网校教育资源平台

2018年高中数学课时跟踪检测十九基本不等式新人教A版必修5

评价文档:
文档评论: 0

高中数学审核员

中国现代教育网
分享到:
0积分 下载
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                                           a+b
                                           基本不等式:      ab ≤
               课时跟踪检测(十九)                                   2
                               层级一 学业水平达标
    1.下列结论正确的是(  )
                              1
    A.当  x>0 且 x≠1  时,lg x+lg x≥2
                     1
    B.当  x>0 时,   x+  x≥2
                     1
    C.当  x≥2  时,x+x的最小值为        2
                       1
    D.当  02x
        1                                  1
    C.x2+1≤1                         D.x+x≥2
    解析:选    C 对于    A,当  x≤0 时,无意义,故       A 不恒成立;对于       B,当  x=1  时,x2+
                                                                1
1=2x,故   B 不成立;对于      D,当  x<0 时,不成立.对于        C,x2+1≥1,∴x2+1≤1      成
立.故选    C.
    3.设  a,b  为正数,且     a+b≤4,则下列各式中正确的一个是(  )
      1  1                           1  1
    A.a+b<1                        B.a+b≥1
      1  1                           1  1
    C.a+b<2                        D.a+b≥2

                        a+b     4         1  1     1    1
    解析:选    B 因为    ab≤( 2  )2≤(2)2=4,所以a+b≥2     ab≥2  4=1.
    4.四个不相等的正数         a,b,c,d   成等差数列,则(  )
      a+d                            a+d
    A. 2  > bc                     B. 2  < bc
      a+d                            a+d
    C. 2  =  bc                    D. 2  ≤  bc
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    解析:选    A 因为    a,b,c,d   成等差数列,则       a+d=b+c,又因为       a,b,c,d   均大
                               a+d
于  0 且不相等,所以      b+c>2  bc,故   2 > bc.
                     2  8
    5.若  x>0,y>0,且x+y=1,则       xy 有(  )
                                              1
    A.最大值    64                      B.最小值64
             1
    C.最小值2                           D.最小值    64
                          2  8
                           +
    解析:选    D 由题意     xy=(x  y)xy=2y+8x≥2   2y·8x=8 xy,∴   xy≥8,即   xy 有最小
值  64,等号成立的条件是         x=4,y=16.
                     1  1
    6.若  a>0,b>0,且a+b=      ab,则  a3+b3 的最小值为________.

                            1  1    1
    解析:∵a>0,b>0,∴        ab=a+b≥2   ab,即  ab≥2,当且仅当      a=b=   2时取等号,
∴a3+b3≥2   ab3≥2   23=4  2,当且仅当     a=b=  2时取等号,则       a3+b3 的最小值为    4 2.
    答案:4    2
    7.已知正数     x,y  满足  x2+2xy-3=0,则     2x+y 的最小值是________.
                       3-x2
    解析:由题意得,y=          2x ,
                 3-x2  3x2+3   3   1
                                x+
    ∴2x+y=2x+     2x =   2x  =2(   x)≥3,
    当且仅当    x=y=1   时,等号成立.
    答案:3
                        x
    8.若对任意     x>0,x2+3x+1≤a    恒成立,则     a 的取值范围是________.
                          1
    解析:因为     x>0,所以   x+x≥2.当且仅当      x=1  时取等号,
                       1
              x        1      1   1
                    x+  +3
    所以有x2+3x+1=        x   ≤2+3=5,
          x             1       1
    即x2+3x+1的最大值为5,故         a≥5.
           1
           ,+∞
    答案:[5       )
                             4
    9.(1)已知   x<3,求   f(x)=x-3+x  的最大值;
              中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                   1 3
(2)已知  x,y  是正实数,且      x+y=4,求x+y的最小值.
解:(1)∵x<3,
∴x-3<0,
         4        4
∴f(x)=x-3+x=x-3+(x-3)+3

      4                     4
        +3-x                ·3-x
=-[3-x           ]+3≤-2   3-x        +3=-1,
         4
当且仅当3-x=3-x,
即 x=1  时取等号,
∴f(x)的最大值为-1.
(2)∵x,y  是正实数,
        1  3      y  3x
         +         +
∴(x+y)(x   y)=4+(x   y )≥4+2  3.
        y  3x
当且仅当x=     y ,
即 x=2(  3-1),y=2(3-     3)时取“=”号.
又 x+y=4,

  1  3      3
∴x+y≥1+    2 ,
  1  3              3
故x+y的最小值为       1+ 2 .
                                     b+c   c+a  a+b
10.设  a,b,c   都是正数,试证明不等式:            a  +  b +  c  ≥6.
证明:因为     a>0,b>0,c>0,
    b  a     c a     b  c
所以a+b≥2,a+c≥2,c+b≥2,
     b a   c  a   b  c
     +      +      +
所以(a   b)+(a  c)+(c  b)≥6,
        b  a  c a  c  b
当且仅当a=b,a=c,b=c,
即 a=b=c   时,等号成立.
    b+c  c+a   a+b
所以   a  +  b +  c  ≥6.
                           层级二 应试能力达标
1.a,b∈R,则     a2+b2 与 2|ab|的大小关系是(  )
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    A.a2+b2≥2|ab|                   B.a2+b2=2|ab|
    C.a2+b2≤2|ab|                    D.a2+b2>2|ab|
    解析:选    A ∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=
|b|时,等号成立).
                                                           1  1  1
    2.已知实数     a,b,c   满足条件    a>b>c 且 a+b+c=0,abc>0,则a+b+c的值(  )
    A.一定是正数                          B.一定是负数
    C.可能是    0                       D.正负不确定
    解析:选    B 因为    a>b>c 且 a+b+c=0,abc>0,所以      a>0,b<0,c<0,且    a=-(b+c),

        1  1  1     1   1  1
    所以a+b+c=-b+c+b+c,
    因为  b<0,c<0,所以     b+c≤-2   bc,

           1     1     1  1      1
    所以-b+c≤2     bc,又b+c≤-2      bc,

           1   1  1    1     1      3
    所以-b+c+b+c≤2       bc-2  bc=-2  bc<0,故选   B.
                                                                   a+b2
    3.已知   x>0,y>0,x,a,b,y     成等差数列,x,c,d,y         成等比数列,则          cd  的
最小值为(  )
    A.0                              B.1
    C.2                              D.4
                                  a+b2   x+y2    x2+y2+2xy   x2+y2
    解析:选    D 由题意,知Error!所以          cd  =    xy   =     xy    =   xy  +
2≥2+2=4,当且仅当        x=y 时,等号成立.
                               x     2y
    4.若实数    x,y  满足  xy>0,则x+y+x+2y的最大值为(  )
    A.2-   2                         B.2+   2
    C.4+2   2                        D.4-2   2
                                    y
                                  2·
                             1      x
                 x    2y      y      y
                           1+    1+2·
    解析:选    D x+y+x+2y=       x+     x,
         y
    设 t=x>0,
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                                             1
             1    2t    1   2t+1-1             t              1
                                                          2t+  +3
    ∴原式=1+t+2t+1=t+1+         2t+1 =1+t+12t+1=1+          t  .
          1
    ∵2t+t≥2    2,
                    1
    ∴最大值为     1+2  2+3=4-2    2.
                           1  4                y
    5.若两个正实数       x,y 满足x+y=1,且不等式         x+40,y>0,且x+
4            y      y 1 4   4x  y       4x y                4x   y
                 x+    +                  ·
y=1,所以    x+4=(     4)(x y)= y +4x+2≥2   y 4x+2=4,当且仅当       y =4x,即  x=2,
                             y
                           x+
                          (   )            2
y=8  时,等号是成立的,所以             4 min=4,所以   m -3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得
m<-1  或 m>4.
    答案:(-∞,-1)∪(4,+∞)
                                   1     1
    6.若正数    a,b  满足  a+b=1,则3a+2+3b+2的最小值为________.
                         1     1      3b+2+3a+2         7           a+b
    解析:由    a+b=1,知3a+2+3b+2=3a+23b+2=9ab+10,又              ab≤(  2 )2=
1               1                       49       7    4
4(当且仅当    a=b=2时等号成立),∴9ab+10≤           4 ,∴9ab+10≥7.
          4
    答案:7
    7.某厂家拟在      2016 年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品
                                                                k
的年产量)x(单位:万件)与年促销费用               m(m≥0)(单位:万元)满足        x=3-m+1(k   为常数)
,如果不举行促销活动,该产品的年销售量是                    1 万件.已知    2016 年生产该产品的固定投入
为  8 万元,每生产     1 万件该产品需要再投入          16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件
产品年平均成本的        1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)
.
    (1)将 2016 年该产品的利润       y(单位:万元)表示为年促销费用             m 的函数;
    (2)该厂家   2016 年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?
                                                                     2
    解:(1)由题意,可知当         m=0 时,x=1,∴1=3-k,解得          k=2,∴x=3-m+1,
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                               8+16x
    又每件产品的销售价格为           1.5×   x  元,
               8+16x
           1.5 ×
    ∴y=x(        x  )-(8+16x+m)=4+8x-m
               2
           3-
    =4+8(    m+1)-m
          16
             +m+1
    =-[m+1            ]+29(m≥0).
                16                            16
    (2)∵m≥0,m+1+(m+1)≥2        16=8,当且仅当m+1=m+1,即           m=3 时等号成立,

    ∴y≤-8+29=21,∴ymax=21.
    故该厂家    2016 年的促销费用为       3 万元时,厂家的利润最大,最大利润为                21 万元.


             1                              1
                                         3k-
    8.已知   k>6,若对任意正数       x,y,不等式(        2)x+ky≥   2xy 恒成立,求实数       k 的最
小值.
    解:∵x>0,y>0,

                1                           1  x    y
            3k-                          3k-
    ∴不等式(       2)x+ky≥   2xy恒成立等价于(        2) y+k  x≥  2恒成立.
        1
    又 k>6,

          1  x    y         1
       3k-             k 3k-
    ∴(    2) y+k  x≥2   (   2),

             1                1           1
        k 3k-
    ∴2   (   2)≥  2,解得   k≤-3(舍去)或     k≥2,
           1

    ∴kmin=2.
0积分下载