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2018年高中数学课时跟踪检测十三数列求和习题课新人教A版必修5

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高中数学审核员

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             课时跟踪检测(十三)  数列求和(习题课)
                               层级一 学业水平达标

                    n
    1.已知   an=(-1)  ,数列{an}的前     n 项和为   Sn,则  S9 与 S10 的值分别是(  )
    A.1,1                              B.-1,-1
    C.1,0                               D.-1,0

    解析:选    D S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,

    S10=S9+a10=-1+1=0.
                                  1
                                +   +
    2.数列{an}的通项公式是         an= n   n  1,若前   n 项和为   10,则项数为(  )
    A.11                                B.99
    C.120                               D.121
                         1
                       +  +      +
    解析:选    C ∵an=    n   n 1=  n  1-  n,

    ∴Sn=a1+a2+…+an
    =(  2-1)+(   3-  2)+…+(   n+1-   n)
    =  n+1-1,
    令  n+1-1=10,得     n=120.
                                                        1
                                           2
    3.等差数列{an}中,a1=1,an,an+1        是方程   x -(2n+1)x+bn=0    的两个根,则数列

{bn}前 n 项和  Sn=(  )
        1       1
    A.2n+1  B.n+1
        n       n
    C.2n+1  D.n+1
                                               1
                                  2
    解析:选    D 因为    an,an+1 是方程  x -(2n+1)x+bn=0    的两个根,所以       an+an+1=

2n+1,又因为数列{an}为等差数列,所以              an+an+1=a1+a2n=1+a2n=2n+1,所以       a2n=
                              1              1     1   1

2n,所以   an=n.anan+1=n(n+1)=bn,所以      bn=nn+1=n-n+1,所以数列{bn}前          n 项
         1  1  1      1   1       1     n

和  Sn=1-2+2-3+…+n-n+1=1-n+1=n+1.

                                                         n-1
    4.在数列{an}中,已知        Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)           (4n-3),则   S15+

S22-S31 的值(  )
    A.13                                B.-76
    C.46                                D.76
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                                    14
    解析:选    B ∵S15=(-4)×7+(-1)       (4×15-3)=29.

    S22=(-4)×11=-44.

                        30
    S31=(-4)×15+(-1)     (4×31-3)=61.

    ∴S15+S22-S31=29-44-61=-76.
    5.数列   1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前              99 项和为(  )
    A.2100-101                          B.299-101
    C.2100-99                           D.299-99
                                                1-2n
                                    2      n-1         n
    解析:选    A 由数列可知      an=1+2+2   +…+2      = 1-2 =2  -1,所以,前      99 项的
                                                        21-299
                  2            99         2      99                      100
和为   S99=(2-1)+(2  -1)+…+(2     -1)=2+2   +…+2     -99=    1-2    -99=2    -
101.
                                                                1
                                                             {   +  }
    6.已知等比数列{an}的公比          q≠1,且   a1=1,3a3=2a2+a4,则数列      anan 1 的前  4 项
和为________.

                                                 2       3
    解析:∵等比数列{an}中,a1=1,3a3=2a2+a4,∴3q             =2q+q  .又∵q≠1,∴q=2,
                1     1           1           1        1
       n-1       +   ( )2n-1   {   +  }
∴an=2    ,∴anan   1=  2    ,即   anan 1 是首项为2,公比为4的等比数列,
                              1    1
                               1-   4
                              2[  (4) ]
             1                     1    85
                                1-
    ∴数列{anan+1}的前     4 项和为        4  =128.
          85
    答案:128
                                    S6       S9

    7.等比数列{an}的前       n 项和为  Sn,若S3=3,则S6=________.
          S6
    解析:S3=3,故      q≠1,
      a11-q6      1-q
    ∴    1-q   ×a11-q3=1+q3=3,
    即 q3=2.
        S9  a11-q9      1-q     1-23   7
    所以S6=      1-q   ×a11-q6=1-22=3.
          7
    答案:3

    8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若                    a1=2,{an}的

                       n
“差数列”的通项公式为           2 ,则数列{an}的前     n 项和  Sn=________.
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                  n
解析:∵an+1-an=2      ,

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
                          2-2n
=2n-1+2n-2+…+22+2+2=       1-2 +2=2n-2+2=2n.
      2-2n+1
                n+1
∴Sn=   1-2   =2   -2.
答案:2n+1-2

9.已知{an}是递增的等差数列,a1=2,a2=a4+8.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若 bn=an+2an,求数列{bn}的前       n 项和  Sn.

                                             2
解:(1)设数列{an}的公差为         d,d>0.由题意得(2+d)      =2+3d+8,解得      d=2.

故 an=a1+(n-1)·d=2+(n-1)·2=2n.

                      2n
(2)∵bn=an+2an=2n+2     ,

∴Sn=b1+b2+…+bn
=(2+22)+(4+24)+…+(2n+22n)
=(2+4+…+2n)+(22+24+…+22n)
  2+2n·n   4·1-4n
=     2    +    1-4
           4n+1-4
=n(n+1)+      3   .

10.在等差数列{an}中,a3=4,a7=8.

(1)求数列{an}的通项公式        an;
          an

(2)令 bn=2n-1,求数列{bn}的前       n 项和  Tn.
              a7-a3

解:(1)因为    d=  7-3  =1,所以    an=a3+(n-3)d=n+1.
        an    n+1

(2)bn=2n-1=2n-1,
                     3  4       n+1

Tn=b1+b2+…+bn=2+2+22+…+2n-1.①
1    2  3        n    n+1

2Tn=2+22+…+2n-1+       2n ,②
          1      1   1        1   n+1

由①-②得2Tn=2+2+22+…+2n-1-            2n
     1   1       1        n+1
   1+ +   +…+
=(   2  22      2n-1)+1-   2n
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         1
      1-
         2n
         1     n+1        1      n+1
      1-               1-
    =    2 +1-  2n =2(    2n)+1-  2n
         n+3              n+3

    =3-   2n ,所以   Tn=6-2n-1.
                               层级二 应试能力达标

    1.已知数列{an}的前       n 项和为  Sn,a1=1,Sn=2an+1,则     Sn=(  )
                                         3
    A.2n-1                             B.(2)n-1
       2                                  1
    C.(3)n-1                          D.2n-1

    解析:选    B 因为    an+1=Sn+1-Sn,所以由     Sn=2an+1,得  Sn=2(Sn+1-Sn),整理得
               Sn+1   3                                  3

3Sn=2Sn+1,所以    Sn  =2,所以数列{Sn}是以       S1=a1=1  为首项,2为公比的等比数列,
       3
      ( )n-1
故  Sn= 2   .
                    1  1  2  1  2  3 1  2  3  4                       1
                                                                  {    + }
    2.已知数列{an}:2,3+3,4+4+4,5+5+5+5,…,那么数列{bn}=                     anan 1 前
n 项的和为(  )
             1                              1   1
         1-                                  -
    A.4(   n+1)                        B.4(2   n+1)
           1                             1    1
    C.1-n+1                            D.2-n+1
                                    nn+1
                     1+2+3+…+n         2     n

    解析:选    A ∵an=       n+1      =   n+1  =2,
            1        4       1   1
                              -
             +       +      (    + )
    ∴bn=anan   1=nn   1=4  n  n 1 .
              1  1 1  1  1      1   1
           1-  +  - +  -  +…+   -
           (                       +  )
    ∴Sn=4     2  2 3  3  4      n n  1
            1
        1-
    =4(   n+1).
    3.某厂去年的总产值是          a 亿元,假设今后五年的年产值平均增长率是                  10%,则从今年
起到第   5 年年末该厂的总产值是(  )
    A.11×(1.15-1)a   亿元                 B.10×(1.15-1)a  亿元
    C.11×(1.14-1)a   亿元                 D.10×(1.14-1)a  亿元
    解析:选    A 由题意可知,今年年末的总产值为                1.1a,从今年起每年年末的总产值构
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                                                          1.1a1-1.15

成一个等比数列,首项为           1.1a,公比为    1.1.所以其前    5 项和为   S5=    1-1.1    =
11×(1.15-1)a  亿元,故选     A.

    4.已知是{an}等差数列,公差          d 不为零,前     n 项和是   Sn,若  a3,a4,a8 成等比数列,
则(  )

    A.a1d>0,dS4>0                       B.a1d>0,dS4<0

    C.a1d<0,dS4<0                       D.a1d<0,dS4>0

    解析:选    C ∵在等差数列{an}中,a3,a4,a8         成等比数列,
                                      5
             2
    ∴(a1+3d)  =(a1+2d)(a1+7d)⇒a1=-3d,
                                   2

    ∴S4=2(a1+a4)=2(a1+a1+3d)=-3d,
            5            2
              2            2
    ∴a1d=-3d   <0,dS4=-3d   <0,故选   C.
                       1      1 1      1  1 1          1 1        1
                    1+     1+ +                     1+  + +…+
                   (    ) (      )                 (              -  )
    5.求和:Sn=1+         2 +    2 4 +1+2+4+8+…+          2 4      2n  1 =
________.
    解析:被求和式的第         k 项为:
                              1
                           1-   k
                              (2)
           1 1        1        1       1
                            1-      1-
                      -             (    )
    ak=1+2+4+…+2k       1=     2 =2    2k .
                 1      1           1
             [(1- )+(1-   )+…+(1-    )]
    所以  Sn=2     2      22         2n
           1  1   1      1
        n-  +   +  +…+
    =2[   (2  22 23      2n)]
          1    1
            1-
          2(   2n)
        n-
               1
       [    1-   ]
    =2         2
              1
        n- 1-
    =2[   (   2n)]
            1
    =2n+2n-1-2.
                1
    答案:2n+2n-1-2

    6.已知等比数列{an}及等差数列{bn},其中              b1=0,公差    d≠0.将这两个数列的对应项
相加,得一新数列        1,1,2,…,则这个新数列的前           10 项和为________.
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                                                         2
    解析:设数列{an}的公比为          q,则{an}的前三项分别为        1,q,q   ,{bn}的前三项分别为

0,d,2d,于是Error!解得Error!(舍去)或Error!于是新数列的前             10 项和为(a1+b1)+(a2+
                                                     1-210

b2)+…+(a10+b10)=(a1+a2+…+a10)+(b1+b2+…+b10)=          1-2  +10×0+
10 × 10-1
     2     ×(-1)=978.
    答案:978

    7.已知数列{an}的前       n 项和  Sn,满足  Sn=n(n-6),数列{bn}满足       b2=3,bn+1=

        *
3bn(n∈N )

    (1)求数列{an},{bn}的通项公式;

    (2)记数列{cn}满足     cn=Error!求数列{cn}的前    n 项和  Tn.

    解:(1)当   n=1  时,a1=S1=-5,

                             2            2
    当 n ≥2  时,an=Sn-Sn-1=n    -6n-(n-1)   +6(n-1)=2n-7,

    ∵n=1  也适合上式,∴an=2n-7.
                                 bn+1
                   *
    ∵bn+1=3bn(n∈N   ),且  b2≠0,∴    bn =3,

                            n-1
    ∴{bn}为等比数列,∴bn=3          ,

    (2)由(1)得,cn=Error!
    当 n 为偶数时,

    Tn=c1+c2+…+cn
      n                    n
       -5+2n-9     31-9  
      2                    2
    =       2      +   1-9
      nn-7   33n-1
    =    2    +    8    .
    当 n 为奇数时,

    Tn=c1+c2+…+cn
      n+1                     n-1
          -5+2n-7     31-9     
       2                       2
    =        2        +     1-9
      n+1n-6     33n-1-1
    =       2      +      8     .

    综上所述:Tn=Error!


                                                                     1
                                                    *
    8.设数列{an}的前      n 项和记为   Sn,  且  Sn=2-an,n∈N   ,设函数     f(x)=log2x,且满
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足  bn=f(an)-3. 

    (1)求出数列{an},{bn}的通项公式;

    (2)记 cn=an·bn,{cn}的前    n 项和为   Tn,求  Tn 的最小值.

    解:(1)当   n=1  时,S1=2-a1   得 a1=1.
                                                                 1

    当 n≥2  时,an=Sn-Sn-1=(2-an)-(2-an-1)=-an+an-1,可得           an=2an-1,
                           1

    ∴{an}是首项为     1,公比为2的等比数列,
          1
          ( )n-1
    ∴an=  2   .
                                          1
                                         (2)n-1
    由题意得    bn=f(an)-3=log   1 an-3=log 1     -3=n-4.
                             2          2
                        1
                        ( )n-1
    (2)由(1)得  cn=(n-4)  2   .
                                      1

    法一:∵c1=-3<0,c2=-1<0,c3=-4<0,c4=0,

    当 n≥5  时,cn>0.
                                         17

    ∴{cn}的前   n 项和  Tn 的最小值为    T3=T4=-  4 .
                   1       1      1                1
                  ( )0    ( )1    ( )2            ( )n-1
    法二:Tn=-3×      2 -2×   2 -1×  2 +…+(n-4)×      2   ,
      1         1       1               1              1
               ( )1    ( )2            ( )n-1         ( )n
    ∴2Tn=-3×    2 -2×   2 -…+(n-5)×     2   +(n-4)×    2 ,
      1         1    1       1              1
               ( )1 ( )2     ( )n-1        ( )n
    ∴2Tn=-3+    2 +  2 +…+   2   -(n-4)×    2
           1    1
            1-   n-1
           2[  (2)   ]
                 1              1
              1-
    =-3+         2    -(n-4)×(2)n
           n-2
    =-2-    2n .
               n-2

    ∴Tn=-4-2n-1.
                    n-1         n-2    n-3
                -4-        -4-
               (        )  (      - )
    ∵Tn+1-Tn=        2n  -      2n  1 = 2n ,

    当 n≤2  时,Tn+1Tn.
                                         17

    ∴{cn}的前   n 项和  Tn 的是小值为    T3=T4=-  4 .
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