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2019高考数学(文)培优考前溯源回扣8套(优课件+精讲义+优习题)考前冲刺四 溯源回扣六

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                   溯源回扣六 平面解析几何

1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系,导致由斜率的
取值范围确定倾斜角的范围时出错.
[回扣问题    1] 直线   xcos θ+ 3y-2=0   的倾斜角的范围是________.

                 cos θ     3      3
解析 tan α=k=-       3 ,知-   3 ≤k≤  3 ,
        π  5π
∴0≤α≤6或    6 ≤α<π.
         π   5π
       0,     ,π
答案 [     6]∪[ 6 )
2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件,如根据直线在两坐标轴上的截距相等
设方程时,忽视截距为           0 的情况.
[回扣问题    2] 已知直线过点       P(1,5),且在两坐标轴上的截距相等,则此直线的
方程为________.
解析 当截距为        0,则直线方程为       y=5x,当截距不是       0 时,设直线方程为        x+
y=a,将   P(1,5)坐标代入方程,得          a=6.∴所求方程为       5x-y=0  或 x+y-6=0.

答案 5x-y=0     或  x+y-6=0
3.求两条平行线之间的距离时,易忽视两直线                   x,y 的系数相等的条件,而直接
            |C1-C2|
代入公式     d=  A2+B2,导致错误.
[回扣问题    3] 直线   3x+4y+5=0    与 6x+8y-7=0   的距离为________.
解析 将     3x+4y+5=0   化为  6x+8y+10=0,∴两平行线间的距离              d=

|10-(-7)| 17
  62+82 =10.
      17
答案 10
4.与圆有关的参数问题,易忽视参数的影响.
[回扣问题    4] 已知   a∈R,方程     a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0     表示圆,则圆心
坐标是________.
解析 由方程表示圆,则            a2=a+2,解得     a=-1  或  a=2.
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当  a=-1  时,方程化为(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4).

                         5
但  a=2 时,x2+y2+x+2y+2=0      不表示圆.
答案 (-2,-4)
5.求圆的切线方程时,易忽视斜率不存在的情形.
[回扣问题    5] 已知点    P(1,2)与圆   C:x2+y2=1,则过点       P 作圆   C 的切线   l,则
切线   l 的方程为________________.
解析 当直线       l 的斜率不存在时,切线         l 的方程为    x=1.
若直线    l 的斜率存在,设为       k,则   l 的方程为   y=k(x-1)+2,即     kx-y+2-k=0.

           |2-k|            3
依题意,得      k2+1=1,解得     k=4.
                     3   5
此时切线     l 的方程为   y=4x+4.
                3   5
答案 x=1    或  y=4x+4
6.两圆的位置关系可根据圆心距与半径的关系判定,在两圆相切的关系中,误认
为相切为两圆外切,忽视相内切的情形.
                   x2  y2

[回扣问题    6] 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点为           F1,顶点为     A1,A2,P  是

双曲线右支上任意一点,则分别以线段                  PF1,A1A2 为直径的两圆的位置关系为
________.
                                                         1

解析 设线段       PF1 的中点为    P0,双曲线的右焦点为         F2,则|OP0|=2|PF2|,

由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a,

        1

∴|OP0|=2|PF1|-a=R-r,因此两圆内切.
答案 内切

7.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程,尤其是方程中                          a,b,c  三者之间
的关系,导致计算错误.
                           x2 y2                        5
[回扣问题    7] 已知双曲线      C:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率        e=4,且其右焦点

为  F2(5,0),则双曲线     C 的方程为(  )
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  x2  y2                          x2  y2
A. 4 - 3 =1                     B. 9 -16=1
  x2  y2                          x2  y2
C.16- 9 =1                      D. 3 - 4 =1
           c  5

解析 ∵e=a=4,F2(5,0),
∴c=5,a=4,b2=c2-a2=9,
                      x2  y2
∴双曲线     C 的标准方程为16-       9 =1.
答案 C
8.由圆锥曲线方程讨论几何性质时,易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解.

                     x2  y2                    3
[回扣问题    8] 已知椭圆     4 +m=1(m>0)的离心率等于         2 ,则 m=________.
解析 当焦点在        x 轴上,则   a=2,c=    4-m,

   4-m    3
∴   2  = 2 ,则  m=1.
当焦点在     y 轴上,则   a=  m,c=    m-4,

   m-4    3
∴   m  = 2 ,则  m=16.
答案 1    或 16
9.利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如

在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,2a<|F1F2|.如
果不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常

数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
[问题回扣    9] 已知平面内两点        A(0,1),B(0,-1),动点       M 到  A,B  两点的距
离之差为     1,则动点    M 的轨迹方程是________________.
解析 依题意|MA|-|MB|=1<|AB|,
所以点    M 的轨迹是以     A,B  为焦点的双曲线的下支.

      1             3
由  a=2,c=1,则     b2=4,
                          4x2
所以点    M 的轨迹方程是      4y2-  3 =1(y<0).
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           4x2
答案 4y2-    3 =1(y<0)
10.在抛物线中,点到焦点距离与到准线距离的转化是解决抛物线问题的突破口,
注意定义的活用.
[问题回扣    10] (2017·全国Ⅱ卷)已知      F 是抛物线     C:y2=8x  的焦点,M     是  C 上

一点,FM    的延长线交      y 轴于点   N.若 M 为  FN 的中点,则|FN|=________.
解析 如图,不妨设点          M 位于第一象限内,抛物线            C 的准线交    x 轴于点   A,过
点  M 作准线的垂线,垂足为点           B,交   y 轴于点   P,∴PM∥OF.


由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵点   M 为 FN 的中点,PM∥OF,

        1
∴|MP|=2|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,

∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.

答案 6
11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,消元后得到
的方程中要注意:二次项的系数是否为零,判别式                       Δ≥0 的限制.尤其是在应用根
与系数的关系解决问题时,必须先有“判别式                     Δ≥0”;在求交点、弦长、中点、
斜率、对称或存在性问题都应在“Δ>0”下进行.
                                        x2  y2
[回扣问题    11] (2018·西安调研)已知椭圆        W:a2+b2=1(a>b>0)的焦距为        2,过
右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为-1,O                    为坐标原点.
(1)求椭圆   W 的方程;

(2)设斜率为    k 的直线   l 与 W 相交于   A,B  两点,记△AOB      面积的最大值为        Sk,

证明:S1=S2.
(1)解 由题意,得       W 的半焦距     c=1,右焦点     F(1,0),上顶点     M(0,b).
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                     b-0
                      -
∴直线    MF 的斜率   kMF=0   1=-1,解得     b=1.
由  a2=b2+c2,得   a2=2.
                 x2
∴椭圆    W 的方程为    2 +y2=1.

(2)证明 设直线      l 的方程为   y=kx+m,设     A(x1,y1),B(x2,y2),
         y=kx+m,
         x2
           +y2=1,
由方程组{    2        )
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,

∴Δ=16k2-8m2+8>0.①
                            -4km        2m2-2
                             +           +
由根与系数的关系,得           x1+x2=1  2k2,x1x2= 1  2k2 .
              -4km       2m2-2
                   2-4 ×
∴|AB|=  1+k2 (1+2k2)     1+2k2
   1+k2
=1+2k2  8(2k2-m2+1),
                                   |m|
∵原点    O 到直线   y=kx+m   的距离   d=  1+k2,
         1         2                                   2
                 +    m2(2k2-m2+1)                       m2(3-m2)
∴S△AOB=2|AB|d=1    2k2             ,当  k=1  时,S△AOB=   3          ,
         3                      2                                  2
      2
∴当   m =2时,S△AOB   有最大值    S1= 2 ,验证满足①式,当         k=2  时,S△AOB=   9
 m2(9-m2),

         9                      2
      2
∴当   m =2时,S△AOB   的最大值    S2= 2 ,验证①式成立.因此         S1=S2.
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