  0 .  

所以   F(x)  0 ,即 f (x)  g(x) .                                ……………………  

4 分

(Ⅱ)当    a  1时,  F '(x)  (x  a 1)ex , 

令  F '(x)  0 ,即 (x  a 1)ex  0 ,解得 x  a 1 ;

令  F '(x)  0 ,即 (x  a 1)ex  0 ,解得 x  a 1.

所以   F(x) 在 (,a  1) 上单调递减,在      (a 1, ) 上单调递增.

所以当    x  a 1 时, F(x) 取得极小值,即      F(a 1)  a  ea1 .      ……………………  

6 分

令  h(a)  a  ea1 ,则 h'(a) 1 ea1 .  

因为  a  1,所以   h'(a)  0 .  所以 h(a) 在 (1,) 上单调递减. 

所以  h(a)  h(1)  0 . 所以 F(a 1)  0 .  

又因为   F(a)  a  0 ,所以  F(x) 在区间   (a 1,a) 上存在一个零点. 

所以在[a    1,) 上存在唯一的零点.                                      ……………………  

10 分

又因为   F(x) 在区间   (,a 1) 上单调递减,且       F(0)  0 ,
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

所以   F(x) 在区间  (,a 1) 上存在唯一的零点        0 .                   ……………………  

12 分

所以函数    h(x) 有且仅有两个零点,即使           f (x)  g(x) 成立的 x 的个数是两个.

                                                            …………………… 
13 分

                                                         3
19. 解:(Ⅰ)因为椭圆的焦点在             x 轴上,   AB  2 ,离心率   e     ,
                                                         2

            c    3
所以  b 1  ,       .  所以由   a2  b2  c2 ,得 a2  4.   
            a    2

                       x2
所以椭圆    C 的标准方程是          y2 1.                              ……………………  
                       4
3 分

(Ⅱ)设点     P 的坐标为    x0 , y0 ,所以 Q 的坐标为   x0 , y0 .
因为   M , N  分别是   OP ,  BP 的中点, 

                  x0 y0                x0 y0 1
所以   M 点的坐标为        ,   , N 点的坐标为        ,      .          ……………………  
                  2  2                 2    2  
4 分
                        y  2
所以直线     AD 的方程为    y   0   x 1.                             ……………………  
                         x0
6 分

              2
             x                                2
代入椭圆方程          y2 1中,整理得     x 2  4y  2  x2  8x y  2x  0.
             4                   0      0           0   0

                   8x 2  y    2x  2  y 
所以   x  0 ,或 x     0     0    =   0     0 .
                   2          2    5  4y
                 x0  4y0  2          0

        y   2 2x 2  y     2y 2  4y  3
所以   y  0      0     0 1      0     0   .
          x0     5  4y0          5  4y0

                                2
                2x0 2  y0  2y  4y  3 
所以   D 的坐标为              ,    0     0    .                   ……………………  
                 5  4y0      5  4y0   
10 分
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                                    2
                                2y0  4y0  3
         y0 1                               y
              y0                             0
          2        y0 1           5  4y0        y0 1
所以  kQN             .   又 kQD                   .
          x0        3x            2x 2  y       3x
             x       0            0     0  x       0
          2   0                              0
                                   5  4y0

所以  D , N , Q 三点共线.                                   ……………………  

13 分


20.解:(Ⅰ)因为    an+1  an2  an+1 , an  an1  an ,

                                                            2
所以                            2             2
    an+1  an  an2  an  2an+1  anq  an  2anq  an q 1 2q an q 1 . 

                                          2
因为      ,公比      ,且     ,   所以 an  0 , q 1  0.

          2
所以  an q 1  0.


所以等比数列an为凸数列.                                     ……………………  

3 分

(Ⅱ)因为数列{an    }为凸数列, 


所以  am1  am =am1  am , am2  am1  am1  am , am3  am2  am1  am ,…,


 amnm  amnm1  am1  am.
                               a  a
叠加得  a  a  (n  m)a  a .  所以 n m  a  a .
      n   m        m1  m       n  m  m1  m
       a  a
同理可证    m   k  a  a .
        m  k  m1  m

         a  a          a  a
综上所述,     n  m  a  a  m   k .                       ……………………  
         n  m   m1 m   m  k
7 分
    a  a  a  a
因为   n  m  m   k ,所以 (m  k)a  (k  m)a  (n  m)a  (m  n)a .
     n  m  m  k           n       m        m        k


所以  (m  k)an  (n  m)ak  (n  k)am.

                                         m 1    n  m 
令 k 1, m 1an  (n  m)a1  n 1am.    所以 am  an    a1.
                                         n 1    n 1 
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               m 1    n  m   m 1    n  m
若 a  a ,则 a     a  (    )a     a  (   )a  a .
   1  n     m  n 1 n  n 1 1  n 1 n  n 1 n   n

               m 1    n  m   m 1   n  m
若 a  a ,则 a      a  (   )a     a  (  )a  a .
   1  n     m  n 1 n  n 1 1  n 1 1  n 1 1  1

所以  a  max a ,a .                                  ……………………  
     m      1 n                                       
10 分

(Ⅲ)设   ap 为凸数列{an }中任意一项, 


由(Ⅱ)可知,     ap  max{a1,an}  at .


                                 a  a           am  ap
再由(Ⅱ)可知,对任意的1        p  m  n 均有 n m  a  a       ,
                                  n  m  m1  m  m  p

                   a  a a  a
(1)当1   p  t  n 时, n t  t p .  
                    n  t t  p

                  a  a  a  a
又因为  a  a ,所以  0  n  t  t p . 所以 a  a .
      n   t        n  t  t  p    p   t

                   a  a  a  a
(2)当1   t  p  n 时, p t  t 1 .
                    p  t  t 1


               ap  at at  a1
又因为  a1  at ,所以           0. 所以 ap  at .
                p  t  t 1     

(3)当  p  t 时, ap  at .


所以  ap  at .


综上所述,    ap  at .


所以  a1  a2   an .                                        ……………………  
14 分
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