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2018秋新版高中数学北师大版必修5习题:第三章不等式 3.3.2.1

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                  3.2 基本不等式与最大(小)值
                 第   1 课时 利用基本不等式求最值
                                         课时过关·能力提升
                                    1   1
                                      +
1.设 a>0,b>0,若 3是  3a 与 3b 的等比中项,则𝑎     𝑏的最小值为(  )
                                                1
A.8              B.4           C.1            D.4
                              1  1       1   1    𝑏  𝑎     𝑏 𝑎         𝑏 𝑎
                               +           +        +         ·             =
解析:因为    3a·3b=3,所以 a+b=1,所以𝑎   𝑏=(a+b)(𝑎 𝑏)=2+𝑎 𝑏≥2+2 𝑎 𝑏=4,当且仅当𝑎   𝑏,即
    1
a=b=2时,等号成立.
答案:B
                1
2.若 x>0,则 y=3-3x-𝑥的最大值是(  )
A.3              B.3-3 2       C.3-2 3        D.-1
           1        1         1                   1      3
                3𝑥 +       3𝑥·
解析:y=3-3x-𝑥=3-(    𝑥)≤3-2   𝑥=3-2 3,当且仅当   3x=𝑥,即 x= 3 时,等号成立.
答案:C
               1   1
                 +
3.已知  a>0,b>0,则𝑎  𝑏+2 𝑎𝑏的最小值是(  )
A.2              B.2 2         C.4            D.5
                   1              1
    1   1                      2    ·2 𝑎𝑏
      +                          𝑎𝑏
解析:𝑎   𝑏+2 𝑎𝑏≥2 𝑎𝑏+2 𝑎𝑏≥2       =4.
              1   1
                =  ,
              𝑎  𝑏
              1                            1  1
                =  𝑎𝑏,                     +
           { 𝑎𝑏                                 𝑎𝑏
    当且仅当              即 a=b=1 时,等号成立,故𝑎      𝑏+2   的最小值为     4.
答案:C
                     1
                        2
4.若 x>1,则函数   y=-x2+1 - 𝑥 的最大值为(  )
A.-3             B.0           C.1            D.2
                  1          1                1
                                      (𝑥2 - 1)·
                 2          2                 2
解析:当   x>1 时,x2+𝑥 - 1=x2-1+𝑥 - 1+1≥2      𝑥 - 1+1=3,当且仅当    x= 2时,等号成立,所以-
     1
       2
x2+1 - 𝑥 ≤-3.
答案:A
                      1  4
                       +
5.若 a>0,b>0,a+b=2,则 y=𝑎 𝑏的最小值是(  )
  7                              9
A.2              B.4           C.2            D.5
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                 𝑎 + 𝑏
解析:∵a+b=2,∴1=      2  ,4=2(a+b).
        1  4   𝑎 + 𝑏 2(𝑎 + 𝑏) 1 𝑏  2𝑎   5    𝑏  2𝑎  5     𝑏 2𝑎 9
         +   =      +         =   +   +         +    +     ≥        ·  =
    ∴y=𝑎  𝑏   2𝑎      𝑏     2  2𝑎   𝑏 +2=2  (2𝑎  𝑏 ) 2+2 2𝑎 𝑏  2,当且仅当
  1   2
a=3,b=3时,等号成立.
答案:C
                          1     1     1
6.若 p>0,q>0,p,q 的等差中项是2,x=p+𝑝,y=q+𝑞,则   x+y 的最小值为(  )
A.6              B.5           C.4            D.3
解析:由题意知      p+q=1,p>0,q>0,
                                 1

               1  1    1      𝑝 + 𝑞 2
                +
    ∴x+y=p+q+𝑝   𝑞=1+𝑝𝑞≥1+(  2  ) =5.
                 1
    当且仅当    p=q=2时,等号成立.
答案:B
7.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是(  )
A.[0,2]          B.[-2,0]
C.[-2,+∞)        D.(-∞,-2]
                𝑥 𝑦   𝑥 + 𝑦
解析:∵2x+2y≥2    2 ·2 =2 2   ,
             1      1
       2𝑥 + 𝑦 ≤
    ∴        2,2x+y≤4.
    ∴x+y≤-2.
    故选  D.
答案:D
                 𝑎
8.已知函数    f(x)=4x+𝑥(x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则    a=     . 
          𝑎                 𝑎
解析:∵4x+𝑥≥2    4𝑎,当且仅当   4x=𝑥时,等号成立,∴4x2=a,∴a=4×32=36.
答案:36
                 1   |𝑎|
                   +
9.若 a+b=2,b>0,则2|𝑎| 𝑏 的最小值为     . 
      1   |𝑎| 𝑎 + 𝑏 |𝑎| 𝑎   𝑏  |𝑎| 𝑎      1   3          𝑏  |𝑎|
        +    =      +   =     +    +    ≥                           =
解析:2|𝑎|  𝑏   4|𝑎|  𝑏  4|𝑎| 4|𝑎| 𝑏 4|𝑎|+1≥-4+1=4,当且仅当4|𝑎|     𝑏 ,a<0,即 a=-
2,b=4 时,等号成立.
       1   |𝑎|        3
         +
    故2|𝑎|  𝑏 的最小值是4.
    3
答案:4
10.若实数   x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是    . 
解析:∵x2+y2+xy=1,
    ∴(x+y)2=xy+1.
           𝑥 + 𝑦 2
    又 xy≤(   2  ) ,
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             𝑥 + 𝑦 2   3
    ∴(x+y)2≤(  2  ) +1,即4(x+y)2≤1.
             4                3
    ∴(x+y)2≤3,当且仅当|x|=|y|=   3 时,等号成立.
      2  3       2 3
    ∴-  3 ≤x+y≤   3  ,
                   2 3
    ∴x+y 的最大值为      3  .
    2  3
答案:   3
★11.求下列函数的最值.
               2
              0,
(1)y=x(2-5x),x∈( 5);
           2
(2)y=x· 3 - 𝑥 ,x∈(0, 3).
            2
          0,
解:(1)∵x∈(   5),
    ∴x>0,2-5x>0,
             1
    y=x(2-5x)=5·5x(2-5x)
      1 5𝑥 + 2 - 5𝑥 1
       ·            2 =
    ≤5 (     2     )  5.
    当且仅当    5x=2-5x,
        1
    即 x=5时,等号成立.
                       1
    ∴y=x(2-5x)的最大值为5.
    (2)∵x∈(0, 3),
    ∴x>0,3-x2>0.
                 𝑥2 + 3 - 𝑥2 3
           3 - 𝑥2 ≤       =
    ∴y=x·            2       2.
                   2
    当且仅当    x= 3 - 𝑥 ,
          6
    即 x= 2 时,等号成立.
                         3
              2
    ∴y=x·  3 - 𝑥 的最大值为2.
         1               8
★12.当  x>2时,求函数    y=x+2𝑥 - 1的最小值,并求出当函数取得最小值时              x 的值.
                 4     1    4    1
                         +     +
         8         1   2      1  2
                𝑥 -       𝑥 -
解:y=x+2𝑥 - 1=x+   2=x-       2   .
          1       1
    因为  x>2,所以  x-2>0.
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            1   9
         4 +  =
所以  y≥2     2   2.
         1     4
           =
         2      1     5
             𝑥 -
当且仅当    x-      2,即 x=2时,等号成立.
                 9                   5
所以函数的最小值为2,且函数取最小值时                x=2.
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