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2018年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5

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高中数学审核员

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                            2.5 等比数列的前n项和

                           第一课时 等比数列的前           n 项和


   预习课本     P55~58,思考并完成以下问题

    (1)公比是   1 的等比数列的前       n 项和如何计算?

     
    (2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前                   n 项和?

     
    (3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前                   n 项和?

    (4)等比数列前     n 项和的性质有哪些?

     


                                    [新知初探]
    1.等比数列的前       n 项和公式

 已知量               首项  a1 与公比   q                 首项   a1,末项  an 与公比   q

                      Sn=Error!                          Sn=Error!
  公式

                                         a11-qn

    [点睛] 在应用公式求和时,应注意到                Sn=   1-q   的使用条件为       q≠1,而当    q=

1 时应按常数列求和,即          Sn=na1.
    2.等比数列前      n 项和的性质
                                    S偶                       S奇-a1

    (1)等比数列{an}中,若项数为         2n,则S奇=q;若项数为         2n+1,则     S偶   =q.

    (2)若等比数列{an}的前       n 项和为  Sn,则  Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…成等比数列(其中         Sn,

S2n-Sn,S3n-S2n…均不为     0).

                                        n                   *
    (3)若一个非常数列{an}的前         n 项和 Sn=Aq  -A(A≠0,q≠0,n∈N      ),则数列{an}为等

                n                         *
比数列,即     Sn=Aq  -A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N       )⇔数列{an}为等比数列.

                                    [小试身手]
    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
                                                  a11-qn

    (1)求等比数列{an}的前       n 项和时可直接套用公式         Sn=   1-q    来求(  )

    (2)首项为   a 的数列既是等差数列又是等比数列,则其前                  n 项和为   Sn=na(  )
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                                      n                          *
    (3)若某数列的前      n 项和公式为     Sn=-aq  +a(a≠0,q≠0    且 q≠1,n∈N    ),则此数列
一定是等比数列(  )
    解析:(1)错误.在求等比数列前             n 项和时,首先应看公比         q 是否为   1,若  q≠1,可直
接套用,否则应讨论求和.
    (2)正确.若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前                              n 项和为

Sn=na.
                                        a11-qn

    (3)正确.根据等比数列前          n 项和公式    Sn=   1-q   (q≠0  且 q≠1)变形为:
         a1   a1                         a1
                  n
    Sn=1-q-1-qq    (q≠0 且 q≠1),若令     a=1-q,

                           n
    则和式可变形为       Sn=a-aq  .
    答案:(1)× (2)√ (3)√

    2.设等比数列{an}的前        n 项和为  Sn,已知   a1=2,a2=4,那么      S10 等于(  )
    A.210+2                             B.29-2
    C.210-2                             D.211-2
                                a2  4                      a11-q10

    解析:选    D 等比数列的公比        q=a1=2=2,所以前       10 项和  S10=   1-q    =
21-210
   1-2    =211-2,选   D.

    3.等比数列{an}中,公比         q=-2,S5=44,则     a1 的值为(  )
    A.4                                B.-4
    C.2                                 D.-2
                     a1[1--25]

    解析:选    A 由   S5=  1--2     =44,

    得 a1=4.
                                                S4

    4.设等比数列{an}的公比         q=2,前   n 项和为   Sn,则a2等于(  )
    A.2                                 B.4
      15                                 17
    C. 2                               D. 2
               S4  a11-q4    1    1-q4    15
    解析:选    C a2=     1-q   ×a1q=1-qq=     2 .
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                                  等比数列的前      n 项和公式的基本运算


    [典例] 在等比数列{an}中,公比为            q,前   n 项和为  Sn.
                 1     63

    (1)a1=8,an=4,Sn=    4 ,求  n;
           7     63

    (2)S3=2,S6=  2 ,求  an 及 Sn.
                                          1
                                       8-  q
                             a1-anq       4   63

    [解] (1)显然    q≠1,由   Sn=  1-q  ,即   1-q = 4 ,
         1                    1     1
                   n-1       ( )n-1
    ∴q=2.又   an=a1q   ,即  8×  2   =4,∴n=6.

    (2)法一:由    S6≠2S3 知 q≠1,由题意得
    Error!
    ②÷①,得     1+q3=9,∴q3=8,即       q=2.
                1              1
                           n-1     n-1   n-2
    代入①得    a1=2,∴an=a1q     =2×2     =2   ,
        a11-qn        1
                    n-1
    Sn=   1-q    =2   -2.

                                                 3                 3
    法二:由    S3=a1+a2+a3,S6=S3+a4+a5+a6=S3+q       (a1+a2+a3)=S3+q  S3=(1+

 3
q )S3.
            S6
    ∴1+q3=S3=9,∴q3=8,即        q=2.
                1              1
                           n-1     n-1   n-2
    代入①得    a1=2,∴an=a1q     =2×2     =2   ,
        a11-qn        1
                    n-1
    Sn=   1-q    =2   -2.


    在等比数列{an}的五个量         a1,q,an,n,Sn   中,a1 与  q 是最基本的元素,当条件与结

论间的联系不明显时,均可以用              a1 与 q 表示 an 与 Sn,从而列方程组求解,在解方程组时
经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 

      
    [活学活用]

    已知  a6-a4=24,a3·a5=64,求      S8.

    解:法一:由题意,得Error!
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    化简得Error!
    ①÷②,得     q2-1=±3,负值舍去,
    ∴q2=4,∴q=2     或 q=-2.

    当 q=2  时,代入①得      a1=1.
          a11-q8

    ∴S8=    1-q    =255.

    当 q=-2   时,代入①得      a1=-1.
          a11-q8   255

    ∴S8=    1-q    =  3 .
                   255

    综上知   S8=255 或  3 .

    法二:由等比数列的性质得            a3·a5=a42=64,∴a4=±8.
                                           a6
                                         2
    当 a4=8  时,∵a6-a4=24,∴a6=32,∴q        =a4=4,
    ∴q=±2.

    当 a4=-8  时,a6-a4=24,∴a6=16.
          a6
    ∴q2=a4=-2,无解.故        q=±2.
                  a4         a11-q8

    当 q=2  时,a1=q3=1,S8=       1-q    =255.
                    a4          a11-q8    255

    当 q=-2   时,a1=q3=-1,S8=        1-q    =  3 .
                     255

    综上知,S8=255     或  3 .

                                      等比数列的前      n 项和的性质


    [典例] 等比数列{an}的前         n 项和 Sn=48,前   2n 项和  S2n=60,则前    3n 项和 S3n=
________.

    [解析] 法一:设公比为          q,由已知易知      q≠1,由Error!⇒Error!所以   S3n=
a11-q3n    a1                      1
                                 1-
   1-q    =1-q·[1-(qn)3]=64×(       64)=63.

                                                    2
    法二:由    Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列,得(S2n-Sn)        =Sn·(S3n-S2n),即(60-

   2
48) =48(S3n-60)⇒S3n=63.
    [答案] 63
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    运用等比数列求和性质解题时,一定要注意性质成立的条件.否则会出现失误.如

Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…成等比数列的前提是           Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 均不为   0. 

       
    [活学活用]
                                      S6       S9

    1.设等比数列{an}的前        n 项和为  Sn,若S3=3,则S6=(  )
                                         7
    A.2                                B.3
      8
    C.3                                 D.3

    解析:选    B 由等比数列的性质:S3,S6-S3,S9-S6            仍成等比数列,于是,由           S6=
                                 S9  7

3S3,可推出    S9-S6=4S3,S9=7S3,∴S6=3.故选       B.

    2.一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的                          4 倍,前  3 项之积
为  64,求数列的通项公式.

    解:设数列{an}的首项为         a1,公比为   q,所有奇数项、偶数项之和分别记作                S 奇,S 偶,
由题意可知,

    S 奇+S 偶=4S  偶,即   S 奇=3S 偶.
                                      S偶   1

    因为数列{an}的项数为偶数,所以有             q=S奇=3.

                     2               3
    又因为   a1·a1q·a1q  =64,所以    a13·q =64,即   a1=12,故所求通项公式为         an=12×
 1
(3)n-1.

                                   等比数列及其前       n 项和的综合应用

                                            1

    [典例] (1)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=4,则              a1a2+a2a3+…+anan+1=(  )
    A.16(1-4-n)                         B.16(1-2-n)
      32                                 32
    C. 3 (1-4-n)                       D. 3 (1-2-n)
                                              1
                                         n           *
    (2)设 Sn 为数列{an}的前    n 项和,Sn=(-1)    an-2n,n∈N   ,则

    ①a3=________;

    ②S1+S2+…+S100=________.
                                1
                       3     3
    [解析] (1)由    a5=a2q ,得  q =8,
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       1

所以  q=2,而数列{anan+1}也为等比数列,
                      1
                    2
首项  a1·a2=8,公比     q =4,

所以  a1a2+a2a3+…+anan+1
  81-4-n
        1     32
     1-
=       4   =  3 (1-4-n).

(2)①∵an=Sn-Sn-1
            1                 1
       n            n-1
=(-1)   an-2n-(-1)    an-1+2n-1(n≥2),
                            1
          n        n-1
∴an=(-1)   an-(-1)    an-1+2n.
                      1

当 n 为偶数时,an-1=-2n,
                        1

当 n 为奇数时,2an+an-1=2n,
                   1    1

∴当  n=4  时,a3=-24=-16.

②根据以上{an}的关系式及递推式可求得.
      1        1         1

a1=-22,a3=-24,a5=-26,
      1

a7=-28,
    1      1       1      1

a2=22,a4=24,a6=26,a8=28.
         1          1

∴a2-a1=2,a4-a3=23,
        1

a6-a5=25,…,
                                                    1  1  1        1
                                                   ( +  +   +…+      )
∴S1+S2+…+S100=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a100-a99)-         2 22  23     2100
   1  1       1    1  1       1
    +  +…+          +  +…+
=(2  23      299)-(2  22     2100)
  1  1
       -1
=3(2100   ).
                     1    1  1
                               -1
[答案] (1)C (2)①-16 ②3(2100         )
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                              求解数列综合问题的步骤
    (1)分析题设条件.

    (2)分清是   an 与 an+1 的关系,还是     an 与 Sn 的关系.

    (3)转化为等差数列或等比数列,特别注意                 an=Sn-Sn-1(n≥2,n  为正整数)在      an 与

Sn 的关系中的应用.
    (4)整理求解.

        
    [活学活用]

    1.公差不为     0 的等差数列{an}的部分项        ak1,ak2,ak3,…构成等比数列,且           k1=1,

k2=2,k3=6,则     k4=________.

    解析:设等差数列{an}的公差为           d,

    因为  a1,a2,a6  成等比数列,所以        a2=a1·a6,

            2
    即(a1+d)  =a1·(a1+5d),

    所以  d=3a1,所以    a2=4a1,所以等比数列        ak1,ak2,ak3,…的公比     q=4,

                  3      3
    所以  ak4=a1·q  =a1·4  =64a1.

    又 ak4=a1+(k4-1)·d=a1+(k4-1)·(3a1),

    所以  a1+(k4-1)·(3a1)=64a1,a1≠0,

    所以  3k4-2=64,所以     k4=22.
    答案:22

                                                                      *
    2.(浙江高考)设数列{an}的前         n 项和为   Sn,已知   S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N     .

    (1)求通项公式     an;

    (2)求数列{|an-n-2|}的前       n 项和.

    解:(1)由题意得Error!则Error!

    又当  n≥2  时,由   an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得      an+1=3an,

                                n-1      *
    所以数列{an}的通项公式为          an=3   ,n∈N  .

               n-1            *
    (2)设 bn=|3    -n-2|,n∈N    ,则  b1=2,b2=1.

                    n-1              n-1
    当 n≥3  时,由于    3   >n+2,故    bn=3   -n-2,n≥3.

    设数列{bn}的前     n 项和为   Tn,则  T1=2,T2=3,
                     91-3n-2    n+7n-2      3n-n2-5n+11

    当 n≥3  时,Tn=3+       1-3    -        2      =       2     ,因为当     n=2 时,
          3n-n2-5n+11

也符合   Tn=       2      .

    所以  Tn=Error!
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                               层级一 学业水平达标

    1.设{an}是公比为      q 的等比数列,Sn     是它的前    n 项和,若{Sn}是等差数列,则          q 等于
(  )
    A.1                                B.0
    C.1 或  0                            D.-1

    解析:选    A 因为    Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列,所以          an 为定值,即数列{an}为常
               an
数列,所以     q=an-1=1.

                                                      n        *
    2.已知数列{an}是公比为         3 的等比数列,其前       n 项和  Sn=3 +k(n∈N   ),则实数    k 为
(  )
    A.0                                 B.1
    C.-1                                D.2

                                       n        *
    解析:选    C 由数列{an}的前      n 项和  Sn=3 +k(n∈N  ),

    当 n=1  时,a1=S1=3+k;
    当 n≥2  时,

                  n      n-1
    an=Sn-Sn-1=3  +k-(3     +k)
    =2×3n-1.

                                                 1-1
    因为数列{an}是公比为        3 的等比数列,所以       a1=2×3    =3+k,解得     k=-1.
    3.已知等比数列的公比为           2,且前   5 项和为   1,那么前    10 项和等于(  )
    A.31                                B.33
    C.35                                D.37
                                 S10-S5
    解析:选    B 根据等比数列性质得            S5  =q5,
      S10-1
               5
    ∴   1   =2 ,∴S10=33.
                                             5           5    Sn

    4.已知等比数列{an}的前         n 项和为  Sn,a1+a3=2,且    a2+a4=4,则an=(  )
    A.4n-1                              B.4n-1
    C.2n-1                              D.2n-1

    解析:选    D 设等比数列{an}的公比为          q,

    则Error!解得Error!
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                            1
                     2 × 1-
                        (  2n)
                          1
                        1-
          a11-qn        2
      Sn     1-q         1
                     2 ×  n-1
    ∴an=   a1qn-1  =    (2)   =2n-1.故选    D.

    5.等比数列{an}的前       n 项和为  Sn,S5=2,S10=6,则     a16+a17+a18+a19+a20 等于(  
)
    A.8                                 B.12
    C.16                                D.24

                                                     n                5
    解析:选    C 设等比数列{an}的公比为          q,因为   S2n-Sn=q Sn,所以   S10-S5=q  S5,所

          5       5                                 15    15    15   15
以  6-2=2q  ,所以   q =2,所以    a16+a17+a18+a19+a20=a1q  +a2q  +a3q  +a4q  +

   15  15                    15    3
a5q =q  (a1+a2+a3+a4+a5)=q    S5=2 ×2=16.

    6.等比数列{an}共有       2n 项,它的全部各项的和是奇数项的和的                3 倍,则公比    q=
________.

                                                           2
    解析:设{an}的公比为        q,则奇数项也构成等比数列,其公比为                q ,首项为    a1,

    偶数项之和与奇数项之和分别为              S 偶,S 奇,

    由题意   S 偶+S  奇=3S 奇,

    即 S 偶=2S  奇,

    因为数列{an}的项数为偶数,
           S偶
    所以  q=S奇=2.
    答案:2

    7.等比数列{an}中,若        a1+a3+…+a99=150,且公比       q=2,则数列{an}的前       100 项
和为________.
            a2+a4+…+a100               a2+a4+…+a100

    解析:由    a1+a3+…+a99   =q,q=2,得           150     =2⇒a2+a4+…+a100=

300,则数列{an}的前      100 项的和   S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=150+
300=450.
    答案:450
                                           1   1      1

    8.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a6=10,a1+a2+…+a6=5,则

a1·a2·…·a6=________.
                                                  a1-a6q      1   1       1

    解析:由等比数列的前          n 项和公式,a1+a2+…+a6=         1-q  =10,a1+a2+…+a6=
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 1  1 1
  -   ·
a1  a6 q a6q-a1
     1    a1a6
  1-
     q =  q-1  =5,把    a1-a6q=10(1-q)代入,得      a1a6=2,又  a1·a2·…·a6=

       3   3
(a1·a6) =2  =8.
    答案:8

    9.设等比数列{an}的前        n 项和为  Sn.已知  a2=6,6a1+a3=30,求    an 和 Sn.

    解:设{an}的公比为       q,由题设得Error!

    解得Error!或Error!

                             n-1        n
    当 a1=3,q=2   时,an=3×2      ,Sn=3(2  -1);

                             n-1      n
    当 a1=2,q=3   时,an=2×3      ,Sn=3  -1.

    10.已知{an}为递减的等比数列,且{a1,a2,a3}{-4,-3,-2,0,1,2,3,4}.

    (1)求数列{an}的通项公式;
             1--1n                                  16

    (2)当 bn=     2    an 时,求证:b1+b2+b3+…+b2n-1<       3 .

    解:(1)∵{an}是递减的等比数列,

    ∴数列{an}的公比      q 是正数,

    又∵{a1,a2,a3}{-4,-3,-2,0,1,2,3,4},

    ∴a1=4,a2=2,a3=1.
         a2  2 1
    ∴q=a1=4=2,
                 8
            n-1
    ∴an=a1q    =2n.
                         8[1--1n]

    (2)证明:由已知得       bn=    2n+1    ,

                *
    当 n=2k(k∈N   )时,bn=0,

                   *
    当 n=2k-1(k∈N    )时,bn=an.

    即 bn=Error!

    ∴b1+b2+b3+…+b2n-2+b2n-1=a1+a3+…+a2n-1
           1
      4 1-  n
       [  (4) ]
           1
        1-
    =      4
      16    1   16
        1-   n
    = 3 [  (4) ]< 3 .
                               层级二 应试能力达标
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                                                    S5

    1.设  Sn 为等比数列{an}的前      n 项和,且    8a2+a5=0,则S2等于(  )
    A.11                               B.5
    C.-8                                D.-11

    解析:选    D 设{an}的公比为      q.因为  8a2+a5=0.

                  3              3
    所以  8a2+a2·q  =0.所以   a2(8+q  )=0.

                    3
    因为  a2≠0,所以    q =-8.所以    q=-2.
            a11-q5
               1-q
        S5  a11-q2   1-q5   1+32   33
    所以S2=      1-q   =1-q2=   1-4 =-3=-11.故选      D.
                                                                       { 1 }
    2.已知{an}是首项为       1 的等比数列,Sn     是{an}的前   n 项和,且   9S3=S6,则数列     an 的
前  5 项和为(  )
      15                                31
    A. 8 或 5                           B.16或 5
      31                                15
    C.16                               D. 8
                                             a11-q3   a11-q6

    解析:选    C 由题意,q≠1,由        9S3=S6,得   9×    1-q   =    1-q   ,解得    q=
                      1   1            1               1
            n-1  n-1     ( )n-1       {  }
2,故   an=a1q  =2    ,an=  2   ,∴数列     an 是以  1 为首项,2为公比的等比数列,其
                 1
          1 × 1-  5
             [  (2) ]
                1     31
             1-
前  5 项和为        2   =16.

                                          n
    3.在等比数列{an}中,若         a1+a2+…+an=2    -1,则   a12+a2+…+an2=(  )
                                        1
    A.(2n-1)2                          B.3(4n-1)
      1
    C.3(2n-1)                           D.4n-1

                                 n
    解析:选    B 由   a1+a2+…+an=2    -1,得   a1=1,a2=2,所以{an}是以       1 为首项,
2 为公比的等比数列,所以{an2}是以           1 为首项,4    为公比的等比数列,所以           a12+a2+…+a
   1 × 1-4n  1
n2=   1-4    =3(4n-1).
    4.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的                        2 倍,一共点     381 盏灯,则
底层所点灯的盏数是(  )
    A.190                               B.191
    C.192                               D.193
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                                                             a1 1-  7
                                                              [   (2) ]
                                                  1               1
                                                               1-
    解析:选    C 设最下面一层灯的盏数为            a1,则公比    q=2,n=7,由          2  =381,

解得   a1=192.

    5.设数列{an}是首项为        1,公比为-2     的等比数列,则       a1+|a2|+a3+|a4|=
________.

    解析:依题意得       a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,所以          a1+|a2|+a3+|a4|=15.
    答案:15
                                     Sn                     1
                                   n,
                                  (    )    *
    6.设数列{an}的前      n 项和为   Sn,点    n (n∈N  )均在直线    y=x+2上.若     bn=

    1
  a 
  n 2
3    ,则数列{bn}的前      n 项和  Tn=________.
                  Sn    1            1                             1
                                                                n2+ n
                                  2                            (     )
    解析:依题意得       n =n+2,即    Sn=n +2n.当  n≥2  时,an=Sn-Sn-1=       2  -[(n-
     1            1                    3              1
  2
1) +2(n-1)]=2n-2;当      n=1 时,a1=S1=2,符合      an=2n-2,所以     an=2n-
1                            bn+1  32n+1
                   1
                 a 
      *           n 2  2n                      2
2(n∈N  ),则  bn=3     =3  ,由   bn =    32n   =3 =9,可知{bn}为等比数列,b1=
               91-9n   9n+1-9
 2×1
3   =9,故   Tn=   1-9   =    8   .
          9n+1-9
    答案:      8
    7.某地本年度旅游业收入估计为              400 万元,由于该地出台了一系列措施,进一步发展
                                             1
旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加4.
    (1)求 n 年内旅游业的总收入;
    (2)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过                 8 000 万元.

    解:(1)设第    n 年的旅游业收入估计为          an 万元,
                        1    5
                    (1+  )
    则 a1=400,an+1=      4 an=4an,
      an+1  5                    5

    ∴  an  =4,∴数列{an}是公比为4的等比数列,
                            5
                     400 1-  n
                        [  (4) ]
          a11-qn         5
                        1-
    ∴Sn=    1-q    =       4
            5
              n-1
    =1 600[(4)   ],
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                            5
                              n-1
即 n 年内旅游业总收入为         1 600[(4)  ]万元.
                    5
                   [( )n-1]
(2)由(1)知  Sn=1 600  4     ,

令 Sn>8 000,
         5
          n-1
即 1 600[(4)   ]>8 000,
   5         5
∴(4)n>6,∴lg(4)n>lg 6,
    lg 6
      5
    lg 
∴n>   4≈8.029 6.
∴大约第    9 年后,旅游业总收入超过           8 000 万元.


8.在数列{an}中,若       an=Error!求数列{an}的前    n 项和.

解:当   n=1  时,S1=a1=1.
当 n≥2  时,

若 a=0,有    an=Error!
         1        n+1

则 Sn=1+2(n-1)=     2 .

若 a=1,有    an=Error!
         3        3n-1

则 Sn=1+2(n-1)=      2 .
若 a≠0  且 a≠1,
          1     1           1
         ( +a)  ( +a2)     ( +an-1)
则 Sn=1+   2   + 2     +…+   2
     1
=1+2(n-1)+(a+a2+…+an-1)
  n+1   a-an
=  2  + 1-a .

综上所述,Sn=Error!
                        第二课时 数列求和(习题课)


                                [小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
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                                                             a1-an+1

    (1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于               1,则其前    n 项和  Sn=   1-q   (  )
                    1   1  1     1
                             -
    (2)当 n≥2  时,n2-1=2(n-1     n+1)(  )

                  2   3        n
    (3)求 Sn=a+2a  +3a  +…+na    之和时只要把上式等号两边同时乘以               a 即可根据错位
相减法求得(  )
            1                        1
              +2n-1
    (4)数列{2n        }的前  n 项和为   n2+2n(  )

    (5)若数列   a1,a2-a1,…,an-an-1    是首项为     1,公比为    3 的等比数列,则数列
                   3n-1

{an}的通项公式是      an=  2  (  )
                                                      a11-qn   a1-an+1

    解析:(1)正确.公比不等于           1 的等比数列的前      n 项和  Sn=    1-q   =   1-q   .
    (2)正确.化简即得.
    (3)错误.a   的值不能确定.
                                   1

    (4)错误.设数列的通项公式为            an=2n+2n-1,
    则用分组转化法求和,
        1  1       1
         +   +…+
        (           )   +  +   +
    Sn= 2  22     2n +(2  4  …   2n)-n
      1    1
        1-
      2(  2n)
          1    2+2nn
        1-
    =     2  +    2    -n
         1               1
    =1-2n+n+n2-n=1-2n+n2.
                                                         1-3n   3n-1

    (5)正确.由题意      an=a1+a2-a1+…+an-1-an-2+an-an-1=       1-3 =   2  .
    答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
                                                1

    2.已知{an}为等差数列,Sn        为其前   n 项和,若    a1=2,S2=a3,则    S40=(  )
    A.290                              B.390
    C.410                               D.430
                                                                  1

    解析:选    C 设数列{an}的公差为        d.∵S2=a3,∴2a1+d=a1+2d,∴d=2,∴S40=
    1  40 × 39 1
40×2+    2   ×2=410.

                                                                       *
    3.设等比数列{an}的前        n 项和为  Sn,已知   a1=2,且   an+2an+1+an+2=0(n∈N   ),则
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S2 016=________.

                                                               2
    解析:设等比数列{an}的公比为           q,则   an+2an+1+an+2=an(1+2q+q   )=0,

            2
∵an≠0,∴q    +2q+1=0.

    解得  q=-1,∴S2 016=0.
    答案:0
                                2n-1                321

    4.已知数列{an}的通项公式          an= 2n  ,其前   n 项和  Sn= 64 ,则项数   n 等于
________.
             2n-1      1

    解析:an=     2n =1-2n,
            1    1
              1-
            2(   2n)
                 1          1  321     1
              1-
    ∴Sn=n-       2 =n-1+2n=    64 =5+64,
    ∴n=6.
    答案:6


                                           分组转化法求和


                          1   1   1

    [典例] 已知数列{cn}:12,24,38,…,试求{cn}的前               n 项和.

    [解] 令{cn}的前     n 项和为   Sn,
           1   1   1         1
                         [n+( )n]
    则 Sn=12+24+38+…+         2
                        1  1  1      1
                         +  +  +…+    n
    =(1+2+3+…+n)+[2        4  8     (2) ]
               1    1
                 1-   n
               2[   (2) ]
      nn+1        1
                  1-
    =    2    +     2
      nn+1       1
    =    2    +1-(2)n.
                             n2+n      1
                                       ( )n
    即数列{cn}的前     n 项和为   Sn=  2  +1-  2 .
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    若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和
时可用分组转化法,分别求和而后相加减.

          
    [活学活用]

                 n
    1.数列{(-1)    n}的前   n 项和为  Sn,则  S2 016 等于(  )
    A.1 008                             B.-1 008
    C.2 016                             D.-2 016

    解析:选    A S2 016=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2 015+2 016)=1 008.
                              nπ      nπ
                           cos2 -sin2 
                         2(             )
    2.数列{an}的通项      an=n      3      3 ,其前   n 项和为   Sn,则  S30 为________.
                     nπ      nπ        2nπ
                  cos2 -sin2 
                2(             )  2
    解析:∵an=n          3      3 =n  cos  3 ,
                  2π         4π
           2          2           2                2
    ∴S30=1  ·cos  3 +2 ·cos  3 +3 ·cos 2π+…+30      ·cos 20π
        1     1         1      1             1      1
    =-2×12-2×22+32-2×42-2×52+62+…-2×282-2×292+302
        1
    =-2[(12+22-2×32)+(42+52-2×62)+…+(282+292-2×302)]
        1
    =-2[(12-32)+(42-62)+…+(282-302)+(22-32)+(52-62)+…+(292-302)]
        1
    =-2[-2(4+10+16+…+58)-(5+11+17+…+59)]
        1     4+58       5+59
         -2  ×        × 10-        × 10
    =-2[          2            2       ]=470.
    答案:470

                                           裂项相消法求和


    [典例] 已知等比数列{an}的各项均为正数,且                 2a1+3a2=1,a32=9a2a6.

    (1)求数列{an}的通项公式;
                                 1
                   3         {    +  }
    (2)设 bn=-log    an,求数列    bnbn  1 的前  n 项和  Tn.
                                                             1
                                                          2
    [解] (1)设数列{an}的公比为        q,由   a32=9a2a6 得 a32=9a42,∴q =9.
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                        1
    由条件可知     q>0,故   q=3.
                                      1

    由 2a1+3a2=1  得 2a1+3a1q=1,∴a1=3.
                              1

    故数列{an}的通项公式为         an=3n.
             1               1

    (2)∵an=3n,∴bn=-log      33n=2n,
         1        1      1 1   1
                           -
    ∴bnbn+1=4nn+1=4(n      n+1),
          1    1   1 1       1   1
            1-  +  -   +…+    -
          [(   )  (   )     (    + )]
    ∴Tn=4      2   2 3       n  n  1
      1     1       n
        1-
    =4(   n+1)=4n+1.


    (1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其
和.
    (2)裂项求和的几种常见类型:
         1     1 1   1
                  -
    ①nn+k=k(n     n+k);
          1     1
    ②  n+k+   n=k( n+k-   n);
             1         1  1      1
                             -
    ③2n-12n+1=2(2n-1       2n+1);
                                      1    1 1    1
                                              -
                                      +     (     +  )
    ④若{an}是公差为      d 的等差数列,则anan       1=d  an an  1 . 
         
    [活学活用]

    已知等差数列{an}的前        n 项和为  Sn,且  S3=15,a5+a9=30.

    (1)求 an 及 Sn;

                                     *
    (2)若数列{bn}满足     bn(Sn-n)=2(n∈N  ),数列{bn}的前     n 项和为   Tn,求证:Tn<2.

    解:(1)设等差数列{an}的公差为          d,由题意可得
    Error!⇒Error!⇒Error!

    则 an=3+2(n-1)=2n+1,
            2nn-1
                       2
    Sn=3n+     2    =n  +2n.
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(2)证明:由题意可得
      2     2     1    1
                   -
      -     +     (   +  )
bn=Sn  n=n2   n=2 n  n  1 ,

∴Tn=b1+b2+…+bn
       1   1  1      1    1
    1-   +  -  +…+    -
=2[(   2) (2  3)     (n n+1)]
        1
    1-
=2(   n+1)<2.

                                       错位相减法求和

                             2        2an

[典例] 已知数列{an}的首项         a1=3,an+1=an+1,n=1,2,3,….
              1
               -1
(1)证明:数列{an       }是等比数列;
         { n }
(2)求数列    an 的前  n 项和  Sn.
                        2an

[解] (1)证明:由      an+1=an+1,
      1   an+1   1  1  1
所以an+1=    2an =2+2×an,
      1      1 1
                 -1
所以an+1-1=2(an      ),
      2      1     1           1        1        1
                              {  -1}
又 a1=3,所以a1-1=2,所以数列           an   是以2为首项,2为公比的等比数列.
          1     1    1    1     1   1
(2)由(1)得an-1=2×2n-1=2n,即an=2n+1,
    n   n
所以an=2n+n.
      1  2   3       n

设 Tn=2+22+23+…+2n,①
  1    1   2      n-1    n

则2Tn=22+23+…+      2n +2n+1,②
          1   1   1      1    n

由①-②得2Tn=2+22+…+2n-2n+1
  1    1
    1-
  2(  2n)
      1      n       1    n
    1-
=     2  -2n+1=1-2n-2n+1,
        1     n

Tn=2-2n-1-2n.
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                      nn+1
    又 1+2+3+…+n=         2    ,
             n
    所以数列{an}的前      n 项和
           2+n  nn+1

    Sn=2-  2n +    2
      n2+n+4   n+2
    =    2   -  2n .


    如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前                    n 项和时,可采用错
位相减法.

    在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写

出“Sn-qSn”的表达式.

         
    [活学活用]

                                                   *
    数列{an}满足    a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N       .
                  an
    (1)证明:数列{     n }是等差数列;

              n
    (2)设 bn=3  ·  an,求数列{bn}的前     n 项和  Sn.
                          an+1   an      an+1   an
    解:(1)证明:由已知可得          n+1 = n +1,即   n+1 - n =1.
         an    a1
    所以{  n }是以  1 =1 为首项,1    为公差的等差数列.
              an
                                           2
    (2)由(1)得  n =1+(n-1)·1=n,所以       an=n  .

                n
    从而  bn=n·3   .

            1     2     3          n
    Sn=1·3  +2·3   +3·3  +…+n·3    ,①

            2      3              n      n+1
    3Sn=1·3  +2·3   +…+(n-1)·3     +n·3    .②

                   1   2      n      n+1
    ①-②得-2Sn=3      +3 +…+3    -n·3
      3·1-3n
    =    1-3   -n·3n+1
      1-2n·3n+1-3
    =        2        .
            2n-1·3n+1+3

    所以  Sn=        4        .
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                               层级一 学业水平达标

                    n
    1.已知   an=(-1)  ,数列{an}的前     n 项和为   Sn,则  S9 与 S10 的值分别是(  )
    A.1,1                              B.-1,-1
    C.1,0                               D.-1,0

    解析:选    D S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,

    S10=S9+a10=-1+1=0.
                                  1
                                +   +
    2.数列{an}的通项公式是         an= n   n  1,若前   n 项和为   10,则项数为(  )
    A.11                                B.99
    C.120                               D.121
                         1
                       +  +      +
    解析:选    C ∵an=    n   n 1=  n  1-  n,

    ∴Sn=a1+a2+…+an
    =(  2-1)+(   3-  2)+…+(   n+1-   n)
    =  n+1-1,
    令  n+1-1=10,得     n=120.
                                                        1
                                           2
    3.等差数列{an}中,a1=1,an,an+1        是方程   x -(2n+1)x+bn=0    的两个根,则数列

{bn}前 n 项和  Sn=(  )
        1       1
    A.2n+1  B.n+1
        n       n
    C.2n+1  D.n+1
                                               1
                                  2
    解析:选    D 因为    an,an+1 是方程  x -(2n+1)x+bn=0    的两个根,所以       an+an+1=

2n+1,又因为数列{an}为等差数列,所以              an+an+1=a1+a2n=1+a2n=2n+1,所以       a2n=
                              1              1     1   1

2n,所以   an=n.anan+1=n(n+1)=bn,所以      bn=nn+1=n-n+1,所以数列{bn}前          n 项
         1  1  1      1   1       1     n

和  Sn=1-2+2-3+…+n-n+1=1-n+1=n+1.

                                                         n-1
    4.在数列{an}中,已知        Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)           (4n-3),则   S15+

S22-S31 的值(  )
    A.13                                B.-76
    C.46                                D.76
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                                    14
    解析:选    B ∵S15=(-4)×7+(-1)       (4×15-3)=29.

    S22=(-4)×11=-44.

                        30
    S31=(-4)×15+(-1)     (4×31-3)=61.

    ∴S15+S22-S31=29-44-61=-76.
    5.数列   1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前              99 项和为(  )
    A.2100-101                          B.299-101
    C.2100-99                           D.299-99
                                                1-2n
                                    2      n-1         n
    解析:选    A 由数列可知      an=1+2+2   +…+2      = 1-2 =2  -1,所以,前      99 项的
                                                        21-299
                  2            99         2      99                      100
和为   S99=(2-1)+(2  -1)+…+(2     -1)=2+2   +…+2     -99=    1-2    -99=2    -
101.
                                                                1
                                                             {   +  }
    6.已知等比数列{an}的公比          q≠1,且   a1=1,3a3=2a2+a4,则数列      anan 1 的前  4 项
和为________.

                                                 2       3
    解析:∵等比数列{an}中,a1=1,3a3=2a2+a4,∴3q             =2q+q  .又∵q≠1,∴q=2,
                1     1           1           1        1
       n-1       +   ( )2n-1   {   +  }
∴an=2    ,∴anan   1=  2    ,即   anan 1 是首项为2,公比为4的等比数列,
                              1    1
                               1-   4
                              2[  (4) ]
             1                     1    85
                                1-
    ∴数列{anan+1}的前     4 项和为        4  =128.
          85
    答案:128
                                    S6       S9

    7.等比数列{an}的前       n 项和为  Sn,若S3=3,则S6=________.
          S6
    解析:S3=3,故      q≠1,
      a11-q6      1-q
    ∴    1-q   ×a11-q3=1+q3=3,
    即 q3=2.
        S9  a11-q9      1-q     1-23   7
    所以S6=      1-q   ×a11-q6=1-22=3.
          7
    答案:3

    8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若                    a1=2,{an}的

                       n
“差数列”的通项公式为           2 ,则数列{an}的前     n 项和  Sn=________.
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                  n
解析:∵an+1-an=2      ,

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
                          2-2n
=2n-1+2n-2+…+22+2+2=       1-2 +2=2n-2+2=2n.
      2-2n+1
                n+1
∴Sn=   1-2   =2   -2.
答案:2n+1-2

9.已知{an}是递增的等差数列,a1=2,a2=a4+8.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若 bn=an+2an,求数列{bn}的前       n 项和  Sn.

                                             2
解:(1)设数列{an}的公差为         d,d>0.由题意得(2+d)      =2+3d+8,解得      d=2.

故 an=a1+(n-1)·d=2+(n-1)·2=2n.

                      2n
(2)∵bn=an+2an=2n+2     ,

∴Sn=b1+b2+…+bn
=(2+22)+(4+24)+…+(2n+22n)
=(2+4+…+2n)+(22+24+…+22n)
  2+2n·n   4·1-4n
=     2    +    1-4
           4n+1-4
=n(n+1)+      3   .

10.在等差数列{an}中,a3=4,a7=8.

(1)求数列{an}的通项公式        an;
          an

(2)令 bn=2n-1,求数列{bn}的前       n 项和  Tn.
              a7-a3

解:(1)因为    d=  7-3  =1,所以    an=a3+(n-3)d=n+1.
        an    n+1

(2)bn=2n-1=2n-1,
                     3  4       n+1

Tn=b1+b2+…+bn=2+2+22+…+2n-1.①
1    2  3        n    n+1

2Tn=2+22+…+2n-1+       2n ,②
          1      1   1        1   n+1

由①-②得2Tn=2+2+22+…+2n-1-            2n
     1   1       1        n+1
   1+ +   +…+
=(   2  22      2n-1)+1-   2n
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         1
      1-
         2n
         1     n+1        1      n+1
      1-               1-
    =    2 +1-  2n =2(    2n)+1-  2n
         n+3              n+3

    =3-   2n ,所以   Tn=6-2n-1.
                               层级二 应试能力达标

    1.已知数列{an}的前       n 项和为  Sn,a1=1,Sn=2an+1,则     Sn=(  )
                                         3
    A.2n-1                             B.(2)n-1
       2                                  1
    C.(3)n-1                          D.2n-1

    解析:选    B 因为    an+1=Sn+1-Sn,所以由     Sn=2an+1,得  Sn=2(Sn+1-Sn),整理得
               Sn+1   3                                  3

3Sn=2Sn+1,所以    Sn  =2,所以数列{Sn}是以       S1=a1=1  为首项,2为公比的等比数列,
       3
      ( )n-1
故  Sn= 2   .
                    1  1  2  1  2  3 1  2  3  4                       1
                                                                  {    + }
    2.已知数列{an}:2,3+3,4+4+4,5+5+5+5,…,那么数列{bn}=                     anan 1 前
n 项的和为(  )
             1                              1   1
         1-                                  -
    A.4(   n+1)                        B.4(2   n+1)
           1                             1    1
    C.1-n+1                            D.2-n+1
                                    nn+1
                     1+2+3+…+n         2     n

    解析:选    A ∵an=       n+1      =   n+1  =2,
            1        4       1   1
                              -
             +       +      (    + )
    ∴bn=anan   1=nn   1=4  n  n 1 .
              1  1 1  1  1      1   1
           1-  +  - +  -  +…+   -
           (                       +  )
    ∴Sn=4     2  2 3  3  4      n n  1
            1
        1-
    =4(   n+1).
    3.某厂去年的总产值是          a 亿元,假设今后五年的年产值平均增长率是                  10%,则从今年
起到第   5 年年末该厂的总产值是(  )
    A.11×(1.15-1)a   亿元                 B.10×(1.15-1)a  亿元
    C.11×(1.14-1)a   亿元                 D.10×(1.14-1)a  亿元
    解析:选    A 由题意可知,今年年末的总产值为                1.1a,从今年起每年年末的总产值构
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                                                          1.1a1-1.15

成一个等比数列,首项为           1.1a,公比为    1.1.所以其前    5 项和为   S5=    1-1.1    =
11×(1.15-1)a  亿元,故选     A.

    4.已知是{an}等差数列,公差          d 不为零,前     n 项和是   Sn,若  a3,a4,a8 成等比数列,
则(  )

    A.a1d>0,dS4>0                       B.a1d>0,dS4<0

    C.a1d<0,dS4<0                       D.a1d<0,dS4>0

    解析:选    C ∵在等差数列{an}中,a3,a4,a8         成等比数列,
                                      5
             2
    ∴(a1+3d)  =(a1+2d)(a1+7d)⇒a1=-3d,
                                   2

    ∴S4=2(a1+a4)=2(a1+a1+3d)=-3d,
            5            2
              2            2
    ∴a1d=-3d   <0,dS4=-3d   <0,故选   C.
                       1      1 1      1  1 1          1 1        1
                    1+     1+ +                     1+  + +…+
                   (    ) (      )                 (              -  )
    5.求和:Sn=1+         2 +    2 4 +1+2+4+8+…+          2 4      2n  1 =
________.
    解析:被求和式的第         k 项为:
                              1
                           1-   k
                              (2)
           1 1        1        1       1
                            1-      1-
                      -             (    )
    ak=1+2+4+…+2k       1=     2 =2    2k .
                 1      1           1
             [(1- )+(1-   )+…+(1-    )]
    所以  Sn=2     2      22         2n
           1  1   1      1
        n-  +   +  +…+
    =2[   (2  22 23      2n)]
          1    1
            1-
          2(   2n)
        n-
               1
       [    1-   ]
    =2         2
              1
        n- 1-
    =2[   (   2n)]
            1
    =2n+2n-1-2.
                1
    答案:2n+2n-1-2

    6.已知等比数列{an}及等差数列{bn},其中              b1=0,公差    d≠0.将这两个数列的对应项
相加,得一新数列        1,1,2,…,则这个新数列的前           10 项和为________.
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                                                         2
    解析:设数列{an}的公比为          q,则{an}的前三项分别为        1,q,q   ,{bn}的前三项分别为

0,d,2d,于是Error!解得Error!(舍去)或Error!于是新数列的前           10 项和为(a1+b1)+(a2+
                                                     1-210

b2)+…+(a10+b10)=(a1+a2+…+a10)+(b1+b2+…+b10)=          1-2  +10×0+
10 × 10-1
     2     ×(-1)=978.
    答案:978

    7.已知数列{an}的前       n 项和  Sn,满足  Sn=n(n-6),数列{bn}满足       b2=3,bn+1=

        *
3bn(n∈N )

    (1)求数列{an},{bn}的通项公式;

    (2)记数列{cn}满足     cn=Error!求数列{cn}的前    n 项和 Tn.

    解:(1)当   n=1  时,a1=S1=-5,

                             2            2
    当 n ≥2  时,an=Sn-Sn-1=n    -6n-(n-1)   +6(n-1)=2n-7,

    ∵n=1  也适合上式,∴an=2n-7.
                                 bn+1
                   *
    ∵bn+1=3bn(n∈N   ),且  b2≠0,∴    bn =3,

                            n-1
    ∴{bn}为等比数列,∴bn=3          ,

    (2)由(1)得,cn=Error!
    当 n 为偶数时,

    Tn=c1+c2+…+cn
      n                    n
       -5+2n-9     31-9  
      2                    2
    =       2      +   1-9
      nn-7   33n-1
    =    2    +    8    .
    当 n 为奇数时,

    Tn=c1+c2+…+cn
      n+1                     n-1
          -5+2n-7     31-9     
       2                       2
    =        2        +     1-9
      n+1n-6     33n-1-1
    =       2      +      8     .

    综上所述:Tn=Error!


                                                                     1
                                                    *
    8.设数列{an}的前      n 项和记为   Sn,  且  Sn=2-an,n∈N   ,设函数     f(x)=log2x,且满
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足  bn=f(an)-3. 

    (1)求出数列{an},{bn}的通项公式;

    (2)记 cn=an·bn,{cn}的前    n 项和为   Tn,求  Tn 的最小值.

    解:(1)当   n=1  时,S1=2-a1   得 a1=1.
                                                                 1

    当 n≥2  时,an=Sn-Sn-1=(2-an)-(2-an-1)=-an+an-1,可得           an=2an-1,
                           1

    ∴{an}是首项为     1,公比为2的等比数列,
          1
          ( )n-1
    ∴an=  2   .
                                          1
                                         (2)n-1
    由题意得    bn=f(an)-3=log   1 an-3=log 1     -3=n-4.
                             2          2
                        1
                        ( )n-1
    (2)由(1)得  cn=(n-4)  2   .
                                      1

    法一:∵c1=-3<0,c2=-1<0,c3=-4<0,c4=0,

    当 n≥5  时,cn>0.
                                         17

    ∴{cn}的前   n 项和  Tn 的最小值为    T3=T4=-  4 .
                   1       1      1                1
                  ( )0    ( )1    ( )2            ( )n-1
    法二:Tn=-3×      2 -2×   2 -1×  2 +…+(n-4)×      2   ,
      1         1       1               1              1
               ( )1    ( )2            ( )n-1         ( )n
    ∴2Tn=-3×    2 -2×   2 -…+(n-5)×     2   +(n-4)×    2 ,
      1         1    1       1              1
               ( )1 ( )2     ( )n-1        ( )n
    ∴2Tn=-3+    2 +  2 +…+   2   -(n-4)×    2
           1    1
            1-   n-1
           2[  (2)   ]
                 1              1
              1-
    =-3+         2    -(n-4)×(2)n
           n-2
    =-2-    2n .
               n-2

    ∴Tn=-4-2n-1.
                    n-1         n-2    n-3
                -4-        -4-
               (        )  (      - )
    ∵Tn+1-Tn=        2n  -      2n  1 = 2n ,

    当 n≤2  时,Tn+1Tn.
                                         17

    ∴{cn}的前   n 项和  Tn 的是小值为    T3=T4=-  4 .
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                            (时间  120 分钟 满分     150 分)

    一、选择题(本大题共         8 小题,每小题      5 分,共  40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
                             1

    1.等比数列{an}的公比        q=-4,a1=    2,则数列{an}是(  )
    A.递增数列                             B.递减数列
    C.常数数列                              D.摆动数列
                                            1

    解析:选    D 因为等比数列{an}的公比为           q=-4,a1=    2,故  a2<0,a3>0,…,所以

数列{an}是摆动数列.
    2.若互不相等的实数         a,b,c  成等差数列,a      是  b,c 的等比中项,且       a+3b+c=
10,则  a 的值是(  )
    A.1                                 B.-1
    C.-3                                D.-4

    解析:选    D 由题意,得Error!
    解得  a=-4,b=2,c=8.
                        1
                                   n
    3.在数列{an}中,a1=3,an=(-1)         ·2an-1(n≥2),则   a5 等于(  )
         16                             16
    A.-  3                             B. 3
         8                              8
    C.-3                               D.3
                     1
                                n
    解析:选    B ∵a1=3,an=(-1)      ·2an-1,
                    1  2
              2
    ∴a2=(-1)   ×2×3=3,
                  2    4
            3
    a3=(-1)  ×2×3=-3,
                    4     8
                   -
            4     (  )
    a4=(-1)  ×2×    3 =-3,
                    8   16
                   -
            5     (  )
    a5=(-1)  ×2×    3 = 3 .

                                         n+1
    4.在等比数列{an}中,已知前          n 项和  Sn=5   +a,则    a 的值为(  )
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    A.-1                                B.1
    C.5                                 D.-5
                                                                a11-qn
                        n+1        n
    解析:选    D 因为    Sn=5   +a=5×5   +a,由等比数列的前         n 项和  Sn=   1-q    =
 a1    a1
1-q-1-q·qn,可知其常数项与           qn 的系数互为相反数,所以          a=-5.

    5.已知数列{an}满足       a1=1,an+1=Error!则  254 是该数列的(  )
    A.第  8 项                            B.第  10 项
    C.第  12 项                           D.第  14 项

    解析:选    D 当   n 为正奇数时,an+1=2an,则       a2=2a1=2,当    n 为正偶数时,an+1=

an+1,得   a3=3,依次类推得       a4=6,a5=7,a6=14,a7=15,…,归纳可得数列{an}的通

                  n
                   +1
                   2
项公式   an=Error!则 2   -2=254,n=14,故选       D.
                                                              3     15

    6.已知数列{an}是等差数列,其前            n 项和为   Sn,若  a1a2a3=15,且S1S3+S3S5+
  5   3

S5S1=5,则   a2=(  )
            1
    A.2  B.2
            1
    C.3  D.3
                                            1    1     1   3

    解析:选    C ∵S1=a1,S3=3a2,S5=5a3,∴a1a2+a2a3+a1a3=5,∵a1a2a3=15,∴
3  a3  a1  a2 a2

5=15+15+15=    5 ,∴a2=3.故选    C.
                                                                 1

    7.如果数列     a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为           1、公比为3的等比数列,

那么   an=(  )
      3    1                             3      1
        1-                                 1-
    A.2(  3n)                          B.2(   3n-1)
      2    1                             2      1
        1-                                 1-
    C.3(  3n)                          D.3(   3n-1)
                               1                 1
                                                ( )n-1
    解析:选    A 由题知     a1=1,q=3,则    an-an-1=1×   3   .

    设数列   a1,a2-a1,…,an-an-1    的前   n 项和为   Sn,

    ∴Sn=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an.
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                  1
            1 × 1-
              (   3n)
                 1    3    1
              1-       (1-  )
    又∵Sn=        3  =2     3n ,
          3   1
          (1-   )
    ∴an=2     3n .
                                                 S2 007 S2 005

    8.设  Sn 为等差数列{an}的前      n 项和,a1=-2     014, 2 007 - 2 005 =2,则 S2 016 的值
为(  )
    A.-2 016                            B.2 016
    C.2 015                             D.-2 015
                                                      {Sn}
    解析:选    B 因为    Sn 为等差数列{an}的前     n 项和,所以数列        n 是等差数列.设数列
 Sn                  S2 007 S2 005                               S2 016 S1
{ n }的公差为   d′,则由    2 007 - 2 005 =2,得  2d′=2,解得     d′=1,所以     2 016 = 1 +

2 015d′=a1+2 015d′=-2 014+2 015=1,所以          S2 016=2 016.
    二、填空题(本大题共         7 小题,多空题每题        6 分,单空题每题      4 分,共   36 分.把答案
填在题中横线上)

                                              *
    9.已知{an}是等差数列,Sn        为其前   n 项和,n∈N    .若  a3=16,S20=20,则    a1=

________,d=________,S10=________.
    解析:由已知得,

    Error!解得 a1=20,d=-2,
                  10 × 9

    ∴S10=10×20+     2  ×(-2)=110.
    答案:20 -2 110

                                                                    *
    10.(浙江高考)设数列{an}的前         n 项和为   Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N     ,则   a1=

________,S5=________.

    解析:∵an+1=2Sn+1,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,
                          1        1
                              (Sn+  )
    ∴Sn+1=3Sn+1,∴Sn+1+2=3          2 ,
               1
           Sn+
    ∴数列{       2}是公比为    3 的等比数列,
          1
      S2+
          2
          1
      S1+
    ∴     2=3.

    又 S2=4,∴S1=1,∴a1=1,
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          1      1      3     243
             S1+
            (     )  4      4
    ∴S5+2=       2 ×3 =2×3  =  2 ,

    ∴S5=121.
    答案:1 121

    11.已知数列{an}的通项公式为          an=2    015-3n,则使    an>0 成立的最大正整数       n 的值
为________.
                                 2 015    2

    解析:由    an=2 015-3n>0,得    n<  3 =6713,
    又∵n∈N*,∴n     的最大值为     671.
    答案:671
    12.某住宅小区计划植树不少于             100 棵,若第一天植      2 棵,以后每天植树的棵数是前
一天的   2 倍,则需要的最少天数          n(n∈N*)等于________.

    解析:每天植树的棵数构成以             2 为首项,2    为公比的等比数列,其前          n 项和  Sn=
a11-qn   21-2n
   1-q   =    1-2   =2n+1-2.由   2n+1-2≥100,得   2n+1≥102.由于   26=64,27=128,
则  n+1≥7,即    n≥6.
    答案:6
                                                                 an
                                        *
    13.已知数列{an}满足       an+1-an=2n(n∈N  ),a1=3,则    an=________,  n 的最小值为
________.

    解析:∵an+1-an=2n,

    ∴a2-a1=2×1,

    a3-a2=2×2,

    a4-a3=2×3,
    …

    an-an-1=2(n-1),
    以上各式相加可得
                                     n-11+n-1

    an-a1=2[1+2+3+…+n-1]=2×               2
    =n2-n,

                   2
    ∵a1=3,∴an=n     -n+3.
      an     3
    ∴ n =n+n-1.
               3
    ∵f(x)=x+x在(0,      3)上单调递减,在(       3,+∞)上单调递增,
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      a1     3       a2     3     5     an          5
    又 1 =1+1-1=3,     2 =2+2-1=2,所以      n 的最小值为2.
                   5
    答案:n2-n+3 2
                                                          An   2n

    14.已知等差数列{an},{bn}的前         n 项和分别为     An,Bn,且满足Bn=n+3,则
a1+a2+a12
b2+b4+b9  =________.
                      An   2n
                                           2
    解析:根据题意,由Bn=n+3,可设:An=2n               ,Bn=n(n+3),则:

    a1=A1=2, 当   n≥2 时,an=An-An-1=4n-2,

    b1=B1=4,当    n≥2 时,bn=Bn-Bn-1=2n+2,
      a1+a2+a12   2+6+46    54  3
    ∴ b2+b4+b9  =6+10+20=36=2.
          3
    答案:2
    15.定义函数     f(x)={x·{x}},其中{x}表示不小于          x 的最小整数,如{1.2}=2,{-

                          *
2.6}=-2.当   x∈(0,n](n∈N    )时,函数    f(x)的值域记为     An,记  An 中元素的个数为      an,
                1   1       1

则  an=________,a1+a2+…+a10=________.

    解析:当    x∈(0,1]时,{x}=1,x{x}=x,则        f(x)={x·{x}}=1,即     A1={1},故

a1=1;

    当 x∈(0,2]时,{x}=1,2,x{x}=x      或  2x,则  f(x)={x·{x}}=1,3,4,即     A2=

{1,3,4},故  a2=3;
    当 x∈(0,3]时,{x}=1,2,3,x{x}=x      或  2x 或 3x,则  f(x)={x·{x}}=

1,3,4,7,8,9,即  A3={1,3,4,7,8,9},故   a3=6;
                              nn+1

    同理可得    a4=10,注意到     an=    2   ,
        1   1       1    2     2          2    20
    所以a1+a2+…+a10=1      × 2+2 × 3+…+10   × 11=11.
          nn+1   20
    答案:      2    11
    三、解答题(本大题共         5 小题,共    74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
                             3x
                                                                       *
    16.(14 分)已知函数      f(x)=x+3,数列{xn}的通项由        xn=f(xn-1)(n≥2 且  x∈N )确
定.
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              1
    (1)求证:{xn}是等差数列;
             1

    (2)当 x1=2时,求    x2 016.
                                3xn-1
                                                  *
    解:(1)证明:∵xn=f(xn-1)=xn-1+3(n≥2         且  n∈N ),
      1   xn-1+3   1    1
    ∴xn=   3xn-1 =3+xn-1,
      1     1   1
    ∴xn-xn-1=3(n≥2     且 n∈N*),
       1
    ∴{xn}是等差数列.
              1   1          1     n-1   n+5
    (2)由(1)知xn=x1+(n-1)×3=2+        3  =  3 .
        1    2 016+5  2 021
    ∴x2 016=    3   =   3 .
              3

    ∴x2 016=2 021.
    17.(15 分)在△ABC    中,若   lg sin A,lg sin B,lg sin C  成等差数列,且三个内角
A,B,C  也成等差数列,试判断此三角形的形状.
    解:∵A,B,C     成等差数列,∴2B=A+C.
                                    π       2
    又∵A+B+C=π,∴3B=π,即            B=3,A+C=3π.
    ∵lg sin A,lg sin B,lg sin C   成等差数列,
    ∴2lg sin B=lg sin A+lg sin C,
    即 sin2B=sin Asin C.

           π            3
    又∵B=3,∴sin B=      2 .
                        3
    ∴sin Asin C=sin2B=4.
    又∵cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C,
    cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C,
                    1
    ∴sin Asin C=-2[cos(A+C)-cos(A-C)].
        1   2π              3
         cos  -cosA-C
    ∴-2[     3            ]=4.
      1  1          3
    ∴4+2cos(A-C)=4,
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    ∴cos(A-C)=1.
                                          π
    ∵A-C∈(-π,π),∴A-C=0,即             A=C=3.
    ∴A=B=C.
    ∴△ABC  是等边三角形.

    18.(15 分)已知等比数列{an}的前         n 项和为   Sn,a1=1,an1,又   a1=1,则  a2=q,a3=
q2,

    因为  S3=2S2+1,所以     a1+a2+a3=2(a1+a2)+1,
    则 1+q+q2=2(1+q)+1,即       q2-q-2=0,解得      q=2 或 q=-1(舍去),

                                n-1     *
    所以数列{an}的通项公式为          an=2   (n∈N ).

                                         n-1     *
    (2)由(1)知,bn=(2n-1)·an=(2n-1)·2          (n∈N ),

              0     1      2               n-1
    则 Tn=1×2   +3×2  +5×2   +…+(2n-1)×2       ,

            1      2     3                n-1           n
    2Tn=1×2  +3×2   +5×2  +…+(2n-3)×2       +(2n-1)×2    ,

                            1      2         n-1           n
    两式相减,得-Tn=1+2×2          +2×2  +…+2×2      -(2n-1)×2    ,

               2   3   4      n           n
    即-Tn=1+2    +2  +2 +…+2    -(2n-1)×2   ,

                        n
    化简得   Tn=(2n-3)×2   +3.

    19.(15 分)已知等差数列{an}的前         n 项和为   Sn,且  S10=55,S20=210.

    (1)求数列{an}的通项公式.
              an
                                               *
    (2)设 bn=an+1,是否存在       m,k(k>m≥2,m,k∈N     )使得  b1,bm,bk 成等比数列?若
存在,请说明理由.
                                              nn-1

    解:(1)设等差数列{an}的公差为          d,则   Sn=na1+    2   d.
    由已知,得Error!

    即Error!解得Error!

                              *
    所以  an=a1+(n-1)d=n(n∈N     ).

                                   *
    (2)假设存在    m,k(k>m≥2,m,k∈N     )使得   b1,bm,bk 成等比数列,则       bm2 =b1bk.
             an     n

    因为  bn=an+1=n+1,
            1       m         k

    所以  b1=2,bm=m+1,bk=k+1,
          m     1   k
    所以(m+1)2=2×k+1.
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                   2m2
    整理,得    k=-m2+2m+1.
    以下给出求     m,k  的方法:
    因为  k>0,所以-m2+2m+1>0,
    解得  1-  21,

     ∴当  n≥2  时,{cn}为递增数列,
             15

    ∴cn≥c2=   2 ,
                        15
                    -∞,
    ∴t 的取值范围为(           2 ].
                                                             1    1
                                                                     -1
                                                             + (  -    )
    法二:∵tan+1(an-1)+1≥0      对任意   n≥2  的整数恒成立,即        t×2n   1 2n 1   +
1≥0  恒成立,
          4n2-1
    ∴t≤2n-1对任意       n≥2 的整数恒成立.
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                    4m2+8m+3         3
    令 n-1=m,∴t≤         2m    =2m+2m+4,
                 3
    令 f(m)=2m+2m+4,
                           3
                            ,+∞
    ∵2m≥2,m∈N*,f(m)在(     2     )单调递增,
                       15

    ∴t≤f(m)min=f(1)=   2 ,
                    15
                -∞,
∴t  的取值范围为(          2 ].
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