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2019版高考数学一轮复习第五章数列课时训练

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                            第五章 数  列
                        第 1 课时 数列的概念及其简单表示法
    一、 填空题
           2    4  6   8
    1. 数列3,-5,7,-9,…的第           10 项是________.
            20
    答案:-21
    解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把符号、分母、
                                                                     2n
                                                               n+1
分子每一部分进行分解,就很容易归纳出数列{an}的通项公式为                         an=(-1)    ·2n+1,故
      20

a10=-21.
    2. 已知数列{an}满足      an+2=an+1-an,且   a1=2,a2=3,则    a2 016 的值为________.
    答案:-1

    解析:由题意,得        a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=
-1,a7=a6-a5=2,∴ 数列{an}是周期为           6 的周期数列.而       2 016=6×336,∴ a2    016=
a6=-1.
    3. 数列  7,9,11,…,2n-1      的项数是_________. 
    答案:n-3

    解析:易知     a1=7,d=2,设项数为        m,则  2n-1=7+(m-1)×2,m=n-3.
                                                   *
    4.      已知数列{an}的前      n 项和为  Sn,且  an≠0(n∈N  ),又   anan+1=Sn,则  a3-a1=
________.
    答案:1

    解析:因为     anan+1=Sn,所以令    n=1  得 a1a2=S1=a1,即   a2=1.令  n=2,得   a2a3=
S2=a1+a2,即   a3=1+a1,所以     a3-a1=1.
                                 2
    5. 已知数列{an}的前      n 项和  Sn=n +2n+1,则{an}的通项公式为__________.
                4(n=1),

    答案:an={2n+1(n    ≥ 2))
    解析:当    n=1  时,a1=S1=4;当     n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1,∴                  an=
   4(n=1),
{2n+1(n ≥ 2).) 
                                                  *
    6. 已知数列{an}的前      n 项和为  Sn,且  Sn=2an-1(n∈N   ),则  a5=__________.
    答案:16

    解析:当    n=1  时,S1=2a1-1,∴ a1=1;
    当 n≥2  时,Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1,则有          an=2an-2an-1,∴     an=2an-1.∴ 
                                         4  4
{an}是等比数列,且       a1=1,q=2,故     a5=a1×q =2  =16.
                              2    1

    7. 若数列{an}的前     n 项和  Sn=3an+3,则{an}的通项公式       an=________.
    答案:(-2)n-1
                                                  2    2         an

    解析:当    n=1  时,a1=1;当    n≥2  时,an=Sn-Sn-1=3an-3an-1,则an-1=-2,得
         n-1
an=(-2)    .

                                                 *
    8.         设数列{an}满足    a1=a,an+1=      (n∈N  ).若数列{an}是常数列,则         a=
________. 
    答案:-2
                                               a2-2
                                                                  2
    解析:因为数列{an}是常数列,所以             a=a2=      = a+1 ,即  a(a+1)=a   -2,解得
a=-2.
                            2
    9. 数列{an}的前    n 项积为   n ,那么当   n≥2  时,an=________.
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            n2
    答案:(n-1)2
                                                            Tn      n2
                                          2
    解析:设数列{an}的前        n 项积为  Tn,则  Tn=n  ,当  n≥2 时,an=Tn-1=(n-1)2.
                                                *
    10.    数列{an}满足:a1=1,且对任意的           m,n∈N   都有  an+m=an+am+nm,则    a100=
________.
    答案:5 050

    解析:令    m=1,则    an+1=an+1+n⇒an+1-an=n+1⇒a100=(a100-a99)+(a99-
a98)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=100+99+…+2+1=5 050.
    二、 解答题
                                2
    11. 数列{an}的通项公式是        an=n -7n+6.
    (1) 这个数列的第      4 项是多少?
    (2) 150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?
    (3) 该数列从第几项开始各项都是正数?
                           2
    解:(1) 当   n=4  时,a4=4   -4×7+6=-6.
                       2
    (2)  令  an=150,即  n -7n+6=150,解得      n=16 或  n=-9(舍去),即      150 是数列的
第  16 项.
               2
    (3) 令 an=n  -7n+6>0,解得      n>6 或 n<1(舍),∴ 从第      7 项起各项都是正数.
                                                            2
                                      2
    12.   已知数列{an}满足前      n 项和  Sn=n +1,数列{bn}满足      bn=an+1,且前    n 项和为
Tn.设 cn=T2n+1-Tn.
    (1) 求数列{bn}的通项公式;
    (2) 判断数列{cn}的增减性.
    解:(1) a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),
           2
            (n=1),
           3
            1
           { (n ≥ 2). )
    ∴ bn=   n
    (2) ∵ cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1
       1     1         1
    =n+1+n+2+…+2n+1,
                  1     1      1

    ∴ cn+1-cn=2n+2+2n+3-n+1
        1     1         -1
    =2n+3-2n+2=(2n+3)(2n+2)<0,
    ∴ cn+1a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N ),
    ∴ 数列{an}中的最大项为         a5=2,最小项为     a4=0.
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                                1
                                2
                   1            2-a
                             n-
                                                  *
     (2) an=1+a+2(n-1)=1+        2  ,对任意的     n∈N ,都有    an≤a6 成立,结合函数
            1
            2
            2-a                 2-a
         x-
f(x)=1+      2 的单调性,可知        5< 2 <6,即-100,a9<0,所以           7+7d>0,7+8d<0,即-11),得      q=2,a1=1,则    a3=4.
                             1                  S4

    2. 设等比数列{an}的公比        q=2,前   n 项和为   Sn,则a4=________.
    答案:15
             a1(1-q4)               S4    1-q4
                              3
    解析:S4=      1-q   ,a4=a1q ,所以a4=q3(1-q)=15.
    3. 在各项均为正数的等比数列{an}中,若              log2a2+log2a8=1,则   a3a7=________.
    答案:2

    解析:由    log2a2+log2a8=1 得 log2(a2a8)=1,所以   a2a8=2,由等比数列性质可得
a3a7=a2a8=2.
    4.  已知等比数列{an}的前        n 项和为   Sn,且  4a1,2a2,a3 依次成等差数列,若         a1=1,
则  S5=________ .
    答案:31
                                                                      2
    解析:因为     4a1,2a2,a3 依次成等差数列,4a2=4a1+a3,所以            4a1q=4a1+a1q ,所以
                      a1(1-q5)

q=2.又  a1=1,所以    S5=   1-q   =31.
                                                    S20

    5. 设 Sn 是等比数列{an}的前      n 项和,若    a5+2a10=0,则S10的值是________.
          5
    答案:4
    解析:当    q=1  时,a5=a10=0   不合题意,
                       a10   1      S20  1-q20            1  5
    ∴ 公比   q≠1.∴ q5=   a5 =-2,因而S10=1-q10=1+q10=1+4=4.
    6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加
增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座                        7 层塔共挂了     381 盏灯,且相邻
两层中的下一层灯数是上一层灯数的                2 倍,则塔的顶层共有灯________盏.
    答案:3
    解析:设塔的顶层共有灯           x 盏,则各层的灯数构成一个首项为              x,公比为    2 的等比数
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                             x × (1-27)
列,结合等比数列的求和公式有:                 1-2    =381,解得    x=3,即塔的顶层共有灯
3 盏.

    7.             设等比数列{an}的前      n 项和为   Sn,若  S3=7,S6=63,则    a7+a8+a9=
__________.
    答案:448

    解析:由    S3=7,S6=63,得     a1+a2+a3=7,7+a4+a5+a6=63,则       a4+a5+a6=
            3      3                           3
(a1+a2+a3)q =56,q   =8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q     =56×8=448.
    8.  已知等比数列{an}的前        n 项和为  Sn,若  S2=2a2+3,S3=2a3+3,则公比        q 的值为
________.
    答案:2
                                                             2         2
    解析:∵ S2=2a2+3,S3=2a3+3,∴ a1=a1q+3,a1(1+q)=a1q             +3,∴ q   -2q=
0,q≠0,则公比      q=2.

    9. 在等比数列{an}中,已知         a1=1,a4=8,设    S3n 为该数列的前     3n 项和,Tn  为数列{a
n3}的前 n 项和.若     S3n=tTn,则实数    t 的值为________.
    答案:7
                                           1-23n
                    3  3                           n
    解析:     ∵a4=a1q =q  =8,∴     q=2,S3n=   1-2 =8  -1.由题意知,数列{an3}是首
                                1-8n   1
                                          n
项为   1,公比为    8 的等比数列,∴Tn=       1-8 =7(8  -1).由   S3n=tTn,得  t=7.
    10.          在正项等比数列{an}中,若         a4+a3-2a2-2a1=6,则     a5+a6 的最小值为
________.
    答案:48
                                                       2            4
    解析:设     a2+a1=x,等比数列的公比为          q,则  a4+a3  =xq ,a5+a6   =xq .再由   a4+
                                        6                             6q4
                     2                                            4
a3-2a2-2a1=6,得     xq =6+2x,∴      x=q2-2>0,q>1.∴      a5+a6  =xq   =q2-2=6
         4
 q2-2+      +4
(        -     )                         2
       q2  2   ≥6×(4+4)=48,当且仅当         q -2=2  时,等号成立,故        a5+a6 的最小
值为   48.
    二、 解答题

    11.   已知{an}是首项为      a1,公比   q 为正数(q≠1)的等比数列,其前           n 项和为   Sn,且
5S2=4S4.
    (1) 求 q 的值.

    (2) 设 bn=q+Sn,请判断数列{bn}能否为等比数列?若能,请求出                     a1 的值;若不能,
请说明理由.

    解:(1) 由题意知,5S2=4S4,
       5a1(1-q2)  4a1(1-q4)
    ∴     1-q   =    1-q   .
                                                    1
                               4    2
    ∵ a1≠0,q>0,且     q≠1,∴ 4q   -5q  +1=0,解得     q=2.
              a1(1-qn)         1
                  -            ( ) -
    (2) ∵ Sn=    1 q   =2a1-a1 2 n  1,
                 1         1
                          ( ) -
    ∴ bn=q+Sn=2+2a1-a1     2 n 1.
               1                 1        1
                                         ( ) +
    ∴ 当且仅当2+2a1=0,即         a1=-4时,bn=    2 n 1为等比数列,
                                  1

    ∴ {bn}能为等比数列,此时          a1=-4.
    12.      已知等差数列{an}的公差        d 不为  0,且   ak1,ak2,…,akn,…(k1<k2<…<
kn<…)成等比数列,公比为           q.
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                                a1

    (1) 若 k1=1,k2=3,k3=8,求      d 的值;
          a1

    (2) 当 d 为何值时,数列{kn}为等比数列.
                                                      2
    解:(1) 由已知可得       a1,a3,a8 成等比数列,所以(a1+2d)         =a1(a1+7d),整理可得,
                       a1  4
  2
4d =3a1d.因为   d≠0,所以    d =3.
    (2) 设数列{kn}为等比数列,则         k2=k1k3.又  ak1,ak2,ak3 成等比数列,
                                                 2
    所以[a1+(k1-1)d][a1+(k3-1)d]=[a1+(k2-1)d]      .
    整理,得    a1(2k2-k1-k3)=d(k1k3-k2-k1-k3+2k2).
    因为  k2=k1k3,所以    a1(2k2-k1-k3)=d(2k2-k1-k3).
                                 a1

    因为  2k2≠k1+k3,所以    a1=d,即   d =1.
      a1

    当 d =1 时,an=a1+(n-1)d=nd,所以        akn=knd.
                 n-1     n-1            n-1
    因为  akn=ak1q   =k1dq   ,所以    kn=k1q  .
        kn+1    k1qn

    所以   kn  =k1qn-1=q,数列{kn}为等比数列.
            a1

    综上,当    d =1 时,数列{kn}为等比数列.
    13. (2017·苏州期中)已知等比数列{an}的公比             q>1,且满足    a2+a3+a4=28,且     a3+
2 是 a2,a4 的等差中项.
    (1) 求数列{an}的通项公式;
                   1
                                                      n+1
    (2)  若 bn=anlog2an,Sn=b1+b2+…+bn,求使       Sn+n·2    >62 成立的正整数      n 的最
小值.

    解:(1) ∵ a3+2    是 a2,a4 的等差中项,
    ∴ 2(a3+2)=a2+a4,
    代入  a2+a3+a4=28,可得     a3=8,
    ∴ a2+a4=20,
                                    a1=32,
           a1q2=8,        a1=2,         1
                                     q= .
    ∴ {a1q+a1q3=20,)解得{    q=2  )或{     2 )  
                a1=2,
                                                 n
    ∵ q>1,∴ {   q=2, )∴ 数列{an}的通项公式为         an=2 .
                   1        1
                        n     n       n
    (2) ∵ bn=anlog2an=2  log22 =-n·2   ,
                       2          n
    ∴ Sn=-(1×2+2×2      +…+n·2    ) ①,
               2      3              n      n+1
    2Sn=-(1×2   +2×2   +…+(n-1)·2     +n·2    ) ②,
                     2   3      n      n+1
    ②-①得,Sn=2+2       +2 +…+2    -n·2
      2(1-2n)
    =   1-2  -n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1.
              n+1
    ∵ Sn+n·2     >62,
    ∴ 2n+1-2>62,∴ n+1>6,n>5,
                     n+1
         ∴ 使  Sn+n·2    >62 成立的正整数      n 的最小值为    6.第  4 课时 数列的求和
    一、 填空题
                                                *
    1.    在数列{an}中,若      a1=-2,且对任意的       n∈N  有 2an+1=1+2an,则数列{an}前
10 项的和为________.
          5
    答案:2
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                                    1                                1

    解析:由    2an+1=1+2an  得 an+1-an=2,所以数列{an}是首项为-2,公差为2的等差
                         10 × (10-1)  1 5

数列,所以     S10=10×(-2)+        2     ×2=2.
                                           2n-1                321

    2.          已知数列{an}的通项公式是         an=  2n ,其前    n 项和  Sn= 64 ,则项数   n=
________.
    答案:6
                     1                1      1      1          1       1  1
                                   (1- )  (1- )  (1- )      (1-  )
    解析:∵      an=1-2n,∴         Sn=   2 +    4 +    8 +…+      2n =n-(2+4+
               1    1
                1-   n
               2[  (2) ]
1      1            1          1       321        1
                 1-
8+…+2n)=n-          2  =n-1+2n.由    Sn= 64 =n-1+2n,可得出      n=6.
            1   1   1   1                1

    3. 数列  12,34,58,716,…,(2n-1)+2n,…的前           n 项和  Sn=________.
                 1
    答案:n2+1-2n
                                         1

    解析:该数列的通项公式为            an=(2n-1)+2n,则    Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+
 1  1       1          1
(2+22+…+2n)=n2+1-2n.
                                                               1
                                                           {    + }
    4.   已知等差数列{an}的前       n 项和为   Sn,a5=5,S5=15,则数列       anan  1 的前  100 项
和为________.
          100
    答案:101
                              5(a1+a5)

    解析:∵ a5=5,S5=15,∴            2    =15,则   a1=1,
           a5-a1                     1        1    1    1           1
                                      +     ( + )      +         {   +  }
    ∴   d=   4  =1,∴    an=n,∴     anan 1=n  n 1 =n-n    1.设数列    anan 1 的前
                       1   1  1       1    1       1   100
                   (1-  ) ( - )      (  -    )
n 项和为   Tn,则 T100=     2 + 2  3 +…+   100 101 =1-101=101.
                                 2
    5. 已知数列{an}的前      n 项和  Sn=n -6n,则{|an|}的前    n 项和  Tn=__________.
           6n-n2(1 ≤ n ≤ 3),
    答案:{n2-6n+18(n     > 3))
                 2
    解析:由    Sn=n  -6n 得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为               2,∴    an=-5+(n-
                                                        6n-n2(1 ≤ n ≤ 3),

1)×2=2n-7,∴ 当      n≤3 时,an<0;当    n>3 时,an>0,∴ Tn={n2-6n+18(n     > 3).)
                                                               n-1
    6.     数列{an}的前    n 项和为   Sn,已知   Sn=1-2+3-4+…+(-1)          ·n,则   S17=
________.
    答案:9

    解析:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+
7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.
                    1  1  2  1  2  3      1   2  3       9              1

    7. 已知数列{an}:2,3+3,4+4+4,…,10+10+10+…+10,….若                   bn=anan+1,
那么数列{bn}的前      n 项和  Sn=________.
           4n
    答案:n+1
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                1+2+3+…+n      n

    解析:∵ an=         n+1     =2,
             1        4      1   1
                              -
              +     ( + )   (   +  )
    ∴ bn=anan   1=n  n 1 =4  n  n 1 ,
                1   1  1       1   1           1    4n
             1-      -          -         1-
            (    ) (    )     (   +  )    (   +  )  +
    ∴ Sn=4[     2 + 2  3 +…+   n  n 1 ]=4    n  1 =n  1.
    8.       已知数列{an}满足      an+2=-an(n∈N+),且    a1=1,a2=2,则数列{an}的前        2 
014 项的和为________.
    答案:3

    解析:∵     an+2=-an=-(-an-2),n>2,∴         数列{an}是以   4 为周期的周期数列.S2 
014=503(a1+a2+a3+a4)+a2   013+a2 014=503(a1+a2-a1-a2)+a503×4+1+a503×4+2=a1+
a2=3.
                                                              1
                                                    *        {  }
    9.     设数列{an}满足     a1=1,且   an+1-an=n+1(n∈N   ),则数列     an 前 10 项的和为
________.
          20
    答案:11
    解析:∵     a1=1,an+1-an=n+1,∴       a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n.将以
                                       n(n+1)-2         n(n+1)        1

上  n-1 个式子相加得      an-a1=2+3+…+n=          2    ,即   an=   2   .令 bn=an,故
       2      1   1                                1  1  1      1   1    20
               -
     ( + )   (   +  )
bn=n  n 1 =2  n  n 1 ,故  S10=b1+b2+…+b10=2×(1-2+2-3+…+10-11)=11.
    二、 解答题
                              6n-5(n为奇数),

    10. 已知数列{an}的通项       an={ 2n(n为偶数),    )求其前   n 项和  Sn.
    解:奇数项组成以        a1=1 为首项,公差为       12 的等差数列,偶数项组成以           a2=4 为首项,
                                         n+1            n-1

公比为   4 的等比数列;当       n 为奇数时,奇数项有         2  项,偶数项有       2 项,∴           Sn=
n+1                  n-1
    (1+6n-5)
  2            4(1-4  2 )  (n+1)(3n-2)   4(2n-1-1)
      2      +    1-4    =       2     +      3    ;当   n 为偶数时,奇数项和偶
          n
数项分别有2项,
           n                n
           (1+6n-5)
           2           4(1-42)  n(3n-2)  4(2n-1)

    ∴ Sn=      2     +   1-4  =    2   +     3   ,
           (n+1)(3n-2)   4(2n-1-1)
                       +           (n为奇数),
                 2            3
                n(3n-2)  4(2n-1)
           {           +        (n为偶数).      )
    ∴ Sn=          2        3
    11. 设等差数列{an}的前       n 项和为  Sn,且  S3=2S2+4,a5=36.
    (1) 求 an,Sn;
                               1   1   1      1
                       *
    (2) 设 bn=Sn-1(n∈N   ),Tn=b1+b2+b3+…+bn,求        Tn.
    解:(1) 因为    S3=2S2+4,所以     a1-d=-4.
    因为  a5=36,所以    a1+4d=36,解得     d=8,a1=4,
                                  n(4+8n-4)
                                                2
    所以  an=4+8(n-1)=8n-4,Sn=           2    =4n  .
                  2
    (2) 因为  bn=4n -1=(2n-1)(2n+1),
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        1         1        1  1      1
                                 -
    所以bn=(2n-1)(2n+1)=2(2n-1       2n+1),
        1   1   1      1

    Tn=b1+b2+b3+…+bn
      1   1  1  1       1      1
        1- +  -  +…+       -
    =2(   3  3  5     2n-1   2n+1)
      1     1      n
        1-
    =2(   2n+1)=2n+1.
                               1           1
                                                                     1
                               4           4                                *
    12. 已知数列{an}是首项为        a1= ,公比为    q=  的等比数列,设       bn+2=3log4an(n∈N   ),
数列{cn}满足    cn=an·bn.
    (1) 求数列{bn}的通项公式;
    (2) 求数列{cn}的前     n 项和  Sn.
                          1
                          ( )     *
    解:(1) 由题意,知       an= 4 n(n∈N ).
              1
                                     *
    又 bn=3log4an-2,故    bn=3n-2(n∈N   ).
                   1
                   ( )               *
    (2) 由(1)知  an= 4 n,bn=3n-2(n∈N    ),
                     1
                     ( )     *
    所以  cn=(3n-2)×   4 n(n∈N ),
               1     1       1                 1               1
                     ( )     ( )              ( ) -            ( )
    所以  Sn=1×4+4×    4 2+7×  4 3+…+(3n-5)×     4 n 1+(3n-2)×   4 n,
        1       1       1       1                 1             1
               ( )     ( )     ( )               ( )              n+1
    于是4Sn=1×    4 2+4×  4 3+7×  4 4+…+(3n-5)×     4 n+(3n-2)×(4)    ,
    两式相减,得
    3    1    1     1        1              1      1            1
                2     3        n           ( ) +                  n+1
    4Sn=4+3[(4)  +(4) +…+(4)    ]-(3n-2)×   4 n 1=2-(3n+2)×(4)      ,
            2  3n+2   1
                     ( )     *
    所以  Sn=3-    3 ×  4 n(n∈N ).
    13. 在等差数列{an}中,已知公差          d=2,a2  是  a1 与 a4 的等比中项.
    (1) 求数列{an}的通项公式;
               n(n+1)
                                                      n
    (2) 设 bn=a    2  ,记   Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)       bn,求  Tn.
                          2
    解:(1) 由题意知(a1+d)       =a1(a1+3d),
            2
    即(a1+2)  =a1(a1+6),解得    a1=2,
    所以数列{an}的通项公式为          an=2n.
                     n(n+1)
    (2) 由题意知    bn=a    2  =n(n+1),
    则 bn+1-bn=2(n+1),
                                        n
    所以  Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)           n×(n+1).
    当 n 为偶数时,

    Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)
                       n
                        (4+2n)
                       2         n(n+2)
    =4+8+12+…+2n=          2   =    2  ,
    当 n 为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)
      (n-1)(n+1)              (n+1)2
    =      2     -n(n+1)=-       2  ,
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                          (n+1)2
                        -        ,n为奇数,
                             2
                          n(n+2)
                       {        ,n为偶数.    )
                所以  Tn=     2             第  5 课时 数列的综合应用
    一、 填空题

    1.  在等差数列{an}中,满足         3a4=7a7,且  a1>0,Sn  是数列{an}的前    n 项和,若    Sn 取
得最大值,则      n=________.
    答案:9
                                                        4

    解析:设公差      d,由题设知     3(a1+3d)=7(a1+6d),得     d=-33a1<0,解不等式       an>
                  4               37
               (-  a1)
0,即   a1+(n-1)   33   >0,解得    n< 4 ,则  n≤9 时,an>0,同理可得        n≥10 时,an<
0,故当   n=9  时,Sn  取得最大值.
                                                1                    a9+a10

    2.     在等比数列{an}中,各项都是正数,且              a1,2a3,2a2 成等差数列,则       a7+a8 =
________.
    答案:3+2     2
                 1                        1

    解析:∵ a1,2a3,2a2     成等差数列,∴ 2×2a3=a1+2a2,即           a3=a1+2a2.设等比数列
                              2                2               2
{an}的公比为    q 且 q>0,则   a3=a1q ,a2=a1q,∴     a1q =a1+2a1q,∴   q =1+2q,解得
                       a9+a10  a9(1+q)
q=1+   2或 1-  2(舍),∴   a7+a8 =a7(1+q)=q2=(    2+1)2=3+2   2.
    3.         在数列{an}中,Sn    是其前    n 项和,且   Sn=2an+1,则数列的通项公式           an=
________.
                n-1
    答案:an=-2
    解析:依题意得       Sn+1=2an+1+1,Sn=2an+1,两式相减得         Sn+1-Sn=2an+1-2an,即
an+1=2an.又  S1=2a1+1=a1,所以     a1=-1,所以数列{an}是以        a1=-1  为首项,2    为公比
                       n-1
的等比数列,所以        an=-2    .
    4.  等差数列{an}的首项为       1,公差不为      0.若 a2,a3,a6 成等比数列,则{an}前        6 项的
和为________.
    答案:-24
                                                                          2
    解析:设等差数列的公差为            d,由  a2,a3,a6 成等比数列可得       a32=a2a6,即(1+2d)   =
(1+d)(1+5d),整理可得       d2+2d=0.因为公差不为        0,所以   d=-2,数列的前       6 项和为
        6 × (6-1)        6 × (6-1)

S6=6a1+     2    d=6×1+      2    ×(-2)=-24.
    5.    设等比数列{an}的前       n 项和为  Sn,若  S3,S9,S6  成等差数列,且       a2+a5=4,则
a8 的值为________.
    答案:2

    解析:∵ 等比数列{an}的前          n 项和为  Sn,若  S3,S9,S6 成等差数列,且       a2+a5=4,
                  a1(1-q9)  a1(1-q3)   a1(1-q6)
               2 ×         =         +         ,
                     1-q       1-q       1-q                      1
               {            +     =  ,          )            3
    ∴    q≠1,             a1q a1q4  4            解得  a1q=8,q  =-2,∴       a8=
                   1
   7        3 2
a1q =(a1q)(q ) =8×4=2.
    6.  在等差数列{an}中,已知首项          a1>0,公差    d>0.若   a1+a2≤60,a2+a3≤100,则
5a1+a5 的最大值为________.
    答案:200

    解析:由    a1+a2≤60,a2+a3≤100    得 2a1+d≤60,2a1+3d≤100,a1>0,d>0.由线
性规划的知识得       5a1+a5=6a1+4d,过点(20,20)时,取最大值为             200.
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                                                                Sn+10

    7.   设正项数列{an}的前      n 项和是   Sn,{an}和{  Sn}都是等差数列,则          an 的最小值
是____________.
    答案:21
                          d   d                           d
                      a1-
                      (    )    2    Sn
    解析:由题设知       Sn=     2 n+2n .又    为等差数列,从而        a1=2,从而    an=a1+(n-
                                        d
                                         (n+10)2
                                        2         (n+10)2
         1      d               Sn+10        1         1   (n+10)2
       n-                                d n-      2 n-
      (   )       2                       (   )     (   )      -
1)d=d    2 ,Sn=2n  ,∴             an  =      2  =      2  =  2n  1 .令 2n-1=
               t+1
                   +10 2
               ( 2    )   1     441      1     441
                             t+   +42       2 t·  +42
t(t≥1),原式=         t    =4·(     t    )≥4·(     t     )=21,从而当     t=21,即
n=11  时,原式取到最小值        21.
    8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步
不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大
意为:“有一个人走了          378 里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前
一天的一半,走了        6 天后到达目的地.”问此人第            4 天和第   5 天共走了________里.
    答案:36
                                             1
    解析:由题意知,此人每天走的里数构成公比为2的等比数列,设等比数列的首项为
             1
        a1 1-
         (   26)
            1                                   1             1
          1-
a1,则有       2  =378,解得    a1=192,所以    a4=192×8=24,a5=24×2=12,a4+a5=
24+12=36,所以此人第        4 天和第   5 天共走了    36 里.
                                                                         *
    9.   已知{an},{bn}均为等比数列,其前           n 项和分别为    Sn,Tn,若对任意的       n∈N ,总
  Sn  3n+1     a3
有Tn=    4  ,则b3=________.
    答案:9
                                            Sn  3n+1

    解析:设{an},{bn}的公比分别为          q,q′,∵ Tn=       4 ,
                                    a1+a1q   5            a1+a1q+a1q2

    ∴   当  n=1 时,a1=b1.当    n=2 时,b1+b1q′=2.当    n=3  时,b1+b1q′+b1q′2=7,∴ 
                                                          a3  a1q2
2q-5q′=3,7q′2+7q′-q2-q+6=0,解得             q=9,q′=3,∴ b3=b1q′2=9.
    10.  现有一根    n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为
10  cm,最下面的三节长度之和为            114 cm,第   6 节的长度是首节与末节长度的等比中项,
则  n=________.
    答案:16

    解析:设每节竹竿的长度对应的数列为{an},公差为                    d(d>0).由题意知      a1=10,an+
an-1+an-2=114,a62=a1an.由   an+an-1+an-2=114,得   3an-1=114,解得    an-1=38,∴ 
        2                       2
(a1+5d) =a1(an-1+d),即(10+5d)     =10(38+d),解得     d=2,∴an-1=a1+(n-2)d=
38,即  10+2(n-2)=38,解得      n=16.
    二、 解答题
                                                 n+1
    11.  设数列{an}的前     n 项和为  Sn,满足   2Sn=an+1-2    +1,且   a1,a2+5,a3  成等差
数列.

    (1) 求 a1,a2 的值;
                       n
    (2) 求证:数列{an+2      }是等比数列,并求数列{an}的通项公式.
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    (1) 解:由已知,得       2a1=a2-3 ①,
    2(a1+a2)=a3-7 ②,
    又 a1,a2+5,a3  成等差数列,
    所以  a1+a3=2a2+10 ③,
    解①②③,得      a1=1,a2=5.
                           *                           n+2   n+1
    (2)  证明:由已知,n∈N        时,2(Sn+1-Sn)=an+2-an+1-2       +2   ,即   an+2=3an+
    n+1               n
1+2   ,即   an+1=3an+2 (n≥2),
                                      n    *
    由(1)得,a2=3a1+2,∴ an+1=3an+2       (n∈N  ),
                 n+1       n  n+1          n         n
    从而有   an+1+2   =3an+2   +2   =3an+3×2   =3(an+2  ).
                                an+1+2n+1
                       n
    又 a1+2>0,∴ an+2     >0,∴       an+2n   =3,
                n
    ∴ 数列{an+2    }是等比数列,且公比为          3,
            n          n-1   n         n  n
    ∴ an+2  =(a1+2)×3     =3  ,即  an=3 -2  .
    12.  商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定,由该区向建设银行贷款                               500 万
元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓,工程于                          2017 年初动工,年底竣工并
交付使用,公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式(年利率                        5%,按复利计算),公寓所收费
用除去物业管理费和水电费            18 万元,其余部分全部用于年底还建行贷款.
    (1) 若公寓收费标准定为每生每年             800 元,问到哪一年可偿还建行全部贷款?
    (2) 若公寓管理处要在        2025 年年底把贷款全部还清,则每生每年的最低收费标准是多
少元(精确到元)?(参考数据:lg             1.734 3≈0.239  1,lg  1.05≈0.021  2,1.058≈1.477 
4)
    解:(1)            设公寓投入使用后        n 年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为                  1 
000×800=800 000(元)=80    万元,扣除     18 万元,可偿还贷款        62 万元.依题意有
    62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1,化简得            62(1.05n-
1)≥25×1.05n+1,
    ∴ 1.05n≥1.734 3.两边取对数并整理得
       lg 1.734 3 0.239 1
    n≥  lg 1.05 ≈0.021 2≈11.28,
    ∴ 当取   n=12  时,即到    2029 年底可全部还清贷款.
    (2) 设每生每年的最低收费标准为             x 元,因到   2025 年底公寓共使用了        8 年,
            1 000x
                  -18
    依题意有(10 000      )[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9.
                      1.058-1
    化简得(0.1x-18)×     1.05-1 ≥500×1.059,
    解得  x≥992,
    ∴ 每生每年的最低收费标准为             992 元.

    13. 已知数列{an},{bn}满足      2Sn=(an+2)bn,其中    Sn 是数列{an}的前    n 项和.
                         2          1

    (1) 若数列{an}是首项为3,公比为-3的等比数列,求数列{bn}的通项公式;
    (2) 若 bn=n,a2=3,求数列{an}的通项公式;
                             an

    (3) 在(2)的条件下,设       cn=bn,求证:数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其
他两项之积.
                    2  1            1
                     -            -
                     (  ) -      (   )
    (1) 解:因为    an=3   3 n 1=-2     3 n,
        2     1
         1-  -  n
        3[  ( 3) ]
              1    1      1
         1-(-  )    [1-(-  )n]
    Sn=       3  =2       3  ,
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                         1
                    1- -   n
                       ( 3)
             2Sn        1      1
                  -2  -  n+2
              +      (   )
    所以  bn=an   2=      3    =2.
    (2) 解:若   bn=n,则   2Sn=nan+2n,
    所以  2Sn+1=(n+1)an+1+2(n+1),
    两式相减得     2an+1=(n+1)an+1-nan+2,
    即 nan=(n-1)an+1+2.
    当 n≥2  时,(n-1)an-1=(n-2)an+2,
    两式相减得(n-1)an-1+(n-1)an+1=2(n-1)an,
    即 an-1+an+1=2an.
    由 2S1=a1+2,得    a1=2,又   a2=3,
    所以数列{an}是首项为        2,公差为    3-2=1  的等差数列,
    故数列{an}的通项公式是         an=n+1.
                          n+1
                                              *                       *
    (3)  证明:由(2)得     cn=  n  ,对于给定的      n∈N ,若存在     k,t≠n,k,t∈N     ,使得
cn=ck·ct,
        n+1   k+1  t+1        1     1      1
                                 1+     1+
    只需   n  =  k ·   t ,即  1+n=(    k)·(   t),
      1  1  1  1       n(k+1)
    即n=k+t+kt,则     t=   k-n  ,
    取 k=n+1,则     t=n(n+2),
                                 n+1               n+2         n2+2n+1

    所以对数列{cn}中的任意一项          cn=  n  ,都存在    cn+1=n+1和   cn2+2n= n2+2n  ,使
得  cn=cn+1·cn2+2n.
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