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2018秋新版高中数学北师大版必修4习题:第一章三角函数 1.5.1

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               §5 正弦函数的图像与性质
                        5.1 正弦函数的图像
                                         课时过关·能力提升
         𝜋
       𝑀  ,𝑏 在函数𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 1的图像上,则𝑏 = (  )
1.已知点    (4 )
   2
 .  𝐵. 2𝐶.2𝐷.3
A 2
        𝜋       𝜋
       𝑓  =  2𝑠𝑖𝑛 + 1 = 2.
解析:b=   (4)      4
答案:C
2.函数  y=sin x 的图像与函数    y=-sin x 的图像关于(  )
A.x 轴对称        B.y 轴对称
C.原点对称         D.直线  y=x 对称
解析:在同一直角坐标系中画出函数              y=sin x 与函数  y=-sin x 的图像(图略),可知两函数的图像关于
x 轴对称.
答案:A
3.


与图中曲线对应的函数是                                                                   (  )
A.y=|sin x|
B.y=sin|x|
C.y=-sin|x|
D.y=-|sin x|
解析:注意到此函数图像所对应的函数值有正有负,因此排除                       A,D;当 x∈(0,π)时,sin|x|>0,与题图不符
合,因此排除     B.故选  C.
答案:C
                                 3
                               =  的交点的个数是(  )
4.y=1+sin x,x∈[0,2π]的图像与直线    y  2
A.0            B.1         C.2       D.3
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                                        3
                                      =  有两个交点
解析:如图,y=1+sin x,x∈[0,2π]的图像与直线       y  2         .


答案:C
                   1
                     的𝑥的取值范围是(  )
5.在[0,2π]上,满足  sin x≥2
    𝜋  𝜋 5𝜋
 . 0, 𝐵. ,
A [ 6] [6 6 ]
  𝜋 2𝜋 5𝜋
 . ,   𝐷.  ,𝜋
C [6 3 ] [ 6  ]
                                                     1                 1
                                                   =  的图像               的
解析:如图,在同一平面直角坐标系内作出[0,2π]上               y=sin x 和 y 2      ,知满足  sin x≥2 x 的取值范
    𝜋 5𝜋
  是   ,  .
围   [6 6 ]


答案:B
              𝑥
           =    的根的个数是(  )
★6.方程  sin x 10
A.7            B.8         C.6       D.5
                       𝑥                                         𝑥
                    =   的图像如图                                   =   的根有
解析:画出函数      y=sin x,y 10         ,两图像的交点个数为        7,故方程   sin x 10      7 个.


答案:A
7.观察正弦曲线     y=sin x 可知,最高点的横坐标组成的集合是             S=         ,最高点的纵坐
标等于   . 
          𝜋
     𝑥 𝑥 = + 2𝑘𝜋,𝑘 ∈ 𝑍  1
答案:{  |   2            }
                    𝜋
                   - ,𝜋 的递增区间是        . 
8.函数  y=sin(π+x),x∈[ 2 ]
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                            𝜋                        𝜋
                         间   ,𝜋 是                 以   ,𝜋 是
解析:y=sin(π+x)=-sin x,因为区   [2 ]  y=sin x 的递减区间,所     [2  ] y=-sin x 即 y=sin(π+x)的递增
区间.
     𝜋
      ,𝜋
答案:[2   ]
                                          1
                                        =  的交点个数为     . 
9.函数  y=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图像与直线  y  2
                           3𝑠𝑖𝑛𝑥,0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋,
                        =                在同一平面直角坐标系中画出函数
解析:函数    f(x)=sin x+2|sin x| { - 𝑠𝑖𝑛𝑥,𝜋 < 𝑥 ≤ 2𝜋,            y=sin x+2|sin 
                   1
                 =  的图像
x|,x∈[0,2π]与直线  y  2     ,如图所示,观察图像可得两图像的交点共有                 4 个.


答案:4
10.定义在   R 上的函数    y=f(x)既是偶函数又是周期函数,若          f(x)的最小正周期是      π,且当  x∈
  𝜋
0,  时,𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥.
[ 2]
(1)求当 x∈[-π,0]时,f(x)的解析式;
(2)画出函数   y=f(x)在[-π,π]上的简图;
          1
           时,𝑥的取值范围.
(3)求当 f(x)≥2
                                    𝜋                    𝜋
                                   0, 时                  - ,0 时
解(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).而当   x∈[  2]  ,f(x)=sin x,∴当 x∈[ 2 ] ,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.
                𝜋          𝜋
            - 𝜋, - 时     0,  ,
    又当  x∈[     2]  ,x+π∈[  2]
    ∵f(x)的周期为    π,
    ∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x,
    ∴当  x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x.


    (2)y=f(x)在[-π,π]上的简图如图.
                                                1        1         1     5𝜋    𝜋
                                                  .由      ,得      ‒ , ∴ ‒     ‒  .
    (3)∵f(x)的最小正周期为      π,∴先在[-π,0]上来研究     f(x)≥2 -sin x≥2 sin x≤ 2    6 ≤x≤  6
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                       5𝜋    𝜋            1
                    𝑘𝜋 - ,𝑘𝜋 - (𝑘       .
    由周期性知,当     x∈[     6     6]  ∈Z)时,f(x)≥2
    ★11.求方程   sin x=lg(x+6)的根的个数.
解构造两个函数       y=sin x,y=lg(x+6).在同一直角坐标系中画出两个函数的图像,图像交点的横坐标就
是方程的根.


    由图知,两个图像有三个交点,故方程             sin x=lg(x+6)有三个实根.

★12.试作出   y=|sin x|,x∈[-2π,2π]和 y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的图像.
解先用五点法作出        y=sin x,x∈[0,2π]的图像,然后将   y=sin x,x∈[0,2π]的图像向左平移     2π 个单位长度,
得到  y=sin x,x∈[-2π,2π]的图像,再把所得图像在       x 轴下方的部分翻折到        x 轴上方,得到    y=|sin x|,x∈[-
2π,2π]的图像,如图①.将     y=sin x,x∈[0,2π]的图像作关于    y 轴对称的图像,可得到        y=sin|x|,x∈[-
2π,2π]的图像,如图②.
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