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2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件:3.1 函数的单调性与极值3.1.2.1

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1.2 函数的极值


                            -1-
第1课时 函数的极值


                             -2-
                          目标导航     知识梳理    典例透析    随堂演练
                         MUBIAODAOHANG ZHISHI SHULI DIANLI TOUXI SUITANGYANLIAN


  1.结合函数的图像,了解可导函数在某点处取得极值的必要条件
和充分条件.
  2.理解函数极值的概念,理解函数的极值与导数的关系,会求函数
的极值,并能确定是极大值还是极小值.
  3.增强学生数形结合的思维意识,提高学生运用导数的基本思想
去分析和解决实际问题的能力.
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1.函数的极值的有关概念

  (1)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值

都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函

数值f(x0)为函数的极大值.

  在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大

于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值

f(x0)为函数的极小值.
  极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值
点.
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说明1.极值是一个局部性的概念.由定义知,极值只是某个点的函数
值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的
整个定义域内最大或最小,即反映的是函数值在某一点附近的大小
情况.
  2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极
值点.
  3.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上的极大值或极
小值可以不止一个.
  4.如果函数f(x)在[a,b]上有极值的话,那么它的极值点的分布是有
规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点.同样,相邻两个
极小值点之间必有一个极大值点.
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  5.极大值与极小值之间并无确定的大小关系,即一个函数的极大

值未必大于极小值,如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而

f(x4)>f(x1).
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  (2)如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少

的,那么x0是极大值点,f(x0)是极大值.

  如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,

那么x0是极小值点,f(x0)是极小值.
  【做一做1】 函数y=2-x2-x3的极值情况是(  )
  A.有极大值,没有极小值       B.有极小值,没有极大值
  C.既无极大值也无极小值          D.既有极大值又有极小值
  答案:D
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  2.求函数极值点的步骤
  (1)求出导数f'(x);
  (2)解方程f'(x)=0;

  (3)对于方程f'(x)=0的每一个解x0,分析f'(x)在x0左、右两侧的符号
(即f(x)的单调性),确定极值点;

  ①若f'(x)在x0两侧的符号“左正右负”,则x0为极大值点;

  ②若f'(x)在x0两侧的符号“左负右正”,则x0为极小值点;

  ③若f'(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点.
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说明导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如,对于函数f(x)=x3,
我们有f'(x)=3x2.显然f'(0)=0,但无论x>0,还是x<0,恒有f'(x)>0,所以
x=0不是函数f(x)=x3的极值点.一般地,“函数y=f(x)在一点处的导数
存在,且导数值为0”是“函数y=f(x)在这点处取得极值”的必要不充
分条件.
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  A.2  B.2,-1 C.-1 D.-3
  解析:f'(x)=-x2+x+2,令f'(x)=0,
     2
  即-x +x+2=0,解得x1=-1,x2=2.
  当x<-1或x>2时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上是减少的;当-
10,f(x)在(-1,2)上是增加的.故x=-1是函数的极小值点.
  答案:C
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题型一       题型二       题型三
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题型一       题型二       题型三
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 题型一   题型二  题型三


  反思1.极大值不一定比极小值大,这是因为极值是相对某一区间
而言的;
  2.借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数
图像是重要手段.
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题型一       题型二       题型三
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题型一       题型二       题型三
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 题型一   题型二  题型三


  【例2】 已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-
1.
  (1)试求常数a,b,c的值;
  (2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.
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题型一       题型二       题型三
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题型一       题型二       题型三
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 题型一   题型二  题型三
  (2)x=-1是极大值点,x=1是极小值点.理由如下:


  当x<-1或x>1时,f'(x)>0,
  当-10.
 故当x=1时,f(x)取得极小值.
 当a=-3,b=3时,
 f'(x)=3(x-1)2≥0,即x=1不是极值点.
 所以舍去a=-3,b=3.故a+b=-7.
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1关于函数的极值,下列说法正确的是(  )
A.导数为零的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值
D.如果f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数
解析:导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3,f'(0)=0,但x=0不是极
值点.极小值不一定小于极大值.f(x)在定义域内可能有多个极值点.
答案:D
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2若函数f(x)=xex,则(  )
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=-1为f(x)的极大值点
C.x=1为f(x)的极小值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
答案:D
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3已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为(
  )
A.-12   D.a<-3或a>6
解析:f'(x)=3x2+2ax+a+6,因为f(x)既有极大值又有极小值,所以
Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得a>6或a<-3.
答案:D
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4关于函数f(x)=x3-3x2的下列命题,其中正确命题的序号是     
. 
①f(x)是增函数;
②f(x)是减函数,无极值;
③f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上是增加的,在区间(0,2)上是减少的;
④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.
解析:f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.利用极值的求法可得x=0
是极大值点,x=2是极小值点.
答案:③④
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解f'(x)=x2-2x+a,由题意知方程x2-2x+a=0有两个不同的实数根,所以
Δ=4-4a>0,解得a<1.故a的取值范围为(-∞,1).
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