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高中数学人教A版必修5导学案:1.2 正弦定理和余弦定理应用举例

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高中数学审核员

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            1.2 正弦定理和余弦定理应用举例(学生版)
【知识梳理】
(1)正弦定理:      在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
            a     b      c
       即:                  2R ,其中  R 为该三角形外接圆的半径.
           sin A sin B sin C
(2)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余
弦的积的两倍.
       即: c2  a2  b2  2abcosC , a2  b2  c2  2bccos A , b2  a2  c2  2accosC .
                    1    1         1         1
(3)面积公式:     S      ah   absin C  acsin B  bcsin A.
              ABC  2    2         2         2
                                                   1        1
   证明:过点    C 作 CD⊥AB 于 D,此时有    CD  bsin A , S    c CD  bcsin A ,
                                              ABC 2        2
             1         1         1
同理可得   S      absin C  acsin B  bcsin A .
        ABC 2         2         2


                                
2.正弦定理和余弦定理的应用
考点  1:三角形面积公式的应用
【例  1】在△ABC    中,已知     A=30°,a=8,b=8      3,求△ABC    的面积.


                         3
练习  1.已知△ABC     的面积为2,且       b=2,c=    3,则(   )
    A.A=30°      B.A=60°       C.A=30°或    150°     D.A=60°或    120°
2.在△ABC    中,AB=2,BC=5,△ABC         的面积为     4,则  cos∠ABC  等于(   )
      3          3          3        2
    A.5      B.±5      C.-5      D.±5

3.在△ABC   中,已知     b=1,c=3,A=600,则    S△ABC=               。
4.在△ABC  中,若  a  7,b  3,c  8 ,则其面积等于(      )
              21
   A.12    B.       C. 28    D. 6 3
               2
考点  2:判断三角形的形状
【例  2】(1)已知△ABC       的三边的长度分别为          5、7、8,试判断△ABC        的形状.
       (2)已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab        且 2cosAsinB=sinC,试判断此三角形
的形状.
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练习  1.在 ABC  中, bcos A  acos B ,则 ABC 是(    )
   A.直角三角形             B.锐角三角形           C.等腰三角形             D.等边三角
形
2.在△ABC    中,角   A,B,C    的对边分别为      a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=
 3ac,则角   B 的值为(   )
      π           π            π  5π            π  2π
    A.6          B.3          C.6或 6            D.3或 3
3.在 ABC  中, a,b,c 分别为角   A, B,C 的对边,若  2a cos B  c ,则 ABC 的形状(     

)
    A. 直角三角形       B. 等边三角形        C. 等腰三角形    D. 等腰直角三角形

4.设  2a+1,a,2a-1   为钝角三角形的三边长,求实数               a 的取值范围.


    【反思】 本题实质上是求            2a+1,a,2a-1   能构成钝角三角形的充要条件,
除了要保证三边长均为正数外,还应满足“两边之和大于第三边”.
5.在△ABC    中,角   A,B,C    的对边分别为      a,b,c,已知      bcosC=(2a-c)cosB.
    (1)求角  B 的大小;(2)若    b2=ac,试确定△ABC       的形状.


考点  3:测量距离
类型  1:设 A、B  两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。

【例  3】测量者在    A 的同测,在所在的河岸边选定一点           C,测出  AC 的距离是10    3 ,

∠BAC=45o,  ∠ACB=75o,求   A、B 两点间的距离.
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类型   2:A、B  两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量两点间的距离的方法。
【例   4】   如图,为了测量河对岸            A,B   两点间的距离,在岸边定一基线                  CD,现
已测出    CD=a   和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试
求  AB 的长.


练习   1.隔河可以看到对岸两目标           A 、  B ,但不能到达,现在岸边取相距             3km 的 C 、  D 两

点,测得    ACB    75 , BCD  45 , ADC   30 , ADB   45 ( A 、 B 、 C 、
 D 在同一平面内),求两目标           A 、  B 间的距离.


练习   2.如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点                                  A 、

 B ,观察对岸的点      C ,测得   CAB    75 , CBA  45 ,且 AB 100 米.

(1)求   sin 75 ;(2)求该河段的宽度.


考点   4:测量高度
【例   5】    如图,在山顶铁塔上         B 处测得地面上一点        A 的俯角    60 ,在塔底
C 处测得   A 处的俯角      45 . 已知铁塔  BC 部分的高为    10 m,求出山高      CD
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练习  1:如图,为了测量河对岸的塔高               AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔
底 B 在同一水平面内的两个测点            C 和  D,测得    CD=200  米,在   C 点和   D 点测得
塔顶  A 的仰角分别是      45°和  30°,且∠CBD=30°,求塔高         AB.


练习  2.如图,为了测量河对岸电视塔               CD 的高度,小王在点        A 处测得塔顶     D 仰

角为  30°,塔底    C 与 A 的连线同河岸成       15°角,小王向前走了         1200m 到达  M 处,


测得塔底    C 与 M 的连线同河岸成       60°角,则电视塔       CD 的高度为               
.

3.在地面上一点      D 测得一电视塔尖的仰角为           45,再向塔底方向前进          100 m,又
测得塔尖的仰角为        60 ,则此电视塔高约为(      )
      A.237 m          B.227 m        C.247 m          D.257 m
4. 为测某塔   AB 的高度,在一幢与塔       AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶       A 的仰角为   30°,
测得塔基   B 的俯角为   45°,则塔   AB 的高度为多少    m?
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考点   5:测量角度

【例   6】如图,渔船甲位于岛屿          A 的南偏西    60 方向的   B 处,且与岛屿      A 相距  12 海里,渔船

乙以   10 海里/小时的速度从岛屿         A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从                B 处出发沿北偏东
                                                                               北
 的方向追赶渔船乙,刚好用            2 小时追上.
                                                                                C
(1)求渔船甲的速度;(2)求             sin 的值.


                                                                  西                  东
                                                                               A
                                                                            60
                                                                      B
                                                                              南


考点   6 三角形中的恒等式证明问题
                                                                   a2-b2
【例   7】在△ABC      中,角    A,B,C    所对的边分别为         a,b,c,证明:          c2 =
sinA-B
   sinC   .


                             a-c·cosB  sinB
练习   1.在△ABC      中,求证:b-c·cosA=sinA.
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                                                 cos B    b
2.在△ABC    中,a、b、c    分别是角     A、B、C   的对边,且cos C=-2a+c.
    (1)求角  B 的大小;(2)若     b=  13,a+c=4,求△ABC       的面积.


3.在△ABC     中,求证:     c(a cos B  bcos A)  a2  b2 . 


4.在△ABC     中,求证:
a  bcosC  c cos B,b  c cos A  a cosC,c  a cos B  bcos A . 


1.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为                 30 和 60 ,则塔高为(    

)

       200 3            400 3           400            200
     A.      m        B.      m       C.   m         D.   m
         3                3              3              3
2.如果等腰三角形的周长是底边长的                5 倍,则它的顶角的余弦值为(   )
         7        7       8        8
    A.-8   B.8       C.-7   D.7
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3.如图,在一幢       20 m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为                60°,塔基的俯角为
45°,则这座塔的高度是(  )
             3
          1+
    A.20(    3 ) m      B.20(1+ 3) m      C.10(  6+  2) m       D.20(
 6+ 2) m


                                                          
         
4.海上有    A,B  两个小岛相距       10 n mile,从 A 岛望  C 岛和  B 岛成  60°的视角,从
B 岛望  C 岛和  A 岛成  75°的视角,则      B,C  之间的距离为(  )
                           10 6
    A.10  3 n mile         B. 3  n mile        C.5 2 n mile      D.5 6 n 
mile
5.如图,要测量湖中一灯塔的高              CD(水上部分),可在岸边一建筑物              AB 上进行
                                         π          π
有关的测量.已知        AB=20  米,且测出∠CAD=3,∠ACB=4,则灯塔                CD 的高度
为(  )
    A.20(3-   3)米       B.20(  6-  2)米        C.10   2米      
D.20(  3+ 2)米
6.一艘轮船从      A 出发,沿南偏东       70°的方向航行      40 海里后到达海岛       B,然后从
B 出发,沿北偏东       35°的方向航行了      40 2海里到达海岛      C.如果下次航行直接从
A 出发到   C,此船航行的方向和路程(海里)分别为(  )
    A.北偏东     80°,20( 6+ 2)            B.北偏东     65°,20( 3+ 2)
    C.北偏东     65°,20( 6+ 2)            D.北偏东     80°,20( 3+ 2)
7.一货轮航行到       M 处,测得灯塔       S 在货轮的北偏东       15°方向上,与灯塔       S 相距
20 n mile,随后货轮按北偏西        30°的方向航行     3 h 后,又测得灯塔在货轮的东北方
向,则货轮的速度为(  )
      10 6+ 2                  10 6- 2
    A.    3     n mile/h         B.  3     n mile/h
      10 6+ 3                  10 6- 3
    C.    3     n mile/h         D.  3     n mile/h
                 cosA b  4
8.在△ABC    中,若cosB=a=3,则△ABC        是(  )
    A.直角三角形             B.等腰三角形             C.等腰或直角三角形  
D.等腰直角三角形
9.△ABC   中,AB=    3,AC=1,∠B=30°,则△ABC          的面积等于(  )
       3        3           3              3   3
    A. 2       B. 4         C. 2 或 3        D. 2 或 4
10.在△ABC    中,A=60°,AB=1,AC=2,则          S△ABC 的值为( B )
      1            3
    A.2          B. 2       C. 3      D.2 3
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11.已知△ABC   的三边长分别为      3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________.
12.如图,为测量山高         MN,选择     A 和另一座山的山顶        C 为测量观测点.从        A 点
     测得  M 点的仰角∠MAN=60°,C         点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;
     从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高          BC=100 m,则山高      MN=
     ___________m.


                                                     
13.某海岛周围      38 海里有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东                        60°方
向,航行    30 海里后,测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船________触
礁的危险.(填“有”或“没有”)
14.已知△ABC     的三个内角     A,B,C    满足  2B=A+C,且      AB=1,BC=4,则
BC 边上的中线     AD 的长为________.

15.如图,为了解某海域海底构造,对海平面内一条直线上的                          A,B,C   三点进行
测量.已知     AB=50 m,BC=120 m,于       A 处测得水深     AD=80 m,于    B 处测得水
深 BE=200 m,于    C 处测得水深      CF=110 m,求∠DEF      的余弦值.


16.一只船以     20 海里/时的速度向正东航行,它在              A 点时测得灯塔      P 在船的北偏
东 60°方向,2   小时后船到达       B 点时测得灯塔      P 在船的北偏东      45°方向,求:
    (1)船在  B 点时与灯塔     P 的距离;
    (2)已知以   P 点为圆心,55     海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么此船继续
向正东航行,有无触礁的危险?
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17.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出呼叫信号,如图,我海军护航
舰在  A 处获悉后,立即测出该货船在方位角为                 45°,距离为     10 海里的   C 处,并测
得货船正沿方位角为         105°的方向,以     10 海里/小时的速度向前行驶,我海军护航
舰立即以    10 3海里/小时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时
间.


18.在△ABC    中,内角    A,B,C    的对边分别为      a,b,c,且     bsinA= 3acosB.
    (1)求角  B 的大小;(2)若    b=3,sinC=2sinA,求     a,c 的值.


19.  如图,在树丛中为了测量河对岸           A、B 两点之间的距离,观察
   者找到一个点     C,从  C 点可以观察到点     A,B;找到一个点      D,
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 从  D 点可以观察到点      A,C;找到一个点        E,从  E 点可以观察到点      B,C.  并测量得到图中
 的一些数据,此外,         CDA   CEB  60 .
(1)求   ABC  的面积;
(2)求   A、B  两点之间的距离.
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            1.2 正弦定理和余弦定理应用举例(教师版)
【知识梳理】
(1)正弦定理:      在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
            a     b      c
       即:                  2R ,其中  R 为该三角形外接圆的半径.
           sin A sin B sin C
(2)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余
弦的积的两倍.
       即: c2  a2  b2  2abcosC , a2  b2  c2  2bccos A , b2  a2  c2  2accosC .
                    1    1         1         1
(3)面积公式:     S      ah   absin C  acsin B  bcsin A.
              ABC  2    2         2         2
                                                   1        1
   证明:过点    C 作 CD⊥AB 于 D,此时有    CD  bsin A , S    c CD  bcsin A ,
                                              ABC 2        2
             1         1         1
同理可得   S      absin C  acsin B  bcsin A .
        ABC 2         2         2


                                
2.正弦定理和余弦定理的应用
考点  1:三角形面积公式的应用
【例  1】在△ABC    中,已知     A=30°,a=8,b=8      3,求△ABC    的面积.
             a    b           b             8 3        3
    解析:由sinA=sinB,得     sinB=asinA,∴sinB=    8 ·sin30°= 2 .
    又∵8   3·sin30°<8<8 3,即 bsinA2,此时
2a+1 最大.
    ∵2a+1,a,2a-1    表示三角形的三边长,还需            a+(2a-1)>2a+1,解得
                               a2+2a-12-2a+12     aa-8
a>2.设最长边所对角为        θ,则  cosθ=       2a2a-1      =2a2a-1<0,解得
1
238.
    所以没有触礁的危险.
    答案:没有

14.已知△ABC     的三个内角     A,B,C    满足  2B=A+C,且      AB=1,BC=4,则
BC 边上的中线     AD 的长为________.
    解析:∵2B=A+C,∴A+B+C=3B=180°,∴B=60°,∵BC=4,∴BD=
2,∴在△ABD     中,AD=     AB2+BD2-2AB·BDcos60°=  12+22-2 × 1 × 2cos60°= 3.
    答案:    3

15.如图,为了解某海域海底构造,对海平面内一条直线上的                          A,B,C   三点进行
测量.已知     AB=50 m,BC=120 m,于       A 处测得水深     AD=80 m,于    B 处测得水
深 BE=200 m,于    C 处测得水深      CF=110 m,求∠DEF      的余弦值.


    解:作   DM∥AC   交  BE 于点  N,交   CF 于点   M,作   FH∥AC   交 BE 于点   H.
    由题中所给数据,得
    DF=  MF2+DM2=    302+1702=10 298,
    DE=  DN2+EN2=   502+1202=130,
    EF=  EH2+FH2=   902+1202=150.
                                         DE2+EF2-DF2
    在△DEF   中,由余弦定理,得          cos∠DEF=    2 × DE × EF =
1302+1502-102 × 298 16
   2 × 130 × 150 =65.

16.一只船以     20 海里/时的速度向正东航行,它在              A 点时测得灯塔      P 在船的北偏
东 60°方向,2   小时后船到达       B 点时测得灯塔      P 在船的北偏东      45°方向,求:
    (1)船在  B 点时与灯塔     P 的距离;
    (2)已知以   P 点为圆心,55     海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么此船继续
向正东航行,有无触礁的危险?
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    解:
    如图,在△ABP      中,依题意,知       AB=20×2=40,∠PAB=30°,∠ABP=
                                  BP    AB
135°,所以∠APB=15°.由正弦定理得sin30°=sin15°,解得           BP=20(   6+ 2).
                                                      2
    (2)过 P 点作  PD⊥AB,D    为垂足,在     Rt△BPD   中,PD=    2 BP=20 3+
20<55.
    故船在   B 点时与灯塔相距       20( 6+  2)海里,继续航行有触礁的危险.

17.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出呼叫信号,如图,我海军护航
舰在  A 处获悉后,立即测出该货船在方位角为                 45°,距离为     10 海里的   C 处,并测
得货船正沿方位角为         105°的方向,以     10 海里/小时的速度向前行驶,我海军护航
舰立即以    10 3海里/小时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时
间.


    解:设所需时间为        t 小时,
    则 AB=10   3t,CB=10t,∠ACB=120°,
    在△ABC   中,根据余弦定理,则有
    AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°,
    可得(10  3t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°,
                                       1
    整理得   2t2-t-1=0,解得     t=1  或 t=-2(舍去).
    舰艇需   1 小时靠近货船.
    此时  AB=10   3,BC=10,又    AC=10,所以∠CAB=30°,所以护航舰航行
的方位角为     75°.

18.在△ABC    中,内角    A,B,C    的对边分别为      a,b,c,且     bsinA= 3acosB.
    (1)求角  B 的大小;(2)若    b=3,sinC=2sinA,求     a,c 的值.
                                     a    b
    解:(1)由   bsinA= 3acosB 及正弦定理sinA=sinB,得      sinB= 3cosB,
                         π
    所以  tanB=  3,所以   B=3.
                      a     c
    (2)由 sinC=2sinA 及sinA=sinC,得  c=2a.
    由 b=3  及余弦定理     b2=a2+c2-2accosB,得    9=a2+
c2-ac,
    所以  a=  3,c=2   3.

19.  如图,在树丛中为了测量河对岸           A、B 两点之间的距离,观察
                  中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    者找到一个点      C,从   C 点可以观察到点      A,B;找到一个点        D,从  D 点可以观察到点       A,
    C;找到一个点      E,从   E 点可以观察到点      B,C.      并测量得到图中的一些数据,此外,
    CDA   CEB  60 .
   (1)求   ABC  的面积;
   (2)求   A、B  两点之间的距离.

19.解:(1)     RtACD  中,   AC 16Atan 60 16 3 .
 RtBCE 中,    BC 16Atan 60 16 3 . 
                      1
 ABC 的面积为      S      16 3 16 3  sin 30 192  (m2 ) . 
                 ABC 2
(2)  ABC  中,

  AB  (16 3)2  (16 3)2  216 3 16 3  cos30    

                                3                        4  2 3
               =16 3  11 2    =16 3  2  3  =16 3        = 24 2  8 6 . 
                               2                           2
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