2019高考数学文一轮分层演练：第7章不等式 第2讲

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    一、选择题
    1．已知   a，b  为非零实数，且       aa2b
        1   1                                       b a
    C．ab2b2，故  A 错；若   0b，故    D 错；若   ab<0，即
a<0，b>0，则    a2b>ab2，故 B 错；故   C 正确．所以选      C.
    2．已知   0a                                        B.(2)a<(2)b
                                                    1  1
    C．(lg a)2<(lg b)2                            D.lg a>lg b
    解析：选    D.因为   0(2)b；(lg a)2>(lg b)2；
    因为  lg alg b，综上可知     D 正确，
               1     1
    另解：取    a＝4，b＝2，排除验证，知          D 正确，故选     D.
                           2x
    3．当  x>0 时，函数    f(x)＝x2＋1有(　　)
    A．最小值     1                                  B．最大值    1
    C．最小值     2                                  D．最大值    2

                    2     2
                      1     1
                   x＋   2 x·
    解析：选    B.f(x)＝   x≤    x＝1.
               1
    当且仅当    x＝x，x>0  即  x＝1 时取等号．所以       f(x)有最大值   1.
                                   1
    4．若正实数     x，y 满足   x＋y＝2，且xy≥M     恒成立，则     M 的最大值为(　　)
    A．1                                          B．2
    C．3                                          D．4
    解析：选    A.因为正实数     x，y  满足  x＋y＝2，
            （x＋y）2   22         1
    所以  xy≤    4   ＝ 4 ＝1，所以xy≥1；
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      1
    又xy≥M   恒成立，所以      M≤1，即    M 的最大值为     1.
         1 1
    5．若a|a＋b|
                  1 1
    解析：选    D.由于a0，b>0)被圆     x2＋y2－2x－4y＝0   截得的弦长为      2 5，则
ab 的最大值是(　　)
                                                   9
    A．9                                          B.2
                                                   5
    C．4                                          D.2
    解析：选    B.将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，
                                                                  9
半径   r＝ 5，故直线过圆心，即         a＋2b＝6，所以     a＋2b＝6≥2    a·2b，可得   ab≤2，当且仅
                                     9
当  a＝2b＝3  时等号成立，即       ab 的最大值是2，故选       B.
    二、填空题
    7．已知存在实数       a 满足  ab2>a>ab，则实数    b 的取值范围是________．
    解析：因为     ab2>a>ab，所以   a≠0，
                        b2 > 1，
    当 a>0 时，b2>1>b，即{    b < 1， )解得 b<－1；
                        b2 < 1，
    当 a<0 时，b2<1 1 )无解．
    综上可得    b<－1.
    答案：(－∞，－1)
                                 2  1
    8．已知   a>0，b>0，a＋2b＝3，则a＋b的最小值为________．
                       1  2
    解析：由    a＋2b＝3   得3a＋3b＝1，
        2  1  1   2  2  1
               a＋  b  ＋
    所以a＋b＝(3      3 )(a b)

      4  a   4b 4     a 4b  8
                       ·
    ＝3＋3b＋3a≥3＋2     3b 3a＝3.
                   3
    当且仅当    a＝2b＝2时取等号．
          8
    答案：3
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    9．一段长为     L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为
________．
    解析：设菜园的长为         x，宽为   y，则  x＋2y＝L，面积     S＝xy，因为    x＋2y≥2   2xy.所以
    （x＋2y）2  L2                L       L     L         L2

xy≤    8   ＝  8 .当且仅当   x＝2y＝2，即    x＝2，y＝4时，Smax＝      8 .
          L2
    答案：   8
    10．设  a，b>0，a＋b＝5，则       a＋1＋   b＋3的最大值为________．
    解析：设     a＋1＝m，    b＋3＝n，则    m，n  均大于零，
    因为  m2＋n2≥2mn，所以      2(m2＋n2)≥(m＋n)2，
    所以  m＋n≤    2· m2＋n2，所以    a＋1＋   b＋3≤  2· a＋1＋b＋3＝3    2，当且仅当
 a＋1＝   b＋3，
         7     3
    即 a＝2，b＝2时“＝”成立，所以所求最大值为                  3 2.
    答案：3    2
    三、解答题
    11．实数   x、y 满足－1