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2018版高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程3参数方程和普通方程的互化练习新人教A版选修4_4

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高中数学审核员

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                      3 参数方程和普通方程的互化

一、基础达标

       x=|sin θ|,
1.曲线{   y=cos θ )(θ 为参数)的方程等价于(  )
  A.x=  1-y2                              B.y=  1-x2

  C.y=±   1-x2                            D.x2+y2=1

  解析 由    x=|sin θ|得   0≤x≤1;由     y=cos θ  得-1≤y≤1.故选      A.

  答案 A

              x=2+t,                    x=2cos θ+1,
2.已知直线    l:{y=-2-t)(t   为参数)与圆     C:{   y=2sin θ  )(θ 为参数),则直线       l 的
  倾斜角及圆心      C 的直角坐标分别是(  )
    π                                       π
  A.4,(1,0)                               B.4,(-1,0)
    3π                                      3π
  C. 4 ,(1,0)                             D. 4 ,(-1,0)
                                                                3π
  解析 直线消去参数得直线方程为               y=-x,所以斜率       k=-1  即倾斜角为     4 .圆的标准方
  程为(x-1)2+y2=4,圆心坐标为(1,0).

  答案 C
              1-t2
           x=     ,
              1+t2
                2t
           y=
          {    +   )
3.参数方程        1  t2 (t 为参数)化为普通方程为(  )
  A.x2+y2=1

  B.x2+y2=1  去掉(0,1)点

  C.x2+y2=1  去掉(1,0)点

  D.x2+y2=1  去掉(-1,0)点
                1-t2     2t
  解析 x2+y2=(1+t2)2+(1+t2)2=1,又∵x=-1          时,1-t2=-(1+t2)不成立,故去
  掉点(-1,0).

  答案 D

4.若  x,y 满足  x2+y2=1,则    x+  3y 的最大值为(  )

  A.1                                     B.2  

  C.3                                     D.4
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                                   x=cos θ,
  解析 由于圆      x2+y2=1  的参数方程为{y=sin θ,)(θ      为参数),则     x+  3y=  3sin  θ+
                 π
              θ+
  cos θ=2sin(    6),故  x+  3y 的最大值为     2.故选  B.
  答案 B

5.在直角坐标系      xOy 中,以原点     O 为极点,x    轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标

                                    x=t2,
  方程为   ρcos      θ=4   的直线与曲线{      y=t3 )(t 为参数)相交于     A,B 两点,则|AB|=

  ________.

  解析 由    ρcos θ=4,知     x=4.

     x=t2,
  又{y=t3,)∴x3=y2(x≥0).
     x=4,      x=4,     x=4,
  由{x3=y2,)得{  y=8  )或{y=-8.)
  ∴|AB|=   (4-4)2+(8+8)2=16.

  答案 16
                                         π
                                       θ-
                                  2   (   )
6.在极坐标系中,圆        C1 的方程为   ρ=4    cos   4 ,以极点为坐标原点,极轴为             x 轴的
                                      x=-1+acos θ,

  正半轴建立平面坐标系,圆           C2 的参数方程{     y=-1+asin θ )(θ 为参数),若圆      C1 与

  C2 相切,则实数     a=________.

                             2   2                          2        2
  解析 圆    C1 的直角坐标方程为       x +y =4x+4y,其标准方程为(x-2)          +(y-2)  =8,圆

  心为(2,2),半径长为        2 2,圆  C2 的圆心坐标为(-1,-1),半径长为|a|,由于圆                C1 与

  圆 C2 外切,则|C1C2|=2    2+|a|=3   2或|C1C2|=|a|-2   2=3 2⇒a=±    2或 a=±5   2.

  答案 ±     2或±5  2
                               1
                         x= t-  ,
                                t
                               1
                       {y=3  t+  ,)
7.已知曲线    C 的参数方程为          (  t) (t 为参数,t>0).求曲线        C 的普通方程.
               1                 1
  解 由   x=  t- t两边平方得     x2=t+t-2,
           1        1  y
         t+
  又 y=3(   t),则  t+t=3(y≥6).
             1          y
  代入  x2=t+t-2,得     x2=3-2.
  ∴3x2-y+6=0(y≥6).

  故曲线   C 的普通方程为      3x2-y+6=0(y≥6).

二、能力提升
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                                              x=  3+3cos θ,
8.已知在平面直角坐标系          xOy 中圆  C 的参数方程为:{       y=1+3sin θ )(θ 为参数),以
                                                 π
                                              θ+
  Ox 为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为:ρcos(                    6)=0,则圆    C 截直线所得弦长
  为(  )

  A. 2                                    B.2 2  

  C.3 2                                   D.4 2
                        x=  3+3cos θ
  解析 圆    C 的参数方程为{      y=1+3sin θ )的圆心为(    3,1),半径为     3,直线普通方程为
           π        π    3   1
     cos θcos -sin θsin 
  ρ(       6        6)= 2 x-2y=0,即    3x-y=0,圆心     C( 3,1)到直线     3x-y=
               |( 3)2-1|
  0 的距离为    d=    3+1  =1,所以圆     C 截直线所得弦长|AB|=2        r2-d2=2  32-12=4   2.
  答案 D


                               x=4+2cos α,
9.过原点作倾斜角为        θ  的直线与圆{      y=2sin α  )相切,则    θ=________.
  解析 直线为      y=xtan    θ,圆为(x-4)2+y2=4,直线与圆相切时,易知                 tan   θ=
     3       π  5π
  ± 3 ,∴θ=6或     6 .
        π 5π
  答案 6或    6
                                   x=t+1,

10.在直角坐标系      xOy 中,已知曲线      C1:{y=1-2t)(t  为参数)与曲线      C2:
   x=asin θ
  {y=3cos θ)(θ 为参数,a>0)有一个公共点在           x 轴上,则   a=________.
                                                      x2  y2

  解析 曲线     C1 的普通方程为     2x+y=3,曲线     C2 的普通方程为a2+      9 =1,直线    2x+y=
                     3           x2  y2                            3      3
                      ,0
  3 与 x 轴的交点坐标为(2       ),故曲线a2+     9 =1 也经过这个点,代入解得           a=2(舍去-2).
        3
  答案 2
11.在平面直角坐标系中,以坐标原点               O 为极点,x   轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直
                                      2 3 π
                                         ,
  线 l 上两点   M,N 的极坐标分别为(2,0),(         3  2),圆  C 的参数方程为
   x=2+2cos θ,
  {y=-  3+2sin θ)(θ 为参数).
  (1)设 P 为线段   MN 的中点,求直线       OP 的平面直角坐标方程;

  (2)判断直线    l 与圆  C 的位置关系.
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                                                     2 3
                                                   0,
  解 (1)由题意知,M,N        的平面直角坐标分别为(2,0),(              3 ).又 P 为线段   MN 的中点,
                             3                                   3
                          1,
  从而点   P 的平面直角坐标为(          3 ),故直线   OP 的平面直角坐标方程为         y=  3 x.
                                                       2 3
                                                     0,
  (2)因为直线    l 上两点   M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(              3 ),
  所以直线    l 的平面直角坐标方程为          x+  3y-2=0.

  又圆  C 的圆心坐标为(2,-        3),半径为     r=2,
                       |2-3-2|  3
  圆心到直线     l 的距离   d=    2   =2<r,故直线      l 与圆  C 相交.
                                                 2
                                             x=   t- 2,
                                                 2
                x=cos θ,                            2
                                                y=  t
                 =                          {          )
12.已知曲线    C1:{  y sin θ )(θ 为参数),曲线     C2:       2
  (t 为参数).

  (1)指出  C1,C2 各是什么曲线,并说明          C1 与 C2 公共点的个数;

  (2)若把  C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线                      C′1,C′2.写出

  C′1,C′2   的参数方程.C′1     与  C′2 公共点的个数和       C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说

  明你的理由.

                                         2  2
  解 (1)C1  是圆,C2   是直线.C1  的普通方程为       x +y =1,

  圆心  C1(0,0),半径    r=1.

  C2 的普通方程为     x-y+   2=0.因为圆心     C1 到直线  x-y+   2=0  的距离为    1,

  所以  C2 与 C1 只有一个公共点.
                                                                2
                                                            x=   t- 2,
                                 x=cos θ,                       2
                                    1                              2
                                { y= sin θ )               {   y=   t  )
  (2)压缩后的参数方程分别为           C′1:     2     (θ 为参数),C′2:            4    (t 为
  参数),
                                         1    2
                       2   2
  化为普通方程为       C′1:x  +4y  =1,C′2:y=2x+      2 ,
  联立消元得     2x2+2  2x+1=0,

  其判别式    Δ=(2   2)2-4×2×1=0,

  所以压缩后的直线        C′2 与椭圆   C′1 仍然只有一个公共点,和           C1 与 C2 公共点的个数相同.
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三、探究与创新

                          x=4+5cos t,

13.已知曲线    C1 的参数方程为{      y=5+5sin t )(t 为参数),以坐标原点为极点,x           轴的正半

  轴为极轴建立极坐标系,曲线            C2 的极坐标方程为      ρ=2sin θ.

  (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;

  (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
            x=4+5cos t,
  解 (1)将{    y=5+5sin t )消去参数   t,
  化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,

                                  x=ρcos θ
         2   2                                 2   2                     2
  即  C1:x +y -8x-10y+16=0,将{y=ρsin θ)代入       x +y -8x-10y+16=0    得,ρ    -
  8ρcos θ-10ρsin θ+16=0,

                      2
  ∴C1 的极坐标方程为       ρ  -8ρcos θ-10ρsin θ+16=0;

                    2   2
  (2)C2 的普通方程为     x +y -2y=0,
     x2+y2-8x-10y+16=0,
  由{     x2+y2-2y=0,       )
       x=1,    x=0,
  解得{   y=1 )或{ y=2. )
                                  π     π
                              ( 2, ) (2, )
  ∴C1 与 C2 的交点的极坐标分别为             4 ,   2 .
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