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辽宁省实验中学分校2016-2017学年高二数学(理科)12月月考试题

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          辽宁省实验中学分校               2016—2017    学年度上学期月考试题

                             数学(理科)高二年级

                                       第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共          12 小题,每小题     5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

    要求的。
                                                       1
    1.已知中心在原点的椭圆         C 的右焦点为     F(1,0),离心率等于2,则        C 的方程是(  )
     x2  y2                                x2 y2
    A. 3 + 4 =1                         B. 4 + 3=1
     x2  y2                                x2 y2
    C. 4 + 2 =1                         D. 4 + 3 =1

    2.数列{an}是等差数列,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列的前                   20 项和等于(  )
    A.160                               B.220
    C.200                               D.180
    3.已知向量     n=(1,0,-1)与平面      α 垂直,且    α  经过点   A(2,3,1),则点   P(4,3,2)到 α  的
距离为(  )

     3                                      2
    A.2                                 B. 2
                                           3 2
    C. 2                                D.  2

    4 .设等比数列{an}的前      n 项和为   Sn,若  S2=3,S4=15,则    S6=(  )
    A.31                               B.32
    C.63                               D.64
    5.设斜率为     2 的直线  l 过抛物线    y2=ax(a≠0)的焦点     F,且和   y 轴交于点    A.若△OAF(O  为坐
标原点)的面积为       4,则抛物线方程为(  )
    A.y2=±4x                            B.y2=±8x
    C.y2=4x                             D.y2=8x
    6.如右图所示,正方体         ABCD—A′B′C′D′中,M       是  AB 的中点,则    sin〈  → ,  → 〉的正弦
                                                                   DB′  CM
值为(  )

     1                                      210
    A.2                                 B.  15
      2                                     11
    C. 3                                D. 15

    7.设等差数列{an}的前       n 项和为   Sn,且  a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足     Sn>0 的最大自然数
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n 的值为(  )
    A.6                                B.7
    C.12                               D.13
                            x2  y2
    8.直线   y=kx-k+1   与椭圆   9 + 4 =1 的位置关系为(  )
    A.相交                                B.相切
    C.相离                                D.不确定
    9.已知   M 是△ABC  内的一点,且      → · → =2  3,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA         和△MAB  的面
                               AB   AC
       1          1  4
积分别为2,x,y,则x+y的最小值是(  )
    A.20                                B.18  
    C.16                                D.9
    10.在正四棱锥      S-ABCD 中,O  为顶点    S 在底面的射影,P      为侧棱   SD 的中点,且     SO=OD,则
直线  BC 与平面   PAC 所成的角是(  )
    A.75°                               B.60°
    C.45 °                              D.30°
                                     6

    11.双曲线的虚轴长为        4,离心率     e= 2 ,F1、F2 分别是它的左,右焦点,若过             F1 的直线与双

曲线的左支交于       A、B 两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|为(  )
    A.8 2                               B.4  2

    C.2 2                               D.8
    12.已知双曲线      E 的中心为原点,F(3,0)是       E 的焦点,过     F 的直线  l 与 E 相交于   A、B 两点,
且 AB 的中点为    N(-12,-15),则     E 的方程为(  )
     x2  y2                                x2 y2
    A. 3 - 6 =1                         B. 4 - 5 =1
     x2  y2                                x2 y2
    C. 6 - 3 =1                         D. 5 - 4 =1

                                   第Ⅱ卷

   二、填空题     :本大题共     4 小题,  每小题    5 分。

    13.今年冬天流感盛行,据医务室统计,北校近                   30 天每天因病请假人数依次构成数列{an},

                                     n      *
已知  a1=1,a2=  2,且   an+2-an=1+(-1)    (n∈N   ),则这   30 天因病请假的人数共有
________人.
    14.若抛物线     x2=2y 的顶点是抛物线上到点          A(0,a)距离最近的,则       a 的取值范围是
________.
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                                     x2  y2
    15.已知抛物线      y2=8x 的准线过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率
为 2,则该双曲线的方程为________.
    16.边长为    1 的等边三角形     ABC 中,沿   BC 边高线   AD 折起,使得折后二面角         B-AD-C  为
60°,点   D 到平面   ABC 的距离为________.

三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。
                                 x-1
    17.(本小题    12 分) 已知   p:|1-   3 |≤2,q:x2-2x    +1-m2≤0(m>0),若¬p    是¬q  的充分不
必要条件,求实数        m 的取值范围.


    18.(本小题    12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且                 a3+2 是 a2 和 a4 的
等差中项.

    (1)求数列{an}的通项公式       an;

                                                        n1
    (2)令 bn  a n log 1 an , Sn  b1  b2   bn  ,求使 Sn  n2  50 成立的最小的正整数 n.
                   2


    19.(本小题    12 分)如图,在直三棱柱        A1B1C1-ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点         D 是
BC 的中点.

    (1)求异面直线     A1B 与 C1D 所成角的余弦值;

    (2)求平面   ADC1 与平面  ABA1 所成夹角的正弦值.
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    20.(本小题    12 分)在平面四边形      ABCD 中,  AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD        沿
BD 折起,使得平面      ABD⊥平面   BCD,如图.
    (1)求证:AB⊥CD;
    (2)若 M 为 AD 中点,求直线     AD 与平面   MBC 所成角的正弦值.


    21.(本小题    12 分)已知椭圆    C:x2+2y2=4.
    (1)求椭圆   C 的离心率;
    (2)设 O 为原点,若点     A 在椭圆   C 上,点   B 在直线   y=2 上,且   OA⊥OB,试判断直线       AB 与圆
x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论.


    22. (本小题   12 分)已知平面内一动点        P 到点  F(1,0)的距离与点      P 到 y 轴的距离的差等于       1.

(1)求动点   P 的轨迹   C 的方程;

(2)过点  F 作两条斜率存在且互相垂直的直线              l1,l2,设  l1 与轨迹  C 相交于点    A,B,l2 与轨迹   C 相交
            
于点  D,E,求  AD   EB 的最小值.
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                                     数学(理)答案

    1-12  DDBCB   BCABD  AB
                       y2           15
    13.255     14.x2-  3 =1    15.  10      16. a≤1
                      x-1
    17. [解析] 由|1-      3  |≤2,得-2≤x≤10,∴¬p:A={x|x>10,或           x<-2}.
    由 x2-2x+1-m2≤0,得     1-m≤x≤1+m(m>0),
    ∴¬q:B={x|x>1+m,或     x<1-m,m>0}.
    ∵¬p 是¬q 的充分不必要条件,∴A          是  B 的真子集.

    结合数轴有Error!或Error!解得     050,得-(n-1)·2       -2+n·2     >50,则   2 >26,
    故满  足不等式的最小的正整数           n=5.
    19.  (1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系                   A-

xyz,则  A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),
C (0,2,4),所以   → =(2,0,-4),     → =(1,-1,-4).
 1            A1B              C1D
                           →   →
                          A1B·C1D      18     3 10
    因为  cos〈  → ,  →  〉=|  → || → |= 20 × 18=  10 ,
             A1B  C1D     A1B C1D
                                        3 10

    所以异面直线      A1B 与 C1D 所成角的余弦值为       10 .

    (2)设平面   ADC1 的法向量为    n1=(x,y,z),
    因为  → =(1,1,0),   → =(0,2,4),所以    n · →  =0,n  ·  → =0,
       AD            AC1                1  AD      1  AC1
    即 x+y=0  且  y+2z=0,取    z=1,得   x=2,y=-2,

    所以,n1=(2,-2,1)是平面        ADC1 的一个法向量.
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    取平面   AA1B 的一个法向量为      n2=(0,1,0),

    设平面   ADC1 与平面  ABA1 所成二面角的大小为        θ.
              |n1·n2|   2    2            5
    由|cosθ|=|n1||n2|= 9 × 1=3,得   sinθ=   3 .
                                                 5

    因此,平面     ADC1 与平面  ABA1 所成二面角的     正弦值为    3 .
    20. (1)∵平面    ABD⊥平面   BCD,平面   BCD∩平面   BCD=BD,

    AB⊂平面  ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面       BCD,
    又 CD⊂平面   BCD,∴AB⊥CD.
    (2)过点  B 在平面   BCD 内作 BE⊥BD,如图

    由(1)知  AB⊥平面   BCD,BE⊂平面    BCD,BD⊂平面   BCD,
    ∴AB⊥BE,AB⊥BD
    以 B 为坐标原点分别以       → ,  → , → 的方向为    x 轴、y  轴、z   轴的正方向建立      空间直角坐标系,
                       BE  BD   BA
                                                    1  1
依题意   得 B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M(0,2,2),
                           1  1
    则 → =(1,1,0),  →  =(0,2,2),   →  =(0,1,-1),
     BC            BM             AD

    设平面   MBC 的法向量   n=(x0,y0,z0),

    则Error! 即Error!取 z0=1,得平面   MBC 的一个法向量     n=(1,-1,1),
                                                                →
                                                              |n·AD|  6
    设直线   AD 与平面   MBC 所成的角为    θ,则    sinθ=|cos〈n,   →  〉|=|n|·| → |= 3
                                                      AD        AD
                                       6
    即直线   AD 与平面   MBC 所成角的正弦值为       3
                                     x2 y2
    21. (1)由题意,椭圆      C 的标准方程为      4 + 2 =1.
    所以  a2=4,b2=2,从而     c2=a2-b2=2,因此     a=2,c=    2,

                      c   2
    故椭圆   C 的离心率    e=a=  2 .
    (2)直线  AB 与圆  x2+y2=2 相切.证明如下:

    设点  A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中          x0≠0.
                                                       2y0
    因为  OA⊥OB,所以    → ·  → =0,即   tx +2y =0,解得    t=-   x0 .
                    OA  OB          0    0
                    t2

    当 x0=t 时,y0=-    2 ,代入椭圆    C 的方程,得     t=±   2,
    故直线   AB 的方程为    x=±  2.
    圆心  O 到直线   AB 的距离  d=  2,此时直线     AB 与圆  x2+y2=2  相切.
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                                    y0-2

    当 x0≠t 时,直线    AB 的方程为    y-2=x0-t(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.
                                 |2x0-ty0|
    圆心  O 到直线   AB 的距离  d=  y0-22+x0-t2.
                                        2y02        4+x02
                                   |2x0+   |       |    |
                                         x0          x0

                      2y0                4y02    x04+8x02+16
                                 x02+y02+   +4
    又 x02+2y02=4,t=-   x0 ,故  d=         x02  =      2x02   =  2.
    此时直线    AB 与圆  x2+y2=2 相切.

22. (1)设动点   P 的坐标为(x,y),

               2
由题意得     x 1  y2  x 1.化简得   y2=2x+2|x|,当 x≥0 时,y2=4x;当   x<0 时,y=0

所以动点    P 的轨迹   C 的方程为   y2=4x(x≥0)和  y=0(x<0)

(2)由题意知,直线       l1 的斜率存在且不为       0,设为   k,则  l1 的方程为   y=k(x-1).

  y  k x 1
由             ,得  k2x2-(2k2+4 )x+k2=0.
   2
  y  4x
                                                             4
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,于是           x1+x2= 2  ,x1x2=1.
                                                             k2
                           1
因为  l1⊥l2,所以   l2 的斜率为    -
                           k
                                      2
设 D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得   x3+x4=2+4k ,x3x4=1
               
ADEB    AF  FDEF  FB= AFEF   AFFB  FDEF   FDFB
    
= AF  FB  FD  EF =(x1+1)(x2+1)+(x3 +1)(x4+1)

        4
=1+( 2   )+1+1+(2+4k2)+1
       k2
           1                1
=8  4(k2  )  8  4 2 k2  16,
          k2               k2
               1              
故当且仅当     k2    即 k=±1  时,  ADEB  取最小值     16.………………………13        分
              k2
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