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河北省石家庄市2018届高考一模考试数学(文)试题(A)含解析

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高中数学审核员

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           石家庄市        2018   届高中毕业班模拟考试(一)
                            文科数学(A           卷)

一、选择题:本大题共             12 个小题,每小题         5 分,共    60 分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合                  ,                ,则       (   )

A.         B.            C.           D. 

【答案】A

【解析】                                                

             
故选   A.

2. 复数       (   )

A.    B.      C.        D. 
【答案】C

【解析】                         .
故选   C.

3. 已知四个命题:

①如果向量与       共线,则       或      ;

②     是     的必要不充分条件;

③命题    :         ,            的否定     :         ,          ;

④“指数函数          是增函数,而            是指数函数,所以             是增函数”
此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.

以上命题正确的个数为(   )

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

【答案】D

【解析】①错,如果向量与             共线,则                ;

②     是     的必要不充分条件;正确,由                 可以得到        ,但由      不能得到
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     ,如        ;

③命题    :         ,             的否定     :         ,           ;

正确

④“指数函数          是增函数,而            是指数函数,所以             是增函数”
此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.,正确.

故选   D.


4. 若数列      满足      ,           ,则      的值为(   )

A. 2    B. -3    C.     D. 
【答案】B


【解析】            ,           ,所以


                                                

故数列      是以   4 为周期的周期数列,故                               

故选   B.

5. 函数             ,其值域为      ,在区间        上随机取一个数        ,则      的概率是(   )

A.      B.     C.     D. 
【答案】B

【解析】函数                 的值域为          ,即           ,

则在区间         上随机取一个数              的概率                .
故选   B.

6. 程序框图如图所示,该程序运行的结果为                     ,则判断框中可填写的关于的条件是(   

)
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


A.         B.         C.         D. 

【答案】C

【解析】第一次运行,                             

第二次运行,                         

第三次运行,                         

第四次运行,                         

第五次运行,                         

此时,输出     25,故选    C

7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:

“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,


为实,一为从隅,开方得积.”(即:                                   ,        ),并举例“问沙田

一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”

则该三角形田面积为(   )

A. 84 平方里      B. 108 平方里     C. 126 平方里      D. 254 平方里

【答案】A


【解析】根据题意,                         ,代入                       计算可得          

故选   A.

8. 如图,网格纸上小正方形的边长为              1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表

面积为(   )
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A.      B.      C.      D. 
【答案】B

【解析】由三视图可知,该几何体为一个半圆柱中间挖去了一个半球,半圆柱的高为                                    4,底

面半径为     1,半球的半径为       1 ,故其体积为                                    
故选   B.

9. 设   是定义在             上的偶函数,且在             上为增函数,则                的解集为(   

)

A.         B.         C.         D. 

【答案】B

【解析】由题,          是定义在            上的偶函数,则                        由函数

为增函数,在          上为减函数,故                                      故          

选  B.

10. 抛物线    :      的焦点为     ,其准线与      轴交于点     ,点   在抛物线     上,当           时,
     的面积为(   )

A. 1    B. 2    C.        D. 4

【答案】B


【解析】                                     过   作        垂足为    ,则            ∴

        ∴      的高等于        ,设                  

则      的面积               
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又由          ,三角形        为等腰直角三角形,                     所以        ,
∴      的面积    2

故选   B.

11. 在      中,       ,     ,则           的最大值为(   )

A.       B.       C.       D. 

【答案】D


【解析】有正弦定理可得,                                              


                                                      

故当      时,           的最大值为        .
故选   D.


12. 已知   ,   分别为双曲线                      的左焦点和右焦点,过           的直线与双曲线的

右支交于     ,   两点,        的内切圆半径为        ,       的内切圆半径为        ,若       ,则直

线的斜率为(   )

A. 1    B.       C. 2    D. 

【答案】D
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故选   D.
二、填空题:本大题共             4 小题,每题      5 分,共    20 分. 

13. 设向量          ,           ,若      ,则     __________.

【答案】
【解析】                                              

         

即答案为       .

14. ,  满足约束条件:               ,则         的最大值为__________.

【答案】3
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


【解析】                                画出可行域如图所示,由图可知当目标函数

       经过点         取到最大值。最大值为                         

即答案为     3.

15. 甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的

年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是__________.

【答案】乙

【解析】(1)根据“甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小”可得:丙是体委;

(2)根据“丙的年龄比学委的大,体委比乙年龄小”可得:乙>丙>学习委员,由此可得,

乙不是学习委员,那么乙是班长.

答:班长是乙.

故答案为:乙.

【点睛】此题关键是根据题干中体委与甲和乙的年龄关系,得出,体委是丙.然后才能根据

丙与乙和学委的年龄关系得出,乙不是学委,从而得出乙是班长.

16. 一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为                   2 的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形

斜边的最小值为__________.

【答案】


【解析】                                    如图,不妨设       在  处,                ,

则有                                         由                              
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                  该直角三角形斜边                         

故答案为       .

三、解答题:共         70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第                           17~21  题
为必考题,每个试题考生都必须作答.第                      22、23  题为选考题,考生根据要求作答.

17. 已知     是公差不为零的等差数列,满足                  ,且   、  、   成等比数列.

(1)求数列        的通项公式;


(2)设数列        满足            ,求数列        的前  项和    .

【答案】(1)             ;(2)

【解析】试题分析:(1)设等差数列                    的公差为       ,由   a3=7,且   、  、   成等比数


列.可得                             ,解之得即可得出数列             的通项公式;


2)由(1)得                             ,则                  ,由裂项相消法可求数列


    的前  项和    .


试题解析:(1)设数列             的公差为     ,且     由题意得            , 


即                           ,解得            , 

所以数列       的通项公式             .

(2)由(1)得

                   , 


                  .
18. 四棱锥          的底面        为直角梯形,           ,         ,                 ,
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     为正三角形.


(1)点     为棱    上一点,若        平面      ,          ,求实数的值;

(2)若          ,求二面角            的余弦值.

【答案】(1)       ;(2)


(2)利用等体积法                              可求点     到平面      的距离.

试题解析:((1)因为               平面  SDM,

      平面   ABCD,

平面   SDM   平面  ABCD=DM,

所以            ,

因为           ,所以四边形      BCDM 为平行四边形,又                 ,所以    M 为 AB 的中点.

因为             ,

      .


(2)因为           ,          ,
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所以       平面     ,

又因为        平面       ,

所以平面          平面       ,

平面        平面            ,

在平面       内过点    作     直线    于点   ,则      平面        ,

在         和        中,

因为         ,所以                              ,

又由题知              ,

所以         , 

由已知求得            ,所以                ,

连接   BD,则                       ,

又求得         的面积为      ,

所以由                          点 B 到平面       的距离为      .
19. 小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬

方案.甲方案:底薪        100 元,每派送一单奖励         1 元;乙方案:底薪       140 元,每日前     55 单没有

奖励,超过     55 单的部分每单奖励        12 元.

(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪                   (单位:元)与送货单数            的函数关系式;

(2)根据该公司所有派送员            100 天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数与天数满足

以下表格:

日均派送单数        52            54           56           58            60

频数(天)         20            30           20           20            10


回答下列问题:

①根据以上数据,设每名派送员的日薪为                   (单位:元),试分别求出这            100 天中甲、乙两

种方案的日薪       平均数及方差;

②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并

说明你的理由.
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(参考数据:              ,         ,         ,           ,          ,          ,

           ,            ,             )

【答案】(1)                             ;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)甲方案:底薪                 100 元,每派送一单奖励        1 元;乙方案:底薪

140 元,每日前     55 单没有奖励,超过       55 单的部分每单奖励        12 元. 求出甲、乙两种薪酬方案

中日薪    (单位:元)与送货单数           的函数关系式;

①、由表格可知,甲方案中,日薪为                152 元的有   20 天,日薪为    154 元的有   30 天,日薪为

156 元的有   20 天,日薪为     158 元的有  20 天,日薪为     160 元的有   10 天,由此可求出这       100 天

中甲方案的日薪        平均数及方差:同理可求出这             100 天中乙两种方案的日薪          平均数及方差,

②不同的角度可以有不同的答案

试题解析:((1)甲方案中派送员日薪                 (单位:元)与送货单数            的函数关系式为: 

                 ,

乙方案中派送员日薪          (单位:元)与送单数          的函数关系式为:


                           ,
(2)①、由表格可知,甲方案中,日薪为                  152 元的有  20 天,日薪为     154 元的有   30 天,日

薪为   156 元的有  20 天,日薪为     158 元的有   20 天,日薪为    160 元的有   10 天,则

                                                         , 


                                                                          ,
乙方案中,日薪为        140 元的有   50 天,日薪为     152 元的有  20 天,日薪为     176 元的有   20 天,

日薪为    200 元的有  10 天,则

                                                ,


②、答案一:

由以上的计算可知,虽然                 ,但两者相差不大,且             远小于      ,即甲方案日薪收入

波动相对较小,所以小明应选择甲方案.
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答案二:

由以上的计算结果可以看出,                   ,即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数,所以小

明应选择乙方案.


20. 已知椭圆     :                 的左、右焦点分别为          ,  ,且离心率为        ,   为椭圆上

任意一点,当                 时,        的面积为     1. 

(1)求椭圆      的方程;

(2)已知点      是椭圆    上异于椭圆顶点的一点,延长直线                  ,    分别与椭圆交于点        ,   ,

设直线      的斜率为     ,直线      的斜率为     ,求证:         为定值.


【答案】(1)              ;(2)


【解析】试题分析:(1)设                              由题            ,由此求出         ,可得椭
圆  的方程;

(2)设                  ,              ,

当直线      的斜率不存在时,可得                   ;

当直线      的斜率不存在时,同理可得                     . 

当直线      、    的斜率存在时,              ,


设直线      的方程为                ,则由                 消去   通过运算可得


                   ,同理可得                  ,由此得到直线         的斜率为             ,


  直线     的斜率为         ,进而可得              .
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试题解析:(1)设                          由题            , 

解得           ,则       ,


  椭圆   的方程为            . 

(2)设                  ,              ,

当直线      的斜率不存在时,设                ,则           ,

直线     的方程为               代入          ,可得              ,

       ,        ,则         ,


  直线     的斜率为                     ,直线     的斜率为           ,

                      ,

当直线      的斜率不存在时,同理可得                     . 

当直线      、    的斜率存在时,              ,


设直线      的方程为                ,则由                 消去   可得:

                                    ,


又         ,则           ,代入上述方程可得

                             ,
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                              ,则


                   ,


设直线      的方程为                ,同理可得                 ,


  直线     的斜率为                                   ,


  直线     的斜率为         ,


                                    .

所以,直线        与   的斜率之积为定值          ,即           .

21. 已知函数                  ,      ,在         处的切线方程为                       .

(1)求,     ;

(2)若       ,证明:               .

【答案】(1)          ,    ;(2)见解析

【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,得到关于                          的方程组,解出即可;

(2)由(1)可知                      ,               ,

由      ,可得           ,令                    , 利用导数研究其单调性可得

                                  ,

从而证明               .

试题解析:((1)由题意                  ,所以                       ,

又                  ,所以                    , 
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若     ,则           ,与      矛盾,故       ,     .

(2)由(1)可知                      ,               ,

由      ,可得           ,

令                   , 

               ,

令

当       时,       ,     单调递减,且            ;

当       时,       ,     单调递增;且            ,

所以     在        上当单调递减,在               上单调递增,且            ,

故                                   ,

故            .

【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法,以及利用导数证明不等式的方法,解题时

要认真审题,注意导数性质的合理运用.

22. 在平面直角坐标系          中,曲线     的参数方程为                   (     ,  为参数),以坐

标原点    为极点,     轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为                                ,若直线
与曲线    相切;

(1)求曲线      的极坐标方程;

(2)在曲线      上取两点      ,  与原点    构成        ,且满足            ,求面积         的最大
值.

【答案】(1)                 ;(2)
【解析】试题分析:(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为

         , 

,消去参数      可知曲线     是圆心为        ,半径为的圆,由直线与曲线              相切,可得:         ;则

曲线   C 的方程为                   , 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得

可得曲线     C 的极坐标方程.
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(2)由(1)不妨设      M(    ),              ,(            ),

                   ,     

                                       ,       
由此可求          面积的最大值.

试题解析:(1)由题意可知直线的直角坐标方程为                              , 

曲线   是圆心为         ,半径为的圆,直线与曲线            相切,可得:                       ;可知曲

线  C 的方程为                   , 

所以曲线     C 的极坐标方程为                         ,

即            .

(2)由(1)不妨设      M(    ),              ,(            ),

                   ,     


                                       ,       

当       时,               ,
所以△MON   面积的最大值为            .

23. 已知函数                   的定义域为      ;

(1)求实数      的取值范围;


(2)设实数为       的最大值,若实数,          ,满足              ,求                    的最小

值.

【答案】(1)           ;(2)
【解析】试题分析:(1)由题意可知                           恒成立,令                  ,分类讨论得

到其解析式,通过作图发现其最大值,即可得到实数                       的取值范围;
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(2)由(1)可知                  ,所以                        ,  


                                                          可求其最小值.

试题解析:(1)由题意可知                       恒成立,令                  ,


去绝对值可得:                                    ,

画图可知       的最小值为-3,所以实数           的取值范围为           ; 

(2)由(1)可知                  ,所以                        ,  


                                                           


                                                 ,

当且仅当                        ,即                等号成立,


所以                   的最小值为
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