网校教育资源平台

选修2-3 2.1.2离散型随机变量的分布列

评价文档:
文档评论: 0

相关文档推荐

习题课第三章3.1.2 概率的意义
免费
山东省高中数学(新课标人教A版)必修三《第3章 概率》模块检测
免费
必修三第三章基础达标训练3.2.1 古典概型
免费
数学:3.2.1古典概型 同步练习六(新人教A版必修三)
免费
2013-2014学年 高中数学 人教A版必修三【第三章 章末检测
免费
数学:3.2.1古典概型 同步练习一(新人教A版必修三)
免费
分层训练第三章3.1.3 概率的基本性质
免费
数学:第三章 概率 同步练习三(新人教A版必修三)
免费
数学:第三章 概率 同步练习二(新人教A版必修三)
免费
必修三第三章基础达标训练3.3.1 几何概型
免费
数学:3.2.1古典概型 同步练习二(新人教A版必修三)
免费
数学:3.1.1随机事件的概率 同步练习三(新人教A版必修三).
免费
【创新设计】2014-2015学年高中数学人教A版必修三章末复习--章末检测三
免费
数学:3.2.1古典概型 同步练习四(新人教A版必修三)
免费
数学:3.1.1随机事件的概率 同步练习二(新人教A版必修三).
免费
数学:3.3.1几何概型 同步练习二(新人教A版必修三)
免费
数学:3.2.1古典概型 同步练习三(新人教A版必修三)
免费
2013-2014学年 高中数学 人教A版必修三第三章 习题课
免费
必修三第三章基础达标训练3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生
免费
数学:3.2.1古典概型 同步练习七(新人教A版必修三)
免费

高中数学审核员

中国现代教育网
分享到:
0积分 下载
           导入新课

     思考

断案——兔子是谁打死的?
   在还未禁猎的年代,有一天,两位猎人同时
发射一枪,打死一只正在奔驰的野兔,二人直奔
猎物,都想得到这个战利品,于是争论起来.
     一智者路过此地,问明事由,出面调解,猎
人甲称:“我的枪法百发百中,兔子是我打死的.”
猎人乙争辩道:“我的枪法比他准,兔子分明是
我打中的.”智者道:“你们不必争吵了,听我安
排. ”智者命二人向同一目标各打五枪,甲的命中
率为0.4,乙的命中率为0.6 . 甲以为这下完了,兔
子必判给乙,很丧气,扭头便走,智者喊到:
“且慢,听我慢慢道来.”
    智者经计算,告诉二人:“既然兔子已被你
们打死,那么甲单独击中的机会是0.4,乙单独击
中的机会是     0.6,二人共同击中的机会是0.24 .”他
建议:“如果此猎物价值若干,你们可按七比十
二分配.”结果兔子卖了五十七元,甲分得二十一
元,乙分得三十六元,两人皆大欢喜,欣然而归. 

        请同学们想一想,这个分配
      方案是否合理?智者是如何做
          出这个分配方案的?
     思考

抛掷一枚骰子,求所得点数及取各值的概率.


   X   1    2   3    4   5   6

   P
      1    1   1    1   1    1
      6    6   6    6   6    6
2.1.2离散型随机
变量的分布列
                  知识要点
   1.分布列
     设离散型随机变量ξ可能取得值为

            x1,x2,x3,…,


新疆
王新敞
奎屯
     ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为

   P(ξ= xi)=pi,则称表

         ξ    x1   x2  …    xi   …

         P   P1    P2  …    Pi   …
     为随机变量ξ的概率分布列,简称ξ的分布列. 
2.分布列的其它表示方法

  1.表达式法

   P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n 
                0.48
  2.图示法
                     0.36
          0.16

           0          1          2 x
              知识要点

2.离散型随机变量的分布列的性质

    任何随机事件发生的概率都满足:0≤Pi≤1,并
且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.由
此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下
面两个性质:

     ⑴Pi≥0,i=1,2,…;

     ⑵P1+P2+…=1.
3.两点分布

    只有两个可能取值的随机变量所服从的分布,
称为两点分布. 其概率函数为

      P(ξ=xk)=pk (k=0,1)

        X       0       1
        P      1-p      p
       两点分布又称0-1分布.由于只有
   两个可能结果的随机试验叫伯努利
   试验,所以还称这种分布为伯努利
   分布.

   两点分布列的应用非常广泛.例如抽取的彩
票是否中奖,买回的一件产品是否为正品,新
生婴儿的性别,投篮是否命中等,都可以用两
点分布列来研究.
     例题2

   在含有5件次品的100件产品中,任取3件,
求:

   (1)取到的次品数X的分布列;

   (2)至少取到一件次品的概率.
解:

   (1)因为从100件产品中任取3件的结果数为
   3
C100 ,从100件产品中任取3件,其中恰有k件次
             k  3-k
品的结果数为C5      C95 ,所以100件产品中任取3件,
其中恰有k件次品的概率为

             k  3-k   3
    P(X=k)= C5 C95 / C100 ,k=0,1,2,3 .
    因此随机变量的分布列为
     X      0      1      2      3


     P     03     12     21     30
           CC5 95 CC5 95 CC5 95 CC5 95
           3      3       3     3
           C100   C100   C100   C100

   (2)根据随机变量X的分布列,可得至少取
到1件次品的概率为
  P(X>=1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
        ≈0.13806+0.00588+0.00006
        =0.14400
              知识要点

4.超几何分布
    一般地,在含有M件次品的N件产品中,任
取n件,其中恰有X件次品,则
            k   n-k  n
  P(X=k)= CM CN-M / CN ,k=0,1,2,…,
m,  即
     X      0     1      …      m


         CC0 n-0 CC1 n-1       CCm n-m
     P    M N-M  M N-M   …     M N-M
           n      n             n
          CN      CN            CN

     其中m=min{M,n},且n<=N,M<=N,
  n,M,N      N*.
          

     如果随机变量X的分布列具有上表
形式,则称随机变量X服从超几何分布.
    例题3

某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下:

 ξ    4   5    6    7    8   9    10
 P   0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率.
分析:“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ
=7”、“ξ=8”、“ξ=9”、“ξ=10”的和,根据互
斥事件的概率加法公式,可以求得此射手“射击
一次命中环数≥7”的概率.

解:根据射手射击所得的环数ξ的分布列,有
       P(ξ=7)=0.09,P(ξ=8)=0.28,
       P(ξ=9)=0.29,P(ξ=10)=0.22.
所求的概率为      P(ξ≥7)=0.09+0.28+0.29+0.22
                   =0.88 .
           课堂小结

1.离散型随机变量的分布列概念
    根据随机变量的概率分布(分布列),可
以求随机事件的概率.
2.分布列的三种表示方法
   (1)表达式法;
   (2)图示法;
   (3)表格法.
3.分布列的两条性质

   (1)Pi≥0,i=1,2,…;

   (2)P1+P2+…=1.

4.两种典型分布
   (1)两点分布;     
   (2)超几何分布.
            高考链接

    1.(2008年北京卷理17)甲、乙等五名奥运志
愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位
至少有一名志愿者.

 (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加          岗位服务的概率;
 (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
 (Ⅲ)设随机变量        为这五名志愿者中参加        岗位服
务的人数,求     的分布列.
解:
   (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加          岗位服务为事件      ,

那么             ,A3   1
                 3
        P(EA ) =24 =
              C54 A  40

  即甲、乙两人同时参加         岗位服务的概率是       1 .
                                    40

   (Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为
事件E,   那么
                   4
                  A4   1
           P(E) =24  =
                 C54 A 10
  所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是


                           9
           P(E) = 1- P(E) =
                           10
   (Ⅲ)随机变量      可能取的值为1,2.事件
“ξ=2”是指有两人同时参加        岗位服务,


则            23.
            CA53   1
   P(ξ = 2) =34  =
            C54 A  4
     所以                 ,  的分布列是
                          ξ    3
         P(ξ = 1) = 1- P(ξ = 2) =
                               4

        ξ          1         2
        P        0.75       0.25
            课堂练习

1.填空

     (1)某批数量较大的商品的次品率为10%,
  从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布
  列为________.

  ξ   0    1      2     3      4     5

  P  0.95 0.5×0.94 0.1×0.93 0.01×0.92 4.5×0.14 0.15
(2)       下列给出的是不是某个随机变量的分布列?


    ①                                    ②       1       2      3  
            1       3      5                                     
                                             0.7     0.1     0.1
          0.5     0.3     0.2                                    


              0                 1                         2                                     n                  
                                                                   2                                       n               
    ③         1          1       1             1        1                             1       1                      
                                                                                                             
              2          2        3             2       3                             2       3                      


            1           2                      n           
    ④                        2                       2           
            1         1                     1                
                                                       
            2         2                      2               
   解:

         (1)是.

         (2)                                                   ,所以它不是随机变
                   0.7            0.1           0.1            1
量的分布列.


                                                                                                 2                                                         n
                     1                1           1                   1            1                                          1           1                                            3
         (3)                                                                   ,所以                                                                                     
                      2               2           3                    2           3                                          2           3                                            4
它不是随机变量的分布列.
2.选择

 (1)3设随机变量      的分布列为     ,则a的值为(  )
     A .1; B.9/13; C.11/13; D.27/13√  
 (2)下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是()

            ξ     -1      0      1
     A.
            P     0.3    0.4    0.4
         ξ       1      2       3
 B.
         P      0.4     0.7    -0.1

          ξ     -1       0       1
 C.
√        P       0.3    0.4     0.3

          ξ      1       2       3
 D.
          P      0.3    0.4     0.4
3.解答题

     (1)某厂生产电子元件,其产品的次品率
  为5%,现从一批产品中的任意连续取出2件,
  求次品数的概率分布.

  解:   ξ的取值分别为0、1、2
       ξ =0表示抽取两件均为正品       ;
             0
  ∴p(ξ=0)=C2  (1-0.05)2=0.9025 .
          继续解答

   ξ =1表示抽取一件正品一件次品;
           1 
  P(ξ=1)= C2 (1-0.05)×0.05=0.95 
   ξ =2抽取两件均为次品;
             2
   P(ξ=2)= C2 0.052=0.0025
∴ξ的概率分布为:

       ξ       0        1       2
       p     0.9025  0.095   0.0025
(2)随机变量ξ的分布列为

      ξ     -1    0    1      2     3

      p    0.16  a           a     0.3
                      a2
                 10          5

   解:由离散型随机变量的分布列的性质有


                   aa
         0.16   +      + a2  +     + 0.3  =  1
                  10            5


       解得:   9   (舍)或      3
           a = -          a=
             10            5
(3)设随机变量                         的分布列为:                                                        ,
                                                                                      k
                                                         P(ξ            k)                ,k          1,2,3,4,5
                                                                                     15

         求    ①                                  ;
                    P(       1或          2)
              ②                                  ; 
                          1             5
                     P(         ξ        )
                          2             2
              ③                                   .
                    P(1        ξ      2)
解:


     ①                                                              ;        1                 2               1
            P(ξ                 1或                      2)                                         
                                                                           15                15                5

     ②                     1                                       5                                                                                                                                       1
             P(                               ξ                          )                P(ξ                           1)                   P(ξ                            2)           
                           2                                       2                                                                                                                                       5
     ③
                                                                                                 1
          P(1      ξ     2)           P(ξ            1)        P(ξ             2)     
                                                                                                 5
           习题解答

   1. 设该运动员一次罚球得分为X,X是一个
离散型随机变量,其分布列为:

       X          0         1

        P        0.3       0.7
   2. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次,其全部可能
的结果为{正正,正反,反正,反反}.正面向上次数
X是一个离散型随机变量,
    P(X=0)=P({反反})=0.25,
    P(X=1)=P({正反}     {反正})=0.5,
    P(X=2)=P({正正})=0.25.
因此X的分布列为

       X       0       1      2
       P      0.25    0.5    0.25
3.
    设抽出的5张牌中包含A牌的张数为X,则X
服从超几何分布,其分布列为

           i  5-i 5
   P(X=i)=C4 C48 /C52 ,i=0,1,2,3,4 .
因此抽出的5张牌中至少有3张A的概率为
   P(X>=3)=P(X=3)+P(X=4) ≈0.002 .
4.
    两点分布的例子:掷一枚质地均匀的硬币出现
正面的次数X服从两点分布;射击一次命中目标的
次数服从两点分布.
   超几何分布的例子:假设某池塘中仅有鲤鱼和
鲑鱼两种鱼,其中鲤鱼200条,鲑鱼40条,从鱼池
中任意取出5条鱼,这5条鱼中包含鲑鱼的条数X服
从几何分布.
0积分下载