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2019版高考数学一轮复习第十章算法统计与概率课时训练

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                       第十章 算法、统计与概率
                                第  1 课时 算  法
    填空题
    1.       (2017·苏锡常镇四市一模)如图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是
________.
                                       t←1
    i←2
    While i≤4
     t←t×i
     i←i+1
    End While
    Print t
    答案:24
    解析:当    i=2  时,满足循环条件,执行循环            t=1×2=2,i=3;
    当 i=3  时,满足循环条件,执行循环             t=2×3=6,i=4;
    当 i=4  时,满足循环条件,执行循环             t=6×4=24,i=5;
    当 i=5  时,不满足循环条件,退出循环,输出                t=24.
                                            1
    2. 如图是一个算法流程图,如果输入               x 的值是4,则输出      S 的值是________.


    答案:-2
               1            1

    解析:当    x=4时,S=log2 4=-2.
    3. 根据如图所示的伪代码,最后输出的                S 的值为________.
                                       S←0
    For I From 1 To 10
    S←S+I
    End For
    Print S
    答案:55
    解析:这是     1+2+3+…+10     的求和程序,所以输出的           S 的值为   55.
    4. (2017·南通三模)如图是一个算法流程图,则输出的                   k 的值是________.


    答案:3
    解析:根据流程图,S,k          的数据依次为      1,1;2,2;6,3;15,结束循环,所以,输
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

出的   k 的值是  3.
    5. 执行如图所示的伪代码,则输出              K 的值是________.
                                       X←3
    K←0
    Do
     X←2X+1
     K←K+1
    Until X>16
    End Do
    Print K
    答案:3
    解析:第一次循环,X=7,K=1;
    第二次循环,X=15,K=2;
    第三次循环,X=31,K=3;
    终止循环,输出       K 的值是   3.
    6. (2017·苏北三市三模)如图是一个算法的流程图,则输出的                      k 的值为________.


    答案:6
    解析:阅读流程图,当          k=2,3,4,5    时,k2-7k+10≤0,一直进行循环,
    当 k=6  时,k2-7k+10>0,
    此时跳出循环结构,输出           k 的值为   6.
    7. 阅读下列程序,如果输入           x=-2,则输出      y=________.
                                      Read x
    If x<0 Then
     y←x+3
    Else
     If x>0 Then
     y←x+5
     Else
     y←0
     End If
    End If
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    Print y,(第 7 题))                    ,(第  8 题))
    答案:1
                                x+3(x < 0),
                                 0(x=0),
    解析:本程序是求分段函数            y={ x+5(x > 0) )的函数值.
    ∵ x=-2,∴ y=-2+3=1.
    8. 根据如图所示的流程图,则输出的结果                 i 为________.
    答案:7
    解析:s=1+2+3+4+5+6>20,此时输出              i=7.
    9. 下图是一个算法流程图,则输出的               k 的值是______.


    答案:17
    解析:由题意知       k=0,k=1,k=3,k=17>9,则输出的            k 的值是  17.
    10. 如图是一个算法流程图,则输出的               S 的值为________.


    答案:3
    解析:由算法流程图知循环体执行               3 次,第  1 次循环   S=11,n=3;第     2 次循环   S=
8,n=5;第    3 次循环   S=3,n=7.
    11. (2017·南京、盐城二模)根据如图所示的伪代码,输出                    S 的值为________.
                                       S←1
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    I←1
    While I≤8
     S←S+I
     I←I+2
    End While
    Print S
    答案:17
    解析:模拟执行程序,可得            S=1,I=1;
    满足条件    I≤8,S=2,I=3;
    满足条件    I≤8,S=5,I=5;
    满足条件    I≤8,S=10,I=7;
    满足条件    I≤8,S=17,I=9;
    不满足条件     I≤8,退出循环,输出         S 的值为   17.
    12. 执行如图所示的伪代码,输出的结果是________.
                                       S←1
    I←2
    While S≤100
     I←I+2
     S←S×I
    End While
    Print I
    答案:8
    解析:由流程图知,执行第一次循环体时                  I=4,S=4,执行第二次循环体时            I=6,
S=24,执行第三次循环体时           I=8,S=192,此时退出循环.
    13.  (2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的流程图,为使输出                   S 的值小于   91,则输入的正
整数   N 的最小值为________.


    答案:2
    解析:流程图运行过程如下表所示:
                                         S      M     t
                         初始状态            0     100    1
                      第  1 次循环结束        100   -10     2
                      第  2 次循环结束        90      1     3
     第 2 次循环结束时      S=90<91,首次满足条件,故程序应在             t=3  时跳出循环,即       2 为
               满足条件的正整数        N 的最小值.第     2 课时 统 计 初 步 
    一、 填空题
    1. 某厂共有     1 000 名员工,准备选择       50 人参加技术评估,现将这           1 000 名员工编号
为  1 到 1   000,准备用系统抽样的方法抽取.已知在第一部分随机抽取到的员工编号是
15,那么在最后一部分抽取到的员工编号是________.
     答案:995
    解析:样本间隔为        1 000÷50=20,∵     在第一部分随机抽取到的号码是              15,∴   在最
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后一部分抽取到的员工编号是             15+49×20=995.
    2.    (2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为
200,400,300,100   件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽
取  60 件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.
     答案:18
                                                    300         3
    解析:丙种型号的产品在所有产品中所占比例为200+400+300+100=10,所以应从丙
                       3
种型号的产品中抽取         60×10=18(件).
    3. 甲、乙两位选手参加射击选拔赛,其中连续                  5 轮比赛的成绩(单位:环)如下表:

             选手     第  1 轮    第 2 轮    第  3 轮    第 4 轮    第  5 轮
              甲       9.8      9.9      10.1       10      10.2
              乙       9.4      10.3     10.8      9.7       9.8
    则甲、乙两位选手中成绩较稳定的选手成绩的方差是________环                       2.
    答案:0.02
    解析:由数据可知,甲选手成绩较稳定.求得甲选手成绩的方差为                            0.02 环 2.
    4.   从某班抽取     5 名学生测量身高(单位:cm),得到的数据为                160,162,159,160,
159,则该组数据的方差         s2=________.
          6
    答案:5
                            1                                               6
    解析:由    x=160,从而    s2=5×[2×(160-160)2+(162-160)2+2×(159-160)2]=5.
    5. 用茎叶图记录甲、乙两同学高三前               5 次数学测试的成绩,如图.他们在分析对比成
绩变化时,发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了.若已知乙的平均成绩低于甲的平均成
绩,则看不清楚的数字为________.


    答案:0
                       99+100+101+102+103
    解析:甲的平均成绩为                   5          =101,设看不清楚的数字为           x,则乙
            93+94+97+110+110+x
的平均成绩为                5          <101,解得    x<1.因为    x≥0,x∈N,所以      x=0,
即看不清楚的数字为         0.
                                                                  2
    6.   (2017·南京、盐城一模)已知样本数据             x1,x2,x3,x4,x5  的方差    s =3,则样本
数据   2x1,2x2,2x3,2x4,2x5  的方差为________.
    答案:12
                                              2
    解析:∵      样本数据    x1,x2,x3,x4,x5  的方差    s =3,∴    样本数据    2x1,2x2,2x3,
                 2 2
2x4,2x5 的方差为    2 s =4×3=12.
    7. 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图.已知图中从左到右的前                               3 个小组
的频率之比为      1∶2∶3,第     2 小组的频数为     10,则抽取的学生人数为________.


    答案:40
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    解析:前    3 组的频率之和为       1-(0.012   5+0.037  5)×5=0.75,第    2 小组的频率是
         2                          10
0.75×1+2+3=0.25.设样本容量为         n,则   n =0.25,即  n=40.
    8. 某电视传媒公司为了了解某类体育节目的收视情况,随机抽取了                           100 名观众进行调
查.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图,其中
收看时间分组区间是[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60].则
图中   x 的值为________.


    答案:0.01
    解析:由题设可知(0.005+x+0.012+0.020+0.025+0.028)×10=1,解得                 x=0.01.
    9.  (2017·南通二调)现有      1  000 根某品种的棉花纤维,从中随机抽取               50 根,纤维长
度(单位:mm)的数据分组及各组的频数见表,据此估计这                      1  000 根中纤维长度不小于        37.5 
mm 的根数是________.

                               纤维长度          频数
                             [22.5,25.5)       3
                             [25.5,28.5)       8
                             [28.5,31.5)       9
                             [31.5,34.5)      11
                             [34.5,37.5)      10
                             [37.5,40.5)       5
                             [40.5,43.5]       4
    答案:180
                                               5+4
    解析:由表知,纤维长度不小于              37.5 mm 的频率为    50 =0.18,所以估计这       1  000 根
中纤维长度不小于        37.5 mm 的根数是    1 000×0.18=180.
    10.  样本容量为     100 的频率分布直方图如图所示,根据样本频率分布直方图估计平均
数为________. 


    答案:14.24
                   1
    解析:平均数为100×(6×10+20×12+40×14+24×16+10×18)=14.24(每组数用
该组中间的数代替).
    11. 某中学为了了解学生数学课程的学习情况,在                    3 000 名学生中随机抽取        200 名,
并统计这    200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频
率分布直方图推测,这          3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于              60 分的人数是________.
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    答案:600
    解析:根据样本的频率分布直方图可知,成绩小于                     60 分的学生的频率为        0.02+
0.06+0.12=0.20,所以可推测        3  000 名学生在该次数学考试中成绩小于              60 分的人数为
600.
    二、 解答题
    12. 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传递带上每隔                          30 分钟抽取一袋产
品,称其质量,分别记录抽查数据如下:
    甲:102 101 99 98 103 98 99
    乙:110 115 90 85 75 115 110
    (1) 化肥厂采用的是什么样的抽样方法?
    (2) 根据数据估计这两个车间所包装肥料每袋的平均质量.
    (3) 分析两个车间的技术水平哪个更好些?
    解:(1) 化肥厂采用的是系统抽样.
             1

    (2) x 甲=7×(102+101+99+98+103+98+99)=100,
         1

    x 乙=7×(110+115+90+85+75+115+110)=100.
    即抽出的甲、乙两个车间的样本平均数都是                  100,据此估计当天生产的肥料的平均质
量为   100.
    (3) 甲、乙两组数据对应的方差分别为
         1                        24
    s甲2 =7×(4+1+1+4+9+4+1)=        7 ,
         1                                      1 600
    s乙2 =7×(100+225+100+225+625+225+100)=        7  .
    显然,s甲2   <s乙2 .
    因为两车间每袋产品的平均质量都是                100,所以甲车间的技术水平比较好.
    13.  (2017·北京卷)某大学艺术专业           400 名学生参加某次测评,根据男女学生人数比
例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了                  100 名学生,记录他们的分数,将数据分成                7 组:
[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图.


    (1) 从总体的    400 名学生中随机抽取一人,估计其分数小于                 70 的概率;
    (2) 已知样本中分数小于         40 的学生有    5 人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人
数;
    (3)   已知样本中有一半男生的分数不小于               70,且样本中分数不小于          70 的男女生人数
相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.
    解:(1)            根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于                   70 的频率为(0.02+
0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于            70 的频率为   1-0.6=0.4.所以从总体的        400 名学
生中随机抽取一人,估计其分数小于                70 的概率为   0.4.
    (2)     根据题意,样本中分数不小于             50 的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=
0.9,分数在区间[40,50)内的人数为            100-100×0.9-5=5.
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                                                   5
    所以估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为                 400×100=20.
    (3) 由题意可知,样本中分数不小于              70 的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,
                                          1
    所以样本中分数不小于          70 的男生人数为      60×2=30.
    所以样本中的男生人数为           30×2=60,
    女生人数为     100-60=40,
    男生和女生人数的比例为           60∶40=3∶2.
     所以根据分层抽样原理,估计总体中男生和女生人数的比例为                          3∶2.第  3 课时 古典
                                   概型(1) 
    一、 填空题
    1. 有下列命题:
    (1)  某市工商部门调查某品牌的奶粉质量,给该品牌奶粉评“优”“中”“差”,因
                             1
此该品牌奶粉评为“优”的概率是3;
    (2)   射击运动员向一靶心进行射击.试验的结果为命中                     10 环,命中   9 环,…,命中
0 环,这个试验是古典概型;
    (3)  不透明的袋中装有大小相同的四个红球,三个白球,两个黑球,那么每种颜色的
球被摸到的可能性相同.
    其中假命题的个数为________.
    答案:3
    解析:根据每一次试验的意义和每个基本事件的含义进行判断.所有命题均不正确.
    (1) 该品牌奶粉被评为“优”“中”“差”的概率不一定相等.
    (2) 不是古典概型,因为命中           10 环,命中    9 环,…,命中     0 环不是等可能的.
                       4                  1                 2
    (3) 摸到红球的概率为9,摸到白球的概率为3,摸到黑球的概率为9.
    2.  在某餐厅内抽取       100 人,其中有    30 人在  15 岁及  15 岁以下,35    人在  16 岁至  25 岁
之间,25   人在   26 岁至  45 岁之间,10   人在   46 岁及 46 岁以上,则从此餐厅内随机抽取              1 人,
此人年龄在     16 岁至  25 岁之间的概率约为________.
    答案:0.35
    解析:16   岁至   25 岁之间的人数为      35,频率为    0.35,故从此餐厅内随机抽取一人,此
人年龄在    16 岁至  25 岁之间的概率约为        0.35.
    3. (2017·无锡期末)从      3 男 2 女共  5 名学生中任选     2 人参加座谈会,则选出的           2 人恰
好为   1 男 1 女的概率为________.
          3
    答案:5
    解析:从    3 男 2 女共  5 名学生中任选      2 人参加座谈会,基本事件总数            n=10,选出的
2 人恰好为    1 男 1 女包含的基本事件个数         m=3×2=6,所以选出的         2 人恰好为    1 男 1 女的
        m   6  3
概率 P=   n =10=5.
    4.  从 2 个白球,2    个红球,1    个黄球中随机取出两个球,则取出的两个球中恰有一个
红球的概率是__________.
          3
    答案:5
    解析:从    5 个球中随机取出两个球的基本事件数为                10,取出的两球中恰有一个红球的
                                                3
基本事件数为      6,则取出的两球中恰有一个红球的概率是5.
    5.  抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有                  1,2,3,4    的正四面体,记落在桌面
                            x
的底面上的数字分别为          x,y,则y为整数的概率是________.
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          1
    答案:2
                                x                                    1
    解析:本题的基本事件数为            16,y为整数的基本事件数为           8,则所求的概率是2.
    6. 一个家庭有两个小孩,这两个小孩是一男一女的概率为________.
          1
    答案:2
    解析:所有的基本事件有(男,男),(女,女),(女,男),(男,女),共                           4 个,事件
                                            2  1
“一个男孩,一个女孩”含有两个基本事件,故                    P=4=2.
    7. 甲、乙两人一起去游“苏州乐园”,他们约定,各自独立地从                          1 到 6 号景点中任选
4 个进行游览,每个景点参观           1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是
________.
          1
    答案:6
    解析:对本题我们只看甲、乙两人游览的最后一个景点,最后一个景点的选法有
6×6=36(种),若两个人最后选同一个景点共有                 6 种选法,所以最后一小时他们在同一个
                   1
景点游览的概率为        P=6.
    8. 从  1,2,3,4,5    这 5 个数中,随机抽取        2 个不同的数,则这       2 个数的和为偶数的
概率是________________.
          2
    答案:5
    解析:从    1,2,3,4,5    这  5 个数中,随机抽取       2 个不同的数共有       10 种取法,其中
                                            2
2 个数的和为偶数的情况共有           4 种,则所求的概率是5.
    9. 甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)
”“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人
胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是____________.
          1
    答案:4
                                                                         1
    解析:基本事件总数为          8,一次游戏中甲胜出的基本事件数为                2,则所求的概率为4.
    10. 从 1,2,3,4    这四个数中一次随机取两个数,则取出的数中一个是奇数一个是偶
数的概率为____________.
          2
    答案:3
    解析:从    1,2,3,4    这四个数中一次随机取两个数,共              6 种取法,取出的数中一个是
                                                                  2
奇数一个是偶数,共         4 种取法,则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为3.
    二、 解答题

    11.      在某次测验中,有        6 位同学的平均成绩为        75 分.用   xn 表示编号为    n(n=1,
2,…,6)的同学所得成绩,且前             5 位同学的成绩如下:

                      编号  n     1    2     3     4    5
                      成绩  xn   70    76   72    70    72
    (1) 求第  6 位同学的成绩      x6 及这 6 位同学成绩的标准差         s;
    (2)  从前  5 位同学中,随机地选         2 位同学,求恰有      1 位同学成绩在区间(68,75)中的
概率.
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    解:(1) 因为这     6 位同学的平均成绩为         75 分,
        1

    所以6×(70+76+72+70+72+x6)=75,解得           x6=90,
                            1
    这 6 位同学成绩的方差        s2=6×[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+
(72-75)2+(90-75)2]=49(分    2),
    所以标准差     s=7  分.
    (2)     从前  5 位同学中,随机地选出          2 位同学的成绩有(70,76),(70,72),(70,
70),(70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共
10 种,
    恰有  1 位同学成绩在区间(68,75)中的有(70,76),(76,72),(76,70),(76,
                           4
72),共  4 种,则所求的概率为10=0.4,
    即恰有   1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率为             0.4.
    12.  已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动,为了解本次考试学生的
某学科成绩情况,从中抽取部分学生的分数(满分为                     100 分,得分取正整数,抽取学生的分
数均在[50,100]之内)作为样本(样本容量为               n)进行统计,按照[50,60),            [60,70), 
[70,80),   [80,90),   [90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图
(茎叶图中仅列出了得分在[50,60), [90,100]的数据).


    (1) 求样本容量     n 和频率分布直方图中的          x,y 的值;
    (2)  在选取的样本中,从成绩在            80 分以上(含    80 分)的学生中随机抽取        2 名参加“省
级学科基础知识竞赛”,求所抽取的                2 名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率.
                                     7               2
    解:(1)由题意可知,样本容量            n=0.014 × 10=50,y=50  × 10=0.004,x=0.100-
0.004-0.008-0.014-0.040=0.034.

    (2)由题意可知,得分在[80,90)内的学生有              4 人,记这    4 人分别为    a1,a2,a3,a4,
得分在[90,100]内的学生有         2 人,记这    2 人分别为   b1,b2,随机抽取      2 名学生的所有情况
有  15 种,分别为(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,
a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,
b2).
    其中  2 名学生的得分恰有一人在[90,100]内的情况有                8 种,
                                                         8
    ∴ 所抽取    2 名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率               P=15.
    13. 甲、乙两校各有       3 名教师报名支教,其中甲校           2 男 1 女,乙校    1 男 2 女.
    (1)   若从甲校和乙校报名的教师中各任选                1 名,写出所有可能的结果,并求选出的
2 名教师性别相同的概率;
    (2)  若从报名的     6 名教师中任选      2 名,写出所有可能的结果,并求选出的                2 名教师来
自同一学校的概率.
    解:(1) 甲校两男教师分别用           A,B 表示,女教师用       C 表示;乙校男教师用         D 表示,两
女教师分别用      E,F  表示.
    从甲校和乙校报名的教师中各任选               1 名的所有可能的结果为(A,D),(A,E),(A,
F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共             9 种.
    从中选出的     2 名教师性别相同的结果为(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共                   4 种.
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                                     4
    所以选出的     2 名教师性别相同的概率为9.
    (2) 从甲校和乙校报名的教师中任选              2 名的所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),
(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,
E),(D,F),(E,F),共      15 种.
    从中选出的     2 名教师来自同一学校的结果为(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),
(E,F),共   6 种.
                                         6   2
    所以选出的     2 名教师来自同一学校的概率为15=5.

                              第  4 课时 古典概型(2)
    一、 填空题

    1.   (必修  3P103 练习 1)某班准备到郊外野营,为此向商店订购了帐篷.如果下雨与不
下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,
                                          3              1               1
则下列说法:①        一定不会淋雨;②         淋雨机会为4;③        淋雨机会为2;④        淋雨机会为4.其
中正确的是________.(填序号)
     答案:④
    解析:基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷
                                                              1
未到”,共     4 种情况,而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨机会为4.只有④正确.
    2.             从甲、乙、丙三人中任选两人作为代表去开会,甲未被选中的概率为
____________.
          1
    答案:3
                                                                     1
    解析:所有的基本事件为甲、乙,甲、丙,乙、丙,∴ 甲未被选中的概率为3.
    3.   现有在外观上没有区别的           5 件产品,其中      3 件合格,2   件不合格,从中任意抽检
2 件,则一件合格另一件不合格的概率为________.
          3
    答案:5
    解析:从    5 件产品中任意抽检        2 件,总的基本事件数为         10,其中一件合格另一件不合
                               6   3
格的基本事件数为        6,则所求概率为10=5.
    4. 若将甲、乙两个球随机放入编号为               1,2,3  的三个盒子中,每个盒子的放球数量不
限,则在    1,2  号盒子中各有一个球的概率是________.
          2
    答案:9
    解析:将甲、乙两个球随机放入编号为                 1,2,3  的三个盒子中,不同的放法有             3×3=
                                                                2
9(种).而   1,2  号盒子中各有一个球的不同放法有              2 种,所以所求的概率为9.
    5. 在一次运动会火炬传递活动中,有编号为                  1,2,3,4,5    的 5 名火炬手.若从中任
选  3 人,则选出的火炬手的编号相连的概率为____________.
          3
    答案:10
    解析:从编号为       1,2,3,4,5    的  5 名火炬手中任选      3 人的结果有     10 种,其中选出的
火炬手的编号相连的事件有(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),共                     3 种,∴    选出的火炬
                      3
手的编号相连的概率         P=10.
    6. 已知一个不透明的袋中装有            5 个大小相同的黑球和红球,从袋中任意取出                  1 个球,
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                2
得到黑球的概率是5,则从袋中任意取出                 2 个球,得到都是黑球的概率为________. 
          1
    答案:10
    解析:由题意,得袋中装有黑球              2 个,从袋中    5 个球中任意取出       2 个球,共有     10 种取
                                           1
法,取出的     2 个球都是黑球的取法有          1 种,故   P=10.
    7.  从集合{-1,1,3}中随机抽取一个数              x,从集合{1,3,9}中随机抽取一个数             y,
则向量   a=(x,-1)与向量      b=(3,y)垂直的概率为________.
          2
    答案:9
    解析:由题意,得(x,y)所有的基本事件为(-1,1),(-1,3),(-1,9),(1,
1),(1,3),(1,9),(3,1),(3,3),(3,9),共           9 个.
    设“a⊥b”为事件       A,则  y=3x.事件    A 包含的基本事件有(1,3),(3,9),共            2 个.
                       2
    故 a⊥b  的概率   P(A)=9.
    8.   将一枚质地均匀的骰子先后投掷两次分别得到点数                     a,b,则直线     ax+by=0  与圆
(x-2)2+y2=2   有公共点的概率为________.
          7
    答案:12
    解析:依题意,将一枚质地均匀的骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,
b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共           36 个,其中满足“直线         ax+by=0  与圆
                                   2a
(x-2)2+y2=2   有公共点”,即满足“          a2+b2≤  2,a2≤b2”的数组(a,b)有(1,1),
(1,2),…,(1,6),(2,2),…(2,6),…,(6,6),共               6+5+4+3+2+1=21(个),
                21  7
因此所求的概率为36=12.
    9.       (2016·四川卷文)从      2,3,8,9   中任取两个不同的数,分别记为              a,b,则

logab 为整数的概率是________.
          1
    答案:6
    解析:从    2,3,8,9    中任取两个不同的数,分别记为             a,b,构成数组(a,b),共有
                                                                         2  1
12 个基本事件,其中为整数的只有(2,8),(3,9)两个基本事件,所以所求概率                            P=12=6.
    10.  已知正三棱锥的侧棱长为          1,底面正三角形的边长为            2.现从该正三棱锥的六条棱
中随机选取两条棱,则这两条棱互相垂直的概率是________.
          2
    答案:5
    解析:因为     12+12=(  2)2 ,所以正三棱锥的三条侧棱两两垂直且三组对棱互相垂直,

                  3+3  2
    所以所求概率为        15 =5.
    二、 解答题
    11.    已知集合    A={-2,0,1,3},在平面直角坐标系中,点                 M 的坐标(x,y)满足
x∈A,y∈A.
    (1) 请列出点    M 的所有坐标;
    (2) 求点  M 不在  y 轴上的概率;
                          x+y-5<0,
                             x>0,
    (3) 求点  M 正好落在区域{         y>0    )内的概率.
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    解:(1)∵    集合  A={-2,0,1,3},点       M(x,y)的坐标中     x∈A,y∈A,∴      点  M 的坐
标共有   4×4=16(个),分别是(-2,-2),(-2,0),(-2,1),(-2,3),(0,-2),
(0,0),(0,1),(0,3),(1,-2),(1,0),(1,1),(1,3),(3,-2),(3,0),
(3,1),(3,3).
    (2)   点 M 不在  y 轴上的坐标共有       12 个,分别是(-2,-2),(-2,0),(-2,1),
(-2,3),(1,-2),(1,0),(1,1),(1,3),(3,-2),(3,0),(3,1),(3,3),
                               12  3

    所以点   M 不在  y 轴上的概率     P1=16=4.
                           x+y-5<0,
                              x>0,
    (3)    点 M 正好落在区域{        y>0     )内的坐标共有     3 个,分别是(1,1),(1,3),
(3,1),
                                    3

    故点  M 正好落在该区域内的概率           P2=16.
    12. 从数字   1,2,3,4,5    中任取    3 个,组成没有重复数字的三位数,计算:
    (1) 这个三位数是      5 的倍数的概率;
    (2) 这个三位数是偶数的概率;
    (3) 这个三位数大于       400 的概率.
    解:任取    3 个数组成没有重复数字的三位数有              5×4×3=60(个).
                                                              12  1

    (1) 5 的倍数需个位数是       5,有   4×3=12(个),所以所求的概率           P1=60=5.
    (2)   这个三位数是偶数,则个位数是             2 或 4,有  4×3×2=24(个),所以所求的概率
    24  2

P2=60=5.
    (3) 这个三位数大于       400,则首位上是      4 或 5,有  4×3×2=24(个),所以所求的概率
    24  2

P3=60=5.
    13.    (2017·山东卷)某旅游爱好者计划从            3 个亚洲国家     A1,A2,A3 和 3 个欧洲国家
B1,B2,B3 中选择    2 个国家去旅游.
    (1) 若从这   6 个国家中任选      2 个,求这    2 个国家都是亚洲国家的概率;

    (2)   若从亚洲国家和欧洲国家中各任选               1 个,求这   2 个国家包括     A1 但不包括   B1 的概
率.
    解:(1)    由题意知,从      6 个国家中任选      2 个国家,其一切可能的结果组成的基本事件

有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),
(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共         15 个,
    所选  2 个国家都是亚洲国家所包含的基本事件有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共
                          3  1

3 个,则所求事件的概率          P1=15=5.
    (2)     从亚洲国家和欧洲国家中各任选              1 个,其可能的结果组成的基本事件有(A1,
B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,
B3),共  9 个,包括    A1 但不包括   B1 所包含的基本事件有(A1,B2),(A1,B3),共           2 个,
                                    2

                则所求事件的概率        P2=9.第  5 课时 几何概型与互斥事件
    一、 填空题
    1.  (2017·南通、泰州一调)一个不透明的口袋中有若干红球、黄球和蓝球(球除颜色
外不加区分),从中摸出一个球.摸出红球的概率为                     0.48,摸出黄球的概率为         0.35,则摸
出蓝球的概率为__________.
    答案:0.17
    解析:根据互斥事件的概率公式,得摸出蓝球的概率为                       1-0.48-0.35=0.17.
    2. 中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率
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  3                   1
为7,乙夺得冠军的概率为4,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
____________.
          19
    答案:28
                                                                   3       1
    解析:设事件      A 为“甲夺得冠军”,事件           B 为“乙夺得冠军”,则         P(A)=7,P(B)=4.因
                                                    3  1  19
为事件   A 和事件   B 是互斥事件,所以        P(A+B)=P(A)+P(B)=7+4=28.
    3. 《广告法》对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节目做了长期的统
                                                               9
计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率为10,那么该台每
小时约有________分钟的广告.
    答案:6
                  9
              1-
    解析:60×(      10)=6(分钟).
    4. (2017·南京、盐城二模)某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个
参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为
________.
          2
    答案:3
    解析:因为某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参
加每个兴趣小组的可能性相同,所以基本事件总数                     n=3×3=9,甲、乙不在同一兴趣小组
                                                                       3  2
的对立事件是甲、乙在同一兴趣小组,所以甲、乙不在同一兴趣小组的概率                                P=1-9=3.
    5. (2017·大连测试)如图,矩形的长为             12,宽为   5,在矩形内随机地投掷           1  000 颗
黄豆,数得落在阴影部分的黄豆为               600 颗,则可以估计阴影部分的面积约为________.


    答案:36
                                  600
    解析:可估计阴影部分的面积约为1 000×12×5=36.
    6. 欧阳修在《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥
之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱的
形状是直径为      3  cm 的圆,中间有边长为        1  cm 的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,
则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是________.
          4
    答案:9π
                            1 × 1
                              3    4
                           π ×  2
    解析:根据几何概型知          P=    (2) =9π.
    7. (2017·南通三模)某人随机播放甲、乙、丙、丁                 4 首歌曲中的     2 首,则甲、乙      2 首
歌曲至少有     1 首被播放的概率是________.
          5
    答案:6
    解析:(解法     1)由题意知,某人随机播放甲、乙、丙、丁                  4 首歌曲中的    2 首的所有可
能的播法有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁),共                             6 种.
                                                                        5
    其中,满足甲、乙        2 首歌曲至少有      1 首被播放的播法共       5 种,则所求的概率        P=6.
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    (解法  2)由题意知,某人随机播放甲、乙、丙、丁                  4 首歌曲中的     2 首的所有可能的播
法有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁),共                          6 种.
    甲、乙   2 首歌曲都没有被播放的播法有             1 种,则满足甲、乙       2 首歌曲至少有      1 首被播
              1  5
放的概率    P=1-6=6.
    8.  已知集合    A={(x,y)||x|+|y|≤2,x,y∈Z},集合         B={(x,y)|x2+y2≤2,x,
y∈Z}.在集合     A 中任取一个元素       a,那么   a∈B  的概率是____________.
          9
    答案:13
    解析:满足集合       A 的点有(-2,0),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-2),
(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,0),共                  13 个,满
足集合   B 的点有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),
                                       9
(1,0),(1,1),共     9 个,故   a∈B 的概率是13.
    9.   已知正方形     ABCD 的边长为   2,点   H 是边  DA 的中点.在正方形       ABCD 内部随机取一
点  P,则满足    PH< 2的概率是____________.
          π  1
    答案:8+4
    解析:如图,满足        PH< 2的点在△AEH,扇形       EHF 及△DFH  围成的区域内,由几何概型
            1
             π × ( 2)2+1
            4            π  1
得所求概率为          2 × 2  =8+4.


    10.  有一个底面半径为        1,高为    3 的圆柱,点    O1,O2 分别为这个圆柱上底面和下底面
的圆心.在这个圆柱内随机取一点               P,则点   P 到点  O1,O2 的距离都大于      1 的概率为
________.
          5
    答案:9
    解析:确定点      P 到点  O1,O2 的距离小于等于       1 的点的集合为以点       O1,O2 为球心,1    为
                                1  4       4
半径的两个半球,求得体积            V′=2×2×3π×13=3π,圆柱的体积             V=Sh=3π,所以点
                                     4π
                                      3  5

P 到点  O1,O2 的距离都大于      1 的概率  P=1-3π=9.
    二、 解答题
    11. (2017·南京考前模拟)某银行柜台有从左到右编号依次为                     1,2,3,4,5,6     的六
个服务窗口,其中        1,2,3,4,5    号服务窗口办理       A 类业务,6    号服务窗口办理       B 类业
务.
    (1)  每天  12:00  至 14:00,由于需要办理        A 类业务的顾客较少,现从          1,2,3,4,
5 号服务窗口中随机选择          2 个窗口暂停服务,求“1         号窗口或    2 号窗口暂停服务”的概率;
    (2) 经统计,在     6 号窗口办理     B 类业务的等候人数及相应概率如下:
              等候人数         0     1      2     3     4    4 以上
                概率        0.1   0.16   0.3   0.3   0.1    0.04
    求至少   2 人等候的概率.
    解:(1)    由题意知,有如下基本事件(              (i,j)表示第    i,j  号窗口暂停服务):(1,
2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),
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    因此,共有     10 个基本事件.
    记事件   A“1  号窗口或    2 号窗口暂停服务”,事件          A 包括:
    (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),
                                    7
    因此,共有     7 个基本事件,故       P(A)=10.
    (2) 记事件“在     6 号窗口办理     B 类业务的等候人数为        k”为   Bk(k∈N),
    若事件   B 为“至少    2 人等候”,则事件        B 为“等候人数为      0 或 1”,

    所以  P(B)=P(B0)+P(B1)=0.1+0.16=0.26,
    所以  P(B)=1-P(B)=1-0.26=0.74.
    12. 一个不透明的袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为                             1,2,3,4.
    (1) 从袋中随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于                       4 的概率;
    (2)   先从袋中随机取出一个球,记编号为               m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取出
一个球,记编号为        n,求   n<m+2  的概率.
    解:(1)   从不透明的袋中随机取出两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有                              1 和
2,1  和 3,1 和  4,2 和  3,2 和 4,3  和 4,共   6 个;
    从袋中随机取出的球的编号之和不大于                 4 的基本事件有     1 和 2,1 和  3,共  2 个;
                          2 1

    因此所求事件的概率         P1=6=3.
    (2)   先从不透明的袋中随机取出一个球,记下编号为                    m,放回后,再从袋中随机取出
一个球,记下编号为         n,其一切可能的结果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,
2),(4,3),(4,4),共      16 个.满足条件      n≥m+2  的事件为(1,3),(1,4),(2,4),
                                            3

共  3 个,所以满足条件       n≥m+2  的事件的概率       P2=16;
                                               3  13

    故满足条件     n<m+2   的事件的概率      P3=1-P2=1-16=16.
    13.  (2017·潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的
顾客,两家商场的奖励方案如下:
    甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,
且每个扇形圆心角均为          15 °,边界忽略不计)即为中奖.
    乙商场:从装有       3 个白球和    3 个红球的不透明盒子中一次性摸出              2 个球(球除颜色外不
加区分),如果摸到的是          2 个红球,即为中奖.
    问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?


    解:如果顾客去甲商场,事件的全部结果构成的区域为圆盘,面积为                             πR2(R 为圆盘的
                       4 × 15πR2 πR2
半径),阴影区域的面积为             360  =  6 .
                               πR2
                                 6  1

    所以,在甲商场中奖的概率            P1=πR2=6.
    如果顾客去乙商场,记盒子中             3 个白球为    a1,a2,a3,3  个红球为    b1,b2,b3,记(x,
y)为一次摸球的结果,则一切可能的结果有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),
(a1,b3),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),
(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共     15 种,
    摸到的   2 个球都是红球的结果有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共              3 种,所以在乙商
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场中奖的概率          P2=15=5.
     因为    P1<P2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大.
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